第2课时 集合的表示
【课前预习】
知识点一
1.一一列举 2.{x|p(x)} {x∈I|p(x)}
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)正确.解方程得x=-2或x=1,用列举法表示其组成的集合为{-2,1}.
(2)直线上的点是点集,不是数集,因此用描述法表示为{(x,y)|y=2x+4,x∈N}.
(3)所给集合的元素是有序实数对,所以元素应当为(1,2).
(4)由x+1=0得x=-1,故集合A和B表示同一个集合.
知识点二
1.[a,b] {x|a2.(-∞,+∞) [a,+∞) {x|x>a} {x|x≤b}
(-∞,b)
诊断分析
解:(1)无论是闭区间还是开区间,区间中的两个端点都不能相等.
(2)空集不能用区间表示.
【课中探究】
例1 解:(1)由解得
故方程组的解集为{(4,-2)},该集合是有限集.
(2)由x-1<2x+1<7,解得-2(3)被3除余2的正整数可表示为a=3k+2(k∈N),所以被3除余2的正整数组成的集合是{2,5,8,…,3k+2,…}(k∈N),该集合是无限集.
(4)小于13的既是奇数又是素数的自然数有3,5,7,11,可用列举法表示为{3,5,7,11},该集合是有限集.
变式 解:(1)从正方形ABCD的四个顶点中任取三个为顶点所作的三角形有△ABC,△ABD,△ACD,△BCD,则所求集合为{△ABC,△ABD,△ACD,△BCD},该集合为有限集.
(2)方程(x-2)2(x+1)=0的根是2和-1,所以方程(x-2)2(x+1)=0的根组成的集合是{-1,2},该集合为有限集.
(3)解方程组得故所求集合为{(2,4)},该集合为有限集.
(4)正整数有1,2,3,…,故所求集合为{1,2,3,…},该集合为无限集.
例2 解:(1)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合为{(x,y)|y=x2+2x-10},该集合是无限集.
(2)由不等式5x+2>3x-4,解得x>-3,则所求集合为{x|x>-3},该集合是无限集.
(3)设点P(x,y)在第四象限,则x>0,y<0,所以平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合为{(x,y)|x>0且y<0},该集合是无限集.
(4)所有正偶数组成的集合为{x|x=2n,n∈N*},该集合是无限集.
变式 解:(1)集合可用描述法表示为,该集合是有限集.
(2)在自然数集内,小于1000的奇数组成的集合可用描述法表示为{x|x=2n+1,n≤499且n∈N},该集合是有限集.
(3)二次函数y=x2+3x-12的图象上所有点的纵坐标组成的集合为{y|y=x2+3x-12},该集合是无限集.
(4)题图中阴影部分的点(含边界)组成的集合可用描述法表示为,该集合是无限集.
例3 解:(1)[3,+∞).
(2)(-1,2].
(3)(-∞,5).
变式 (1)(-1,+∞) (2)[0,2)∪(2,+∞) (3)(-∞,5) [解析] (1)由题意得2a+1>a,解得a>-1,即a的取值范围为(-1,+∞).
(2){x|x≥0且x≠2}用区间表示为[0,2)∪(2,+∞).
(3)要使有意义,则5-x>0,即x<5,用区间表示为(-∞,5).
例4 解:(1)若A是空集,则方程ax2-3x+2=0无解,此时Δ=9-8a<0,解得a>,
故实数a的取值范围为.
(2)若A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根.当a=0时,该方程为一元一次方程,满足条件;当a≠0时,有Δ=9-8a=0,解得a=.综上,a=0或a=.
(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或A中有且只有一个元素,由(1)(2)得满足条件的实数a的取值范围是.
变式 解:(1)若A是空集,则方程(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0无解.若解得a=-1,此时方程为1=0,无解,故a=-1满足题意;
若解得a<-1.
综上,a的取值范围为(-∞,-1].
(2)若A中只有一个元素,则方程(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0有且只有一个实数根.若解得a=1,此时方程为4x+1=0,解得x=-,即集合A中的元素是-;若无解.
综上所述,若A中只有一个元素,则a=1,此时集合A中的元素是-.
【课堂评价】
1.C [解析] 集合{x|0≤x<2}可表示为[0,2).
2.D [解析] (x,y)表示坐标平面上的点,且点(x,y)在函数y=2x-1的图象上.故选D.
3.B [解析] 因为∈N*,所以3-x=1,2,3,6,可得x=2,1,0,-3,因为x∈N*,所以x=1,2,则集合A={1,2}.故选B.
4.C [解析] A选项中除去的是四条线x=1,y=1,x=2,y=-2,故A选项错误;B选项中除去的是A(1,1)或除去的是B(2,-2)或者同时除去两个点,故B选项错误;C选项中(x-1)2+(y-1)2≠0且(x-2)2+(y+2)2≠0,即除去两点A(1,1),B(2,-2),故C选项正确;D选项中任意点(x,y)都不能使[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0成立,即不能同时排除A,B两点,故D选项错误.故选C.
5.B [解析] 当x∈A,y∈B时,x+y的值为5,6,6,7,7,8,有4个不同的值,即C={5,6,7,8},因此C中有4个元素.故选B.第2课时 集合的表示
【学习目标】
能用符号语言刻画集合,能正确使用区间符号表示某些集合.
◆ 知识点一 集合的表示法
1.列举法:把集合中的元素 出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为 ,这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合,可以表示为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合为{-2,1}. ( )
(2)由直线y=2x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合为{x,y|y=2x+4,x∈N}.( )
(3)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( )
(4)集合A={x|x+1=0}与集合B={-1}表示同一个集合. ( )
◆ 知识点二 区间及其表示
1.已知a,b是两个实数,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
开区间 (a,b)
(续表)
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x 半开半闭区间 (a,b]
2.如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则实数集R可表示为区间 .
定义 区间 数轴表示
{x|x≥a}
(a,+∞)
(-∞,b]
{x|x【诊断分析】 (1)在集合{x|a≤x≤b}中,当a=b时,集合为{a},那么在区间[a,b]中,a,b是否可以相等
(2)空集能否用区间表示
◆ 探究点一 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
(1)方程组的解集;
(2)集合{x∈N*|x-1<2x+1<7};
(3)被3除余2的正整数组成的集合;
(4)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合.
变式 用列举法表示下列集合,并判断是有限集还是无限集.
(1)从正方形ABCD的四个顶点中任取三个为顶点作三角形,由这些三角形组成的集合;
(2)方程(x-2)2(x+1)=0的根组成的集合;
(3)一次函数y=2x与y=x+2的图象的交点组成的集合;
(4)所有正整数组成的集合.
[素养小结]
列举法表示集合的步骤及注意事项:
(1)列举法表示集合要分清元素的属性,即元素是数、是点还是图形,若是点,则要用坐标表示,元素与元素之间用“,”隔开.
(2)列元素时要做到不重复、不遗漏.
(3)元素个数较少的有限集或元素间存在明显规律的无限集可用列举法表示.但具有一定规律的无限集,如{1,2,3,4,…},就要考虑元素间的规律性,不能写成{2,1,4,3,…}.列举法在表示无限集时若用到字母,则需要在集合后注明字母范围.
◆ 探究点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
(1)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合;
(2)满足不等式5x+2>3x-4的实数x组成的集合;
(3)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合;
(4)所有正偶数组成的集合.
变式 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
(1);
(2)在自然数集内,小于1000的奇数组成的集合;
(3)二次函数y=x2+3x-12的图象上所有点的纵坐标组成的集合;
(4)图中阴影部分的点(含边界)组成的集合.
[素养小结]
描述法表示集合的步骤及注意事项:
(1)确定集合中元素的特征.
(2)给出其满足的性质.
(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.
(4)用描述法表示集合时,要注意表示形式的规范,在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2+2x=0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2+2x=0},也可写成{x|x2+2x=0}.
◆ 探究点三 用区间表示集合
例3 用区间表示下列集合:
(1){x|x≥3};(2){x|-1变式 (1)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是 .
(2)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为 .
(3)使有意义的x的取值范围为 (用区间表示).
[素养小结]
解决区间问题应注意的五点:
(1)区间的左端点a必须小于右端点b,有时我们将b-a称为区间长度.对于只有一个元素的集合,我们仍然用集合来表示,如当a=b时,用{a}表示.
(2)注意开区间(a,b)与点(a,b)在具体情景中的区别.
(3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(4)对于一个不等式的所有解组成的集合,我们既可以用集合形式来表示,也可以用区间形式来表示.
(5)要注意区间表示实数集的几条原则:数集是连续的、左小、右大、开或闭不能混淆、用“+∞”或“-∞”作为区间端点时要用开区间符号.
◆ 探究点四 与方程解集有关的集合问题
例4 已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A是空集,求实数a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值;
(3)若A中至多只有一个元素,求实数a的取值范围.
变式 已知集合A={x∈R|(a2-1)x2+2(a+1)x+1=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,写出这个元素.
[素养小结]
对于集合{x|ax2+bx+c=0,c≠0}:
(1)当集合中只有一个元素时,有或
(2)当集合中有两个元素时,有a≠0且Δ>0;
(3)当集合为空集时,有a≠0且Δ<0或a=0,b=0.
1.集合{x|0≤x<2}可用区间表示为 ( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.[0,2) D.[0,2]
2.集合{(x,y)|y=2x-1} 表示 ( )
A.方程y=2x-1
B.点(x,y)
C.平面直角坐标系中所有点组成的集合
D.函数y=2x-1的图象上所有点组成的集合
3.已知集合A=,则用列举法表示A为 ( )
A. B.
C. D.
4.直角坐标平面中除去两点A(1,1),B(2,-2)可用集合表示为 ( )
A.{(x,y)|x≠1,y≠1,x≠2,y≠-2}
B.
C.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)2+(y+2)2]≠0}
D.{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]≠0}
5.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6(共68张PPT)
1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第2课时 集合的表示
探究点一 列举法表示集合
探究点二 用描述法表示集合
探究点三 用区间表示集合
探究点四 与方程解集有关的集合问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能用符号语言刻画集合,能正确使用区间符号表示某些集合.
知识点一 集合的表示法
1.列举法：把集合中的元素__________出来（相邻元素之间用逗号分
隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.
一一列举
2.描述法：一般地，如果属于集合的任意一个元素 都具有性质
，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质 称为集
合的一个特征性质.此时，集合可以用它的特征性质 表示为
__________，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为
描述法.
集合中所有在另一个集合 中的元素组成的集合，可以表示
为____________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）方程的实数根组成的集合为, .( )
√
[解析] 正确.解方程得或 ,用列举法表示其组成的集合为
, .
（2）由直线 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的
集合为,, .( )
×
[解析] 直线上的点是点集，不是数集，因此用描述法表示为
, }.
（3）集合 中的元素是1和2.( )
×
[解析] 所给集合的元素是有序实数对，所以元素应当为 .
（4）集合与集合 表示同一个集合．( )
√
[解析] 由得，故集合和 表示同一个集合.
知识点二 区间及其表示
1.已知,是两个实数，且 .
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间 ______ _____________________________________
_____________ 开区间 _____________________________________
半开半闭区间 ______ _____________________________________
_____________ 半开半闭区间 _____________________________________
2.如果用“ ”表示“正无穷大”，用“ ”表示“负无穷大”，则实数
集 可表示为区间__________.
定义 区间 数轴表示
________ ___________________________________
__________ ___________________________________
__________ __________________________________
________ ____________________________________
【诊断分析】
（1）在集合中，当时，集合为 ，那么在区间
中,, 是否可以相等？
解：无论是闭区间还是开区间，区间中的两个端点都不能相等.
（2）空集能否用区间表示？
解：空集不能用区间表示.
探究点一 列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
（1）方程组 的解集;
解：由解得
故方程组的解集为 ，该集合是有限集.
（2）集合 ;
解：由，解得 ，则
,该集合
是有限集.
（3）被3除余2的正整数组成的集合；
解：被3除余2的正整数可表示为 ,所以被3除余2的
正整数组成的集合是,5,8, ,, ，该集合是无限集.
（4）所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合.
解：小于13的既是奇数又是素数的自然数有3，5，7，11，可用列举
法表示为 ，该集合是有限集.
变式 用列举法表示下列集合,并判断是有限集还是无限集.
（1）从正方形 的四个顶点中任取三个为顶点作三角形,由这些
三角形组成的集合;
解：从正方形 的四个顶点中任取三个为顶点所作的三角形有
,,,,则所求集合为,, ,
，该集合为有限集.
（2）方程 的根组成的集合;
解：方程的根是2和 ,所以方程
的根组成的集合是, ，该集合为有限集.
（3）一次函数与 的图象的交点组成的集合;
解：解方程组得故所求集合为 ，该集合为
有限集.
（4）所有正整数组成的集合．
解：正整数有1,2,3， ，故所求集合为,2,3， ，该集合为无限集.
［素养小结］
列举法表示集合的步骤及注意事项:
（1）列举法表示集合要分清元素的属性，即元素是数、是点还是图
形，若是点，则要用坐标表示，元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列元素时要做到不重复、不遗漏.
（3）元素个数较少的有限集或元素间存在明显规律的无限集可用列
举法表示.但具有一定规律的无限集,如,2,3,4,,就要考虑元素间的
规律性,不能写成,1,4,3,.列举法在表示无限集时若用到字母,则需
要在集合后注明字母范围.
探究点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
（1）二次函数 的图象上所有的点组成的集合；
解：二次函数 的图象上所有的点组成的集合为
，该集合是无限集.
（2）满足不等式的实数 组成的集合;
解：由不等式,解得,则所求集合为 ，
该集合是无限集.
（3）平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
解：设点在第四象限,则, ,所以平面直角坐标系中第
四象限内的点组成的集合为且 ，该集合是无限集.
（4）所有正偶数组成的集合.
解：所有正偶数组成的集合为， ，该集合是无限集.
变式 用描述法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集.
（1） ；
解：集合可用描述法表示为 ，该集
合是有限集.
（2）在自然数集内，小于1000的奇数组成的集合；
解：在自然数集内，小于1000的奇数组成的集合可用描述法表示为
，且 ，该集合是有限集.
（3）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合；
解：二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合
为 ，该集合是无限集.
（4）图中阴影部分的点（含边界）组成的集合．
解：题图中阴影部分的点（含边界）组成的集
可用描述法表示为 ，
该集合是无限集.
［素养小结］
描述法表示集合的步骤及注意事项：
（1）确定集合中元素的特征.
（2）给出其满足的性质.
（3）根据描述法的形式写出其满足的集合.
（4）用描述法表示集合时,要注意表示形式的规范,在通常情况下,集
合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程
的实数解组成的集合可表示为,也可
写成.
探究点三 用区间表示集合
例3 用区间表示下列集合：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
变式（1）已知区间，则 的取值范围是__________.
[解析] 由题意得，解得，即 的取值范围为
.
（2）用区间表示且 为_______________.
[解析] 且用区间表示为 .
（3）使有意义的 的取值范围为________（用区间表示）.
[解析] 要使有意义，则，即 ，用区间表示为
.
［素养小结］
解决区间问题应注意的五点：
（1）区间的左端点必须小于右端点，有时我们将称为区间
长度.对于只有一个元素的集合，我们仍然用集合来表示，如当
时，用表示.
（2）注意开区间与点在具体情景中的区别.
（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
（4）对于一个不等式的所有解组成的集合，我们既可以用集合形式
来表示，也可以用区间形式来表示.
（5）要注意区间表示实数集的几条原则：数集是连续的、左小、右
大、开或闭不能混淆、用“ ”或“ ”作为区间端点时要用开区
间符号.
探究点四 与方程解集有关的集合问题
例4 已知集合，其中为常数，且 .
（1）若是空集，求实数 的取值范围；
解：若是空集，则方程 无解，此时
，解得 ，
故实数的取值范围为 .
（2）若中只有一个元素，求 的值；
解：若中只有一个元素，则方程 有且只有一个实根.
当时，该方程为一元一次方程，满足条件;
当 时，有，解得.
综上，或 .
（3）若中至多只有一个元素，求实数 的取值范围.
解：若中至多只有一个元素，则为空集，或 中有且只有一个元素,
由（1）（2）得满足条件的实数的取值范围是 .
例4 已知集合，其中为常数，且 .
变式 已知集合，其中
为常数，且 .
（1）若是空集，求 的取值范围；
解：若是空集，则方程 无解.
若解得，此时方程为，无解，
故 满足题意；
若解得 .
综上，的取值范围为 .
（2）若 中只有一个元素，写出这个元素.
解：若中只有一个元素，则方程 有
且只有一个实数根.
若解得 ，此时方程为，解得，
即集合中的元素是 ；
若 无解.
综上所述，若中只有一个元素，则，此时集合 中的元素是 .
变式 已知集合，其中
为常数，且 .
［素养小结］
对于集合，
（1）当集合中只有一个元素时,有或
（2）当集合中有两个元素时,有且；
（3）当集合为空集时，有且或，.
1.集合 可用区间表示为( )
A. B. C. D.
[解析] 集合可表示为 .
√
2.集合 表示( )
A.方程
B.点
C.平面直角坐标系中所有点组成的集合
D.函数 的图象上所有点组成的集合
[解析] 表示坐标平面上的点，且点在函数 的图
象上.故选D.
√
3.已知集合，则用列举法表示 为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以,2,3,6，可得,1,0, ，
因为，所以,2，则集合 .故选B.
√
4.直角坐标平面中除去两点， 可用集合表示为( )
A.,,,
B.
C.
D.
√
[解析] A选项中除去的是四条线,,, ，故A选
项错误；
B选项中除去的是或除去的是 或者同时除去两个点，
故B选项错误；
C选项中 且，即除去
两点， ，故C选项正确；
D选项中任意点 都不能使
成立，即不能同时排除， 两点，故D选项错误.故选C.
5.设集合，，,，则 中元
素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 当，时， 的值为5,6,6,7,7,8，有4个不同的值，
即，因此 中有4个元素.故选B.
√
元素的分析法：
集合离不开元素，分析元素是解决集合问题的核心，元素分析法就
是抓住元素进行分析.
例1（1）给出以下5组集合：
①，， ；
②，，， ；
③ ， ；
④， .
其中是相等集合的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
√
[解析] 对于①，中有一个元素，是点 ，
，中有两个元素，3；
对于②，， ，，，集合和集合中的元素不同；
对于③， ，，是空集， 中有一个元素0；
对于④，，，和 中
都有两个元素1，2，所以 .故选A.
（2）已知集合 ，
，当时，集合
( )
A. B. C. D.
[解析] 由知， ，
且，解得， ，
则 可化为，
即，解得 或，所以集合 .
√
例2 有下列三个集合：
；
；
．
（1）它们是不是相同的集合？
解：不是．
（2）它们各自的含义分别是什么？
解：集合 ；
集合 ；
集合，是满足 的数对，可以认为集
合是由坐标平面内满足的点 构成的．
例2 有下列三个集合：
；
；
．
练习册
1.［2025·云南红河高一期中］若集合 中只
有一个元素，则 ( )
A.0 B.1 C.0或 D.0或1
√
[解析] 当时，方程只有一个解 ，则集合
中只有一个元素，因此满足题意；
当 时，由集合中只有一个元素，得 有两个相等
的实根，则，解得，满足题意.
综上可得，或 .故选C.
2.下列叙述正确的是( )
A.用区间可表示为
B.用区间可表示为
C.用集合可表示为
D.用集合可表示为
[解析] 对于A，用区间可表示为 ，故A错误；
对于B，用区间可表示为 ，故B错误；
对于C，用集合可表示为，故C错误；
对于D， 用集合可表示为 ，故D正确.故选D.
√
3.［2025·山东威海高一期末］给出下列说法：
①在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为
；
②所有奇数组成的集合为 ；
③集合与 是同一集合.
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
√
[解析] 第一象限内的点的坐标满足,，即 ，第
三象限内的点的坐标满足,，即 ，故①正确；
所有奇数组成的集合为, ，故②错误；
集合是点集，集合 表示数集，不是同一
集合，故③错误.故选A.
★4.在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为( )
A.，或，
B.且
C.
D.， 不同时为零}
√
[解析] A中的集合表示轴和 轴上的点，但不包含原点，故A错误；
B中的集合只有一个元素，就是原点，故B错误；
对于C，由 可知或 ，即表示坐标轴上的点构成的集合，
故C正确；
D中的集合表示平面中的点，但不包含原点，故D错误.故选C.
［易错］ 注意对“且”与“或”的理解.
★5.设集合,},若且 ，
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知集合，,若且 ，
则实数的取值范围为 .故选C.
［易错］ 混淆集合中元素的形式及对其范围的判断.
√
6.已知集合,，, ，
,，,，若 ，
，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以， ，其中
,，所以，其中 ，所以
.故选D.
√
7.（多选题）［2024·安徽合肥高一期末］ 下列四个说法中不正确的
是( )
A. 是空集
B.若，则
C.集合 中只有一个元素
D.集合 是有限集
√
√
√
[解析] 对于A，含有一个元素0，所以 不是空集，故A中说法错误；
对于B，当时，， ，故B中说法错误；
对于C， ，只有一
个元素，故C中说法正确；
对于D，当 为正整数的倒数时，都有，所以集合是
无限集，故D中说法错误.故选 .
8.两边长分别为3，5的三角形中，第三条边长可取的整数组成的集合
用列举法表示为________________，用描述法表示为
______________________.
，4，5，6，
，}
[解析] 设三角形第三条边的长度为，则即 所以
.
又三角形的第三条边长是整数，所以第三条边长可取的整数组成的集合
用列举法表示为，4，5，6， ，用描述法表示为， }．
9.（13分）用适当的方法表示下列集合：
（1）奇数的集合；
解：奇数的集合用描述法表示为, }.
（2）正偶数的集合；
解：正偶数的集合用描述法表示为, .
（3）,, ；
解：,,,, .
（4）不等式 的解集.
解：由，解得，所以不等式的解集为 .
10.下列说法中正确的是( )
A.方程 的解能用集合表示
B.集合 是有限集
C.区间 是只含2,3两个元素的集合
D.对于区间， 可以取任何数
√
[解析] 对于A,原方程无解,所以其解能用空集表示,故A正确;
对于B,满足的有无数个,集合 是无限集,故B错误；
对于C，区间 表示的是大于等于2且小于等于3的所有实数，故C错误；
对于D，由，得 ，故D错误.故选A.
11.（多选题）下列四个说法中正确的是( )
A.方程的解集为,
B.由所确定的实数集合为,0,
C.集合,,}用列举法表示为 ,
,
D. 中含有3个元素
√
√
[解析] 对于A,方程的解为 解集为
，故A错误.
对于B，当，同为正数时， ；
当，一正一负时，；
当，同为负数时， .
故由所确定的实数集合为,0, ，故B正确.
对于C，因为,,，所以当时， ；
当时，；当时，.故集合 ,
,}可以化简为,, ，故C正确.
对于D，因为,，所以当时，；
当时， ；当时，；当时， .
故,0,1,，则 中含有4个元素，故D错误.
故选 .
12.已知集合, }中只有一个整数元素，
则实数 的取值范围为______.
[解析] 因为集合, }中只有一个整数元
素，所以，即，此时，所以 可得
，故实数的取值范围为 .
13.［2025·吉林长春高一期中］已知集合 ，平面直角坐
标系中的点集,, .若用一张完整无
破损的纸片去覆盖点集 中的所有点，则这张纸片的面积至少是__.
[解析] ， ,
,，,,, ,
,,,,, ，如图所示，
故这张纸片的面积至少是 .
14.（13分）已知集合， ，
试问集合与 中有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的
集合．
解：因为，，所以当时，；
当 时， ；当时， .
所以，，所以集合与 中有2个相同的元素，
集合,中的相同元素组成的集合为 ．
15.［2025·上海普陀区高一期末］对正整数，记,2,3, , ,
.
用列举法表示集合 ___________________________.
[解析] 当时，.对于 ，
当，时，；当，时，；
当 ，时，.当，时，；
当 ，时，；当，时，.
当 ，时，；当，时， ；
当，时， .
综上， .
16.（15分）已知集合 ，
，用符号表示非空集合
中元素的个数，定义若，求实数 的
所有可能取值构成的集合 .
解：，，或.当时， 或 .
当时，方程 有3个解，所以
只有一个解且不为1和，则 ，解得 .
当时，，解得 ，不符合题意；
当时，，解得 ，符合题意.
综上可得，,1, .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.一一列举 2.
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）× （4）√
知识点二 1.
2. 【诊断分析】 略
课中探究 例1 （1）>，有限集（2）, 有限集
（3）,5,8, ,,，无限集 （4），有限集 变式 略
例2 （1），无限集 （2），无限集
（3）且，无限集 （4），，无限集 变式 略
例3 （1） （2） （3）
变式 （1） （2） （3）
例4 （1） （2）或 （3）
变式（1）> （2）若中只有一个元素，则，此时集合中的元素是
课堂评价 1.C 2.D 3.B 4.C 5.B
快速核答案 （练习册）
基础巩固
1.C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.ABD
8.，4，5，6， ，}
9.（1）,} （2）, （3）,,
（4）
综合提升
10.A 11.BC 12. 13.
14. 集合与中有2个相同的元素，集合,中的相同元素组成的集合为
思维探索
15. 16. ,1,第2课时 集合的表示
1.C [解析] 当a=0时,方程-2x+2=0只有一个解x=1,则集合A={1}中只有一个元素,因此a=0满足题意;当a≠0时,由集合A中只有一个元素,得ax2-2x+2=0有两个相等的实根,则Δ=4-8a=0,解得a=,满足题意.综上可得,a=0或a=.故选C.
2.D [解析] 对于A,{x|x>1}用区间可表示为(1,+∞),故A错误;对于B,{x|-33.A [解析] 第一象限内的点(x,y)的坐标满足x>0,y>0,即xy>0,第三象限内的点(x,y)的坐标满足x<0,y<0,即xy>0,故①正确;所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1,n∈Z},故②错误;集合{(x,y)|y=1-x}是点集,集合{x|y=1-x}表示数集,不是同一集合,故③错误.故选A.
4.C [解析] A中的集合表示x轴和y轴上的点,但不包含原点,故A错误;B中的集合只有一个元素,就是原点,故B错误;对于C,由xy=0可知x=0或y=0,即表示坐标轴上的点构成的集合,故C正确;D中的集合表示平面中的点,但不包含原点,故D错误.故选C.
[易错] 注意对“且”与“或”的理解.
5.C [解析] 由题知集合A={x|x≥1},B={y|y≥0},若a∈B且a A,则实数a的取值范围为[0,1).故选C.
[易错] 混淆集合中元素的形式及对其范围的判断.
6.D [解析] 因为a∈B,b∈C,所以a=4m+1,b=4n+2,其中m∈Z,n∈Z,所以a+b=4(m+n)+3,其中m+n∈Z,所以a+b∈D.故选D.
7.ABD [解析] 对于A,{0}含有一个元素0,所以{0}不是空集,故A中说法错误;对于B,当a=0时,a∈N,-a∈N,故B中说法错误;对于C,{x∈R|x2-2x+1=0}={x∈R|(x-1)2=0}={1},只有一个元素,故C中说法正确;对于D,当x为正整数的倒数时,都有∈N,所以集合是无限集,故D中说法错误.故选ABD.
8.{3,4,5,6,7} {x|29.解:(1)奇数的集合用描述法表示为{x|x=2k-1,k∈Z}.
(2)正偶数的集合用描述法表示为{x|x=2k,k∈N*}.
(3)B={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*}={(1,3),(2,2),(3,1)}.
(4)由3x-8≥7-2x,解得x≥3,所以不等式的解集为{x|x≥3}.
10.A [解析] 对于A,原方程无解,所以其解能用空集表示,故A正确;对于B,满足40,得a>2,故D错误.故选A.
11.BC [解析] 对于A,方程+|y+2|=0的解为解集为{(2,-2)},故A错误.对于B,当a,b同为正数时,+=2;当a,b一正一负时,+=0;当a,b同为负数时,+=-2.故由+(a≠0,b≠0)所确定的实数集合为{-2,0,2},故B正确.对于C,因为3x+2y=16,x∈N,y∈N,所以当x=0时,y=8;当x=2时,y=5;当x=4时,y=2.故集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}可以化简为{(0,8),(2,5),(4,2)},故C正确.对于D,因为∈N,a∈Z,所以当a=-3时,=1;当a=0时,=2;当a=1时,=3;当a=2时,=6.故A=={-3,0,1,2},则A中含有4个元素,故D错误.故选BC.
12.[0,1) [解析] 因为集合A={x|1-a≤x≤1+a,a∈R}中只有一个整数元素,所以1-a≤1+a,即a≥0,此时1∈A,所以可得0≤a<1,故实数a的取值范围为[0,1).
13. [解析] ∵A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},∴B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},如图所示,故这张纸片的面积至少是×3×3=.
14.解:因为x∈N,∈N,所以当x=1时,=1;当x=7时,=3;
当x=9时,=9.
所以A={1,7,9},B={1,3,9},所以集合A与B中有2个相同的元素,集合A,B中的相同元素组成的集合为{1,9}.
15. [解析] 当n=3时,I3={1,2,3}.对于P3=,当k=1,m=1时,=1;当k=1,m=2时,=2;当k=1,m=3时,=3.当k=2,m=1时,==;当k=2,m=2时,=;当k=2,m=3时,==.当k=3,m=1时,==;当k=3,m=2时,==;当k=3,m=3时,=.综上,P3=.
16.解:∵=2,A※B=1,∴=1或=3.当=1时,a=0或a=1.
当=3时,方程(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0有3个解,所以x2-ax+1=0只有一个解且不为1和,则Δ=a2-4=0,解得a=±2.
当a=2时,x2-2x+1=0,解得x=1,不符合题意;
当a=-2时,x2+2x+1=0,解得x=-1,符合题意.
综上可得,P={0,1,-2}.第2课时 集合的表示
1.[2025·云南红河高一期中] 若集合A={x|ax2-2x+2=0}中只有一个元素,则a= ( )
A.0 B.1
C.0或 D.0或1
2.下列叙述正确的是 ( )
A.{x|x>1}用区间可表示为[1,+∞)
B.{x|-3C.(-∞,3]用集合可表示为{x|x<3}
D.[2,4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}
3.[2025·山东威海高一期末] 给出下列说法:
①在平面直角坐标系内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};
②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};
③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.
其中正确说法的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.0
★4.在直角坐标系内,坐标轴上的点构成的集合可表示为 ( )
A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}
B.{(x,y)|x=0且y=0}
C.{(x,y)|xy=0}
D.{(x,y)|x,y不同时为零}
★5.设集合A={x|y=},B={y|y=},若a∈B且a A,则实数a的取值范围为 ( )
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
C.[0,1) D.[0,1]
6.已知集合A={x|x=4k,k∈Z},B={x|x=4m+1,m∈Z},C={x|x=4n+2,n∈Z},D={x|x=4t+3,t∈Z},若a∈B,b∈C,则下列说法正确的是 ( )
A.a+b∈A B.a+b∈B
C.a+b∈C D.a+b∈D
7.(多选题)[2024·安徽合肥高一期末] 下列四个说法中不正确的是 ( )
A.{0}是空集
B.若a∈N,则-a N
C.集合{x∈R|x2-2x+1=0}中只有一个元素
D.集合是有限集
8.两边长分别为3,5的三角形中,第三条边长可取的整数组成的集合用列举法表示为 ,用描述法表示为 .
9.(13分)用适当的方法表示下列集合:
(1)奇数的集合;
(2)正偶数的集合;
(3)B={(x,y)|x+y=4,x∈N*,y∈N*};
(4)不等式3x-8≥7-2x的解集.
10.下列说法中正确的是 ( )
A.方程(x-1)2=-1的解能用集合表示
B.集合{x|4C.区间[2,3]是只含2,3两个元素的集合
D.对于区间[a+1,2a-1],a可以取任何数
11.(多选题)下列四个说法中正确的是 ( )
A.方程+|y+2|=0的解集为{2,-2}
B.由+(a≠0,b≠0)所确定的实数集合为{-2,0,2}
C.集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}用列举法表示为{(0,8),(2,5),(4,2)}
D.A=中含有3个元素
12.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a,a∈R}中只有一个整数元素,则实数a的取值范围为 .
13.[2025·吉林长春高一期中] 已知集合A={1,2,3,4,5},平面直角坐标系xOy中的点集B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}.若用一张完整无破损的纸片去覆盖点集B中的所有点,则这张纸片的面积至少是 .
14.(13分)已知集合A=,B=,试问集合A与B中有几个相同的元素 并写出由这些相同元素组成的集合.
15.[2025·上海普陀区高一期末] 对正整数n,记In={1,2,3,…,n},Pn=.
用列举法表示集合P3= .
16.(15分)已知集合A={0,2},B={x|(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0},用符号表示非空集合A中元素的个数,定义A※B=若A※B=1,求实数a的所有可能取值构成的集合P.
