1.1.2 集合的基本关系
【课前预习】
知识点一
任意一个 A B 包含 A B B A 包含于 包含
A不包含于B B不包含A 至少有一个 A B B A
真包含于 真包含 子集 子集
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)“ ”用来表示集合与集合间的关系,故错误.
(2)任意集合都是它自身的子集,空集是任意一个集合的子集,所以任何一个非空集合的子集至少有两个,而空集的子集只有空集,仅一个.
(3)集合A是它本身的子集,但不是真子集,故错误.
(4)一般地,若集合A中元素的个数为n(n∈N*),则其真子集的个数为2n-1,故正确.
2.④⑤⑥⑦ [解析] 表示空集,集合中不含有任何元素,所以①②③不正确;当 作为{ }中的一个元素时,有 ∈{ },所以④正确;{0}是单元素集,只含有一个元素0,所以⑤正确;因为空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集,所以⑥与⑦正确.
3.解:(1)N*是N的子集,也是N的真子集.
N是Q的子集,也是Q的真子集.
(2) B,C都是A的子集,也都是A的真子集.
知识点二
诊断分析
0或-1 [解析] 若集合A={x|ax2-2x-1=0}恰有两个子集,则集合A中只有一个元素.当a=0时,A={x|-2x-1=0}=,符合要求;当a≠0时,由Δ=4+4a=0,得a=-1,此时A={x|-x2-2x-1=0}={-1},符合要求.综上,a的值可能是0或-1.
【课中探究】
例1 (1)D (2)①B A ②A B ③ ④
[解析] (1)由空集的性质知, ≠{ },{0}≠ , {0},故A,B,C错误;由元素与集合关系知,0∈{0},故D正确.故选D.
(2)①因为梯形是四边形,四边形不一定是梯形,所以B A.
②将集合A与集合B在数轴上表示出来,如图所示,所以集合A与集合B的关系为A B.
③集合A是由偶数构成的集合,集合B是由4的倍数构成的集合,所以A B.
④集合M是第四象限内的点构成的集合,集合N是第二、四象限内的点构成的集合,所以M N.
变式 (1)D [解析] 由已知得集合M={x|x2+3x=0}={-3,0}.∵N={-3,0,3},∴M N,∴表示集合M={x|x2+3x=0},N={-3,0,3}关系的维恩图是D选项中的图.故选D.
(2)解:①当a=2,b=-1时,集合B={x|1
②当a>0时,集合B=,由A=B得=-1,=3,解得a=1,b=2;
当a<0时,集合B=,此时=-1,=3,解得a=-1,b=4.
综上所述,实数对(a,b)构成的集合为{(1,2),(-1,4)}.
例2 解:(1)当集合A含有2个元素时,A为{1,2};当集合A含有3个元素时,A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};当集合A含有4个元素时,A为{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
当集合A含有5个元素时,A为{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合A为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
(2)因为包含变成了真包含,所以在(1)中所得集合的基础上去掉{1,2}和{1,2,3,4,5},故满足条件的集合A有6个.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)因为集合A={x∈N|-4(2)因为A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,且xy∈A},所以B={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)},因为集合B中含有5个元素,所以集合B的真子集的个数为25-1=31.故选C.
拓展 {0,1,-1} [解析] 由题意知A中仅有一个元素.①当m=0时,方程为-2x=0,解得x=0,此时A={0},满足集合A仅有两个子集;②当m≠0时,方程有两个相等实根,所以Δ=4-4m2=0,解得m=±1,此时A={1}或A={-1},满足集合A仅有两个子集.故实数m的取值集合为{0,1,-1}.
例3 (1)-1或2 (2){a|-2(2)①当a=0时,B= A,满足题意;
②当a>0时,B={x|ax+2≤0}=,则-≤-2,又a>0,所以0③当a<0时,B={x|ax+2≤0}=,则->1,又a<0,所以-2综上所述,实数a的取值范围是{a|-2变式 (-∞,-2] [解析] A={x|x2+5x-6=0}={-6,1}.当B为空集时,Δ=4(m+1)2-4(m2-3)<0,解得m<-2.当B不为空集时,若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)=0,则m=-2,此时B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}={1},满足题意;若Δ=4(m+1)2-4(m2-3)>0,则m>-2,由根与系数的关系得此时m无解.综上,实数m的取值范围是(-∞,-2].
【课堂评价】
1.B [解析] 由题知{x|x3=1}={1},{x|x2=1}={1,-1},={1}.故选B.
2.A [解析] 在A中,因为{a}为一个集合,所以{a} {a,b},故A中表示错误;在B中,集合中的元素具有无序性,一个集合是它本身的子集,故B中表示正确;在C中,{-1,1}中的元素都在{-1,0,1}中,故{-1,1} {-1,0,1},故C中表示正确;在D中,空集是任何集合的子集,故D中表示正确.故选A.
3.BD [解析] 由题意得,A={x|x2-3x+2=0}={2,1}.当B= 时,a=0,符合题意;当B≠ 时,a≠0,B=,因为B A,所以=2或=1,所以a=1或a=2.故C={0,1,2}.集合C的子集个数为23=8,故D正确,C错误;集合C的非空真子集个数为23-2=6,故B正确,A错误.故选BD.
4.[-1,+∞) [解析] 当B= 时,m+1≤2m-1,解得m≥2;当B≠ 时,解得-1≤m<2.综上,实数m的取值范围为[-1,+∞).1.1.2 集合的基本关系
1.C [解析] 对于A, { },故A中说法正确;对于B,{3,4} {4,3},故B中说法正确;对于C,{0,1}与{(0,1)}没有包含关系,故C中说法错误;对于D,{π} Q,故D中说法正确.故选C.
2.D [解析] 因为[-1,2) (-∞,k],所以k≥2.故选D.
3.D [解析] 集合{0,1,2,3}中有4个元素,故集合{0,1,2,3}的子集有24=16(个),即满足条件的集合A的个数为16.故选D.
4.A [解析] 由B=A,得a-2=0或3a-4=0,解得a=2或a=.当a=2时,B={0,2}=A,符合题意;当a=时,B=≠A,不符合题意.所以a=2.故选A.
5.A [解析] 因为M={y|y=x2-1,x∈R}={y|y≥-1}=[-1,+∞),P={x|x=|a|-1,a∈R}={x|x≥-1}=[-1,+∞),所以M=P,故选A.
6.C [解析] 由题意得A={1,2},B={1,2,3,4,5,6,7},因为A C B,所以{1,2} C {1,2,3,4,5,6,7},所以集合C的个数为集合{3,4,5,6,7}的非空子集的个数,故满足A C B的集合C的个数为25-1=31.故选C.
7.ABC [解析] 由题意,当Q= 时,a=0,符合题意;当Q≠ 时,由Q P,得a=1或a=-1.故选ABC.
8.3 [解析] 满足{a,b} M {a,b,c,d}的集合有{a,b},{a,b,c},{a,b,d},共3个.
9.解:由题意知A={x|-2≤x≤1}.
①若B= ,则2m+1②若B≠ ,则解得-1≤m≤0.
综上,实数m的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,0].
10.B [解析] 因为每个元素在集合P的所有非空子集中都出现了25次,所以对P的所有非空子集中的每一个元素m都乘(-1)m再求和的总和是25×[(-1)1×1+(-1)3×3+(-1)4×4+(-1)6×6+(-1)8×8+(-1)9×9]=160.故选B.
11.BD [解析] 对于A,A={y|y≥1},B=R,则A≠B,A错误.对于B,因为集合={0,4},所以它的非空真子集有22-2=2(个),B正确.对于C,因为集合M={1,m,m2+3},且4∈M,所以m=4或m2+3=4.当m2+3=4时,解得m=1或m=-1.当m=1时,集合M不符合元素的互异性,舍去,故m=4或m=-1,故C错误.对于D,集合A是由奇数组成的集合,集合B是由被4除余1的整数组成的集合,则B A,故D正确.故选BD.
12.B A [解析] 因为2π∈A,2π B,所以A≠B.取任意x∈B,则x=+n0π=,n0∈Z,因为2n0+1∈Z,所以x∈A,所以对任意x∈B,都有x∈A,即B A,又A≠B,所以B A.
13.(-∞,-2]∪[-1,2] [解析] ①若B= ,则m-1≥2m+1,解得m≤-2,满足题意;②若B≠ ,则解得-1≤m≤2.故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,2].
[易错点] 易漏掉对集合B是否为空集的讨论.
14.解:(1)当n=0时,A=.
∵A≠ ,∴m≠0,∴A=,
∵B A,∴=2或=3,
解得m=12或m=-12.
(2)若A=B,则A={2,3},
∴2和3为方程nx2-mx+-6=0的两个解,
∴n≠0,则=5,=6,解得m=,n=,
此时Δ=(-m)2-4×n×=-10××+24×=>0,
故m=,n=.
(3)①若n=0.
当m=0时,则A= ,不满足A≠ ,所以m≠0.
当m≠0时,则A=.
当=2时,m=12,此时A={2},满足B A;
当=3时,m=-12,此时A={3},满足B A.
②若n≠0.
当Δ=0时,m2-4n=0.
当2∈A时,4n-2m+-6=0,
由解得此时A={2},满足B A.
当3∈A时,9n-3m+-6=0,
由解得此时A={3},满足B A.
当Δ>0时,m2-4n>0,此时A=B,
则解得
此时Δ=-4××>0,满足B A.
综上所述,集合D=.
15.C [解析] 当a=1时,6-a=5;当a=2时,6-a=4;当a=3时,6-a=3;当a=4时,6-a=2;当a=5时,6-a=1.所以满足条件的非空集合M可能是{1,5},{2,4},{3},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
16.解:(1)当s=t=1时,s2+3t2=4;
当s=t=3时,s2+3t2=36;
当s=t=5时,s2+3t2=100;
当s=1,t=3时,s2+3t2=28;
当s=3,t=1时,s2+3t2=12;
当s=1,t=5时,s2+3t2=76;
当s=5,t=1时,s2+3t2=28;
当s=3,t=5时,s2+3t2=84;
当s=5,t=3时,s2+3t2=52.
所以A={4,12,28,36,52,76,84,100},它有8个元素,则集合A有28-2=254(个)非空真子集.
(2)证明:设x=s2+3t2,s,t∈Z,则7x=7(s2+3t2)=7s2+21t2=(2s+3t)2+3(s-2t)2∈A,得证.1.1.2 集合的基本关系
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
2.能用维恩图表达集合的基本关系.
◆ 知识点一 子集与真子集
类别 文字语言 图形语言 符号表示、读法
子 集 如果集合A的 元素都是集合B的元素,那么集合 称为集合 的子集,两个集合有 关系 符号表示: (或 ). 读作:A B(或B A)
对应地,如果A不是B的子集,则记作A B(或B A),读作“ ”(或“ ”)
真 子 集 如果集合A是集合B的子集,并且B中 元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集 符号表示: (或 ). 读作:A B(或B A)
任意集合A都是它自身的 ,即A A.
规定:空集是任意一个集合的 .
性质:(1)对于集合A,B,C,若A B,B C,则A C;
(2)对于集合A,B,C,若A B,B C,则A C.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)0 {x|x<5,x∈R}. ( )
(2)任何一个集合的子集至少有两个. ( )
(3)设A是一个集合,则A A. ( )
(4)若集合A中有3个元素,则集合A共有7个真子集. ( )
2.下列关系中正确的是 .(填序号)
① =0;② ={0};③ ={ };④ ∈{ };⑤0∈{0};⑥ {0};⑦ { }.
3.(1)正整数集N*与自然数集N之间是什么关系 自然数集N与有理数集Q之间是什么关系
(2)若高一(3)班有男生也有女生,集合A={x|x是全体高一(3)班学生},B={x|x是高一(3)班的男生},C={x|x是高一(3)班的女生},集合B,C与集合A是什么关系
◆ 知识点二 集合的相等与子集的关系
1.性质:如果A B且B A,则A=B;反之,如果A=B,则A B且B A.
2.维恩图:如图所示.
【诊断分析】 若集合A={x|ax2-2x-1=0}恰有两个子集,则a的值可能是 .
◆ 探究点一 集合间关系的判断
例1 (1)[2025·广东汕头高一期中] 下列关系式中正确的是 ( )
A. ={ } B.{0}=
C. ∈{0} D.0∈{0}
(2)指出下列各对集合之间的关系.
①若A={x|x是四边形},B={x|x是梯形},则 .(用 连接A,B)
②若A=(0,1),B=(-2,4),则 .(用 连接A,B)
③若A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},则A B.(填 或 )
④若M={(x,y)|x>0,y<0},N={(x,y)|xy<0},则M N.(填 或 )
变式 (1)下列能正确表示集合M={x|x2+3x=0},N={-3,0,3}关系的维恩图是 ( )
A B C D
(2)已知集合A={x|-1①当a=2,b=-1时,判断集合A,B间的关系;
②若A=B,求实数对(a,b)构成的集合.
[素养小结]
判断集合间关系的方法:
(1)用定义判断:
①对任意x∈A,都有x∈B,则A B;
②当A B时,存在x∈B且x A,则A B;
③若既有A B,又有B A,则A=B.
(2)数形结合判断:
利用数轴或维恩图进行判断,对于不等式表示的数集,可在数轴上表示出集合,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
◆ 探究点二 集合的子集与真子集
例2 (1)写出满足{1,2} A {1,2,3,4,5}的所有的集合A.
(2)满足{1,2} A {1,2,3,4,5}的集合A有多少个
变式 (1)集合A={x∈N|-4A.31 B.30 C.15 D.14
(2)已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,且xy∈A},则集合B的真子集的个数为( )
A.5 B.15 C.31 D.32
[素养小结]
(1)求集合子集、真子集的步骤
注意:要注意两个特殊的子集, 和自身.
(2)已知集合A中有n(n∈N*)个元素,则有下列结论:
①A的子集的个数为2n;
②A的非空子集的个数为2n-1;
③A的真子集的个数为2n-1;
④A的非空真子集的个数为2n-2.
拓展 集合A={x|mx2-2x+m=0}仅有两个子集,则实数m的取值集合为 .
◆ 探究点三 集合间关系的应用
例3 (1)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B A,则a= .
(2)[2025·山西大同高一期末] 已知集合A={x|x≤-2或x>1},B={x|ax+2≤0},且B A,则实数a的取值范围是 .
变式 已知集合A={x|x2+5x-6=0},B={x|x2+2(m+1)x+m2-3=0}.若B A,则实数m的取值范围是 .
[素养小结]
(1)由集合之间的包含关系求参数的两类问题:
①若集合中的元素是一一列举出来的,则依据集合之间的关系,可转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性.
②若集合中的元素有无限多个,无法一一列举(如不等式的解集),则常借助于数轴转化为不等式(组)求解,此时要注意端点值能否取到.
(2)由集合之间的包含关系求参数的注意点:
空集是任何集合的子集,因此在解A B(或A B且B≠ )的含参数问题时,要注意讨论A= 和A≠ 两种情况,前者常被忽视,造成解析不完整.
1.集合{x|x3=1},{x|x2=1},{1},中,与其他集合不相等的集合是 ( )
A.{x|x3=1} B.{x|x2=1}
C.{1} D.
2.下列表示错误的是 ( )
A.{a}∈{a,b} B.{a,b} {b,a}
C.{-1,1} {-1,0,1} D. {-1,1}
3.(多选题)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},B A,由实数a组成集合C,则下列选项中正确的是 ( )
A.集合C的非空真子集的个数是2
B.集合C的非空真子集的个数是6
C.集合C的子集的个数是4
D.集合C的子集的个数是8
4.已知集合A=[-3,4],B={x|2m-11.下列说法错误的是 ( )
A. { }
B.{3,4} {4,3}
C.{0,1} {(0,1)}
D.{π} Q
2.若[-1,2) (-∞,k],则实数k的取值范围是 ( )
A.k≤2 B.k≥-1
C.k>-1 D.k≥2
3.[2025·四川成都高一期中] 已知集合A满足A {0,1,2,3},则满足条件的集合A的个数为( )
A.8 B.10
C.14 D.16
4.[2025·浙江杭州高一期末] 设集合A={0,a},B={a-2,3a-4},若B=A,则a= ( )
A.2 B.1
C. D.-2
5.已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},P={x|x=|a|-1,a∈R},则集合M与P的关系是 ( )
A.M=P B.P∈R
C.M P D.M P
6.[2025·辽宁丹东高一期末] 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x∈N|0A.15 B.16
C.31 D.32
7.(多选题)已知集合P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若Q P,则a的值可能为 ( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
8.[2025·江苏南京高一期末] 所有满足{a,b} M {a,b,c,d}的集合M的个数为 .
9.(13分)[2025·湖北随州高一期末] 设集合A={x|-1≤x+1≤2},B={x|m-1≤x≤2m+1}.若B A,求实数m的取值范围.
10.已知集合P={1,3,4,6,8,9},对于它的任一非空子集A,可以将A中的每一个元素m都乘(-1)m再求和.例如A={3,4,6},则可求得和为(-1)3×3+(-1)4×4+(-1)6×6=7.对P的所有非空子集,这些和的总和为 ( )
A.80 B.160
C.162 D.320
11.(多选题)下列四个说法中正确的是 ( )
A.若集合A={y|y=x2+1},集合B={x|y=x2+1},则A=B
B.集合的非空真子集有2个
C.若集合M={1,m,m2+3},且4∈M,则m的取值构成的集合为{-1,1,4}
D.记集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=4n+1,n∈Z},则B A
12.已知集合A=,B=,则A与B的关系是 .
★13.[2025·安徽合肥高一期中] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-114.(15分)[2025·江苏泰州高一期中] 已知集合A=,集合B={2,3},A≠ ,且B A.
(1)若n=0,求实数m的值;
(2)若A=B,求实数m,n的值;
(3)求实数m的所有可能取值构成的集合D.
15.同时满足①M {1,2,3,4,5},②a∈M且6-a∈M的非空集合M的个数为 ( )
A.16 B.15
C.7 D.6
16.(15分)已知R的子集U为一个数集,集合A={s2+3t2|s,t∈U}.
(1)设U={1,3,5},求集合A的非空真子集的个数;
(2)设U=Z,证明:若x∈A,则7x∈A.(共73张PPT)
1.1 集合
1.1.2 集合的基本关系
探究点一 集合间关系的判断
探究点二 集合的子集与真子集
探究点三 集合间关系的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；
2.能用维恩图表达集合的基本关系.
知识点一 子集与真子集
类别 文字语言 图形语言 符号表示、读法
子集 _______________________________
任意一个
包含
包含于
包含
不包含于
不包含
类别 文字语言 图形语言 符号表示、读法
真子集 _____________________________
至少有一个
真包含于
真包含
续表
任意集合都是它自身的______，即 .
规定：空集是任意一个集合的______.
子集
子集
性质：（1）对于集合,,，若,，则 ;
（2）对于集合,,，若,，则 .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）, }.( )
×
[解析] “ ”用来表示集合与集合间的关系，故错误．
（2）任何一个集合的子集至少有两个．( )
×
[解析] 任意集合都是它自身的子集，空集是任意一个集合的子集，
所以任何一个非空集合的子集至少有两个，而空集的子集只有空集，
仅一个．
（3）设是一个集合，则 .( )
×
[解析] 集合 是它本身的子集，但不是真子集，故错误．
（4）若集合中有3个元素，则集合 共有7个真子集.( )
√
[解析] 一般地，若集合中元素的个数为 ，则其真子集的
个数为 ，故正确．
2.下列关系中正确的是__________.（填序号）
;;;;;; .
④⑤⑥⑦
[解析] 表示空集,集合中不含有任何元素,所以①②③不正确;
当 作为中的一个元素时，有，所以④正确；
是单元素集,只含有一个元素0,所以⑤正确;
因为空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集,
所以⑥与⑦正确.
3.（1）正整数集与自然数集之间是什么关系？自然数集 与有理
数集 之间是什么关系？
解：是的子集，也是 的真子集.
是的子集，也是 的真子集.
（2）若高一（3）班有男生也有女生，集合 是全体高一（3）
班学生，是高一（3）班的男生， 是高一（3）班
的女生，集合，与集合 是什么关系？
解：，都是的子集，也都是 的真子集.
知识点二 集合的相等与子集的关系
1.性质：如果且,则；反之，如果,则 且
.
2.维恩图：如图所示.
【诊断分析】
若集合恰有两个子集，则 的值可能是
_________.
0或
[解析] 若集合恰有两个子集，则集合 中
只有一个元素.
当时， ，符合要求；
当时，由，得 ，此时
，符合要求.
综上， 的值可能是0或 .
探究点一 集合间关系的判断
例1（1）［2025·广东汕头高一期中］下列关系式中正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由空集的性质知，， ， ，故A，B，C
错误；由元素与集合关系知， ，故D正确.故选D.
√
（2）指出下列各对集合之间的关系.
①若是四边形，是梯形，则_______.用 连接 ,
[解析] 因为梯形是四边形，四边形不一定是梯形，所以 .
②若，，则_______.用 连接,
[解析] 将集合与集合在数轴上表示出来，如图所示，所以集合
与集合的关系为 .
③若,，,，则___.
填 或
[解析] 集合是由偶数构成的集合，集合 是由4的倍数构成的集合，
所以 .
④若,，，则___.
填 或
[解析] 集合是第四象限内的点构成的集合，集合 是第二、四象
限内的点构成的集合，所以 .
变式（1）下列能正确表示集合， ，
0， 关系的维恩图是( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得集合，
，0，，， 表示集合，
，0， 关系的维恩图是D选项中的图.故选D.
√
（2）已知集合，， ，
为实数且 ．
①当，时，判断集合， 间的关系；
解：当,时，集合，故 ．
②若，求实数对 构成的集合．
解：当时，集合，由得 ,
，解得, ；
当时，集合，此时, ，
解得, ．
综上所述，实数对构成的集合为， .
（2）已知集合，， ，
为实数且 ．
［素养小结］
判断集合间关系的方法:
（1）用定义判断:
①对任意，都有，则；
②当时，存在且，则；
③若既有，又有，则.
（2）数形结合判断：
利用数轴或维恩图进行判断，对于不等式表示的数集，可在数轴上
表示出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.
探究点二 集合的子集与真子集
例2（1）写出满足的所有的集合 .
解：当集合含有2个元素时，为；
当集合含有3个元素时， 为，，；
当集合含有4个元素时， 为，， ；
当集合含有5个元素时，为 .
故满足条件的集合为，，，， ，
，， .
（2）满足的集合 有多少个？
解：因为包含变成了真包含，所以在（1）中所得集合的基础上去掉
和，2，3，4，，故满足条件的集合 有6个.
变式（1）集合，且 的非空真子集
的个数为( )
A.31 B.30 C.15 D.14
[解析] 因为集合，且 ，所以集合
，2，3，，所以集合的非空真子集的个数为 .
故选D.
√
（2）已知集合，,,且 ，则
集合 的真子集的个数为( )
A.5 B.15 C.31 D.32
[解析] 因为，,,且 ，所以
,,,,，
因为集合 中含有5个元素，所以集合的真子集的个数为 .
故选C.
√
［素养小结］
（1）求集合子集、真子集的步骤
注意：要注意两个特殊的子集， 和自身．
（2）已知集合中有 个元素，则有下列结论：
①的子集的个数为 ；
②的非空子集的个数为 ；
③的真子集的个数为 ；
④的非空真子集的个数为 .
拓展 集合仅有两个子集，则实数 的取
值集合为____________.
，1，
[解析] 由题意知中仅有一个元素.
①当时，方程为 ，解得，此时，满足集
合仅有两个子集；
②当 时，方程有两个相等实根，所以，
解得 ，此时或，满足集合仅有两个子集.
故实数 的取值集合为，1， .
探究点三 集合间关系的应用
例3（1）已知集合,3，，，，且 ，
则 _______.
或2
[解析] 因为，所以或 .
①由得，解得或.
当 时，,3，，，满足；
当 时，，，满足.
②由 得，解得，
当时， ，不满足集合元素的互异性.
综上，或 .
（2）［2025·山西大同高一期末］已知集合 或
，，且，则实数 的取值范围是
________________.
[解析] ①当时， ，满足题意；
②当时，，则 ，
又，所以 ；
③当时，，则 ，
又，所以 .
综上所述，实数的取值范围是 .
变式 已知集合 ,
．若，则实数 的取值
范围是__________．
[解析] ,.
当 为空集时，，解得.
当 不为空集时，若，则 ，
此时 ，满足题意；
若，则 ，
由根与系数的关系得此时无解.
综上，实数 的取值范围是 .
［素养小结］
（1）由集合之间的包含关系求参数的两类问题:
①若集合中的元素是一一列举出来的,则依据集合之间的关系,可转化
为解方程（组）求解,此时要注意集合中元素的互异性.
②若集合中的元素有无限多个,无法一一列举（如不等式的解集）,则
常借助于数轴转化为不等式（组）求解,此时要注意端点值能否取到.
（2）由集合之间的包含关系求参数的注意点:
空集是任何集合的子集,因此在解或且的含参数
问题时，要注意讨论 和 两种情况,前者常被忽视,造成解
析不完整.
1.集合，，， 中，与其他集合不相
等的集合是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，， ，
.故选B.
√
2.下列表示错误的是( )
A., B.,,
C.,,0, D.,
[解析] 在A中，因为为一个集合，所以, ，故A中表示错误；
在B中,集合中的元素具有无序性，一个集合是它本身的子集，
故B中表示正确；
在C中,,中的元素都在,0,中，故 ,,0, ，
故C中表示正确；
在D中,空集是任何集合的子集，故D中表示正确.故选A.
√
3.（多选题）已知集合 ，
，，由实数组成集合 ，则下列选项中正
确的是( )
A.集合的非空真子集的个数是2 B.集合 的非空真子集的个数是6
C.集合的子集的个数是4 D.集合 的子集的个数是8
√
√
[解析] 由题意得，.
当 时，，符合题意；
当 时，，，因为 ，所以或，
所以或.故,1，.集合 的子集个数为，
故D正确，C错误；
集合 的非空真子集个数为，故B正确，A错误.故选 .
4.已知集合，，且 ，则
实数 的取值范围是__________.
[解析] 当 时，，解得;
当 时，解得.
综上，实数 的取值范围为 .
十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,集合论在刚产生时,
曾遭到过许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就被广大数学家
所接受,并且获得了广泛而高度的赞誉.数学家们发现,从自然数与康托
尔集合论出发可建立起整个数学大厦,因而集合论成为现代数学的基
石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之
陶醉.可是,好景不长.1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有
漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论.“罗素悖论”直
接证明了作为数学大厦基础的“集合论”是有问题的,这条悖论使集合
论产生了危机.这也导致了“集合论”的创立者康托尔在学术观点上受
到沉重打击,最终在哈勒-维滕贝格大学附属精神病院去世.更为严重
的是,这引起了对数学的整个基础结构的有效性的质疑,也就是数学史
上的第三次危机.这次危机由于涉及数学的基础,是一次深刻的数学危
机,它使得数学基础问题第一次以最迫切的姿态摆到数学家面前,导致
了数学家对数学基础的研究,从而形成了现代数学史上著名的三大数
学流派.
1.集合间关系的判断的一般程序：
（1）分析、化简每个集合；
（2）借助维恩图或数轴表示集合，要注意端点处的元素是否属于集合；
（3）根据图形确定关系.
例1 设集合，，则集合和集合
的关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 集合 中的每一个元素都是集合
中的元素， 集合是集合的子集，即 ,故选C.
√
2.集合的子集与真子集的几个结论：
设集合中有个元素，则集合的子集有个，真子集有 个，
非空子集有个，非空真子集有 个.
例2 ［2025·陕西西安高一期中］ 设 是整数集的一个非空子集，对
于，如果，且，那么称是 的一个“孤立
元”.给定， 的所有子集中，有3个元素且不含“孤
立元”的集合共有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
√
[解析] 设由的3个元素构成的不含“孤立元”的集合为.
若 ，不是孤立元，.设集合的另一个元素为，
假设 ，,2,,,， 为“孤立元”，
不合题意，故，则此时，2，.
据此分析满足条件的集合为 ,,,,, ，
共有6个.故选B.
3.由集合间的关系求参数的一般方法：
（1）若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，可转化为
解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性.
（2）若集合表示的是不等式的解集，常借助于数轴转化为不等式
（组）求解，此时要注意端点值能否取到.
（3）空集是任意集合的子集，但是空集 .
例3（1）已知集合,,,，若，则 ___.
1
[解析] ,，，,， ，
，解得 .
（2）已知集合，，若，则
__________.
[解析] 将集合， 在数轴上表示出来（图略），由图可以看出，若
，则有 .
例4 ［2025·上海闵行区高一期中］下列关系式错误的个数为( )
；；； .
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 对于①，空集不含任何元素，故①错误；
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确；
对于③，0是自然数，故③正确；
对于④，，故 ，故④错误.故选B.
√
练习册
1.下列说法错误的是( )
A. B.
C.， D.{
[解析] 对于A，，故A中说法正确；
对于B， ，故B中说法正确；
对于C，，与 没有包含关系，故C中说法错误；
对于D，{ ，故D中说法正确.故选C.
√
2.若，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .故选D.
√
3.［2025·四川成都高一期中］已知集合满足 ，则满足
条件的集合 的个数为( )
A.8 B.10 C.14 D.16
[解析] 集合中有4个元素，故集合的子集有
（个），即满足条件的集合 的个数为16.故选D.
√
4.［2025·浙江杭州高一期末］设集合,,, ，
若，则 ( )
A.2 B.1 C. D.
[解析] 由，得或，解得或 .
当时，，符合题意；
当时， ，不符合题意.
所以 .故选A.
√
5.已知集合,,, ，则
集合与 的关系是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为, ，
,，所以 ,
故选A.
√
6.［2025·辽宁丹东高一期末］已知集合 ，
，则满足的集合 的个数为( )
A.15 B.16 C.31 D.32
[解析] 由题意得，，因为 ，所
以，所以集合的个数为集合 的非
空子集的个数，故满足的集合的个数为 .故选C.
√
7.（多选题）已知集合，，若 ，
则 的值可能为( )
A.0 B. C.1 D.2
[解析] 由题意，当 时，，符合题意；
当 时，由，得或故选 .
√
√
√
8.［2025·江苏南京高一期末］所有满足,,,, 的集合
的个数为___.
3
[解析] 满足,,,,的集合有,，,,，,, ，
共3个.
9.（13分）［2025·湖北随州高一期末］ 设集合
，.若 ，
求实数 的取值范围.
解：由题意知 .
①若 ，则，即 ，满足题意.
②若 ，则解得 .
综上，实数的取值范围是 .
10.已知集合，对于它的任一非空子集，可以将 中
的每一个元素都乘再求和.例如 ，则可求得和为
.对 的所有非空子集，这些
和的总和为( )
A.80 B.160 C.162 D.320
√
[解析] 因为每个元素在集合的所有非空子集中都出现了 次，所
以对的所有非空子集中的每一个元素都乘再求和的总和是 ．故选B.
11.（多选题）下列四个说法中正确的是( )
A.若集合，集合，则
B.集合 的非空真子集有2个
C.若集合,,，且，则 的取值构成的集合为
,1,
D.记集合,，, ，则
√
√
[解析] 对于A，，，则 ，A错误.
对于B，因为集合 ，所以它的非空真子集有
（个），B正确.
对于C，因为集合,, ，且所以或.
当时，解得 或.
当时，集合不符合元素的互异性，舍去，故 或，
故C错误.
对于D，集合是由奇数组成的集合，集合 是由被4除余1的整数组成
的集合，则，故D正确.故选 .
12.已知集合,,则与
的关系是_______.
[解析] 因为，，所以.
取任意 ,则,,
因为,所以 ,所以对任意,都有,即，
又,所以 .
★13.［2025·安徽合肥高一期中］已知集合 ，
，且，则实数 的取值范围为
__________________.（用区间表示）
[解析] ①若 ，则,解得 ，满足题意；
②若 ，则解得.
故实数 的取值范围为 .
［易错点］ 易漏掉对集合 是否为空集的讨论.
14.（15分）［2025·江苏泰州高一期中］ 已知集合
，集合， ,且 .
（1）若，求实数 的值；
解：当时， .
，， ，
，或 ,
解得或 .
（2）若，求实数, 的值；
解：若,则 ,
和3为方程 的两个解,
,则,，解得, ,
此时 , 故, .
14.（15分）［2025·江苏泰州高一期中］ 已知集合
，集合， ,且 .
（3）求实数的所有可能取值构成的集合 .
解：①若 .当时,则 ，不满足 ，所以 .
当时,则 .
当时,，此时，满足 ；
当时,，此时，满足 .
14.（15分）［2025·江苏泰州高一期中］ 已知集合
，集合， ,且 .
②若 .当时， .
当时, ,
由解得此时,满足 .
当时, ,
由解得此时,满足 .
当时，，此时 ，
则解得
此时，满足 .
综上所述，集合 .
15.同时满足，2，3，4，，且 的非空
集合 的个数为( )
A.16 B.15 C.7 D.6
[解析] 当时，；当时，；当
时，；当时，；当时， .
所以满足条件的非空集合可能是，，，，，，3，，
，3，，，2，4，，，2，3，4， ，共7个.
√
16.（15分）已知的子集为一个数集，集合, .
（1）设，求集合 的非空真子集的个数；
解：当时， ；
当时， ；
当时， ；
当,时， ；
当,时， ；
当,时， ；
当,时， ；
当,时， ；
当,时， .
所以，它有8个元素，则集合 有
（个）非空真子集.
（2）设，证明：若，则 .
证明：设，， ，则
，得证.
16.（15分）已知的子集为一个数集，集合, .
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点一 任意一个 包含 包含于 包含 A不包含于
不包含 至少有一个 真包含于 真包含 子集 子集
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2.④⑤⑥⑦ 3.略
知识点二 【诊断分析】 0或
课中探究
例1 （1）D （2）① ② ③ ④ 变式 （1）D
（2）① ②>，
例2 （1）>，，，，，，，
（2）6个 变式 （1）D （2）C 拓展 ，1，
例3 （1）或2 （2） 变式
课堂评价 1.B 2.A 3.BD 4.
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.ABC 8.3
9.
综合提升
10.B 11.BD 12. 13.
14.（1）或（2）,
（3）集合
思维探索
15.C 16.（1）集合有（个）非空真子集（2）证明略