第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念及几种常见的数集
【学习目标】
1.正确了解集合的含义,会判断哪些研究对象能组成集合哪些不能组成集合;
2.理解元素与集合的属于关系,了解空集的含义;
3.能正确判断两集合是否相等,并熟记常见数集的符号表示.
◆ 知识点一 集合、元素的相关概念及元素的特征
1.集合与元素的概念
定义 符号表示
集合 把一些能够 、 对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合 用英文大写字母 ,…表示
元素 组成集合的 都是这个集合的元素 用英文小写字母 ,…表示
空集 的集合称为空集
2.元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素,就记作 ,读作“a A”.
(2)如果a不是集合A的元素,就记作 ,读作“a A”.
3.集合的特点:集合中元素的三个特点为 、 、无序性.
4.集合的相等:给定两个集合A和B,如果组成它们的元素 ,就称这两个集合相等,记作A=B.
5.集合的分类
根据它含有的元素个数分为两类:含有有限个元素的集合称为 ,含有无限个元素的集合称为 .空集是 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面上到点O的距离等于1的点能够组成一个集合. ( )
(2)人教B版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.( )
(3)若集合A中有4个元素0,1,2,3,集合B中有4个元素3,2,1,0,则A=B. ( )
2.某中学2024级高一年级20个班组成集合A,高一(2)班所有学生组成集合B.
(1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗
(2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系 为什么
(3)高一(4)班的学生是集合B中的元素吗
(4)若a∈A,b∈B,则元素a,b有什么关系 为什么
◆ 知识点二 常用数集及其记法
名称
记法 N N*或N+ Z Q R
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x-1=0的解是集合Z中的元素. ( )
(2)集合Q中含有元素π. ( )
(3)0 N. ( )
(4)方程x2-3=0在Q中无解. ( )
◆ 探究点一 集合的概念
例1 (1)[2025·黑龙江绥化高一期中] 下列选项中能组成集合的是 ( )
A.某班视力较好的同学
B.某小区长寿的人
C.π的近似值
D.方程x2=1的实数根
(2)(多选题)下列选项中能组成集合的是( )
A.中国各地最美的乡村
B.单词math的所有字母
C.参加第二十四届冬季奥林匹克运动会的各国运动员
D.小于10的自然数
[素养小结]
确定性、互异性、无序性是判断一组对象能否构成集合的标准.如果这组对象是“确定无疑”的,并且是互不相同的,无论以何种顺序排列都可以构成集合.
◆ 探究点二 元素与集合的关系
例2 (1)下列关系中正确的个数为 ( )
①∈Q;②-1 N;③π R;④|-4|∈Z;
⑤±∈N;⑥若a是无理数,则a2∈Q.
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)设集合D是由满足y=x2的有序实数对(x,y)组成的,则-1 D,(-1,1) D, D.(填∈或 )
变式 (1)已知2,3,4是集合A中的元素,2,4,6是集合B中的元素,若x∈A且x B,则x=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
(2)由所有能被3整除的数组成的集合为M,则下列数中一定是集合M的元素的是 .
①能被2整除的数;
②能被6整除的数;
③能被-3整除的数;
④能被5整除的数.
[素养小结]
判断元素与集合关系的两种方法:
(1)当集合中的元素直接给出时,首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现;
(2)对于某些不便直接表示的集合,首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
◆ 探究点三 集合中元素的特性
例3 (1)已知集合A中含有两个元素a+1,a2+4a-9,若-4∈A,则实数a的值为 ( )
A.-5 B.1
C.5或-1 D.-5或1
(2)已知集合S中含有三个元素2,a,b,集合P中含有三个元素2a,2,b2,且S中的元素均为P中的元素.若a,b均是整数,则a= ,b= .
变式 已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m的值为 .
[素养小结]
利用集合中元素的特点求参数的注意事项:
(1)根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性对参数进行检验;
(2)利用集合中元素的特点解题时,要注意分类讨论思想的应用.
1.下列说法正确的是 ( )
A.某个村子里的高个子组成一个集合
B.所有小的正数组成一个集合
C.集合A中有3个元素a,b,c,集合B中有三个元素b,c,a,则集合A与集合B表示同一个集合
D.1,0.5,,,,这六个数能组成一个集合
2.已知集合M是由不小于2的数组成的集合,a=,则下列关系中正确的是 ( )
A.a∈M B.a M
C.a=M D.a3.[2025·江苏镇江高一期中] 下列关系中正确的是 ( )
A.-2∈N+ B.π Q
C.0 N D.∈Z
4.设集合A中有两个元素-1,a2-2a+5,若4∈A,则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
5.由实数x,-x,,及-所组成的集合中,最多含有 个元素. 第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念及几种常见的数集
1.下列说法正确的是 ( )
A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C.数1,0,5,,,,组成的集合中有7个元素
D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
2.集合A中的元素x满足x>3,则 ( )
A.1∈A B.0∈A
C.2∈A D.4∈A
3.下列关系正确的个数为 ( )
①12∈R;②2∈Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Z;⑤0 N.
A.1 B.2
C.3 D.4
4.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解为元素组成集合A,则集合A中元素的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 ( )
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
6.已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,则下列属于集合A的是 ( )
①2-;②5;③+1.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
7.(多选题)[2025·内蒙古赤峰高一期中] 设集合A是以方程ax2+2x+1=0的根为元素的集合,若集合A中只有一个元素,则a的值可能为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
8.已知集合A中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则-1 A,-34 A.(填“∈”或“ ”)
9.(13分)设集合A=中的所有元素均为整数.
(1)若a=0,求集合A;
(2)试判断4是不是集合A中的元素,并说明理由.
10.若集合A中有两个元素x+2,x2,且4∈A,则实数x的值为 ( )
A.-2 B.2
C.2或-2 D.2或4
11.(多选题)[2025·重庆江北区高一期中] 已知集合A中元素x满足x=3m+1,m∈Z,集合B中元素y满足y=3k-1,k∈Z,若a,b∈A,c∈B,则 ( )
A.a+b∈A B.ab∈A
C.a+b∈B D.ac∈B
12.已知a∈A且4-a∈A,a∈N且4-a∈N,且集合A中没有其他元素.若A中只有1个元素,则a= ;若A中有2个元素,则a= .
13.已知集合A={2,a2-1,a2-a},B={0,a2-a-3},且3∈A,则集合B= .
14.(13分)已知集合A={a-3,2a+1,a2+1},集合B={0,1,x}.
(1)若-3∈A,求a的值.
(2)是否存在a和x使得组成集合A,B的元素相同 若存在,求出a和x的值;若不存在,请说明理由.
15.已知集合A中有三个元素1,x,y,集合B中有三个元素1,x2,2y,若集合A与集合B中的元素相同,则A= .
16.(15分)[2025·陕西宝鸡高一期中] 对于数集A,B,定义集合A+B中元素x满足x=a+b,a∈A,b∈B,集合A÷B中元素y满足y=,a∈A,b∈B.若集合A={1,2},求集合(A+A)÷A中所有元素之和.(共58张PPT)
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念及几种常见的
数集
探究点一 集合的概念
探究点二 元素与集合的关系
探究点三 集合中元素的特性
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.正确了解集合的含义,会判断哪些研究对象能组成集合哪些不
能组成集合;
2.理解元素与集合的属于关系,了解空集的含义;
3.能正确判断两集合是否相等,并熟记常见数集的符号表示.
知识点一 集合、元素的相关概念及元素的特征
1.集合与元素的概念
定义 符号表示
集合 把一些能够________、________对 象汇集在一起，就说由这些对象组 成一个集合 用英文大写字母___，…表示
元素 组成集合的__________都是这个集 合的元素 用英文小写字母
______，…表示
空集 ______________的集合称为空集 ___
确定的
不同的
，
每个对象
,,
不含任何元素
2.元素与集合的关系
（1）如果是集合的元素，就记作______，读作“______ ”.
（2）如果不是集合的元素，就记作______，读作“________ ”.
属于
不属于
3.集合的特点：集合中元素的三个特点为________、________、无序性.
4.集合的相等：给定两个集合和 ,如果组成它们的元素__________,
就称这两个集合相等,记作 .
确定性
互异性
完全相同
5.集合的分类
根据它含有的元素个数分为两类:含有有限个元素的集合称为______
___,含有无限个元素的集合称为________.空集是________.
有限集
无限集
有限集
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面上到点 的距离等于1的点能够组成一个集合.( )
√
[解析] “平面上到点 的距离等于1的点”是确定的，能够组成集合.
（2）人教B版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.( )
×
[解析] “人教B版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组
成集合.
（3）若集合中有4个元素0,1,2,3，集合 中有4个元素3,2,1,0，则
.( )
√
[解析] 根据集合相等的定义，可知 .
2.某中学2024级高一年级20个班组成集合 ，高一（2）班所有学生
组成集合 .
（1）高一（2）班、高二（8）班是集合 中的元素吗？
解：因为集合 是由高一年级20个班组成的，所以高一（2）班是集
合中的元素，高二（8）班不是集合 中的元素.
（2）若，，则元素， 有什么关系？为什么？
解：与是两个不同的班,这是因为集合 中的元素具有互异性.
（3）高一（4）班的学生是集合 中的元素吗？
解：因为集合 是由高一（2）班的学生组成的，所以高一（4）班的
学生不是集合 中的元素.
（4）若，，则元素， 有什么关系 为什么
解：集合是由班级组成的集合，集合 是由学生组成的集合，所以
， 是不同类型的元素.
知识点二 常用数集及其记法
名称 __________ __________ ______ __________ ______
记法
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
（2）集合中含有元素 .( )
×
[解析] 是无理数，不是 中的元素.
（3） .( )
×
[解析] 0是自然数.
（4）方程在 中无解.( )
√
[解析] 方程的解是无理数，所以方程在 中无解.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方程的解是集合 中的元素.( )
√
[解析] 1是整数.
探究点一 集合的概念
例1（1）［2025·黑龙江绥化高一期中］下列选项中能组成集合的是
( )
A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人
C. 的近似值 D.方程 的实数根
√
[解析] 对于A，描述的对象“视力较好”的标准不明确，不能构成集合；
对于B，描述的对象“长寿”的标准不明确，不能构成集合；
对于C，没有给出精确度，描述的对象“ 的近似值”不明确，不能构成
集合；
对于D，方程的实数根是 和1，是确定的，能构成集合.
故选D.
（2）（多选题）下列选项中能组成集合的是( )
A.中国各地最美的乡村
B.单词 的所有字母
C.参加第二十四届冬季奥林匹克运动会的各国运动员
D.小于10的自然数
[解析] 选项A中，中国各地最美的乡村没有确定的标准，不能组成
集合，选项B,C,D中的元素标准明确，能组成集合．故选 .
√
√
√
［素养小结］
确定性、互异性、无序性是判断一组对象能否构成集合的标准.如果
这组对象是“确定无疑”的,并且是互不相同的，无论以何种顺序排列
都可以构成集合.
探究点二 元素与集合的关系
例2（1）下列关系中正确的个数为( )
；；； ；
；⑥若是无理数，则 .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 是无理数，，故①错误；
，故②正确； 是实数，，故③错误；
是整数，，故④正确；
，而， ，故⑤错误；
⑥若是无理数，则 不一定是有理数，故⑥错误．故选B.
（2）设集合是由满足的有序实数对组成的，则 ___
，___，___.（填 或 ）
[解析] 因为不是有序实数对，所以；满足 ，
所以；不满足，所以 .
变式（1）已知2,3,4是集合中的元素,2,4,6是集合中的元素,若
且,则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] 集合中的元素3不在集合 中,且仅有这个元素符合题意，
故 .
√
（2）由所有能被3整除的数组成的集合为 ，则下列数中一定是集
合 的元素的是______.
①能被2整除的数；
②能被6整除的数；
③能被 整除的数；
④能被5整除的数.
②③
[解析] 能被2整除的数不一定能被3整除，能被6整除的数一定能被3
整除，能被 整除的数一定能被3整除，能被5整除的数不一定能被
3整除，所以一定是集合 的元素的是②③.
［素养小结］
判断元素与集合关系的两种方法：
（1）当集合中的元素直接给出时，首先明确集合是由哪些元素构成
的，然后判断该元素在已知集合中是否出现；
（2）对于某些不便直接表示的集合，首先明确已知集合的元素具有
什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
探究点三 集合中元素的特性
例3（1）已知集合中含有两个元素,，若 ，
则实数 的值为( )
A. B.1 C.5或 D. 或1
√
[解析] 因为中有两个元素，且，所以 或
.
当，即时， ，不满足集合元素的
互异性，舍去.
当时， 或.
若，则， ，此时不满足集
合元素的互异性，舍去；
若，则， ，此时集合中的元素为2，，
符合题意.
综上所述，实数 的值为1.故选B.
（2）已知集合中含有三个元素2，，，集合中含有三个元素 ，
2，，且中的元素均为中的元素.若，均是整数，则 ___，
___.
0
1
[解析] 根据集合中元素的互异性，有或解得
或或其中 不满足集合中元素的互异性，
不是整数.故满足题意的是， .
变式 已知集合是由0，， 三个元素构成的集合，且
，则实数 的值为___.
3
[解析] 由题意知，或，解得或
或.
经验证，当或 时，不满足集合中元素的互异性；
当时，满足题意.故 .
［素养小结］
利用集合中元素的特点求参数的注意事项：
（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能取值，再
根据集合中元素的互异性对参数进行检验；
（2）利用集合中元素的特点解题时，要注意分类讨论思想的应用.
1.下列说法正确的是( )
A.某个村子里的高个子组成一个集合
B.所有小的正数组成一个集合
C.集合中有3个元素,,,集合中有三个元素,,,则集合 与集合
表示同一个集合
D.1,,,,, 这六个数能组成一个集合
√
[解析] 在A中，某个村子里的高个子没有一个明确的标准，不符合
集合中元素的确定性，不能构成集合，故A错误；
在B中，所有小的正数没有一个明确的标准，不符合集合中元素的
确定性，不能构成集合，故B错误；
在C中，集合中有三个元素,,,集合 中有三个元素,,,由集合中
元素的无序性可知集合与集合 表示同一个集合，故C正确；
在D中，1,,,,, 中含有相同的数，不符合集合中元素的互异性，
故D错误.故选C.
2.已知集合是由不小于的数组成的集合， ，则下列关
系中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] ,， ,故选B.
√
3.［2025·江苏镇江高一期中］下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，因为不是正整数，所以 ，故A错误；
对于B，因为 不是有理数，所以 ，故B正确；
对于C，因为0是自然数，所以，故C错误；
对于D，因为不是整数，所以 ，故D错误.故选B.
√
4.设集合中有两个元素，，若，则 ( )
A. B.0 C.1 D.3
[解析] 因为集合中有两个元素，，且 ，所以
，可得，解得 .故选C.
√
5.由实数，，，及 所组成的集合中，最多含有___个
元素.
2
[解析] 因为或，，，所以不论 取何
值，集合中最多含有2个元素， ．
集合是集合论的研究对象, 现代数学各个分支的几乎所有成果都
构筑在严格的集合理论上.集合论的创立者是数学家格奥尔格·康托尔，
1845年3月3日，格奥尔格·康托尔出生于俄国圣彼得堡的一个商人家庭.
康托尔在中学时期就对数学感兴趣，他于1862年进入苏黎世大学学习，
1863年转入柏林大学，当时的柏林大学正在形成一个数学教学与研究
的中心.他在1867年的博士论文中就已经反映出“离经叛道”的观点,他
认为在数学中提问的艺术比起解法来更为重要.1869年康托尔到哈佛大
学任教.集合论的诞生可以说是在1873年末，康托尔在和戴德金的通信
中提出了一个问题,这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到一个
新方向.之后,经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20
年代，确立了集合论在现代数学理论体系中的基础地位.
（1）研究含参数的元素与集合关系问题时,容易忽略集合中元素的互
异性而导致错误.
（2）元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系,能够正确判断元
素与集合的关系.
（3）正确理解空集,空集不含任何一个元素,任何一个元素也都不属
于空集.
利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题.
集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性，
可以求出集合中参数的值.
例 已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则 .
（1）若，求出 中其他所有元素．
解：由题意可知， ，
则，，， ，
所以中其他所有元素为， ，2．
（2）0是不是集合中的元素？请你取一个实数 ，再
求出 中的元素．
解：假设，则 ，
而当时，无意义，则假设不成立，所以0不是 中的元素．
取则，， ， ，
所以当时，中的元素是3，，， .
例 已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则 .
练习册
1.下列说法正确的是( )
A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C.数1,0,5,,,, 组成的集合中有7个元素
D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4
√
[解析] 对于A，因为“很喜欢足球的同学”没有明确的标准，不符合
集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；
对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的
确定性，所以能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为存在 ，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4，故D错误.
故选B.
2.集合中的元素满足 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合中的元素满足，所以， ，
， .故选D.
√
3.下列关系正确的个数为( )
；；；； .
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为12是实数，所以 ，故①正确；
因为2是有理数，所以，故②正确；
因为是自然数，所以 ，故③正确；
因为是整数，所以 ，故④正确；
因为0是自然数，所以 ，故⑤不正确.故选D.
√
4.若以方程和 的所有的解为元素组成
集合，则集合 中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 方程的解为或 ，方程
的解为或，所以集合 中含有3个元素.
√
5.若以集合中的四个元素，，， 为边长构成一个四边形，则这
个四边形可能是( )
A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形
[解析] 由题知，，， 四个元素互不相同，则它们组成的四边形
的四条边长都不相等．故选A.
√
6.已知集合是由形如其中, 的数组成的，则下列属
于集合 的是( )
；； .
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
[解析] 中，，，符合条件；
中，，，符合条件；
中，， ，不符合条件．
故属于集合 的是①②.故选A.
√
7.（多选题）［2025·内蒙古赤峰高一期中］ 设集合 是以方程
的根为元素的集合，若集合 中只有一个元素，则
的值可能为( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 当时，由方程，解得，此时 ，
符合题意；
当时，一元二次方程 有两个相等的实根，
则，解得 ，此时，
符合题意.
综上，或 .故选 .
√
√
8.已知集合中的元素满足，，则___， ___
.（填“ ”或“ ”）
[解析] 当时，，所以；令 ，得
，所以 .
9.（13分）设集合 中的所有元素均为整数.
（1）若，求集合 ；
解：若，则，所以集合 .
9.（13分）设集合 中的所有元素均为整数.
（2）试判断4是不是集合 中的元素，并说明理由.
解：4不是集合 中的元素，理由如下：
假设，则有或 .
当时， ，不满足题意；
当时，解得 ，不满足题意.
综上所述，4不是集合 中的元素.
10.若集合中有两个元素，，且，则实数 的值为
( )
A. B.2 C.2或 D.2或4
[解析] 因为，所以或，且 ，可得
.
√
11.（多选题）［2025·重庆江北区高一期中］ 已知集合中元素 满
足，，集合中元素满足， ，若
,， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 设,, ，则
，故A错误，C正确；
，故B正确；
，故D正确.
故选 .
√
√
√
12.已知且，且，且集合 中没有其他
元素．若中只有1个元素，则___；若中有2个元素，则
_____________．
2
0或1或3或4
[解析] 因为且，所以,1,2,3,4.
当 ,即时，中只有1个元素；
当，即或1或3或4时， 中有2个元素.
13.已知集合,,，,，且 ，
则集合 ______.
[解析] 因为，所以或.
由 ，解得或.
当时，集合 不满足集合的互异性，舍去；
当时，，满足题意，此时.
当 时，集合不满足集合的互异性，舍去.故 .
14.（13分）已知集合,,，集合,1, .
（1）若，求 的值.
解：显然 .
当，即时，,，此时集合 不满
足集合的互异性；
当，即时，, ，此时
,,.故 .
（2）是否存在和使得组成集合,的元素相同？若存在，求出
和 的值；若不存在，请说明理由.
解：由题意可得， .
若，则,，组成集合， 的元素不相同，
不符合题意；
若，则,，组成集合， 的元素不相
同，不符合题意.
故不存在实数和，使得组成集合， 的元素相同.
14.（13分）已知集合,,，集合,1, .
15.已知集合中有三个元素1，，，集合中有三个元素1，, ，
若集合与集合中的元素相同，则 ________.
[解析] 若，，则，或， ，不满
足集合中元素的互异性；
若，，则， （舍）或，，满足题意，
故 .
16.（15分）［2025·陕西宝鸡高一期中］ 对于数集, ，定义集合
中元素满足，，，集合中元素 满
足，，.若集合，求集合 中所有
元素之和.
解：由已知可得，所以 ，
故集合中所有元素之和为 .
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点一 1.确定的 不同的 ，， 每个对象 ,, 不含任何元素
2.（1） 属于 （2） 不属于 3.确定性 互异性 4.完全相同
5.有限集 无限集 有限集
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）√ 2.略
知识点二 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
课中探究
例1 （1）D （2）BCD
例2 （1）B （2） 变式 （1）B （2）②③
例3 （1）B （2）0 1 变式 3
课堂评价 1.C 2.B 3.B 4.C 5.2
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.A 7.BC 8.
9.（1）集合
（2）4不是集合中的元素，理由略
综合提升
10.A 11.BCD 12.2 0或1或3或4 13.
14.（1）
（2）不存在实数和，使得组成集合，的元素相同
思维探索
15. 16.第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念及几种常见的数集
【课前预习】
知识点一
1.确定的 不同的 A,B,C 每个对象 a,b,c
不含任何元素
2.(1)a∈A 属于 (2)a A 不属于 3.确定性 互异性
4.完全相同 5.有限集 无限集 有限集
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)“平面上到点O的距离等于1的点”是确定的,能够组成集合.
(2)“人教B版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的,不能组成集合.
(3)根据集合相等的定义,可知A=B.
2.解:(1)因为集合A是由高一年级20个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.
(2)a与b是两个不同的班,这是因为集合A中的元素具有互异性.
(3)因为集合B是由高一(2)班的学生组成的,所以高一(4)班的学生不是集合B中的元素.
(4)集合A是由班级组成的集合,集合B是由学生组成的集合,所以a,b是不同类型的元素.
知识点二
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)1是整数.
(2)π是无理数,不是Q中的元素.
(3)0是自然数.
(4)方程x2-3=0的解是无理数,所以方程x2-3=0在Q中无解.
【课中探究】
例1 (1)D (2)BCD [解析] (1)对于A,描述的对象“视力较好”的标准不明确,不能构成集合;对于B,描述的对象“长寿”的标准不明确,不能构成集合;对于C,没有给出精确度,描述的对象“π 的近似值”不明确,不能构成集合;对于D,方程x2=1的实数根是-1和1,是确定的,能构成集合.故选D.
(2)选项A中,中国各地最美的乡村没有确定的标准,不能组成集合,选项B,C,D中的元素标准明确,能组成集合.故选BCD.
例2 (1)B (2) ∈ [解析] (1)①∵是无理数,∴ Q,故①错误;②-1 N,故②正确;③∵π是实数,∴π∈R,故③错误;④∵|-4|=4是整数,∴|-4|∈Z,故④正确;⑤±=±5,而5∈N,-5 N,故⑤错误;⑥若a是无理数,则a2不一定是有理数,故⑥错误.故选B.
(2)因为-1不是有序实数对,所以-1 D;(-1,1)满足y=x2,所以(-1,1)∈D;不满足y=x2,所以 D.
变式 (1)B (2)②③ [解析] (1)集合A中的元素3不在集合B中,且仅有这个元素符合题意,故x=3.
(2)能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.
例3 (1)B (2)0 1 [解析] (1)因为A中有两个元素,且-4∈A,所以-4=a+1或-4=a2+4a-9.当a+1=-4,即a=-5时,a2+4a-9=-4,不满足集合元素的互异性,舍去.当-4=a2+4a-9时,a=-5或a=1.若a=-5,则a+1=-4,a2+4a-9=-4,此时不满足集合元素的互异性,舍去;若a=1,则a+1=2,a2+4a-9=-4,此时集合中的元素为2,-4,符合题意.综上所述,实数a的值为1.故选B.
(2)根据集合中元素的互异性,有或解得或或其中不满足集合中元素的互异性,不是整数.故满足题意的是a=0,b=1.
变式 3 [解析] 由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性;当m=3时,满足题意.故m=3.
【课堂评价】
1.C [解析] 在A中,某个村子里的高个子没有一个明确的标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合,故A错误;在B中,所有小的正数没有一个明确的标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合,故B错误;在C中,集合A中有三个元素a,b,c,集合B中有三个元素b,c,a,由集合中元素的无序性可知集合A与集合B表示同一个集合,故C正确;在D中,1,0.5,,,,中含有相同的数,不符合集合中元素的互异性,故D错误.故选C.
2.B [解析] ∵15<20,∴<2,∴a M,故选B.
3.B [解析] 对于A,因为-2不是正整数,所以-2 N+,故A错误;对于B,因为π不是有理数,所以π Q,故B正确;对于C,因为0是自然数,所以0∈N,故C错误;对于D,因为不是整数,所以 Z,故D错误.故选B.
4.C [解析] 因为集合A中有两个元素-1,a2-2a+5,且4∈A,所以a2-2a+5=4,可得a2-2a+1=0,解得a=1.故选C.
5.2 [解析] 因为|x|=x或-x,=|x|,-=-x,所以不论x取何值,集合中最多含有2个元素x,-x.第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的概念及几种常见的数集
1.B [解析] 对于A,因为“很喜欢足球的同学”没有明确的标准,不符合集合的确定性,所以不能组成一个集合,故A错误;对于B,因为联合国安理会常任理事国有明确的标准,符合集合的确定性,所以能组成一个集合,故B正确;对于C,因为存在=,所以组成的集合中不可能有7个元素,故C错误;对于D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4,故D错误.故选B.
2.D [解析] 因为集合A中的元素x满足x>3,所以1 A,0 A,2 A,4∈A.故选D.
3.D [解析] 因为12是实数,所以12∈R,故①正确;因为2是有理数,所以2∈Q,故②正确;因为|-3|=3是自然数,所以|-3|∈N,故③正确;因为|-3|=3是整数,所以|-3|∈Z,故④正确;因为0是自然数,所以0∈N,故⑤不正确.故选D.
4.C [解析] 方程x2-3x+2=0的解为x=2或x=1,方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,所以集合A中含有3个元素.
5.A [解析] 由题知a,b,c,d四个元素互不相同,则它们组成的四边形的四条边长都不相等.故选A.
6.A [解析] 2-中,m=2,n=-1,符合条件;5=5+×0中,m=5,n=0,符合条件;+1中,m=1,n=,不符合条件.故属于集合A的是①②.故选A.
7.BC [解析] 当a=0时,由方程2x+1=0,解得x=-,此时A=,符合题意;当a≠0时,一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实根,则Δ=4-4a=0,解得a=1,此时A={x|x2+2x+1=0}={-1},符合题意.综上,a=0或a=1.故选BC.
8.∈ ∈ [解析] 当k=0时,x=-1,所以-1∈A;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A.
9.解:(1)若a=0,则=1∈Z,所以集合A={0,1}.
(2)4不是集合A中的元素,理由如下:
假设4∈A,则有a=4或=4.
当a=4时,=- Z,不满足题意;
当=4时,解得a=- Z,不满足题意.
综上所述,4不是集合A中的元素.
10.A [解析] 因为4∈A,所以x+2=4或x2=4,且x+2≠x2,可得x=-2.
11.BCD [解析] 设a=3u+1,b=3v+1,c=3w-1(u,v,w∈Z),则a+b=3(u+v)+2=3(u+v+1)-1∈B,故A错误,C正确;ab=9uv+3(u+v)+1=3(3uv+u+v)+1∈A,故B正确;ac=9uw+3(w-u)-1=3(3uw-u+w)-1∈B,故D正确.故选BCD.
12.2 0或1或3或4 [解析] 因为a∈N且4-a∈N,所以a=0,1,2,3,4.当a=4-a,即a=2时,A中只有1个元素;当a≠4-a,即a=0或1或3或4时,A中有2个元素.
13.{0,3} [解析] 因为3∈A,所以a2-1=3或a2-a=3.由a2-1=3,解得a=2或a=-2.当a=2时,集合A不满足集合的互异性,舍去;当a=-2时,A={2,3,6},满足题意,此时B={0,3}.当a2-a=3时,集合B不满足集合的互异性,舍去.故B={0,3}.
14.解:(1)显然a2+1≠-3.
当a-3=-3,即a=0时,2a+1=1,a2+1=1,此时集合A不满足集合的互异性;
当2a+1=-3,即a=-2时,a-3=-5,a2+1=5,此时A={-5,-3,5}.故a=-2.
(2)由题意可得,a2+1≠0.
若a-3=0,则a=3,A={0,7,10},组成集合A,B的元素不相同,不符合题意;
若2a+1=0,则a=-,A=,组成集合A,B的元素不相同,不符合题意.
故不存在实数a和x,使得组成集合A,B的元素相同.
15. [解析] 若x=x2,y=2y,则x=0,y=0或x=1,y=0,不满足集合中元素的互异性;若x=2y,y=x2,则x=0,y=0(舍)或x=,y=,满足题意,故A=.
16.解:由已知可得A+A={2,3,4},所以(A+A)÷A=,故集合(A+A)÷A中所有元素之和为1+2+3+4+=.
