第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
【课前预习】
知识点
1.确定的、不同的 对象 元
2.N N*或N+ Z Q R
3.a是集合A的元素 a∈A a不是集合A的元素 a A
a∈
4.确定性 互异性 无序性
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1)“平面上到A,B两点的距离相等的点的全体”是确定的,能够组成集合.
(2)“苏教版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的,不能组成集合.
2.解:(1)因为集合A是由高一年级16个班组成的,所以高一(5)班是集合A中的元素,高三(5)班不是集合A中的元素.
(2)a,b是高一年级16个班中某两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班.
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 因为集合具有确定性,且比较大的数、中国农业人才、高中善于跳远的学生都是不确定的,所以A,B,D错误;对于C,地球上的七大洲为亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲,满足集合的特性,C正确.故选C.
变式 AD [解析] 由集合的概念知,A,D能组成集合,故A,D正确;对于B,“长寿”没有标准,无法确定元素,不能组成集合,故B不正确;对于C,没有给出精确度,无法确定元素,不能组成集合,故C不正确.故选AD.
探究点二
例2 (1)B (2)①② [解析] (1)因为是实数,所以①正确;因为2是整数,所以②正确;因为|-3|=3是正整数,所以③错误;因为|-|=不是有理数,所以④错误.所以关系正确的有2个,故选B.
(2)令m=2,n=-1,得①符合条件;令m=5,n=0,得②符合条件;对于③,==-,令-=m+n,得m=,n=-,又m,n∈Z,所以③不符合条件;对于④,令+1=m+n,得m=1,n=,又m,n∈Z,所以④不符合条件.故属于集合A的数的序号是①②.
变式 (1)∈ ∈ (2)②③ [解析] (1)第二、四象限的角平分线上的点的集合可以用直线y=-x表示,显然(0,0),(-3,3)都在直线y=-x上,(1,1)不在直线y=-x上,所以(0,0)∈A,(1,1) A,(-3,3)∈A.
(2)能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.
探究点三
例3 解:(1)因为-3∈A,a2+1>0,所以a-3=-3或2a-1=-3,解得a=0或a=-1.
当a=0时,A中的三个元素为-3,-1,1;当a=-1时,A中的三个元素为-4,-3,2.所以a的值为0或-1.
(2)因为x2∈B,所以x2=0或x2=1或x2=x,所以x=0或x=1或x=-1.因为集合中的元素具有互异性,所以x≠0,x≠1,所以x=-1.
变式 (1)C (2)0 [解析] (1)对于A,当a=1时,a2=1,2-a=1,不满足题意;对于B,当a=-2时,a2=4,不满足题意;对于C,当a=-1时,a2=1,2-a=3,满足题意;对于D,当a=2时,a2=4,不满足题意.故选C.
(2)由题意可知,a=1或a2=a.若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.若a2=a,则a=0或a=1(舍去),当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
1.下列对象能构成集合的是 ( )
A.不等式x2<0的解集
B.著名的数学家
C.非常接近0的数
D.面积非常小的三角形
2.下列关系中正确的是 ( )
A.-1∈N
B.(-2)3∈N*
C.-2∈Z
D. R
3.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是 ( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
4.[2025·江苏连云港高一月考] 若A中有两个元素0,a,且1∈A,则实数a= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.0或1
5.下列说法正确的是 ( )
A.小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列得到的两个集合不同
B.若A∈Z,则-A∈Z
C.由1,0,5,,,,组成的集合中有7个元素
D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
6.设P,Q是两个数集,P中含有0,2两个元素,Q中含有1,2两个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有的元素个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.集合A中有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a的值为 .
9.(13分)集合A中有三个元素x2-2,3x-4,4x+1,集合B中有三个元素0,2,a2.
(1)若2∈A,求实数x的值;
(2)若a∈B,求实数a的值.
10.(13分)已知集合A是由关于x的方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数根组成的集合.
(1)当A中有两个元素时,求实数a的取值范围;
(2)当A中没有元素时,求实数a的取值范围;
(3)当A中有且仅有一个元素时,求实数a的值,并求出集合A中的元素.
11.已知x,y为非零实数,代数式++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是 ( )
A.0∈M B.-1∈M
C.2∈M D.1∈M
12.下列说法中正确的个数是 ( )
①集合N中的最小数为1;
②若a∈N,则-a N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;
④所有小的正数组成一个集合;
⑤π∈Q;⑥0 N;⑦-3∈Z;⑧∈R.
A.0 B.1
C.2 D.3
13.[2025·江苏镇江高一期中] 已知集合A满足条件:若a∈A,且a∈R,则∈A.则集合A中所有元素的乘积的值为 ( )
A.1 B.-1
C.±1 D.与a的取值有关
14.若集合A是不等式x-a>0的解集,且2 A,则实数a的取值范围是 .
15.非空数集A具有下列性质:(1)若x,y∈A,则∈A;(2)若x,y∈A,则x+y∈A.下列说法正确的是 .(填序号)
①-1 A;②∈A;③若x,y∈A,则xy∈A;④若x,y∈A,则x-y A.
16.(15分)[2025·上海大学附属嘉定高级中学高一月考] 已知集合M满足:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③若x∈M且x≠0,则∈M.
(1)判断∈M是否正确,并说明理由;
(2)证明:若x,y∈M,则x+y∈M;
(3)证明:若x∈M,x≠0且x≠1,则x2∈M.(共53张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
探究点一 集合的概念
探究点二 元素与集合的关系
探究点三 集合中元素的特性及应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能结合具体实例认识和识别什么是集合，对于给出的一些例子，
会判断哪些事物可以组成集合，哪些不能组成集合.
2.能在具体的情境中判断元素与集合的关系.
知识点 集合的定义及元素
1.集合与元素的概念:一般地,一定范围内某些________________对象
的全体组成一个集合.集合中的每一个______称为该集合的元素,简称
____.
确定的、不同的
对象
元
2.常用数集及表示符号
名称 非负整数集 （或自然数集） 正整数集 整数 集 有理数集 实数
集
记法 ___ ________ ___ ___ ___
或
3.元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 _______
不属于 ______或 __________
是集合的元素
不是集合的元素
4.集合中元素的三个特性为________、________、________.
确定性
互异性
无序性
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面上到, 两点的距离相等的点的全体可以组成一个集合.
( )
√
[解析] “平面上到, 两点的距离相等的点的全体”是确定的,能够组
成集合.
（2）苏教版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合．( )
[解析] “苏教版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组
成集合.
×
2.某中学高一年级16个班组成一个集合 .
（1）高一（5）班、高三（5）班是集合 中的元素吗
解：因为集合 是由高一年级16个班组成的,所以高一（5）班是集合
中的元素,高三（5）班不是集合 中的元素.
（2）若,,则元素, 有什么关系 为什么
解：,是高一年级16个班中某两个不同的班.因为集合 中的元素具
有互异性,所以与 是不同的班.
探究点一 集合的概念
例1 下列给出的对象可以组成一个集合的是( )
A.比较大的数 B.中国农业人才
C.地球上的七大洲 D.高中善于跳远的学生
[解析] 因为集合具有确定性，且比较大的数、中国农业人才、高中
善于跳远的学生都是不确定的，所以A，B，D错误；
对于C，地球上的七大洲为亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋
洲和南极洲，满足集合的特性，C正确.
故选C.
√
变式 （多选题）下列给出的对象可以组成一个集合的是( )
A.2024年参加“两会”的代表 B.某小区长寿的人
C. 的近似值 D.方程 的实数根
[解析] 由集合的概念知，A，D能组成集合，故A，D正确；
对于B,“长寿”没有标准，无法确定元素，不能组成集合，故B不正确；
对于C,没有给出精确度，无法确定元素，不能组成集合，故C不正确.
故选 .
√
√
［素养小结］
判断一组对象能组成集合的条件是能找到一个明确的标准，使得对
于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
探究点二 元素与集合的关系
例2（1）给出下列关系：；； ；
.其中关系正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为 是实数，所以①正确；
因为2是整数，所以②正确；
因为是正整数，所以③错误；
因为 不是有理数，所以④错误.
所以关系正确的有2个，故选B.
√
（2）已知集合是由形如（其中, ）的数组成的,则下
列属于集合 的数是______.（填序号）
；；； .
①②
[解析] 令,,得①符合条件;
令, ,得②符合条件;
对于③，,令，得 ,
,又， ，所以③不符合条件;
对于④,令,得,,又, ,
所以④不符合条件.
故属于集合 的数的序号是①②.
变式（1）用符号“ ”或“ ”填空：若 表示第二、四象限的角平分
线上的点的集合，则点___，___，___ .
[解析] 第二、四象限的角平分线上的点的集合可以用直线 表
示，显然，都在直线上，不在直线 上，
所以，， .
（2）由所有能被3整除的数组成的集合为 ，则下列数中一定是集
合 的元素的是______.（填序号）
①能被2整除的数；②能被6整除的数；③能被 整除的数；④能被
5整除的数.
②③
[解析] 能被2整除的数不一定能被3整除，能被6整除的数一定能被3
整除，能被 整除的数一定能被3整除，能被5整除的数不一定能被
3整除，所以一定是集合 的元素的是②③.
［素养小结］
判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否
具有这个集合的元素的共同特性．
探究点三 集合中元素的特性及应用
例3 已知集合中有三个元素，，，集合 中也有
三个元素0，1， .
（1）若，求实数 的值；
解：因为，，所以或 ，解
得或 .
当时，中的三个元素为，，1；
当时， 中的三个元素为，，2.
所以的值为0或 .
例3 已知集合中有三个元素，，，集合 中也有
三个元素0，1， .
（2）若，求实数 的值.
解：因为，所以或或，所以或
或.
因为集合中的元素具有互异性，所以， ，所以 .
变式（1）由,，4组成一个集合，且 中含有3个元素，则实
数 的取值可以是( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 对于A，当时，， ，不满足题意；
对于B，当时，，不满足题意；
对于C，当 时，，，满足题意；
对于D，当时， ，不满足题意.
故选C.
√
（2）已知集合中含有两个元素1和，若，则实数 的值为
___．
0
[解析] 由题意可知，或.
若，则 ，这与相矛盾，故.
若，则或 （舍去），当时， 中含有元素1和0，
满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数 的值为0.
［素养小结］
（1）对于求集合中字母参数的问题，常根据集合中元素的确定性得
出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.
（2）在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的
标准要明确.
1.集合概念的疑难点
（1）对于集合我们一定要从整体的角度来看待它;
（2）构成集合的对象必须是确定的且不同的;
（3）元素与集合的关系是“属于”或“不属于”关系.
2.集合中元素三个性质的主要作用
（1）确定性的主要作用是判断指定的一组对象能否组成集合，其关
键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确
定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的.
（2）互异性的主要作用是提示我们求出结果后要检验.特别是题中含
有参数时，一定要检验求出的参数是否使集合中元素满足互异性.
（3）无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其
元素不一定依次对应相等.
利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题
集合与方程有着密切联系,利用集合中元素的特性,即元素的互异性,可
以求出集合中的参数的值.
例 ［2025·广东广州高一期中］已知集合有三个元素 ,
,，集合中有三个元素,2, .
（1）若，求实数 的值；
解：因为，所以，或，或 .
当时，解得，此时 ，
，不满足集合的互异性，所以 .
当时，解得或，当时， ，
，所以 满足题意；
当时，， ，不满足集合的互异性，
所以 .
当时，解得（舍）或 （舍）.
综上，实数 的值为0.
例 ［2025·广东广州高一期中］已知集合有三个元素 ,
,，集合中有三个元素,2, .
（2）若，求实数 的值.
解：因为集合中有三个元素,2,，且 ，
所以,或 .
若，则 ，符合题意.
若，解得.当 时，不符合集合元素的互异性，则
不满足题意；当时， ，符合题意.
综上所述，的值为 或4.
练习册
1.下列对象能构成集合的是( )
A.不等式 的解集 B.著名的数学家
C.非常接近0的数 D.面积非常小的三角形
[解析] 不等式 的解集是确定的，可以构成集合，故A正确；
著名的数学家，非常接近0的数，面积非常小的三角形都没有确定性，
不能构成集合，故B，C，D错误.
故选A.
√
2.下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为不是自然数，所以A错误；
因为 ，不是正整数，所以B错误；
因为是整数，所以C正确；
因为 是实数，所以D错误.
故选C.
√
3.若一个集合中的三个元素，，是 的三边长，则此三角形
一定不是( )
A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
[解析] 根据集合的性质可知，， 一定不是等腰三
角形，故选B.
√
4.［2025·江苏连云港高一月考］若中有两个元素0，，且 ，
则实数 ( )
A. B.0 C.1 D.0或1
[解析] 因为，所以 .故选C.
√
5.下列说法正确的是( )
A.小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列
得到的两个集合不同
B.若，则
C.由1,0,5,,,, 组成的集合中有7个元素
D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
√
[解析] 对于A，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大
到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列得到的两个集合相同，故A
错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，因为 ，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4,故D错误.
故选B.
6.设,是两个数集,中含有0,2两个元素, 中含有1,2两个元素,定义
集合中的元素是,其中,,则 中元素的个数
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为,所以或,因为,所以或 ,因
此 的可能取值为1,2,3,4,共4个.故选D.
√
7.由实数，，， 所组成的集合最多含有的元素个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 当时，，，，均为0，此时由，， ，
所组成的集合含有1个元素；
当时， ，，此时由，，， 所组
成的集合含有2个元素；
当时，，，此时由，，， 所
组成的集合含有2个元素.故选B.
√
8.集合中有三个元素2，4，6，若，且，那么 的值
为______.
2或4
[解析] 若，则，且，符合题意；
若 ，则，且，符合题意；
若,则 ，且，不符合题意.
故 或4.
9.（13分）集合中有三个元素,,，集合 中有三
个元素0,2, .
（1）若，求实数 的值；
解：由，得或或 .
当时，或2；当时， ；
当时， .
经检验，当与时都满足题意，当 时不满足集合元素的
互异性，故当时，实数的值为或 .
9.（13分）集合中有三个元素,,，集合 中有三
个元素0,2, .
（2）若，求实数 的值.
解：由，得或或 .
当时，，不满足集合元素的互异性，舍去；
当 时，满足题意；
当时，（舍）或，当 时，满足题意.
综上所述，若，则实数 的值为1或2.
10.（13分）已知集合是由关于的方程 的
实数根组成的集合.
（1）当中有两个元素时，求实数 的取值范围；
解：当中有两个元素时，关于的方程 有两个不相
等的实数根，所以，且，解得且 .
（2）当中没有元素时，求实数 的取值范围；
解：当中没有元素时，关于的方程 没有实数根，
所以，且，解得 .
10.（13分）已知集合是由关于的方程 的
实数根组成的集合.
（3）当中有且仅有一个元素时，求实数的值，并求出集合 中的
元素.
解：当中有且仅有一个元素时，关于的方程 有一
个实数根或有两个相等的实数根.
当时，方程的根为；
当时，令 ，解得，此时.
综上所述，的值为0或1.当时，集合中有且仅有一个元素；
当时，集合 中有且仅有一个元素.
11.已知,为非零实数，代数式的值所组成的集合是 ，
则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 当,均为负数时，；
当, 一负一正时，；
当,均为正数时，.
综上， 中有两个元素 ,3，故只有B正确.故选B.
√
12.下列说法中正确的个数是( )
①集合 中的最小数为1；
②若，则 ；
③若，，则 的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合；
；；； .
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] ①错误，中的最小数是0；
②错误，，而 ；
③错误，当，时， ；
④错误，小的正数是不确定的；
⑤错误， 不是有理数；
⑥错误，0是自然数；
⑦正确， 是整数；
⑧正确， 是实数.
13.［2025·江苏镇江高一期中］已知集合满足条件：若 ，且
，则.则集合 中所有元素的乘积的值为( )
A.1 B.
C. D.与 的取值有关
[解析] 由题可知，， ，
，.
综上,集合中有四个元素 ，，，, .
故选A.
√
14.若集合是不等式的解集，且，则实数 的取值范
围是______.
[解析] ，，即 .
15.非空数集具有下列性质：（1）若，，则 ；（2）若
，,则 .下列说法正确的是________.（填序号）
；；③若，，则；④若， ,
则 .
①②③
[解析] 对于①，若，则,因此 ,而当
,时,无意义,不满足,所以 ,故①正确；
对于②,若,，则 ,所以, ,
, , ,所以,故②正确；
对于③，由②知,若,,则 ，所以,故③正确；
对于④，由②知1,，取, ，则 ,故④错误.
故填①②③.
16.（15分）［2025·上海大学附属嘉定高级中学高一月考］ 已知集
合满足：，；②若，，则 ；③若
且，则 .
（1）判断 是否正确，并说明理由；
解： 正确，理由如下：
由①知，，由②可得 ，则
，由③可得 .
（2）证明：若，，则 ；
证明：由①知，因为，所以由②可知 ，
又，所以 ，即证.
16.（15分）［2025·上海大学附属嘉定高级中学高一月考］ 已知集
合满足：，；②若，，则 ；③若
且，则 .
16.（15分）［2025·上海大学附属嘉定高级中学高一月考］ 已知集
合满足：，；②若，，则 ；③若
且，则 .
（3）证明：若，且，则 .
证明：由①知，又因为，所以由②可知 ，
由，及③可知， ，
所以，即，所以 ，
由（2）可知，即 ，即证.
快速核答案（导学案）
课前预习 1.确定的、不同的 对象 元 2. 或
3.是集合的元素 不是集合的元素
4.确定性 互异性 无序性
【诊断分析】 1.（1）√ （2）×
2.（1）解：因为集合是由高一年级16个班组成的,所以高一（5）班是集合中
的元素,高三（5）班不是集合中的元素. （2）,是高一年级16个班中某两个
不同的班.因为集合中的元素具有互异性,所以与是不同的班.
课中探究 例1 C 变式 AD
例2 （1）B （2）①② 变式 （1） （2）②③
例3 （1）0或（2） 变式 （1）C （2）0
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.2或4
9.（1）或（2）1或2
10.（1）且 （2）
（3）m>的值为0或1.当时，集合中有且仅有一个元素；当时，
集合中有且仅有一个元素.
11.B 12.C 13.A 14. 15.①②③
16.（1）正确，理由略 （2）略 （3）略第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
1.A [解析] 不等式x2<0的解集是确定的,可以构成集合,故A正确;著名的数学家,非常接近0的数,面积非常小的三角形都没有确定性,不能构成集合,故B,C,D错误.故选A.
2.C [解析] 因为-1不是自然数,所以A错误;因为(-2)3=-8,不是正整数,所以B错误;因为-2是整数,所以C正确;因为是实数,所以D错误.故选C.
3.B [解析] 根据集合的性质可知,a≠b≠c,∴△ABC一定不是等腰三角形,故选B.
4.C [解析] 因为1∈A,所以a=1.故选C.
5.B [解析] 对于A,集合的元素具有无序性,故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列得到的两个集合相同,故A错误;对于B,若A∈Z,则-A∈Z,故B正确;对于C,因为=,所以组成的集合中不可能有7个元素,故C错误;对于D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4,故D错误.故选B.
6.D [解析] 因为a∈P,所以a=0或a=2,因为b∈Q,所以b=1或b=2,因此a+b的可能取值为1,2,3,4,共4个.故选D.
7.B [解析] 当a=0时,-a,a,|a|,均为0,此时由-a,a,|a|,所组成的集合含有1个元素;当a>0时,-a<0,a=|a|=,此时由-a,a,|a|,所组成的集合含有2个元素;当a<0时,-a>0,-a=|a|=,此时由-a,a,|a|,所组成的集合含有2个元素.故选B.
8.2或4 [解析] 若a=2,则2∈A,且6-2=4∈A,符合题意;若a=4,则4∈A,且6-4=2∈A,符合题意;若a=6,则6∈A,且6-6=0 A,不符合题意.故a=2或4.
9.解:(1)由2∈A,得x2-2=2或3x-4=2或4x+1=2.
当x2-2=2时,x=-2或2;当3x-4=2时,x=2;
当4x+1=2时,x=.
经检验,当x=-2与时都满足题意,当x=2时不满足集合元素的互异性,故当2∈A时,实数x的值为-2或.
(2)由a∈B,得a=0或a=2或a=a2.
当a=0时,a2=0,不满足集合元素的互异性,舍去;当a=2时,满足题意;当a=a2时,a=0(舍)或a=1,当a=1时,满足题意.综上所述,若a∈B,则实数a的值为1或2.
10.解:(1)当A中有两个元素时,关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,所以a≠0,且Δ=4-4a>0,解得a<1且a≠0.
(2)当A中没有元素时,关于x的方程ax2+2x+1=0没有实数根,所以a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1.
(3)当A中有且仅有一个元素时,关于x的方程ax2+2x+1=0有一个实数根或有两个相等的实数根.
当a=0时,方程的根为x=-;当a≠0时,令Δ=4-4a=0,解得a=1,此时x=-1.综上所述,a的值为0或1.当a=0时,集合A中有且仅有一个元素-;当a=1时,集合A中有且仅有一个元素-1.
11.B [解析] 当x,y均为负数时,++=-1;当x,y一负一正时,++=-1;当x,y均为正数时,++=3.综上,M中有两个元素-1,3,故只有B正确.故选B.
12.C [解析] ①错误,N中的最小数是0;②错误,0∈N,而-0∈N;③错误,当a=1,b=0时,a+b=1;④错误,小的正数是不确定的;⑤错误,π不是有理数;⑥错误,0是自然数;⑦正确,-3是整数;⑧正确,是实数.
13.A [解析] 由题可知a≠0,a≠±1,=-∈A,∴=∈A,∴=a∈A.综上,集合A中有四个元素a,-,,,∴a···=1.故选A.
14.a≥2 [解析] ∵2 A,∴2-a≤0,即a≥2.
15.①②③ [解析] 对于①,若-1∈A,则=1∈A,因此-1+1=0∈A,而当x=-1∈A,y=0∈A时,无意义,不满足∈A,所以-1 A,故①正确;对于②,若x≠0,x∈A,则=1∈A,所以1+1=2∈A,2+1=3∈A,…,2022+1=2023∈A,2023+1=2024∈A,所以∈A,故②正确;对于③,由②知1∈A,若x,y∈A,则∈A,所以=xy∈A,故③正确;对于④,由②知1,2∈A,取x=2,y=1,则x-y=1∈A,故④错误.故填①②③.
16.解:(1)∈M正确,理由如下:
由①知0∈M,1∈M,由②可得0-1=-1∈M,则1-(-1)=2∈M,由③可得∈M.
(2)证明:由①知0∈M,因为y∈M,所以由②可知0-y=-y∈M,又x∈M,所以x-(-y)=x+y∈M,即证.
(3)证明:由①知1∈M,又因为x∈M,所以由②可知x-1∈M,由x≠0,x≠1及③可知∈M,∈M,
所以-∈M,即∈M,所以x(x-1)∈M,
由(2)可知x(x-1)+x∈M,即x2∈M,即证.第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
【学习目标】
1.能结合具体实例认识和识别什么是集合, 对于给出的一些例子,会判断哪些事物可以组成集合,哪些不能组成集合.
2.能在具体的情境中判断元素与集合的关系.
◆ 知识点 集合的定义及元素
1.集合与元素的概念:一般地,一定范围内某些 对象的全体组成一个集合.集合中的每一个 称为该集合的元素,简称 .
2.常用数集及表示符号
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
3.元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果 ,那么就说a属于集合A a属于A
不属于 如果 ,那么就说a不属于集合A 或 a不属于A
4.集合中元素的三个特性为 、 、 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面上到A,B两点的距离相等的点的全体可以组成一个集合. ( )
(2)苏教版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.( )
2.某中学高一年级16个班组成一个集合A.
(1)高一(5)班、高三(5)班是集合A中的元素吗
(2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系 为什么
◆ 探究点一 集合的概念
例1 下列给出的对象可以组成一个集合的是 ( )
A.比较大的数
B.中国农业人才
C.地球上的七大洲
D.高中善于跳远的学生
变式 (多选题)下列给出的对象可以组成一个集合的是 ( )
A.2024年参加“两会”的代表
B.某小区长寿的人
C.π的近似值
D.方程x2=1的实数根
[素养小结]
判断一组对象能组成集合的条件是能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素.
◆ 探究点二 元素与集合的关系
例2 (1)给出下列关系:①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.其中关系正确的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,则下列属于集合A的数是 .(填序号)
①2-;②5;③;④+1.
变式 (1)用符号“∈”或“ ”填空:若A表示第二、四象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0) A,(1,1) A,(-3,3) A.
(2)由所有能被3整除的数组成的集合为M,则下列数中一定是集合M的元素的是 .(填序号)
①能被2整除的数;②能被6整除的数;③能被-3整除的数;④能被5整除的数.
[素养小结]
判断一个元素是不是某个集合中的元素,关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特性.
◆ 探究点三 集合中元素的特性及应用
例3 已知集合A中有三个元素a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素0,1,x.
(1)若-3∈A,求实数a的值;
(2)若x2∈B,求实数x的值.
变式 (1)由a2,2-a,4组成一个集合A,且A中含有3个元素,则实数a的取值可以是 ( )
A.1 B.-2 C.-1 D.2
(2)已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,则实数a的值为 .
[素养小结]
(1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.
(2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确.
