1.3 交集、并集
【课前预习】
知识点一
1.属于集合A且属于集合B A∩B x∈A,且x∈B
2.(1)B∩A (2) (3) (4)
诊断分析
1.{x|x≥2} [解析] 由可知x≥0,则A={x|x≥0};由≥0,得y=+2≥2,所以B={y|y≥2}.则A∩B={x|x≥0}∩{y|y≥2}={x|x≥2}.
2.解:有.集合A与集合B的公共元素组成的集合为{3,4}.
知识点二
1.属于集合A或者属于集合B A∪B x∈A,或x∈B
2.(1)B∪A (2) (3)U (4)
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)当集合A与集合B没有公共元素时,A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和;当集合A与集合B有公共元素时,A∪B的元素个数小于集合A与集合B的元素个数和.
(2)由并集的定义知等式成立.
(3)由并集的定义知等式成立.
(4)根据Venn图可知成立.
2.解:A={x|x2-1=0}={-1,1},B={x∈N|1≤x≤4}={1,2,3,4},所求集合即为A与B的并集,即A∪B={-1,1,2,3,4}.
3.解:设集合A∩B有x个元素,由如图所示的Venn图,可得(5-x)+x+(4-x)=6,得x=3.
知识点三
闭区间 [a,b] 开区间 (a,b) 左闭右开区间 [a,b)
{x|x>a} (a,+∞) (-∞,+∞)
诊断分析
1.解:由区间的定义,得2x-3<4-3x,解得x<,则x的取值范围是.
2.解:画出数轴,如图所示,利用数轴,得A∩B=[-2,3],A∪B=(-5,6).
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)A [解析] (1)A={x|x为不大于6的正奇数}={1,3,5},B={x|-1
(2)利用数轴表示出集合A,B,如图,由图可得A∩B={x|-3变式 (1)C (2)A [解析] (1)因为集合A={x|1≤x≤3},B={x|2(2)由题知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合B={-3,2},所以题图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}.
探究点二
例2 (1)C (2){x|x>-2} [解析] (1)∵A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A}={0,2,4,6},∴A∪B={0,1,2,3,4,6}.故选C.
(2)在数轴上表示出A,B,如图所示,故A∪B={x|x>-2}.
变式 (1)B (2)8 [解析] (1)因为A={x|x<-1或x≥3},B={x|22}.
(2)根据题意,满足条件的集合B中必须有4,5,6这三个元素,可能含有元素1,2,3,故满足条件的集合B的个数等价于集合{1,2,3}子集的个数,集合{1,2,3}有3个元素,有23=8(个)子集,故满足条件的集合B有8个.
探究点三
例3 解:(1)当A= 时,a-1≥2a,即a≤-1,此时满足A∩B= ;当A≠ 时,由A∩B= ,可得或解得-1综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[6,+∞).
(2)因为A∩B=B,所以B A,又A={x|a-1所以实数a的取值范围为.
(3)因为A∪B=B,所以A B,又A={x|a-1综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-1].
变式 (1)B (2)D (3)A [解析] (1)∵A={x|-2(2)由A∩B=A可知A B,当a=0时,A= ,满足条件;当a≠0时,A=,则-=1或-=2,所以a=-1或a=-.综上,满足条件的实数a的值为0或-或-1,共3个.故选D.
(3)因为A∪B=A,所以B A.当a=0时,B= ,满足B A;当a>0时,因为ax+1≤0,所以x≤-,又因为B A,所以-<-1,所以0拓展 106 [解析] 作出Venn图如图,可得高一年级参加比赛的同学有11+62+57-4-8-14+2=106(人).
探究点四
例4 (1)A (2)AB [解析] (1)由题可知, UM={2,3,4},所以N∩( UM)={2,3}.故选A.
(2)由B={x|3-2x>0}=,得 RB=,所以A∩B=,A∩( RB)=,故A,B正确;A∪B={x|x<2}, RA={x|x≥2},( RA)∪B=,故C,D错误.故选AB.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)因为全集U=R,集合A={x|01},所以题图中阴影部分表示的集合为A∩( UB)={x|1(2)因为A={1,2,3,4},B={3,4,5},U={1,2,3,4,5,6},所以 UA={5,6}, UB={1,2,6},则A∩( UB)={1,2},A∪( UB)={1,2,3,4,6},( UA)∩B={5},( UA)∪B={3,4,5,6}.故选A.
探究点五
例5 (1)D (2){3,4,5} [解析] (1)因为A=[-1,2),全集U=[-2,2],所以 UA=[-2,-1)∪{2}.故选D.
(2)集合A=(2,+∞),B={1,2,3,4,5},则A∩B={3,4,5}.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)由2a+1>-a,得3a>-1,即a>-.故选C.(2)因为集合A=[1,4),B=[a,+∞),A B,所以a≤1.故选C.1.3 交集、并集
1.A [解析] 因为A={-1,0},B={x|-22.C [解析] 因为A={x|1≤x≤4},B={x|23.D [解析] 由题意知,M∪N={x|x>1},则题图中阴影部分表示的集合为 R(M∪N)={x|x≤1}.故选D.
4.D [解析] 因为{0,1}∪A={0,1,2,3},所以必有2,3∈A,因此集合A可以是{2,3},{2,3,0},{2,3,1},{2,3,1,0},因此符合条件的集合A的个数为4,故选D.
5.B [解析] 由A∩B={1},可知12-3+m=0,解得m=2.由x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,即B={1,2}.故选B.
6.C [解析] A={x|-1≤x<2},B={x|x-1.
7.15 [解析] 因为集合A,B各含10个元素,A∩B含5个元素,所以由集合元素的互异性可得A∪B包含元素的个数为10+10-5=15.
8.a≥3 [解析] 因为A∩B=A,所以A B,所以a≥3.
9.解:(1)A∩B={x|1≤x≤2}.
(2)由题可知,A∪B={x|-1≤x≤4},
所以 U(A∪B)={x|x<-1或4(3)由题可知, UA={x|x<1或210.B [解析] B={x||x-1|=0}={1},因为A∩B=A∪B,所以A=B={1},则关于x的方程x2-a2x+a2-1=0有两个相等的实数根,即(-a2)2-4(a2-1)=0,解得a2=2,则a=±,经检验,均符合题意,则M={-,},故A,C,D中结论正确,B中结论错误.故选B.
11.B [解析] 设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集合分别为A,B,C,D,由四个景点构成的全集为U,记集合A,B,C,D的元素的个数依次为n(A),n(B),n(C),n(D),则n(A)=n(B)=n(C)=n(D)=2,n(U)=4,A∩B= ,C∩D= ,n(A∩C)=1,则A∪B=C∪D=U,n(B∩C)=n(A∩D)=n(B∩D)=1,所以每个景点都有2人去.故选B.
12.CD [解析] 因为A∪B=B,所以A B.若a2=1,解得a=1或a=-1,当a=1时,4-3a=1,不符合集合元素的互异性;当a=-1时,-6a-5=1,不符合集合元素的互异性.若a2=4-3a,解得a=1(舍)或a=-4,当a=-4时,A={16},B={1,16,19},符合题意.若a2=-6a-5,解得a=-1(舍)或a=-5,当a=-5时,A={25},B={1,19,25},符合题意.综上所述,a=-4或a=-5.故选CD.
13.m≤-3或0≤m≤ [解析] ∵A={x|x<-5或x>8},∴ RA={x|-5≤x≤8}.∵B∩( RA)=B,∴B RA.当B= 时,3m+1≤m-5,解得m≤-3,满足题意;当B≠ 时,可得0≤m≤.综上所述,实数m的取值范围是m≤-3或0≤m≤.
14.解:(1)B={x|x2+4x=0}={-4,0},
因为A∩B=A,所以A B,
所以A= 或A={-4}或A={0}或A={-4,0}.
当A= 时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得a<-1;当A={-4}时,可得方程组无解;
当A={0}时,解得a=-1;
当A={-4,0}时,解得a=1.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-1]∪{1}.
(2)因为A={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},B={-4,0},C={x|x2+3x-4=0}={-4,1},且A∩B≠ ,A∩C= ,所以0∈A,-4 A,所以a2-1=0,所以a=±1.
当a=1时,A={-4,0},此时A∩C={-4}≠ ,不合题意,舍去;当a=-1时,A={0},此时A∩C= ,符合题意.
综上所述,实数a的值为-1.
15.①③④ [解析] 因为对于任意集合A,都有A A,所以A∈P(A),可知①正确;若A∩B= ,则A,B的公共子集只有空集 ,故P(A)∩P(B)={ },故②错误;由幂集的定义易知③正确;由题意得n[P(A)]=2n(A),n[P(B)]=2n(B),又n(A)-n(B)=1,所以n[P(A)]=2n(A)=2n(B)+1=2·2n(B)=2×n[P(B)],故④正确.故填①③④.
16.证明:设x∈ X(A1∩A2∩…∩An),则x (A1∩A2∩…∩An),故存在整数i(1≤i≤n),使得x Ai,因此x∈ XAi,得x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)].
设x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)],则存在整数j(1≤j≤n),使得x∈ XAj,故x Aj,
因此x (A1∩A2∩…∩An),得x∈ X(A1∩A2∩…∩An).故 X(A1∩A2∩…∩An)=( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*,n≥2).1.3 交集、并集
【学习目标】
1.能结合简单的问题情境解释并集与交集的意义.
2.能求出两个集合的并集与交集.
3.体会用区间表示集合.
◆ 知识点一 集合的交集
1.交集的三种语言表示
文字 语言 由所有 的元素构成的集合,称为 A与B的交集,记作 (读作“A交B”)
符号 语言 A∩B={x| }
图形 语言
2.交集的性质
(1)A∩B= .
(2)A∩B A,A∩B B.
(3)A∩( UA)= (U为全集).
(4)A∩B=A A B.
【诊断分析】 1.集合A={x|y=+2},B={y|y=+2},则A∩B= .
2.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}.集合A与集合B有公共元素吗 集合A与集合B的公共元素组成的集合是什么
◆ 知识点二 集合的并集
1.并集的三种语言表示
文字语言 由所有 的元素构成的集合,称为 A与B的并集,记作 (读作“A并B”)
符号语言 A∪B={x| }
图形语言
2.并集的性质
(1)A∪B= .
(2)A A∪B,B A∪B.
(3)A∪( UA)= (U为全集).
(4)A∪B=B A B.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和. ( )
(2)A∪ =A. ( )
(3)(A∪B)∪C=A∪(B∪C). ( )
(4)若A B,则A∪B=B. ( )
2.已知集合A={x|x2-1=0},B={x∈N|1≤x≤4},若将集合A与集合B的元素放在一起,则组成的新集合是什么
3.若集合A有5个元素,集合B有4个元素,集合A∪B有6个元素,则集合A∩B有几个元素
◆ 知识点三 集合的区间表示
为了叙述方便,在以后的学习中,我们常常会用到“区间”的概念,用区间表示集合,如下表(其中a,b∈R,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b]
{x|xR
【诊断分析】 1.若(2x-3,4-3x)表示区间,求x的取值范围.
2.集合A=(-5,3],B=[-2,6),求A∩B,A∪B.
◆ 探究点一 交集及其运算
例1 (1)[2025·江苏宿迁高一期末] 已知集合A={x|x为不大于6的正奇数},B={x|-1A.{1} B.{1,3}
C.{3,5} D.{1,3,5}
(2) 若集合A={x|-5A.{x|-3C.{x|-3变式 (1)[2025·江苏连云港高一期末] 已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|2A.[1,4) B.[1,4]
C.(2,3] D.[2,3]
(2)已知集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
[素养小结]
求集合A∩B的常见类型:
①若A,B中的元素是方程的根,则应先求出方程的根,再求两集合的交集.
②若A,B是无限数集,则可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
◆ 探究点二 并集及其运算
例2 (1)若集合A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B= ( )
A.{0,2,4,6}
B.{0,2}
C.{0,1,2,3,4,6}
D.{0,1,2,3,0,2,4,6}
(2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2变式 (1)[2025·江苏通州中学高一月考] 集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|2A.{x|x>2}
B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|3≤x<6}
D.{x|x<-1或x≥6}
(2)[2025·广东中山一中高一期中] 集合A={1,2,3},B∪A={1,2,3,4,5,6},则满足条件的集合B的个数为 .
[素养小结]
并集运算应注意的问题:
(1)对于用描述法表示的集合,应先看集合的代表元素是什么,然后将集合化简,再按定义求解.
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合中元素的互异性这一特性,重复的元素只能算一个.
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点的值能否取到.
◆ 探究点三 根据并集与交集运算求参
例3 [2025·江苏句容中学高一月考] 设全集为R,A={x|a-1(1)若A∩B= ,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围;
(3)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
变式 (1)[2025·江苏南通海安高级中学月考] 已知集合A={x|-2A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A={x|ax+1=0},B={1,2},A∩B=A,则满足条件的实数a的值的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(3)[2025·江苏苏州实验中学高一期中] 已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若A∪B=A,则实数a的取值范围是 ( )
A.-≤a<1
B.-≤a≤1
C.a<-1或a≥0
D.-≤a<0或0[素养小结]
(1)在利用交集、并集的性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B这类问题,解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析,如由A∩B=A得A B,由A∪B=B得A B等.
(2)当集合A,B满足B A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B= 的情况,切不可漏掉.
拓展 某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.其中参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有 人.
◆ 探究点四 交集、并集、补集的综合运算
例4 (1)[2025·江苏镇江实验中学高一期中] 设全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,1,5},N={0,2,3,5},则N∩( UM)= ( )
A.{2,3} B.{1,4}
C.{0,5} D.{0,2,3,4,5}
(2)(多选题)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 ( )
A.A∩B=
B.A∩( RB)=
C.A∪B=
D.( RA)∪B=R
变式 (1)[2025·江苏扬州高邮中学高一月考] 已知全集U=R,集合A={x|0A.{x|-1≤x<0}
B.{x|-1≤x<0或1≤x<2}
C.{x|1D.{x|0(2)[2025·江苏南京江宁高级中学期末] 已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5},则{1,2}= ( )
A.A∩( UB) B.A∪( UB)
C.( UA)∩B D.( UA)∪B
[素养小结]
常用结论:
A∪( UA)=U;A∩( UA)= ; U( UA)=A; UU= ; U =U;A B UB UA;B A UA UB; U(A∩B)=( UA)∪( UB); U(A∪B)=( UA)∩( UB).
◆ 探究点五 区间及其表示
例5 (1)已知A=[-1,2),全集U=[-2,2],则 UA是 ( )
A.[-2,-1)
B.(-∞,-1)∪[2,+∞)
C.[-2,-1)或2
D.[-2,-1)∪{2}
(2)已知集合A=(2,+∞),B={1,2,3,4,5},则A∩B= .
变式 (1)已知区间[-a,2a+1),则实数a的取值范围是 ( )
A.R
B.
C.
D.
(2)已知a为实数,集合A=[1,4),B=[a,+∞),若A B,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
[素养小结]
用区间表示数集的注意点
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.1.3 交集、并集
1.[2025·江苏扬州中学高一月考] 设集合A={-1,0},B={x|-2A.{-1}
B.{-1,0}
C.{x|-2D.{x|-22.已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|2A.{x|2C.{x|1≤x<5} D.{x|13.[2025·北京师大附中高一月考] 已知全集U=R,集合M={x|x>2},N={x|1A.{x|x>2} B.{x|x≤2}
C.{x|x>1} D.{x|x≤1}
4.[2025·广东珠海一中高一期中] 已知集合A满足{0,1}∪A={0,1,2,3},则集合A的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.[2025·江苏连云港高级中学高一月考] 设集合A={1,3},B={x|x2-3x+m=0},若A∩B={1},则集合B= ( )
A.{1,-2} B.{1,2}
C.{1,0} D.{1,5}
6.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.a<2 B.a>-2
C.a>-1 D.-17.已知集合A,B各含10个元素,A∩B含5个元素,则A∪B含有 个元素.
8.[2025·扬州中学高一月考] 设集合A={x|19.(13分)设集合U={x|x≤5},A={x|1≤x≤2},B={x|-1≤x≤4}.
求:(1)A∩B;
(2) U(A∪B);
(3)( UA)∩( UB).
10.已知集合A={x|x2-a2x+a2-1=0},B={x||x-1|=0},且A∩B=A∪B,若实数a的取值集合为M,则下列结论错误的是 ( )
A.-∈M B. M
C. M D.0 M
11.[2025·重庆巴蜀中学月考] 甲、乙、丙、丁四名游客到杭州旅游,他们都只去了西湖、西溪湿地、宋城及雷峰塔四个景点中的某两个,已知甲去了西湖,乙与甲没有去过相同的景点,丙与甲恰好去过一个相同景点,丁与丙也没有去过相同的景点,则四人中去过西湖的人数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
12.(多选题)[2025·江苏常州高级中学高一月考] 已知集合A={a2},B={1,4-3a,-6a-5},若A∪B=B,则实数a的值可以是 ( )
A.-1 B.1
C.-4 D.-5
13.已知集合A={x|x<-5或x>8},集合B={x|m-514.(15分)[2025·江苏南京高一月考] 已知集合A={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},B={x|x2+4x=0},C={x|x2+3x-4=0}.
(1)若A∩B=A,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B≠ ,A∩C= ,求实数a的值.
15.[2025·上海延安中学高一月考] 定义:一个集合A的所有子集组成的集合为集合A的幂集,记作P(A),用n(A)表示有限集A中元素的个数,有下列四个结论:
①对于任意集合A,都有A∈P(A);
②若A∩B= ,则P(A)∩P(B)= ;
③若A B,则P(A) P(B);
④若n(A)=n(B)+1,则n[P(A)]=2×n[P(B)].
其中正确的结论的序号是 .
16.(15分)设有限集X为全集,证明: X(A1∩A2∩…∩An)=( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*,n≥2).(共82张PPT)
1.3 交集、并集
探究点一 交集及其运算
探究点二 并集及其运算
探究点三 根据并集与交集运算求参
探究点四 交集、并集、补集的综合运算
探究点五 区间及其表示
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能结合简单的问题情境解释并集与交集的意义.
2.能求出两个集合的并集与交集.
3.体会用区间表示集合.
知识点一 集合的交集
1.交集的三种语言表示
文字语言
符号语言
图形语言 _____________________________________________________________________________
属于集合且属于集合
，且
2.交集的性质
（1） ______.
（2）___,___ .
（3）___为全集 .
（4）___ .
【诊断分析】
1.集合，，则
___________.
[解析] 由可知，则；
由 ，得，所以 .
则 .
2.已知集合，.集合与集合 有公共元素吗？
集合与集合 的公共元素组成的集合是什么？
解：有.集合与集合的公共元素组成的集合为 .
知识点二 集合的并集
1.并集的三种语言表示
文字语言
符号语言
图形语言 _____________________________________________________________________________________________________________________
属于集合或者属于集合
，或
2.并集的性质
（1） ______.
（2）___,___ .
（3）___为全集 .
（4）___ .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）集合的元素个数小于或等于集合与集合 的元素个数和.
( )
√
[解析] 当集合与集合没有公共元素时, 的元素个数等于集合
与集合的元素个数和;
当集合与集合有公共元素时, 的元素个数小于集合与集合
的元素个数和.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2） .( )
√
[解析] 由并集的定义知等式成立.
（3） .( )
√
[解析] 由并集的定义知等式成立.
（4）若,则 .( )
√
[解析] 根据 图可知成立.
2.已知集合，，若将集合
与集合 的元素放在一起，则组成的新集合是什么？
解：,， ，2，
3，，所求集合即为与的并集，即,1,2,3, .
3.若集合有5个元素,集合有4个元素,集合 有6个元素,则集合
有几个元素
解：设集合有个元素,由如图所示的 图,
可得,得 .
知识点三 集合的区间表示
为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到“区间”的概念，
用区间表示集合，如下表其中,，且
定义 名称 符号 数轴表示
________ ______ _____________________________________
________ ______ __________________________________
______________ ______ __________________________________
左开右闭区间 __________________________________
闭区间
开区间
左闭右开区间
定义 名称 符号 数轴表示
__________________________________
__________ _________ ___________________________________
___________________________________
_________________________________
__________ ___________________________
续表
【诊断分析】
1.若表示区间，求 的取值范围.
解：由区间的定义，得，解得，
则 的取值范围是 .
2.集合，，求， .
解：画出数轴，如图所示，利用数轴，
得 ， .
探究点一 交集及其运算
例1（1）［2025· 江苏宿迁高一期末］已知集合 为不大于6
的正奇数，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 为不大于6的正奇数 ，，
故 .故选B.
√
（2）若集合，，则
等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 利用数轴表示出集合， ，
如图，由图可得 .故选A.
√
变式（1）［2025·江苏连云港高一期末］已知集合
，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合， ，
所以 .故选C.
√
（2）已知集合 ，
，则图中阴影部分表
示的集合为( )
A. B. C., D.,
[解析] 由题知集合，集合,}},
所以题图中阴影部分表示的集合为 .
√
［素养小结］
求集合的常见类型:
①若,中的元素是方程的根,则应先求出方程的根,再求两集合的交集.
②若,是无限数集,则可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示
不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
探究点二 并集及其运算
例2（1）若集合，1，2，，， ，则
( )
A.，2，4， B.，
C.，1，2，3，4， D.，1，2，3，0，2，4，
[解析] ，1，2，，， ，2，4，，
，1，2，3，4， .故选C.
√
（2）若集合，，则
____________.
[解析] 在数轴上表示出，，如图所示，故 .
变式（1）［2025·江苏通州中学高一月考］集合 或
,，则 ( )
A. B.或
C. D.或
[解析] 因为或, ，
所以或 .
√
（2）［2025·广东中山一中高一期中］集合 ，
，则满足条件的集合 的个数为___.
8
[解析] 根据题意，满足条件的集合 中必须有4，5，6这三个元素，
可能含有元素1，2，3，故满足条件的集合 的个数等价于集合
子集的个数，集合有3个元素，有 （个）子集，
故满足条件的集合 有8个.
［素养小结］
并集运算应注意的问题:
（1）对于用描述法表示的集合,应先看集合的代表元素是什么,然后
将集合化简,再按定义求解.
（2）求两个集合的并集时要注意利用集合中元素的互异性这一特性,
重复的元素只能算一个.
（3）对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数
轴分析法求解,但要注意端点的值能否取到.
探究点三 根据并集与交集运算求参
例3 ［2025·江苏句容中学高一月考］设全集为 ，
， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
解：当 时，，即，此时满足 ；
当 时，由 ，可得或 解得
，或 ，
综上所述，实数的取值范围为 .
例3 ［2025·江苏句容中学高一月考］设全集为 ，
， .
（2）若，求实数 的取值范围；
解：因为，所以，又 ，
，所以解得 ，
所以实数的取值范围为 .
例3 ［2025·江苏句容中学高一月考］设全集为 ，
， .
（3）若，求实数 的取值范围.
解：因为，所以，又 ，
，所以当 ，即，即 时，
满足；
当 时， 不等式组无解.
综上所述，实数的取值范围为 .
变式（1）［2025·江苏南通海安高级中学月考］已知集合
， ，若
，则实数 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ， ，
且，解得 .
√
（2）已知集合，，， ，则满
足条件的实数 的值的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由可知，当时， ，满足条件；
当时，，则或，所以或 .
综上，满足条件的实数的值为0或或 ，共3个.故选D.
√
（3）［2025·江苏苏州实验中学高一期中］已知集合
或,，若，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C.或 D.或
√
[解析] 因为，所以.当时， ，满足 ；
当时，因为，所以，又因为 ，所以
，所以；
当时，因为 ，所以，又因为，
所以，所以 .
综上所述， .故选A.
［素养小结］
（1）在利用交集、并集的性质解题时,常常会遇到,
这类问题,解答时常借助于交、并集的定义以及集合间的关
系去分析,如由得,由得等.
（2）当集合，满足时,如果集合是一个确定的集合,而集合
不确定,运算时要考虑 的情况,切不可漏掉.
拓展 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计
高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加
球类比赛.其中参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参
加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项
比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有_____人.
106
[解析] 作出 图如图，可得高一年级参加比赛的同学有
（人）.
探究点四 交集、并集、补集的综合运算
例4（1）［2025·江苏镇江实验中学高一期中］设全集
，集合，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，，所以 .故选A.
√
（2）（多选题）已知集合， ，则
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由，得 ，所
以， ，故A,B正确；
， ，
，故C，D错误.
故选 .
变式（1）［2025·江苏扬州高邮中学高一月考］
已知全集，集合 ，
，则图中阴影部分表示的
集合是( )
A. B.或
C. D.
[解析] 因为全集，集合 ，
，所以或 ，所以题图中
阴影部分表示的集合为 .故选C.
√
（2）［2025·江苏南京江宁高级中学期末］已知全集
，，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，， ，
所以，，
则 ，,，
.
故选A.
√
［素养小结］
常用结论：
； ；； ；
；；；
；.
探究点五 区间及其表示
例5（1）已知，全集，则 是( )
A. B.
C.或2 D.
[解析] 因为，全集 ，
所以 .故选D.
√
（2）已知集合，，2，3，4，，则
__________.
，4，
[解析] 集合，，2，3，4，，
则 ，4， .
变式（1）已知区间，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，即 .故选C.
√
（2）已知为实数，集合，，若，则 的
取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合，，，所以 .故选C.
√
［素养小结］
用区间表示数集的注意点
（1）区间左端点值小于右端点值.
（2）区间两端点之间用“,”隔开.
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
（4）以“ ”“ ”为区间的一端时，这端必须用小括号.
1.对并集的理解
（1）对“或”的理解.“或” 包含三种情况：但 ；
但；且. 图表示如图所示.
但
但
（2）对“所有”的理解.不能简单地认为是由的所有元素和 的
所有元素简单拼凑组成的集合，还要注意集合中元素的互异性，相
同的元素只算一次.
2.对交集的理解
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当两个集合与 没有公
共元素时， .
（2）对“所有”的理解：不仅中的所有元素都是和 的公共元
素，同时，和的公共元素都属于 .
（3）集合与的交集的三种特殊情况用 图表示如图所示.
1.求集合的并集、交集的一般方法:
（1）当集合中的元素有限时,可根据并集、交集的定义或 图表
示集合运算的结果,但一定要注意集合中元素的互异性.
（2）与不等式有关的集合的并集、交集的运算,利用数轴分析法直观
清晰,易于理解.建立不等式时,要特别注意端点值是否能取到,最好是
把端点值代入题目验证.
例1（1）［2025·湖南长沙高一期中］已知集合
，，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] ， ，
.故选C.
√
（2）（多选题）［2025·安徽亳州三中高一期中］ 已知集合 ,
4,，，若，则实数 的取值可以是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,4,，，，
或，故选 .
√
√
（3）［2025·上海实验中学高一月考］已知集合 ，
，则 ________________.
[解析] 集合， ，
.
2.利用并集、交集的性质解题的方法与注意点:
（1）利用集合的并集、交集的性质解题时,常常遇到集合的相等或集
合的包含关系等问题,解答时常借助于并集、交集的定义及集合间的
关系去分析.
（2）注意点:当集合中的元素不确定时,要注意分类讨论,特别注意不
确定的集合是否可以是空集的情形.
例2（1）［2025·天津七中高一月考］已知集合 或
，,，且，则实数 的取
值范围是_____________.
[解析] 或，, ，
且，解得，
则实数 的取值范围是 .
（2）［2025·陕西渭南蒲城中学高一月考］已知集合
，集合 .
①若，求实数 的取值范围；
解：对于集合，若,即,则 ,满足；
若,即，则 ，
要使，则解得 .
综上所述，的取值范围是 .
（2）［2025·陕西渭南蒲城中学高一月考］已知集合
，集合 .
②若 ，求实数 的取值范围.
解：由①可知，当时， ， ，不符合题意.
当时， ，若 ，
则或，解得或 ，
所以要使 ，则.
综上所述， 的取值范围是 .
练习册
1.［2025·江苏扬州中学高一月考］设集合, ，
，则 ( )
A. B.,
C. D.
[解析] 因为,，，
所以 .故选A.
√
2.已知集合，，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为， ，
所以 .故选C.
√
3.［2025·北京师大附中高一月考］已知全集
，集合 ，
，那么下面的 图中阴影
部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知， ，
则题图中阴影部分表示的集合为 .故选D.
√
4.［2025·广东珠海一中高一期中］已知集合满足， ，
1，2，，则集合 的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为，，1，2，，所以必有2, ，
因此集合可以是，，，3，，，3，，，3，1， ，
因此符合条件的集合 的个数为4，故选D.
√
5.［2025·江苏连云港高级中学高一月考］设集合， ，
，若，则集合 ( )
A.， B.， C.， D.，
[解析] 由，可知，解得 .
由，解得或，即， .故选B.
√
6.设集合，，若 ，则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，，要使 ，
借助数轴可知 .
√
7.已知集合,各含10个元素，含5个元素，则 含有____个
元素.
15
[解析] 因为集合，各含10个元素， 含5个元素，
所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为 .
8.［2025·扬州中学高一月考］设集合 ，
，若，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为，所以，所以 .
9.（13分）设集合， ，
.
求：
（1） ；
解： .
（2） ；
解：由题可知， ，
所以或 .
9.（13分）设集合， ，
.
求：
（3） .
解：由题可知，或， 或
，所以或 .
10.已知集合， ，
且，若实数的取值集合为 ，则下列结论错误的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，因为 ，所以
，则关于的方程 有两个相等的实
数根，即，解得，则 ，
经检验，均符合题意，则, ，故A，C，D中结论正确，
B中结论错误.故选B.
11.［2025·重庆巴蜀中学月考］甲、乙、丙、丁四名游客到杭州旅游，
他们都只去了西湖、西溪湿地、宋城及雷峰塔四个景点中的某两个，
已知甲去了西湖，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一
个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点，则四人中去过西湖的
人数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 设甲、乙、丙、丁四名游客去过的景点组成的集合分别为 ,
,,，由四个景点构成的全集为，记集合,,, 的元素的个数依
次为,,,，
则 ，，
, , ，
则, ，
所以每个景点都有2人去.故选B.
12.（多选题）［2025·江苏常州高级中学高一月考］ 已知集合
,,,，若，则实数 的值可以
是( )
A. B.1 C. D.
√
√
[解析] 因为，所以.
若，解得或 ，
当时，，不符合集合元素的互异性；
当 时，，不符合集合元素的互异性.
若，解得 （舍）或，
当时，， ，符合题意.
若，解得（舍）或，
当 时，，，符合题意.
综上所述，或 .故选 .
13.已知集合或 ，集合
，若，则实数 的取值
范围是____________________.
或
[解析] 或 ，
，.
当 时，，解得，满足题意；
当 时，可得.
综上所述，实数 的取值范围是或 .
14.（15分）［2025·江苏南京高一月考］ 已知集合
， ，
.
（1）若，求实数 的取值范围；
解：， ，
因为，所以 ，
所以 或或或， .
当 时，，解得 ；
当时，可得 方程组无解；
当时，解得 ；
当，时，解得 .
综上所述，实数的取值范围为 .
14.（15分）［2025·江苏南京高一月考］ 已知集合
， ，
.
（2）若 ， ，求实数 的值.
解：因为，， ，
，，且 ， ，
所以，，所以，所以 .
当时，，，此时 ，不合题意，舍去；
当时，，此时 ，符合题意.
综上所述，实数的值为 .
15.［2025·上海延安中学高一月考］定义：一个集合 的所有子集组
成的集合为集合的幂集，记作，用表示有限集 中元素的
个数，有下列四个结论：
①对于任意集合，都有 ；
②若 ，则 ；
③若，则 ；
④若，则 .
其中正确的结论的序号是________.
①③④
[解析] 因为对于任意集合,都有所以 ，可知①正确；
若 ，则，的公共子集只有空集 ，故 ，
故②错误；
由幂集的定义易知③正确；
由题意得,，又 ，
所以 ，故④正确.
故填①③④.
16.（15分）设有限集为全集，证明： .
证明：设，则 ，故
存在整数，使得，因此 ，得
.
设，则存在整数 ，
使得，故 ，
因此，得 .
故.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.属于集合且属于集合 ，且
2.（1） （2） （3） （4）
【诊断分析】 1. 2. 有.集合与集合的公共元素组成的集合为.
知识点二 1.属于集合或者属于集合 ，或
2.（1） （2） （3） （4）
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）√ 2. ,1,2,3,> 3. .
知识点三 闭区间 开区间 左闭右开区间
【诊断分析】 1. 2. ，
. 课中探究 例1 （1）B （2）A 变式 （1）C （2）A
例2 （1）C （2） 变式 （1）B （2）8
例3 （1）（2）（3）
变式 （1）B （2）D （3）A 拓展 106
例4 （1）A （2）AB 变式 （1）C （2）A
例5 （1）D （2），4， 变式 （1）C （2）C
快速核答案（练习册）
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.15 8.
9.（1） （2） 或
（3） 或.
10.B 11.B 12.CD 13.或
14.（1）（2）
15.①③④
16.略