2026届高三数学阶段检测一（B）卷（含解析）

2026届高三阶段检测一（B）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则( )
A. 是假命题，，
B. 是假命题，，
C. 是真命题，，
D. 是真命题，，
3.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，且，，则( )
A. B. C. D.
7.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若函数定义域为，则函数的定义域为
B. 是为奇函数的必要不充分条件
C. 正实数，满足，则的最小值为
D. 函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为
10.已知，函数，则( )
A. 的图像关于轴对称 B. 恰有个极值点
C. 在上单调递增 D. 的最小值小于
11.已知函数，函数，，则( )
A. 对任意实数，
B. 对任意实数，，都有
C. 存在实数，使得
D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则 ．
13.已知是自然对数的底数，若，则的取值范围是 ．
14.已知函数有四个零点，，，，且，且在区间和上各存在唯一一个整数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的不等式
当时，解关于的不等式；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
某同学设计了如图所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图所示的方式折叠后拼接而成已知矩形的周长为，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点．
用表示图中的面积；
现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角如图阴影部分双面镀金厚度忽略不计，已知镀金的价格是元，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
是否存在常数，，使的图象关于直线对称？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由；
若，函数在上单调递增，求的取值集合．
参考数据：，，，
18.本小题分
已知函数，．
直接判断与的大小关系
若，函数与有且仅有两个交点，求的取值范围．
若，，求出函数与的交点个数．
19.本小题分
设为实数，且，函数
求函数的单调区间；
若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，且满足．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
由题得
因为，
所以有三个元素，所以真子集个数为．
故选：．
2.【答案】
【解析】
命题，，
由指数函数和对数函数的图象可知是真命题，
，，
故选：．
3.【答案】
【解析】关于的不等式的解集为，其中，
所以和是方程的实数根，
由根与系数的关系知
解得，，
当且仅当，即时取“”，
所以，
设，
函数在上单调递增，
当时单调递增，
所以，
所以的最小值为．
故选C．
4.【答案】
【解析】
，
为偶函数，排除选项B和，
又，排除选项C，
故选：．
5.【答案】
【解析】
设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块底面圆的半径为，高为，
由题意可得，，解得，
，
设圆柱形冰块的体积为，
则，
设，，则，
当时，，递增当时，，递减，
所以，
故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为．
故选C．
6.【答案】
【解析】由得，且函数关于点对称，
由得，
又由得，
所以，得函数是周期为的函数，
则，，所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】
不等式对于上恒成立，
即对于上恒成立，
令，
则等价于对于上恒成立．
令，
，
当时，，
所以在单调递减，
所以，
所以，
所以只需在上单调递减，
即，恒成立，
即，
只需
又因为，
所以，
即实数的取值范围是
故选：．
8.【答案】
【解析】
方程根的个数函数与函数的图象交点个数，图象如下：
由图象可知两函数图象有个交点．
故选：．
9.【答案】
【解析】
对于、若函数定义域为，
则，故，
故函数的定义域为，故正确；
对于、若，则不一定是奇函数，如，
反之，若是奇函数，也不一定成立，如，
故是为奇函数的既不充分又不必要条件，故错误；
对于、正实数，满足，
则，
故
，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为，正确；
对于，若，则区间为，与区间定义矛盾，故错误；
故选AC．
10.【答案】
【解析】
对于中，由，已知，且，
所以函数为奇函数，所以不正确；
对于中，由，令，
则，
当时，可得，所以，单调递减；
当时，可得，所以，单调递增，
由且，
可得，所以在和上各有一个零点，
设两个零点分别为，不妨设，
当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增；
当时，，可得，单调递减，
所以时函数的个极值点，且只有个极值点，所以B正确；
对于中，由知，在单调递增，在单调递减，
又由，且，
则当时，，即，所以函数单调递增，所以C正确；
对于中，由，所以不正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】已知函数，函数，，
则
，故A正确；
，
，
故对任意实数，，与不一定相等，故B错误；
当时，，，此时满足，故C正确；
定义域为，，即为偶函数，
且，当且仅当时取等，
定义域为，，即为奇函数，
且与均在上单调递增，即在上单调递增，
故若直线与、的图象共有三个交点，
则直线与的图象有两个交点，不妨设为，，与有个交点，设为，
则，，，
由，得，即，
解得或舍，
故，
故，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】由题意得，
，
两式相加并整理得．
故答案为：
13.【答案】
【解析】令，
因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
又，，
所以且，
则，
令，则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以当时，，当时，，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】，
令，则，
为偶函数，
只需考虑时有两个零点，，且在区间存在唯一的整数．
时，
令，则，当时，，
单调递增，当时，，
单调递减，在区间存在唯一的整数，
，即，
的取值范围为．
15.【解析】不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，
解得或；
当时，不等式化为；
时，，解不等式得，
时，，解不等式得，
时，，解不等式得．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
由题意不等式化为，
当时，，且，
所以原不等式可化为恒成立，
设，，
则的最小值为，
所以的取值范围是
16.【解析】已知矩形的周长为，设其中较长边为，
将沿向折叠，折过后交于点，
因为，所以，
又因为为较长边，所以，即，
设，则，
因为，，，
所以，所以，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
所以，
所以的面积单位：；
设一枚徽章的镀金费用为元，则，
由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立，
，
所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元．
17. 【解析】：当时， ，得 ，
， ，
曲线在点处的切线方程为 ，即 ；
的定义域是，且 的图象关于直线 对称， ，
对任意的 ， 成立，
即 ，
化简整理得 ，
解得 ，即存在 ，，使 的图象关于直线 对称；
设 ，则 ，
在上单调递增， 对任意的 恒成立，
即 ，且 ，
当时， ，即 在上单调递增， 由，得 ；
当时，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
设 ， ，易知在上单调递减，
， ，
存在唯一的，使，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，
， ，存在唯一的，使，
令 ，解得，
由，得 ，
，的取值集合为．
18.【解析】；
第一步，研究函数与有且仅有两个交点的充要条件，
由题意可知，其等价于时，方程的解的个数，
不妨设函数，，
，
令且单调递减，
当，即时，
有，解得，
可知当时，，单调递增
当时，，单调递减，
故，
又因为函数与存在两个交点，
即，，
则，故，
必要性得以说明．
后研究条件的充分性，
即证明当时，函数有两个零点，
函数在上单调递增，
，
，
根据函数零点存在定理可知，
函数在上存在唯一零点，
函数在上单调递减，，
取点，
则
，
根据函数零点存在定理可知，
函数在上存在唯一零点充分性得证，
综上，函数与有且仅有两个交点的充要条件为，
第二步，由于，函数与有且仅有两个交点，
所以；
构造函数，，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，
整理得，所以，
由可知此时函数与的交点个数为．
19. 【解析】：，
当时，，在上单调递增，
此时的单调递增区间为，无递减区间；
当时，令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的递减区间为，递增区间为；
数形结合
令，
设，，
问题转化为对任意的，与总有两个不同的交点，
，，
设与切于，切线方程为，
，令，
，易知，，
结合图像得，，
故；
，，
，令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
注意到，，
在和上各有一个零点，，
，
要证，
由于，故 ，
所以 ，
故只需证：，即证：，
即证：，
所以，
而，故，得证．
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