第2课时 集合的表示
【课前预习】
知识点一
1.花括号“{ }” 2.性质 {x|p(x)} 3.封闭 内部
诊断分析
1.解:(1)方法一:方程x2-4x-21=0的实数根组成的集合用描述法表示为{x|x2-4x-21=0,x∈R}.
方法二:因为方程x2-4x-21=0的两个实数根为-3,7,所以方程x2-4x-21=0的实数根组成的集合用列举法表示为{-3,7}.
(2)由4x+3<5,得x<,所以不等式4x+3<5的解集为.
2.解:(1)正确.两个集合都表示-1到2之间的实数.
(2)错误.集合{(x,y)|y=2x+5}是点集,集合{x|y=2x+5}是数集.不表示同一个集合.
知识点二
完全相同 都是 都是 A=B
诊断分析
(1)A=B [解析] 这两个集合中的元素完全相同,仅是顺序不同,因此这两个集合相等.
(2)解:相等,由|x-1|≤1得-1≤x-1≤1,所以0≤x≤2,所以{x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}.
知识点三
有限 无限 空集
诊断分析
(2)(3)(4) (1) [解析] (1)因为{x|1(2)因为1(3)某校高一(1)班全体同学组成的集合是有限集;
(4)因为方程x2+x-1=0的Δ=12-4×1×(-1)=5>0,所以方程x2+x-1=0有两个不等的实数根,则{x|x2+x-1=0,x∈Z}是有限集.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,
所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8,10}.
(2)方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}.
(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即直线y=2x+1与y轴的交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}.
(4)解方程组得
所以方程组的解组成的集合为{(0,1)}.
变式 解:(1)中国现有的直辖市组成的集合为{北京市,天津市,上海市,重庆市}.
(2)15的正约数组成的集合为{1,3,5,15}.
(3)因为-2≤x≤3,x∈Z,所以x=-2,-1,0,1,2,3,所以所求集合为{-2,-1,0,1,2,3}.
探究点二
例2 解:(1)大于-1且小于7的整数可以用x表示,它满足的条件是x∈Z且-1(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但要求元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数组成的集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)由(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3,
所以集合可表示为{(x,y)|x=2,y=-3}.
变式 (1)C (2)D [解析] (1)当n=0,1,2,3,…时,只有选项C符合题意.故选C.
(2)由xy≤0得x>0,y≤0或x=0,y∈R或x<0,y≥0,则集合{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}表示第二象限、第四象限内和坐标轴上的点组成的集合,即不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合.故选D.
探究点三
例3 解:由题意得,d≠0,a≠0,且
或由得q=1;
由得q=1或q=-.
当q=1时,集合B中三个元素都相等,不满足集合元素的互异性,故q≠1;当q=-时,经验证,满足题意.
综上所述,q的值为-.
变式 1 [解析] 因为A=B,所以x=0或y=0.若x=0,则x2=0,此时集合B中的元素不满足互异性,舍去;若y=0,则x=x2,得x=0 (舍去)或x=1,此时A=B={0,1}.所以x=1,y=0,所以x+y=1.
拓展 - - [解析] 由A=B知,两个集合中的不等式的端点值相等,即解得第2课时 集合的表示
1.B [解析] 因为集合M={1,2,3},所以1,2,3均是集合M中的元素,故B正确,A,C错误,因为{3}与集合M不相等,所以D错误.故选B.
2.B [解析] ∵集合M={x|-23.C [解析] 由xy>0,可得x>0,y>0或x<0,y<0,所以集合M表示平面直角坐标系中第一、三象限内的点集.故选C.
4.A [解析] 因为集合M={1,2m+1},N={-1,m2},且M=N,所以解得m=-1.故选A.
5.C [解析] 由∈Z,得x-1=±1,或x-1=±3,即x=0,2,4,-2,又x∈N,∴x=0,2,4,故A={0,2,4}.故选C.
6.ABD [解析] 选项A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合,故M≠P;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项C中,M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},P={x|x=t2+1,t∈R}={x|x≥1},故M=P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R中所有y组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合,故M≠P.故选ABD.
7.a=0或a≥ [解析] 当a=0时,ax2-3x+2=-3x+2=0,解得x=,故集合A中只有1个元素,符合要求;当a≠0时,对于ax2-3x+2=0,需满足Δ=9-8a≤0,即a≥.综上,a=0或a≥.
8.{0,3} [解析] 因为集合A={2,a2-1,a2-a},且3∈A,所以a2-1=3或a2-a=3,由集合B={0,a2-a-3},可知a2-a-3≠0,即a2-a≠3,所以a2-1=3,解得a=±2.当a=2时,a2-a=2,不满足集合元素的互异性,故舍去;当a=-2时,A={2,3,6},B={0,3},满足题意.所以B={0,3}.
9.解:(1)利用列举法可表示为A={0,1,2,3,4,5}.
(2)利用描述法可表示为B={x|3x+2>5}={x|x>1}.
(3)利用描述法可表示为C={(x,y)|x<0,y>0}.
(4)利用描述法可表示为D={(x,y)|y=x2-2x+3}.
(5)由+|y-2|=0,得所以所以方程+|y-2|=0的解组成的集合用描述法可表示为.
10.证明:(1)当k∈Z时,2k+1表示奇数,因为2k+1=(k+1)2-k2,
所以所有奇数都是集合A中的元素.
(2)假设10是集合A中的元素,则存在m∈Z,n∈Z,
使得10=m2-n2=(m-n)(m+n),不妨设m>n,则有或或或
四个方程组均无整数解,所以假设不成立,故10不是集合A中的元素.
11.D [解析] 由题知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共含10个元素.
12.BCD [解析] 设a=3u+1,b=3v+1,c=3w-1(u,v,w∈Z),则a+b=3(u+v)+2=3(u+v+1)-1∈B,故A错误,C正确;ab=9uv+3(u+v)+1=3(3uv+u+v)+1∈A,故B正确;ac=9uw+3(w-u)-1=3(3uw-u+w)-1∈B,故D正确.故选BCD.
13.1 [解析] 因为{1,a,b}={a2,a,0},所以b=0,可得{1,a,0}={a2,a,0},则a2=1,解得a=±1.若a=1,则a2=a=1,不符合题意;若a=-1,则{a2,a,0}={1,-1,0},符合题意.综上所述,a=-1,b=0,所以a2024+b2025=(-1)2024+02025=1.
14.a≥1 [解析] 依题意得,1-a≤1+a,解得a≥0.又=1,即1-a与1+a关于x=1对称,所以1∈A,而集合A中至少有2个整数元素,于是0∈A,2∈A,因此解得a≥1,所以实数a的取值范围为a≥1.
15.ACD [解析] 对于A,当m=1时,S={x|1≤x≤l},此时l≥1.若l=1,则S={1},满足题意;若l>1,则l2>l,l∈S,所以l2 S,不满足题意.综上,若m=1,则S={1},故A正确.对于B,因为m∈S,所以m2∈S,所以m≤m2,解得m≤0或m≥1,故B错误.对于C,若l=,则S=,由B易知,此时m≤0,则0≤m2≤,解得-≤m≤,综上,-≤m≤0,故C正确.对于D,因为m∈S,所以m2∈S,所以m2≤l,又由B知m≤0或m≥1,所以m+l≥m+m2=-≥-,故D正确.故选ACD.
16.{0,1,-2} [解析] 因为=2,A※B=1,所以=1或=3.当=1时,a=0或a=1.当=3时,关于x的方程(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0有3个解,所以x2-ax+1=0(*)只有一个解,且该解不为1和,则Δ=a2-4=0,解得a=±2.当a=2时,方程(*)为x2-2x+1=0,解得x=1,不符合题意;当a=-2时,方程(*)为x2+2x+1=0,解得x=-1,符合题意.所以a=-2,故P={0,1,-2}.第2课时 集合的表示
1.设集合M={1,2,3},则下列结论正确是 ( )
A.1 M B.2∈M
C.3 M D.{3}=M
2.[2025·江苏连云港高一期中] 已知集合M={x|-2A.4 B.3
C.7 D.8
3.[2025·吉林长春师大附中高一月考] 集合M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}表示平面直角坐标系中 ( )
A.第一象限内的点集
B.第三象限内的点集
C.第一、三象限内的点集
D.第二、四象限内的点集
4.[2025·江苏南通高一期末] 已知集合M={1,2m+1},N={-1,m2},且M=N,则实数m= ( )
A.-1 B.1
C.±1 D.0
5.[2025·江苏盐城高一期末] 已知集合A=,则用列举法表示A为 ( )
A.A={-2,0,1,2,4}
B.A={-2,0,2,4}
C.A={0,2,4}
D.A={2,4}
6.(多选题)下列各组中M,P表示不同集合的是 ( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
7.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R,x∈R},若A中元素至多有1个,则a的取值范围是 .
8.[2025·江苏南通海安高级中学高一月考] 已知集合A={2,a2-1,a2-a},B={0,a2-a-3},a∈R,且3∈A,则集合B= .
9.(13分)[2025·江苏连云港新海高级中学期中] 选择适当的方法表示下列集合:
(1)由不超过5的所有自然数组成的集合A;
(2)不等式3x+2>5的解集B;
(3)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合C;
(4)二次函数y=x2-2x+3的图象上所有的点组成的集合D;
(5)方程+|y-2|=0的解组成的集合.
10.(13分)[2025·上海华东师大附中高一期末] 设集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}.
(1)求证:所有奇数都是集合A中的元素;
(2)证明:10不是集合A中的元素.
11.已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为 ( )
A.3 B.6
C.8 D.10
12.(多选题)[2025·重庆南开中学高一期中] 已知集合A={x|x=3m+1,m∈Z},B={x|x=3k-1,k∈Z},且a,b∈A,c∈B,则 ( )
A.a+b∈A B.ab∈A
C.a+b∈B D.ac∈B
13.已知集合{1,a,b}={a2,a,0},则a2024+b2025= .
14.[2025·福建漳州南靖中学高一月考] 若集合A={x|1-a≤x≤1+a,a∈R}中至少有2个整数元素,则实数a的取值范围为 .
15.(多选题)[2024·江苏南京外国语学校月考] 设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时,有x2∈S,则下列结论正确的有 ( )
A.若m=1,则S={1}
B.m的取值范围为-1≤m≤1
C.若l=,则-≤m≤0
D.m+l≥-
16.已知集合A={0,2},B={x|(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0},用符号表示非空集合A中元素的个数,定义A※B=
若A※B=1,则实数a的所有可能取值构成的集合P= .(请用列举法表示) (共59张PPT)
1.1 集合的概念与表示
第2课时 集合的表示
探究点一 列举法表示集合
探究点二 描述法表示集合
探究点三 集合与集合之间的相等关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够在简单的现实情境或数学情境中，抽象概括出数学对象的
一般特征，并用集合语言予以表达.
2.对于给定的具体情境，会用三种语言（自然语言、图形语言、
符号语言）表达所要研究的数学对象，并能进行转换.
3.在具体情境中，了解空集的含义.
知识点一 集合的表示法
1.列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于___________内，这种表
示集合的方法叫作列举法（注意元素间要用“,”隔开,如,0,1, ）.
2.描述法:将集合的所有元素都具有的______（满足的条件）表示出
来，写成_________的形式,这种表示集合的方法叫作描述法.
3. 图：为了直观地表示集合，我们常画一条______的曲线，用
它的______来表示一个集合，称为 图.
花括号“”
性质
封闭
内部
【诊断分析】
1.选择适当的方法表示下列集合：
（1）方程 的实数根组成的集合；
解：方法一：方程 的实数根组成的集合用描述法表
示为， }.
方法二：因为方程的两个实数根为 ,7，所以方程
的实数根组成的集合用列举法表示为, .
1.选择适当的方法表示下列集合：
（2）不等式 的解集.
解：由，得，
所以不等式 的解集为 .
2.讨论下列说法是否正确．
（1）集合，}与集合， }
表示同一个集合；
解：正确.两个集合都表示 到2之间的实数.
（2）集合与集合 表示同一个集合.
解：错误.集合是点集，集合 是数集.
不表示同一个集合.
知识点二 集合相等
定义
记法 _______
图示 __________________________________________________
完全相同
都是
都是
【诊断分析】
（1）,,，,, ，这两个集合的关系是_______.
[解析] 这两个集合中的元素完全相同，仅是顺序不同，
因此这两个集合相等.
（2）集合与集合 相等吗
解：相等,由得,所以 ,
所以 .
知识点三 集合的分类
有限集 含有______个元素的集合
无限集 含有______个元素的集合
空集 不含任何元素的集合称为______，记作___
有限
无限
空集
【诊断分析】
给出下列集合，则__________是有限集，____是无限集.（填序号）
（1）；（2）, }；（3）某校高一（1）
班全体同学组成的集合；（4）, }.
[解析] （1）因为 表示大于1且小于5的一切实数组成的
集合，所以 是无限集；
（2）因为，且，所以,3,4，则 ，
，则， }是有限集；
（3）某校高一（1）班全体同学组成的集合是有限集；
（4）因为方程的 ，所
以方程有两个不等的实数根，则 ，
}是有限集.
探究点一 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合.
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，
所以不大于10的非负偶数组成的集合是 .
（2）方程 的所有实数解组成的集合；
解：方程的实数解是或 ，
所以方程的解组成的集合为 .
例1 用列举法表示下列集合.
（3）直线与 轴的交点所组成的集合；
解：将代入，得，即直线与 轴的
交点是，故直线与轴的交点组成的集合是 .
（4）方程组 的解组成的集合.
解：解方程组得
所以方程组的解组成的集合为 .
变式 用列举法表示下列集合.
（1）中国现有的直辖市组成的集合;
解：中国现有的直辖市组成的集合为{北京市，天津市，上海市，重
庆市}.
（2）15的正约数组成的集合;
解：15的正约数组成的集合为 .
（3）满足且的数 组成的集合.
解：因为，，所以， ，0，1，2，3，所
以所求集合为，，0，1，2， .
［素养小结］
用列举法表示集合的步骤：
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，元素之间用逗号分隔，相同元素只能列
举一次；
（3）用花括号括起来.
探究点二 描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
（1）大于 且小于7的所有整数组成的集合；
解：大于且小于7的整数可以用表示，它满足的条件是 且
，因此集合可表示为 .
（2）被3除余2的正整数组成的集合；
解：设被3除余2的数为，则， ，但要求元素为正整
数，故， ，所以被3除余2的正整数组成的集合可表
示为， }.
例2 用描述法表示下列集合：
（3）方程 的解组成的集合.
解：由，解得， ，
所以集合可表示为， .
变式（1）集合，,5，,9， 用描述法可表示为( )
A.， }
B.， }
C.， }
D.， }
[解析] 当，1，2，3， 时，只有选项C符合题意.故选C.
√
（2）［2025·上海宝山中学高一月考］集合， ，
}是指( )
A.第一象限内的所有点组成的集合
B.第三象限内的所有点组成的集合
C.第一象限和第三象限内的所有点组成的集合
D.不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合
√
[解析] 由得，或，或， ，则
集合，， }表示第二象限、第四象限内和坐
标轴上的点组成的集合，即不在第一象限也不在第三象限内的所有
点组成的集合.故选D.
［素养小结］
用描述法表示集合应注意以下三点：
（1）写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合不能
写成．
（2）所有描述的内容都要写在花括号内．
（3）在通常情况下，集合的代表元素的所属范围为实数集时可以省
略不写．
探究点三 集合与集合之间的相等关系
例3 ［2025·江苏苏州中学高一月考］已知集合, ,
，,,，且，求实数 的值.
解：由题意得，，，且 或
由得 ；
由得或 .
当时，集合 中三个元素都相等，不满足集合元素的互异性，
故；
当 时，经验证，满足题意.
综上所述，的值为 .
变式 设集合,,,,若,则 ___.
1
[解析] 因为,所以或.
若,则,此时集合 中的元素不满足互异性,舍去;
若,则,得 （舍去）或,此时.
所以,,所以 .
［素养小结］
（1）若两集合相等,则集合中的元素完全相同.
（2）解含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性.
拓展 设集合, .若
,则实数_____, ____.
[解析] 由 知,两个集合中的不等式的端点值相等,
即解得
集合的表示法中的问题
（1） 表示“所有的”“全体的”，不能省略，表示集合时，在花括号
内不能再写上“全体、所有的”等词语.如实数集可以写成{实数 ，而
不能写成{实数集}或{全体实数}；另外，集合中的元素之间用“，”
隔开，而不能用“、”，不能写成、2、 .
（2）用列举法表示集合时,不用考虑元素的顺序；某些集合用描述法
表示时,形式不是唯一的.
（3）一个集合用什么方法表示,由集合元素的特点而定.列举法：常
用于表示有限集合；描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素
的公共属性用文字、符号或式子等描述出来.
1.列举法与描述法的选择
当集合的元素个数很少（很容易写出全部元素）时，常用列举法表
示集合；当集合的元素个数较多（不易写出全部元素）时，常用描
述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正
奇数集也可写为，3，5，7，9， .但值得注意的是，并不是每一
个集合都可以用这两种方法表示出来.
2.元素分析法
集合离不开元素,分析元素是解决集合问题的核心,元素分析法就是抓
住元素进行分析,即元素是什么.
例1 分别指出下列集合的含义：
（1） ；
解：集合表示函数 所有自变量组成的集合，是一个数集.
（2） ；
解：集合表示函数 所有函数值组成的集合，是一个数集.
（3） ；
解：集合表示函数 图象上所有点组成的集合，是一个点集.
（4） .
解：集合表示由函数 组成的集合，是一个单元集.
3.常用列举法和描述法表示集合
（1）根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般
要符合最简原则.
（2）一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法
既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
例2 用适当的方法表示下列集合:
（1）方程 的解集；
解：方法一：用描述法表示为 .
方法二：由，可得, ，则解集
用列举法表示为, .
（2）所有被3除余1的正整数；
解：用描述法表示为, }.
例2 用适当的方法表示下列集合:
（3）所有小于13的素数；
解：方法一：用描述法表示为为小于13的素数 .
方法二：所有小于13的素数为2,3,5,7,11，则用列举法表示为
.
（4）方程组 的解集；
解：方法一：解集用描述法表示, .
方法二：由解得或 则解集用列举法
表示为,,, .
例2 用适当的方法表示下列集合:
（5）不等式 的解集.
解：由，得，解集用描述法表示为 .
练习册
1.设集合，2， ，则下列结论正确是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合，2，，所以1，2，3均是集合 中的元素，
故B正确，A，C错误，
因为与集合 不相等，所以D错误.
故选B.
√
2.［2025·江苏连云港高一期中］已知集合 ，
，则 中元素的个数为( )
A.4 B.3 C.7 D.8
[解析] 集合，，0，，
中元素的个数为3.故选B.
√
3.［2025·吉林长春师大附中高一月考］集合 ,
, }表示平面直角坐标系中( )
A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集
C.第一、三象限内的点集 D.第二、四象限内的点集
[解析] 由，可得，或，，
所以集合 表示平面直角坐标系中第一、三象限内的点集.故选C.
√
4.［2025·江苏南通高一期末］已知集合,, ,
，且，则实数 ( )
A. B.1 C. D.0
[解析] 因为集合,,,，且 ，
所以解得 .故选A.
√
5.［2025·江苏盐城高一期末］已知集合 ，则
用列举法表示 为( )
A.,0,1,2, B.,0,2,
C. D.
[解析] 由，得,或，即,2,4, ，
又，,2,4，故 .故选C.
√
6.（多选题）下列各组中, 表示不同集合的是( )
A.,，
B.，
C.,，, }
D.,，, }
√
√
√
[解析] 选项A中，,是数集， 是点集，二者不
是同一集合,故；
选项B中，与 表示不同的点，故；
选项C中，, ，,
，故；
选项D中， 是二次函数,中所有组成的集合，而集
合 是二次函数,图象上所有点组成的集合，故.
故选 .
7.已知集合,，，若 中元素至多
有1个，则 的取值范围是_____________.
或
[解析] 当时，，解得 ，故集
合中只有1个元素，符合要求；
当时，对于 ，需满足,即.
综上，或 .
8.［2025·江苏南通海安高级中学高一月考］已知集合 ，
，，，，，且 ，则集合
________.
，
[解析] 因为集合，，，且 ，所以
或，
由集合， ，可知，即，
所以，解得 .
当时， ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，3，，，，满足题意.
所以， .
9.（13分）［2025·江苏连云港新海高级中学期中］ 选择适当的方法
表示下列集合:
（1）由不超过5的所有自然数组成的集合 ；
解：利用列举法可表示为 .
（2）不等式的解集 ；
解：利用描述法可表示为 .
（3）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合 ;
解：利用描述法可表示为, .
（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合 ;
解：利用描述法可表示为 .
9.（13分）［2025·江苏连云港新海高级中学期中］ 选择适当的方法
表示下列集合:
（5）方程 的解组成的集合.
解：由,得所以 所以方程
的解组成的集合用描述法可表示为
.
10.（13分）［2025·上海华东师大附中高一期末］ 设集合
,, }.
（1）求证：所有奇数都是集合 中的元素；
证明：当 时，表示奇数，因为 ，
所以所有奇数都是集合 中的元素.
10.（13分）［2025·上海华东师大附中高一期末］ 设集合
,, }.
（2）证明：10不是集合 中的元素.
证明： 假设10是集合中的元素，则存在, ，
使得，不妨设 ，则有
或或或
四个方程组均无整数解，所以假设不成立，故10不是集合 中的元素.
11.已知集合,集合,, ,
则 中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
[解析] 由题知集合，，，，， ，
，，， ，共含10个元素.
√
12.（多选题）［2025·重庆南开中学高一期中］ 已知集合
,,,，且， ，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 设,, ，则
，故A错误，C正确；
，故B正确；
，故D正确.
故选 .
√
√
√
13.已知集合,,,,，则 ___.
1
[解析] 因为,,,,，所以，可得,,,, ，
则，解得.
若，则 ，不符合题意；
若，则,,,,，符合题意.
综上所述， ，，
所以 .
14.［2025·福建漳州南靖中学高一月考］若集合
,}中至少有2个整数元素，则实数 的
取值范围为______.
[解析] 依题意得，，解得.又 ，即
与关于对称，所以，
而集合 中至少有2个整数元素，于是，，
因此解得，所以实数 的取值范围为 .
15.（多选题）［2024·江苏南京外国语学校月考］ 设非空集合
满足:当时,有 ,则下列结论正确的有
( )
A.若,则 B.的取值范围为
C.若,则 D.
√
√
√
[解析] 对于A,当时,,此时.若 ,则
,满足题意;若,则，,所以 ,不满足题意.综
上,若,则,故A正确.
对于B,因为,所以 ,所以,解得或,
故B错误.
对于C,若 ,则,由B易知，此时,
则 ,解得,综上，,故C正确.
对于D,因为 ,所以,所以,又由B知或 ，
所以,故D正确.
故选 .
16.已知集合，， ，
用符号表示非空集合中元素的个数，定义
若，则实数的所有可能取值构成的集合 ____________.
（请用列举法表示）
，1，
[解析] 因为，，所以或.
当 时，或.
当时，关于 的方程有3个解，
所以 只有一个解，且该解不为1和，
则，解得 .
当时，方程为，解得 ，不符合题意；
当时，方程为，解得 ，符合题意.
所以，故，1， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.花括号“” 2.性质 3.封闭 内部
【诊断分析】 略
知识点二 完全相同 都是 都是 【诊断分析】（1） （2）略
知识点三 有限 无限 空集 【诊断分析】
课中探究 例1 （1）（2）（3） （4）
变式 （1） {北京市，天津市，上海市，重庆市}（2）
（3），，0，1，2，
例2 （1） （2），}
（3） ，.
变式 （1）C （2）D
例3 变式 1 拓展
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.ABD 7.或 8.，
9.（1） （2）
（3）, （4）
（5）
10.略 11.D 12.BCD 13.1 14.
15.ACD 16.，1，第2课时 集合的表示
【学习目标】
1.能够在简单的现实情境或数学情境中,抽象概括出数学对象的一般特征,并用集合语言予以表达.
2.对于给定的具体情境,会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达所要研究的数学对象,并能进行转换.
3.在具体情境中,了解空集的含义.
◆ 知识点一 集合的表示法
1.列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于 内,这种表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}).
2.描述法:将集合的所有元素都具有的 (满足的条件)表示出来,写成 的形式,这种表示集合的方法叫作描述法.
3.Venn图:为了直观地表示集合,我们常画一条 的曲线,用它的 来表示一个集合,称为Venn图.
【诊断分析】 1.选择适当的方法表示下列集合:
(1)方程x2-4x-21=0的实数根组成的集合;
(2)不等式4x+3<5的解集.
2.讨论下列说法是否正确.
(1)集合{x|-1(2)集合{(x,y)|y=2x+5}与集合{x|y=2x+5}表示同一个集合.
◆ 知识点二 集合相等
定义 如果两个集合所含的元素 (即A中的元素 B的元素,B中的元素也 A的元素),那么称这两个集合相等
记法
图示
【诊断分析】 (1)A={a,b,c},B={b,c,a},这两个集合的关系是 .
(2)集合{x||x-1|≤1}与集合{x|0≤x≤2}相等吗
◆ 知识点三 集合的分类
有限集 含有 个元素的集合
无限集 含有 个元素的集合
空集 不含任何元素的集合称为 ,记作
【诊断分析】 给出下列集合,则 是有限集, 是无限集.(填序号)
(1){x|1◆ 探究点一 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
(4)方程组的解组成的集合.
变式 用列举法表示下列集合.
(1)中国现有的直辖市组成的集合;
(2)15的正约数组成的集合;
(3)满足-2≤x≤3且x∈Z的数x组成的集合.
[素养小结]
用列举法表示集合的步骤:
(1)求出集合的元素;
(2)把元素一一列举出来,元素之间用逗号分隔,相同元素只能列举一次;
(3)用花括号括起来.
◆ 探究点二 描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合:
(1)大于-1且小于7的所有整数组成的集合;
(2)被3除余2的正整数组成的集合;
(3)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解组成的集合.
变式 (1)集合A={1,-3,5,-7,9,…}用描述法可表示为 ( )
A.{x|x=2n±1,n∈N}
B.{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N}
C.{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}
D.{x|x=(-1)n-1(2n+1),n∈N}
(2)[2025·上海宝山中学高一月考] 集合{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}是指 ( )
A.第一象限内的所有点组成的集合
B.第三象限内的所有点组成的集合
C.第一象限和第三象限内的所有点组成的集合
D.不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合
[素养小结]
用描述法表示集合应注意以下三点:
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<2}不能写成{x<2}.
(2)所有描述的内容都要写在花括号内.
(3)在通常情况下,集合的代表元素的所属范围为实数集时可以省略不写.
◆ 探究点三 集合与集合之间的相等关系
例3 [2025·江苏苏州中学高一月考] 已知集合A={a,a+d,a+2d},B={a,aq,aq2},且A=B,求实数q的值.
变式 设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则x+y= .
[素养小结]
(1)若两集合相等,则集合中的元素完全相同.
(2)解含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性.
拓展 设集合A={x|-2
