本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)B (2)BCD (3)1 [解析] (1)由2∈A可知m=2或m2-3m+2=2,若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m=3时,此时集合A={0,3,2},符合题意.故m=3.
(2)因为-1是整数,所以-1∈Z,A错误;因为π是无理数,所以π∈ RQ,B 正确;因为{x||x|<0}= ,所以{x||x|<0} {0},C正确;因为N*为正整数集,N为自然数集,Z为整数集,所以N* N Z,D正确.故选BCD.
(3)因为={m2,m+n,0},所以解得或当m=1时,不满足集合中元素的互异性,故m=-1,n=0,则m2024+n2024= (-1)2024+02024=1.
例2 (1)C (2)D [解析] (1)因为{1,2} M {1,2,3,4,5},所以符合条件的集合M可以为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个,故选C.
(2)由|x|≤2,得-2≤x≤2,则A={x|-2≤x≤2}.由题易得B={x|x≤-a},又A B,所以-a≥2,则a≤-2.故选D.
变式 解:因为A={x|x2+5x-6=0}={-6,1},B A,
所以分以下两种情况讨论:①当B为空集时,Δ=4(m+1)2-4(m2-3)<0,解得m<-2,满足题意.
②当B不为空集时,若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)=0,则m=-2,此时B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}={1},满足题意;若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,则m>-2,由B A,得B={-6,1},
由根与系数的关系得该方程组无解.
综上,实数m的取值范围是m≤-2.
题型二
例3 (1)A (2)B [解析] (1)易知0∈A,-1∈A,-3 A,2 A,3 A,则A∩B={-1,0}.故选A.
(2)因为A∩B={2},所以方程x2-3x+m=0有一个根为2,代入可得m=2,此时方程为x2-3x+2=0,得方程的另一个根为1,故B={1,2}.故选B.
变式 (1)B (2)m<-9 [解析] (1)因为B={x|x≤3},所以 RB={x|x>3},又A={x|-1(2)由题知M={x|y=}={x|x≤m},因为y=x2-6x=(x-3)2-9≥-9,所以N={y|y=x2-6x,x∈R}={y|y≥-9},又M∩N= ,所以m<-9,即实数m的取值范围是m<-9.
例4 解:(1)由题知,A={x||2x-1|≤7},B={x|2k-2(2)因为A∪B=A,所以B A,由①得A={x|-3≤x≤4},由题得B={x|2k-2当B= 时,2k-2≥k+3,解得k≥5,符合题意;
当B≠ 时,可得解得-≤k≤1.
综上,k的取值范围是k≥5或-≤k≤1.
变式 解:(1)当b=4时,A={x|x2-3x+4=0},对于方程x2-3x+4=0,有Δ=(-3)2-4×4<0,所以A= ,
又B={x|(x-2)(x2+3x-4)=0}={x|(x-2)(x-1)(x+4)=0}={-4,1,2},且A M B,所以符合条件的集合M有{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}.
(2)能.理由如下:由( RB)∩A= ,可得A B,当A= 时,满足A是B的一个子集,此时Δ=9-4b<0,解得b>.当A≠ 时,由(1)知B={-4,1,2},若-4∈A,则b=-28,故A={-4,7},此时A不是B的一个子集;
若1∈A,则b=2,故A={1,2},此时A是B的一个子集;
若2∈A,则b=2,故A={1,2},此时A是B的一个子集.
综上可得,当A= 或A={1,2}时,满足( RB)∩A= ,
此时实数b的取值范围为∪{2}.本章总结提升
◆ 题型一 集合的概念、集合的基本关系
[类型总述] (1)集合中元素的互异性;(2)集合的相等;(3)子集的个数;(4)由集合间的关系求参数.
例1 (1)已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实数m的值为 ( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0,2或3
(2)(多选题)[2024·山西吕梁高一期中] 下列表述正确的有 ( )
A.-1 Z
B.π∈ RQ
C.{x||x|<0} {0}
D.N* N Z
(3)已知m∈R,n∈R,若集合={m2,m+n,0},则m2024+n2024= .
例2 (1)[2025·湖北沙市中学高一月考] 集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},则符合条件的集合M的个数为 ( )
A.3 B.6
C.7 D.8
(2)[2025·江苏南京高一期中] 设集合A={x||x|≤2},B={x|x+a≤0},若A B,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(-∞,-2) D.(-∞,-2]
变式 已知集合A={x|x2+5x-6=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.若B A,求实数m的取值范围.
◆ 题型二 集合的基本运算
[类型总述] (1)集合的并集、交集运算;(2)集合的补集运算;(3)由集合运算求参数.
例3 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
(2)设集合A={-1,0,2,5},B={x|x2-3x+m=0}.若A∩B={2},则B= ( )
A.{-2,2} B.{1,2}
C.{2,3} D.{2,4}
变式 (1)设集合A={x|-1A.{x|3≤x<4} B.{x|3C.{x|-1-1}
(2)[2024·重庆七校高一期中] 已知集合M={x|y=},N={y|y=x2-6x,x∈R},若M∩N= ,则实数m的取值范围是 .
例4 已知集合A={x||2x-1|≤7},B={x|2k-2(1)当k=2时,求A∪B;
(2)若A∪B=A,求k的取值范围.
变式 [2025·江苏南京九中高一月考] 已知集合A={x|x2-3x+b=0},B={x|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M,使得A M B,求出所有符合条件的集合M.
(2)集合A,B能否满足( RB)∩A= 若能,求出实数b的取值范围;若不能,请说明理由.(共21张PPT)
本章总结提升
题型一 集合的概念、集合的基本关系
题型二 集合的基本运算
答案核查
题型一 集合的概念、集合的基本关系
［类型总述］（1）集合中元素的互异性;（2）集合的相等;（3）子
集的个数；（4）由集合间的关系求参数.
例1（1）已知集合，，，且，则实数
的值为( )
A.2 B.3 C.0或3 D.0，2或3
[解析] 由可知或，
若 ，则，这与 相矛盾；
若，则或，当时,与 相矛盾，
当时，此时集合，3，，符合题意.
故 .
√
（2）（多选题）［2024·山西吕梁高一期中］ 下列表述正确的有
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为是整数,所以,A错误;
因为 是无理数,所以,B 正确;
因为 ,所以 ,C正确;
因为为正整数集,为自然数集,为整数集,所以 ,D正确.
故选 .
√
√
√
（3）已知，，若集合,, ，则
___.
1
[解析] 因为,,，所以 解得
或
当 时，不满足集合中元素的互异性，故，，
则 .
例2（1）［2025·湖北沙市中学高一月考］集合满足 ，
，2，3，4，，则符合条件的集合 的个数为( )
A.3 B.6 C.7 D.8
[解析] 因为，，2，3，4， ，所以符合条件的集合
可以为，2，，，2，，，2，，，2，3，， ，2，
3，，，2，4，，，2，3，4， ，共7个，故选C.
√
（2）［2025·江苏南京高一期中］设集合 ，
，若，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，则 .
由题易得，又，所以，则 .故选D.
√
变式 已知集合 ,
．若，求实数 的取值
范围．
解：因为,, ,
所以分以下两种情况讨论:
①当 为空集时, ,解得 ,满足题意.
②当不为空集时,若,则 ,
此时 ,满足题意；
若,则,由，得, ,
由根与系数的关系得 该方程组无解.
综上,实数的取值范围是 .
题型二 集合的基本运算
［类型总述］（1）集合的并集、交集运算;（2）集合的补集运算;
（3）由集合运算求参数.
例3（1）［2024· 新课标Ⅰ卷］已知集合 ,
,,0,2,，则 ( )
A.， B.，
C.，， D.，0，
[解析] 易知,,,,,则, .故选A.
√
（2）设集合,0,2,， ．若
，则 ( )
A., B. C. D.
[解析] 因为，所以方程 有一个根为2，
代入可得，此时方程为 ，得方程的另一个根为
1，故 ．故选B.
√
变式（1）设集合， ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以 ，
又，所以 .故选B.
√
（2）［2024·重庆七校高一期中］已知集合 ，
，，若 ，则实数 的取值范围
是________.
[解析] 由题知 ，
因为，
所以 ，，
又 ，所以，即实数 的取值范围是 .
例4 已知集合， .
（1）当时，求 ；
解：由题知，， ，
由，得，解得 ，
所以.
当时， ，所以 .
例4 已知集合， .
（2）若，求 的取值范围.
解：因为，所以,由①得 ，由题
得 .
当 时，，解得 ，符合题意；
当 时，可得解得 .
综上，的取值范围是或 .
变式 ［2025·江苏南京九中高一月考］已知集合
， .
（1）若，存在集合，使得 ，求出所有符合条件的
集合 .
解：当时，,对于方程 ，
有，所以 ，
又,1,，且,所以符合条件的集合有， ，
，,，,， .
变式 ［2025·江苏南京九中高一月考］已知集合
， .
（2）集合,能否满足 ？若能，求出实数 的取值范
围；若不能，请说明理由.
解：能.理由如下:
由 ，可得，当 时，满足是的一个子集，
此时，解得.
当 时，由（1）知,1,,若，则，
故, ,此时不是 的一个子集；
若，则，故,此时是 的一个子集；
若，则，故,此时是 的一个子集.
综上可得，当 或时，满足 ，
此时实数的取值范围为
快速核答案
例1 （1）B （2）BCD （3）1 例2 （1）C （2）D
变式
例3 （1）A （2）B 变式 （1）B （2）
例4 （1） （2）或
变式 （1），，，,，,，
（2）能. 实数的取值范围为
