1.2 子集、全集、补集
【课前预习】
知识点一
任意一个 包含于 A B B A
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)“ ”用来表示集合与集合间的关系,所以错误.
(2)集合A是它本身的子集.
(3)利用子集的定义判断.
知识点二
A≠B 真包含于
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)集合A是它本身的子集,但集合A不是它本身的真子集,故错误.
(2)一般地,若集合A中元素的个数为n,则其真子集的个数为2n-1,故正确.
知识点三
不属于A SA x∈S,且x A S A
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)因为 SS= ,所以错误.
(2)因为0 ZN,而0∈ ZN*,所以 ZN≠ ZN*.
(3)当A=B时,二者相等,否则不相等.
知识点四
(1)所有元素 (2)U
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)全集不是固定不变的,是相对于研究问题而言的,给定的集合都可以作为全集.
(2)任何集合都可能是全集,当研究一个特定集合时,这个集合就是全集,所以全集不一定包括任何一个元素.
(3)根据全集的定义知应选集合A作为全集.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)矩形是特殊的平行四边形,故C D.
(3)方法一:两个集合都表示若干个正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N M.
方法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以N M.
变式 (1)A (2)7 [解析] (1)由x2-2<0,解得-
(2)由题可知,集合A是集合{1,2,3,4,5}的真子集,且A必含有元素2,3.又因为{1,2,3,4,5}含元素2,3的真子集为{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{2,3,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{2,3,4,5},共7个,所以满足条件的集合A有7个.
探究点二
例2 (1)C (2)B [解析] (1)因为M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R}={3,-1},所以 MN={0,1,2,4,5,6,7}.故选C.
(2)方法一:∵U=R,M={x|x>2或x≤-2},∴ UM={x|-2方法二:在数轴上表示出集合M,如图所示,根据补集的概念可知 UM={x|-2变式 {x|-2≤x≤-1或0≤x≤2} [解析] 方法一:∵全集U={x|-2≤x≤3},集合A={x|-1方法二:在数轴上表示出全集U和集合A,如图所示,根据补集的概念可知 UA={x|-2≤x≤-1或0≤x≤2}.
探究点三
例3 解:(1)∵A B,∴解得2≤m≤3.
∴实数m的取值范围为2≤m≤3.
(2)∵B C.当B= 时,m+1>2m+1,即m<0,满足题意.当B≠ 时,2m+1≥m+1,即m≥0,
由B C,分两种情况,
①2m+1≤0,解得m≤-,不满足m≥0;
②m+1≥2,得m≥1.
综上,实数m的取值范围是m<0或m≥1.
变式 (1)0或-或 (2)
[解析] (1)∵P={x|x2+x-6=0}={-3,2},Q P,∴Q可能为 ,{-3},{2}.当Q= 时,a=0;当Q={-3}时,-3a+1=0,解得a=;当Q={2}时,2a+1=0,解得a=-.综上,实数a的值为0或-或.
(2)①当B= 时,2a≥a+1,即a≥1,满足题意;②当B≠ 时,2a1.C [解析] 因为{x|02.B [解析] 因为全集U=R,A={x|-23}.故选B.
3.C [解析] 由题意得A={0,1,2},集合A中有3个元素,所以其子集的个数为23=8,故选C.
4.B [解析] 对于①,因为0是{0}的元素,所以0∈{0},故①正确;对于②,因为空集是任何集合的子集,所以 {0},故②正确;对于③,因为集合{0,1}的元素为0,1,集合{(0,1)}的元素为(0,1),两个集合的元素不相同,所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系,故③错误;对于④,因为集合{(a,b)}的元素为(a,b),集合{(b,a)}的元素为(b,a),两个集合的元素不一定相同,所以{(a,b)},{(b,a)}不一定相等,故④错误.综上所述,正确关系的个数为2.故选B.
5.B [解析] 集合A,B,C之间的关系如图.故选B.
6.ABD [解析] 由题可知,当a=0时,B= ,满足B A;当a≠0时,B=,则-=1或-=2,解得a=-1或a=-.综上所述,实数a的所有可能取值为0,-1,-.故选ABD.
7.4 [解析] 因为m∈U,且m UA,所以m=2或4.又A={2,m},所以m=4.
8.7 [解析] 由题意知,集合C可以取{1,2,6},{1,2,7},{1,2,8},{1,2,6,7},{1,2,6,8},{1,2,7,8},{1,2,6,7,8},共7个.
9.解:(1)因为A={x|x<1},所以 UA={x|x≥1},
因为 UA B,B={x|x>m},作出数轴,如图①,
由图可知m<1,所以实数m的取值范围为m<1.
(2)因为 UA={x|x≥1}, UA B,B={x|x>m},如图②,作出数轴,所以m≥1,则实数m的取值范围为m≥1.
10.C [解析] 任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z,所以a∈P,所以M P.任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z,所以b∈M,所以P M,所以M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·(2m1)+3,m1∈Z,所以c∈P,所以S P.又8∈P,8 S,所以S≠P,所以S P=M,故选C.
11.D [解析] 集合A包括a1,a2,…,am所有元素,还包括集合{b1,b2,…,bn}的一个真子集中的所有元素,则集合A的个数为2n-1.故选D.
12.ABC [解析] 由题知集合A是单元素集,当k+2=0,即k=-2时,A是单元素集,符合条件;当k+2≠0,Δ=4k2-4(k+2)=0,即k=-1或k=2时,A是单元素集,符合条件.故选ABC.
13.a>或a=6 [解析] A={x|x2-5x+6=0}={2,3}.①若B≠ ,则当B A时,B={2}或B={3}或B={2,3}.当B={2}时,x2-5x+a=0有两个相等实根,即x1=x2=2,x1+x2=4≠5不合题意.同理B={3}不合题意.当B={2,3}时,2+3=5,a=2×3=6,符合题意.②若B= ,则B A成立,Δ=25-4a<0,即a>.综上,实数a的取值范围是a>或a=6.
14.解:(1)若N1= ,满足N1 M,则m>2m-2,解得m<2;
若N1≠ ,则由N1 M,得解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是m≤3.
(2)由题意得解得≤m≤5,
所以实数m的取值范围是≤m≤5.
15.B [解析] 由题得U={x|x≤6,x∈N*}={1,2,3,4,5,6},A U.若1∈A,则2 A且4∈A;若1 A,则2∈A且4 A;若3∈A,则6 A;若3 A,则6∈A,而元素5没有限制,故5∈A或5 A.
综上,集合A可为{1,4,3},{1,4,6},{1,4,3,5},{1,4,6,5},{2,3},{2,6},{2,3,5},{2,6,5}.所以符合条件的集合A的个数为8.故选B.
16.解:(1)当s=t=1时,s2+3t2=4;当s=t=3时,s2+3t2=36;当s=t=5时,s2+3t2=100;当s=1,t=3时,s2+3t2=28;当s=3,t=1时,s2+3t2=12;当s=1,t=5时,s2+3t2=76;当s=5,t=1时,s2+3t2=28;当s=3,t=5时,s2+3t2=84;当s=5,t=3时,s2+3t2=52.
所以A={4,12,28,36,52,76,84,100},集合A中有8个元素,故集合A有28-2=254(个)非空真子集.
(2)证明:因为x∈A,所以设x=s2+3t2,所以7x=7(s2+3t2)=7s2+21t2=(2s+3t)2+3(s-2t)2∈A,得证.1.2 子集、全集、补集
【学习目标】
1.能结合具体实例解释集合之间包含与相等的意义,并能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中,了解全集的含义.
3.理解给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
4.对于给定的问题和情境,能使用Venn图表达集合间的基本关系,从中体会图形对理解抽象概念的作用.
◆ 知识点一 子集
定义 如果集合A的 元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集
记法 A B或B A
读法 集合A 集合B或集合B包含集合A
图示
性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A A. (2)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则A C. (3)若 且 ,则A=B (4)规定 A
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)0 {x|x<5,x∈R}. ( )
(2)设A是一个集合,则A A. ( )
(3){0,1} {1,2,3}. ( )
◆ 知识点二 真子集
定义 如果 A B,并且 ,那么集合A称为集合B的真子集
记法 A B或B A
读法 A B或B真包含A
图示
性质 (1)对于集合A,B,C,若A B且B C,则A C (2)若A≠ ,则 A
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设A是一个集合,则A A. ( )
(2)若集合A中有3个元素,则集合A共有7个真子集. ( )
◆ 知识点三 补集
定义 文字 语言 设A S,由S中 的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记作 (读作“A在S中的补集”)
符号 语言 SA={x| }
图形 语言
性质 (1)若A S,则 SA S; (2) SS= , S = ; (3) S( SA)=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素. ( )
(2)集合 ZN与集合 ZN*相等. ( )
(3)设C A,C B,则集合 AC与集合 BC相等. ( )
◆ 知识点四 全集
(1)定义: 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集.
(2)记法:全集通常记作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)只有实数集R才可以作为全集. ( )
(2)全集一定包括任何一个元素. ( )
(3)为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是A. ( )
◆ 探究点一 集合与集合之间的包含关系
例1 指出下列各组集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)C={x|x是矩形},D={x|x是平行四边形};
(3)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
变式 (1)[2025·江苏徐州三十七中高一期中] 已知集合A={x|-1A.A B B.B A
C.A=B D.以上都不正确
(2)[2025·湖南衡阳一中高一月考] 满足条件{2,3} A {1,2,3,4,5}的集合A的个数为 .
[素养小结]
(1)判断集合间关系的方法:
①观察法:一一列举观察.
②元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
③数形结合法:利用数轴或Venn图进行判断.
(2)求有限集的子集的两个关注点:
①要注意两个特殊的子集: 和有限集本身.
②按集合中含有元素的个数由少到多,一一写出,保证不重不漏.
(3)若一个集合有n个元素,那么它的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
◆ 探究点二 集合的补集
例2 (1)[2024·江苏南通启东中学高一月考] 若M={-1,0,1,2,3,4,5,6,7},N={x|x2-2x-3=0,x∈R},则 MN= ( )
A.{-1,3}
B.{-1,0,1,2,3,4,5,6,7}
C.{0,1,2,4,5,6,7}
D.{1,2,3,4,5,6,7}
(2)设集合U=R,M={x|x>2或x≤-2},则 UM= ( )
A.{x|-2B.{x|-2C.{x|x<-2或x>2}
D.{x|x≤-2或x≥2}
变式 [2025·江苏连云港实验中学高一期中] 已知全集U={x|-2≤x≤3},集合A={x|-1[素养小结]
求集合的补集的常用方法:
(1)列举法求补集:若集合和全集的元素可一一列举,先列出全集所有元素,再去掉给定集合的元素,剩下元素组成的集合就是补集.
(2)描述法求补集:当集合用描述法表示时,先确定全集范围与元素特征,再根据补集定义写出补集的描述条件.
(3)利用数轴求补集:对于数集,若集合元素是连续形式,可借助数轴,先在数轴上标出全集对应范围,再画出给定集合对应范围,数轴上全集范围内给定集合范围之外的部分就是补集的对应范围.
(4)借助Venn图求补集:画一个矩形表示全集,在矩形内画一个封闭图形表示给定集合.矩形内封闭图形外的部分就代表补集.通过Venn图可直观确定补集元素构成,尤其适用于多个集合关系判断场景.
◆ 探究点三 由集合间的关系求参数范围
例3 已知集合A={x|4(1)若A B,求实数m的取值范围;
(2)若B C,求实数m的取值范围.
变式 (1)已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0},且满足Q P,则实数a的值为 .
(2)已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a[素养小结]
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法:
(1)注意点:①不能忽视集合为 的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.1.2 子集、全集、补集
1.[2025·福建福州高一月考] 已知集合A={x|-1A.A∈B B.A B
C.B A D.A=B
2.[2025·江苏无锡高一期末] 已知全集U=R,A={x|-2A.{x|x≤-2}
B.{x|x≤-2或x>3}
C.{x|x≥3}
D.{x|x≤-2或x≥3}
3.已知集合A={x|-1A.3 B.4
C.8 D.16
4.[2025·江苏靖江中学高一期中] 给出下列关系:①0∈{0},② {0},③{0,1} {(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)},其中正确关系的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C之间的关系是 ( )
A.A B C B.B A C
C.A B C D.A=B C
6.(多选题)[2025·江苏连云港新海高级中学期中] 已知集合A={1,2},B={x|ax+1=0},若B A,则实数a的可能取值为 ( )
A.- B.-1
C.1 D.0
7.已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,m},且 UA={1,3,5},则m= .
8.[2025·江苏泰州中学高一月考] 已知A={1,2},B={1,2,6,7,8},且A C B,则满足要求的集合C的个数为 .
9.(13分)设m为实数,全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>m}.
(1)若 UA B,借助数轴求实数m的取值范围;
(2)若 UA B,借助数轴求实数m的取值范围.
10.集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z}的关系是 ( )
A.S=P=M B.S=P M
C.S P=M D.P=M S
11.[2025·江苏南京一中高一期中] 设m∈N*,m≥3,n∈N*,n≥3,则满足{a1,a2,…,am} A {a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn}的集合A的个数为 ( )
A.2m B.2m-1
C.2n D.2n-1
12.(多选题)若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1=0}有且仅有2个子集,则实数k的值可以是 ( )
A.-2 B.-1
C.2 D.1
13.[2025·江苏常州北郊高级中学高一月考] 已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-5x+a=0},且B A,则实数a的取值范围为 .
14.(15分)已知集合M={x|-1≤x≤4}.
(1)若N1={x|m≤x≤2m-2},N1 M,求实数m的取值范围;
(2)若N2={x|m-6≤x≤2m-1},M N2,求实数m的取值范围.
15.[2025·江苏南通一中高一月考] 已知集合U={x|x≤6,x∈N*},若A U,且同时满足:①若x∈A,则2x A;②若x∈ UA,则2x UA.则符合条件的集合A的个数为 ( )
A.4 B.8
C.16 D.20
16.(15分)[2025·上海师大附中高一期末] 已知R的子集D为一个数集,集合A={s2+3t2|s,t∈D}.
(1)设D={1,3,5},求集合A的非空真子集的个数;
(2)设D=Z,证明:若x∈A,则7x∈A.(共62张PPT)
1.2 子集、全集、补集
探究点一 集合与集合之间的包含关系
探究点二 集合的补集
探究点三 由集合间的关系求参数范围
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能结合具体实例解释集合之间包含与相等的意义，并能识别给定集
合的子集.
2.在具体情境中，了解全集的含义.
3.理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
4.对于给定的问题和情境，能使用 图表达集合间的基本关系，
从中体会图形对理解抽象概念的作用.
知识点一 子集
定义
记法
读法
任意一个
包含于
图示 _____________________________________________特例：________________________
性质
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）, }.( )
×
[解析] “ ”用来表示集合与集合间的关系,所以错误.
（2）设是一个集合,则 .( )
√
[解析] 集合 是它本身的子集.
（3），2， .( )
×
[解析] 利用子集的定义判断.
知识点二 真子集
定义
记法
读法
图示 _____________________________________________
性质
真包含于
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）设是一个集合,则 .( )
×
[解析] 集合是它本身的子集，但集合 不是它本身的真子集，故错误.
（2）若集合中有3个元素,则集合 共有7个真子集.( )
√
[解析] 一般地,若集合中元素的个数为 ,则其真子集的个数为
,故正确.
知识点三 补集
定义 文字语言
符号语言
图形语言 _________________________________
性质 不属于
，且
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）一个集合的补集一定含有元素.( )
×
[解析] 因为 ,所以错误.
（2）集合与集合 相等.( )
×
[解析] 因为,而,所以 .
（3）设，，则集合与集合 相等.( )
×
[解析] 当 时,二者相等,否则不相等.
知识点四 全集
（1）定义: 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的__________,
那么就称这个集合为全集.
（2）记法:全集通常记作___.
所有元素
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）只有实数集 才可以作为全集.( )
×
[解析] 全集不是固定不变的，是相对于研究问题而言的，给定的集
合都可以作为全集.
（2）全集一定包括任何一个元素.( )
×
[解析] 任何集合都可能是全集，当研究一个特定集合时，这个集合
就是全集，所以全集不一定包括任何一个元素.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）为了研究集合,, 之间的关
系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是 .( )
√
[解析] 根据全集的定义知应选集合 作为全集.
探究点一 集合与集合之间的包含关系
例1 指出下列各组集合之间的关系：
（1）,，，，， ；
解：集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故
与 之间无包含关系.
（2）是矩形, 是平行四边形};
解：矩形是特殊的平行四边形,故 .
例1 指出下列各组集合之间的关系：
（3），，， .
解：方法一：两个集合都表示若干个正奇数组成的集合，但由于
，因此集合含有元素“1”，而集合不含元素“1”，故 .
方法二：由列举法知,3,5,7，，,5,7,9， ，所以
.
变式（1）［2025·江苏徐州三十七中高一期中］已知集合
， ，则( )
A. B. C. D.以上都不正确
[解析] 由，解得 ，
所以，所以 .故选A.
√
（2）［2025·湖南衡阳一中高一月考］满足条件
的集合 的个数为___.
7
[解析] 由题可知，集合是集合，2，3，4，的真子集，且 必
含有元素2，3.又因为，2，3，4，含元素2，3的真子集为 ,
,,,,, ,共7个，所以满足条
件的集合 有7个.
［素养小结］
（1）判断集合间关系的方法:
①观察法：一一列举观察.
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，
再利用集合元素的特征判断关系.
③数形结合法：利用数轴或图进行判断.
（2）求有限集的子集的两个关注点：
①要注意两个特殊的子集： 和有限集本身.
②按集合中含有元素的个数由少到多，一一写出，保证不重不漏.
（3）若一个集合有个元素，那么它的子集个数为 ,真子集个数为
,非空真子集个数为 .
探究点二 集合的补集
例2（1）［2024·江苏南通启东中学高一月考］若 ，0，1，2，
3，4，5，6，，，，则
( )
A.，
B.，0，1，2，3，4，5，6，
C.，1，2，4，5，6，
D.，2，3，4，5，6，
√
[解析] 因为，0，1，2，3，4，5，6， ，
，，，
所以 ，1，2，4，5，6， .
故选C.
（2）设集合，或，则 ( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 方法一：，或 ，
.故选B.
方法二：在数轴上表示出集合 ，如图所示,根据补集的概念可知
.
√
变式 ［2025·江苏连云港实验中学高一期中］ 已知全集
，集合或 ，则
____________________________.
或
[解析] 方法一: 全集 ，集合
或，
或 .
方法二:在数轴上表示出全集和集合 ，如图所示，根据补集的概念
可知或 .
［素养小结］
求集合的补集的常用方法：
（1）列举法求补集：若集合和全集的元素可一一列举，先列出全集
所有元素，再去掉给定集合的元素，剩下元素组成的集合就是补集.
（2）描述法求补集：当集合用描述法表示时，先确定全集范围与元
素特征，再根据补集定义写出补集的描述条件.
（3）利用数轴求补集：对于数集，若集合元素是连续形式，可借助
数轴,先在数轴上标出全集对应范围，再画出给定集合对应范围，数
轴上全集范围内给定集合范围之外的部分就是补集的对应范围.
（4）借助 图求补集：画一个矩形表示全集，在矩形内画一个封
闭图形表示给定集合.矩形内封闭图形外的部分就代表补集.通过
图可直观确定补集元素构成，尤其适用于多个集合关系判断场景.
探究点三 由集合间的关系求参数范围
例3 已知集合， ，
或 .
（1）若，求实数 的取值范围；
解：，解得 .
实数的取值范围为 .
例3 已知集合， ，
或 .
（2）若，求实数 的取值范围.
解：.当 时，，即 ，满足题意.
当 时，，即 ，
由 ，分两种情况，
①，解得，不满足 ；
②，得 .
综上，实数的取值范围是或 .
变式（1）已知集合, ，且
满足，则实数 的值为__________.
0或或
[解析] ,,，
可能为 ，，.
当 时，；
当时， ，解得；
当时，，解得.
综上，实数 的值为0或或 .
（2）已知集合或， ,且
，则实数 的取值范围为__________________.
[解析] ①当 时,，即，满足题意；
②当 时，，即，在数轴上表示, ，如图所示
（其中有两种情况），
由图及知，或 ，即或.
又，所以或.
综上， 的取值范围是 .
［素养小结］
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法：
（1）注意点：①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参
数时，一般需要分类讨论.
（2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求
相关参数的范围（值）时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
1.子集概念解读
若 ,则有以下三种情况:
（1） 是空集;
（2）是由 的部分元素构成的集合;
（3）是由 的全部元素构成的集合.
2.从两个角度看集合相等
（1）从元素的角度看:集合中的元素与集合中的元素相同,则 ;
（2）从集合的包含关系看:若且,则 .
3.对空集的理解
（1）空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素;
（2）规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
4.补集运算是集合间的一种基本运算,求集合相对于全集 的补集,全集
不同,得到的补集也不相同,因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念.
5.的三层含义:是一个集合;是的子集,即;
是中不属于 的所有元素组成的集合.
1.集合间关系的判断的一般步骤:
（1）化简、整理每个集合;
（2）借助 图或数轴表示集合,要注意端点处的元素是否属于集合;
（3）根据图形确定关系.
例1 能正确表示集合和集合
的关系的 图是( )
A. B. C. D.
[解析] 解得或，故，易得 ，
其对应的 图如选项B所示.
√
2.集合的子集与真子集的几个结论:
（1）设集合中有个元素,则集合的子集有 个,真子集有
个,非空子集有个,非空真子集有 个.
（2）若集合有个元素，集合有 个元素，且
，则符合条件的集合有 个.
3.由集合间的关系求参数的一般方法:
（1）若集合中的元素是一一列举的,依据集合间的关系,可转化为解
方程（组）求解,此时要注意集合中元素的互异性.
（2）若集合表示的是不等式的解集,常借助于数轴转化为不等式（组）
求解,此时要注意端点能否取到.
（3）对子集是否为空集要进行分类讨论,做到不漏解.
例2 已知集合，集合 .
（1）若，求实数 的取值范围；
解：因为，所以解得，
则 的取值范围是 .
（2）若，求实数 的取值范围.
解：当 时，满足，则，解得 ；
当 时，若，则满足解得 .
综上所述，的取值范围是 .
例2 已知集合，集合 .
练习册
1.［2025·福建福州高一月考］已知集合 ，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .故选C.
√
2.［2025·江苏无锡高一期末］已知全集 ，
，则 ( )
A. B.或
C. D.或
[解析] 因为全集， ，
所以或 .故选B.
√
3.已知集合,，则 的子集个数为( )
A.3 B.4 C.8 D.16
[解析] 由题意得，集合 中有3个元素，
所以其子集的个数为 ，故选C.
√
4.［2025·江苏靖江中学高一期中］给出下列关系： ，
，， ，其中正确关系
的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，因为0是的元素，所以 ，故①正确；
对于②，因为空集是任何集合的子集，所以 ，故②正确；
对于③,因为集合的元素为0,1,集合的元素为 ,两个集合
的元素不相同，所以, 之间不存在包含关系，故③错误；
对于④，因为集合的元素为，集合 的元素为
，两个集合的元素不一定相同，所以, 不一定相
等，故④错误.
综上所述，正确关系的个数为2.故选B.
5.已知集合是菱形，是正方形， 是平行
四边形，那么，， 之间的关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 集合，， 之间的关系如图.故选B.
√
6.（多选题）［2025·江苏连云港新海高级中学期中］ 已知集合
，，，若，则实数 的可能取值为
( )
A. B. C.1 D.0
[解析] 由题可知，当时， ，满足；
当 时，，则或，
解得或 .
综上所述，实数的所有可能取值为0，，.故选 .
√
√
√
7.已知全集，2，3，4，，，，且 ，3，
，则 ___.
4
[解析] 因为，且，所以或4.
又， ，所以 .
8.［2025·江苏泰州中学高一月考］已知， ，
且，则满足要求的集合 的个数为___.
7
[解析] 由题意知，集合可以取,,, ,
,, ，共7个.
9.（13分）设为实数，全集，， .
（1）若，借助数轴求实数 的取值范围；
解：因为，所以 ，
因为， ，作出数轴，如图①，
由图可知，所以实数的取值范围为 .
9.（13分）设为实数，全集，， .
（2）若，借助数轴求实数 的取值范围.
解：因为，， ，如图②，
作出数轴，所以，则实数的取值范围为 .
10.集合,，, ，
, }的关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 任取，则， ，所以
，所以.
任取，则 ，，所以，
所以，所以.
任取 ,则,,所以,所以 .
又，，所以，所以 ，故选C.
√
11.［2025·江苏南京一中高一期中］设,,, ，
则满足,, ,,, ,,,, ,的集合 的个
数为( )
A. B. C. D.
[解析] 集合包括,, ,所有元素，还包括集合,, ,
的一个真子集中的所有元素，则集合的个数为 .故选D.
√
12.（多选题）若集合 有且仅有2个
子集,则实数 的值可以是( )
A. B. C.2 D.1
[解析] 由题知集合是单元素集,当,即时, 是单元素
集,符合条件;
当,,即或 时,是单元素集,
符合条件.
故选 .
√
√
√
13.［2025·江苏常州北郊高级中学高一月考］已知集合
，，且 ，则
实数 的取值范围为______________.
或
[解析] .
①若 ，则当 时，或或.
当时， 有两个相等实根，即,
不合题意.同理不合题意.
当时，, ,符合题意.
②若 ，则成立，，即 .
综上，实数的取值范围是或 .
14.（15分）已知集合 .
（1）若，，求实数 的取值范围；
解：若 ，满足，则，解得 ；
若 ，则由，得解得 .
综上所述，实数的取值范围是 .
14.（15分）已知集合 .
（2）若，，求实数 的取值范围.
解：由题意得解得 ，
所以实数的取值范围是 .
15.［2025·江苏南通一中高一月考］已知集合， ，
若，且同时满足：①若，则；②若 ，则
.则符合条件的集合 的个数为( )
A.4 B.8 C.16 D.20
√
[解析] 由题得，， .
若，则且；若，则且；若 ，则
；若，则，而元素5没有限制，故或 .
综上，集合可为，，，， ，
，，.所以符合条件的集合 的个数为8.故选B.
16.（15分）［2025·上海师大附中高一期末］ 已知的子集 为一个
数集，集合, .
（1）设，求集合 的非空真子集的个数；
解：当时，；当时， ；
当时，；当,时， ；
当,时，；当,时， ；
当,时，；当,时， ；
当,时， .
所以，集合中有8个元素，故集合
有 （个）非空真子集.
16.（15分）［2025·上海师大附中高一期末］ 已知的子集 为一个
数集，集合, .
（2）设，证明：若，则 .
证明：因为，所以设 ，
所以 ，
得证.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 子集 任意一个 包含于
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）×
知识点二 真包含于 【诊断分析】（1）× （2）√
知识点三 不属于 ，且
【诊断分析】（1）× （2）× （3）×
知识点四（1）所有元素 （2） 【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√
课中探究 例1 （1）与之间无包含关系 （2） （3）
变式（1）A （2）7 例2 （1）C（2）B 变式 或
探究点三 由集合间的关系求参数范围
例3 （1）（2）或
变式 （1）0或或 （2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.B 3.C 4.B 5.B 6.ABD 7.4 8.7
9.（1） （2）
10.C 11.D 12.ABC 13.或
14.（1）（2）
15.B 16.（1）