2026届高三数学阶段检测一（A）卷（含解析）

2026届高三数学阶段检测一（A）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.设是三个不同平面，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为( )
A. B. C. D.
5.若是函数的极小值点，则的极大值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，都为正数，为自然对数的底数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，为正实数，，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知奇函数与偶函数满足：其中为自然对数的底数，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 当，时，恒有成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质的函数 ．；当时，；是奇函数．
13.已知实数，，满足，，则的取值范围是 ．
14.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以元千克全部卖于收购商，已知施肥量为千克时，单株产量为千克后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本元如肥料、人工、机器等，最后以元千克全部卖出．
写出单株利润元关于施肥量千克的关系式
当施肥量为多少千克时，该水果单株利润最大最大是多少元
17.本小题分
已知函数且
若在区间上的最大值是，求实数的值；
若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求函数的极值．
若恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】集合，
，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】
由，，，则可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，
由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】
因为，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，
则，当且仅当时，等号成立．
故选：．
4.【答案】
【解析】
，
且当，，时，，
，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】
函数，
求导得，
由是的极小值点，得，解得或，
当时，，当时，，当时，，
则是的极大值点，不符合题意；
当时，，当时，，当时，，
则是的极小值点，符合题意，所以，当时，，
所以函数在处取得极大值，．
故选：．
6.【答案】
【解析】
设，则点在的图象上，
，即．
令，则，
令，则，此时 单调递增，
令，则，此时 单调递减，
的最小值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】
由已知， ，
则 ．
设 ，则，
因为，则，
又 ，，
则，即，从而，
当时， ，则在内单调递增，
所以，即，
选B．
8.【答案】
【解析】
因为函数 恰有个零点，
所以 和 有两个交点．
作出函数 的图像如图所示：
因为 时， 和 相交，所以只需 和 再有一个交点．
．
当 时，若 与 相切，则有 的判别式 ，此时 ．
当 时，若 与 相切，则有 的判别式 ，此时 ．
当 时，若 与 相切，设切点为 ．
则有 ，解得： ．
所以要使函数 恰有个零点，
只需 或 或 ，解得：
或 或 ．
故选：
9.【答案】
【解析】
对于，由，得 ，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数
对于，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数
对于，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数
对于，由，得，则，
因为，所以，所以此函数不是凸函数，
故选ABC．
10.【答案】
【解析】由，，知，故，故故，故A正确
由知，故，故
，故当，时，取得最小值，故 B正确
由，知，故，故，当且仅当，时取等号故的最小值为，故C错误
，当且仅当，时取等号故的最小值为，故D正确，
故选ABD．
11.【答案】
【解析】
根据题意，奇函数与偶函数满足：，
则，变形可得，
联立可得：，，
依次分析选项：
对于，，故A错误；
对于，，而，故有，故B正确；
对于，，而，故有，故C正确；
对于，变形可得，，等价于，
又，则有，
只需要证明，即可，
设，则其导数，
令，则，
当时，，则为增函数，
且，则有在恒成立，
故在上为增函数，
又由，故在恒成立，
故有，即可，
则恒有成立，故D正确；
故选：．
12.【答案】答案不唯一，均满足
【解析】
取，则，满足，
，时有，满足，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足．
故答案为：答案不唯一，均满足
13.【答案】
【解析】由题意可知，，
则，
因为，
由基本不等式可知，
可得．
所以
，
设，，
则，
当时，
当时，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又，
所以，
即．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为，所以直线是函数的一条对称轴，
即，
又因为是奇函数，所以点是函数的对称中心，
即，
所以，所以，
故函数的周期是，
因为是定义在上的奇函数，所以，
又当时，，
且，所以，
，
两式联立可解得，
所以当时，，
所以，
，
所以，
所以
．
故答案为：．
15.【解析】
集合，
当时，集合，则，或，
所以，或；
“”是“”的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集，
可得，解得，
实数的取值范围为
16.【解析】
将代入得，
．
当时，令，则，
，
时，，
当时，，
，
当且仅当即取等号，
，
当施肥量为千克时，单株利润最大为元．
17.【解析】
当 时，
在区间 上单调递减，
所以，
解得 舍去负值，
当 时，
在区间 上单调递增，
所以，
解得舍去负值，
综上所述： 或 ；
设 ，则 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，所以 ，
即，
所以 ，
即，
解得，
所以实数 的取值范围为 ．

18.【解析】
函数的定义域为，
，
当时，，
所以函数在上单调递减，
当时，，
所以函数在上单调递增，
函数在处取得极小值，无极大值；
恒成立，
即，恒成立，
不等式等价于，恒成立，
令，，
，
令，，
易知在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，
即，
即，即，
由知，函数在上单调递增，
所以，
所以当时，，，
则函数在上单调递增，
当时，，，
则函数在上单调递减，
所以函数在处取得最大值，
所以，
所以实数的取值范围为

19.【解析】
函数不是“旋转函数”，理由如下：
因为将函数图象逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此，函数不是“旋转函数”．
由题意可得函数与函数最多有个交点，
其中，即最多有一个根，
即函数与函数图象最多有个交点，
即函数在上单调，
因为，又，，
所以，，所以，
即，，即的最大值为．
由题意可得函数与函数图象最多有个交点，
因为，
所以函数与函数其中为任意实常数图象最多有个交点，
即函数在上单调，
因为，当时，，
所以由恒成立，
令，则，
因为在上单调减，且，，
所以存在，使，即，
所以在内递增，在递减，
因此，，
故，即的取值范围是．
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