第2课时 集合的全集、补集
【课前预习】
知识点一
1.子集 2.U
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ [解析] (1)根据研究的问题的不同,全集可以为整数集、自然数集或有理数集等等.
(2)全集仅包含研究问题中涉及的全部元素,而非任何元素.
(3)根据全集的定义知应选集合A作为全集.
(4)一元二次方程的实数根是实数范围内的解,可以将R作为全集.
知识点二
不属于A UA {x|x∈U且x A}
知识点三
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)因为全集的补集是空集,即 UU= ,所以错误.
(2)因为0 ZN,而0∈ ZN*,所以 ZN≠ ZN*,故错误.
(3)当A=B时,二者相等,否则不相等,故错误.
【课中探究】
例1 (1)B (2){x|0
2} [解析] (1)因为U={x∈N|-1≤x≤3}={0,1,2,3}, UA={0,1},所以A={2,3}.故选B.
(2)A= U( UA)={x|02}.
变式 (1)B (2){2,3,5,7} [解析] (1)因为U={x|x>0},A={x|1≤x<2},所以 UA={x|0(2)∵集合A={1,3,5,7,9}, UA={2,4,6,8},∴U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.又 UB={1,4,6,8,9},∴B={2,3,5,7}.
例2 (1)C (2)D [解析] (1)由题得U=A∪B={x∈N|1≤x≤8}={1,2,3,4,5,6,7,8},如图所示,由A∩( UB)={1,3,5,7},得B= U(A∩( UB))={2,4,6,8}.故选C.
(2)因为A={3,4,5},B={1,3,6},所以A∪B={1,3,4,5,6},又U={1,2,3,4,5,6,7},所以 U(A∪B)={2,7}.故选D.
(3)解:因为A={x|-4≤x<2},B={x|-13},又P=,所以( UB)∪P=.又 UP=,所以(A∩B)∩( UP)={x|-1变式 (1)CD [解析] A选项表示的是图①中的阴影部分,不符合题意;B选项表示的是图②中的阴影部分,不符合题意;C,D选项表示的都是题干中的阴影部分.故选CD.
(2)解:①∵B∪C=B,∴C B.显然a-1②依题意得,U=A∪(B∪C)=A∪B.∵A={x|1≤x≤4},B={x|2拓展 ABC [解析] 由题得U={x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.因为A∩( UB)={1,9},所以属于集合A,但不属于集合B的元素有1,9;因为( UA)∩( UB)={4,6,7}= U(A∪B),所以既不属于集合A,也不属于集合B的元素有4,6,7;因为A∩B={3},所以集合A与B的公共元素只有3.所以属于集合B,但不属于集合A的元素有0,2,5,8,即B∩( UA)={0,2,5,8},如图.由图得8∈B,9∈A,则{9} A,故A,C正确;因为集合A中有3个元素,所以A的子集的个数为23=8,故B正确;显然6∈ U(A∪B),故D错误.故选ABC.
例3 (1)A (2)(0,1) [解析] (1)由Q∩( RP)= ,得Q P.①当1-m>1+m,即m<0时,Q= ,符合题意;②当1-m≤1+m,即m≥0时,有解得0≤m≤3.综上可得,m≤3.故选A.
(2)由已知得 UB=(1,4).∵A∩( UB)=A,∴A UB,又∵a>0,∴2-a<2+a,则A≠ ,∴1<2-a<2+a<4,可得0变式 (1)(-∞,-2] [解析] 由已知得 RB={x|x<3a+5},因为A={x|x≥-1},所以要使A∩( RB)= ,则需3a+5≤-1,解得a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].
(2)解:①当a=4时,A=(-1,4),所以 UA=(-∞,-1]∪[4,+∞), 所以( UA)∩B=[-2,-1]∪[4,6].
②因为A∩( UB)= ,所以A B.当a≤时,A= ,此时A B成立; 当a>时,由A B,得-2≤3-a【课堂评价】
1.A [解析] 因为A={x|-12.C [解析] 因为A={x|13.AB [解析] 由题图可知,阴影部分表示的集合是A∩B= A(A∩( UB)),故A,B正确,C错误.而( UA)∩( UB)= U(A∪B),不符合题意,故D错误.故选AB.
4.{1,3,4} {1,3} [解析] ∵U={1,2,3,4,5}, UB={2,5},∴B={1,3,4},又A={1,2,3},∴A∩B={1,3}.
5.{a|a≤-2或a≥10} [解析] 由题可知 RB={x|xa+4}.因为A RB,所以6≤a-4或2≥a+4,即a≥10或a≤-2.故实数a的取值范围是{a|a≤-2或a≥10}.第2课时 集合的全集、补集
1.D [解析] 因为全集U=R,集合A={x|x≤0},B={x|x>-1},所以A∩B={x|-10}.故选D.
2.C [解析] 因为集合A={1,2,3},B={2,3,4},所以A∩B={2,3},又全集U={1,2,3,4},所以 U(A∩B)={1,4}.故选C.
3.C [解析] 由题意可知( UA)∪( UB)= U(A∩B)={2,9}.故选C.
[结论] 根据维恩图可知( UA)∪( UB)= U(A∩B).
4.A [解析] RB={x|x≤m},因为A∩( RB)= ,所以m≤1.故选A.
5.A [解析] 因为U=A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩( UB)={1,3,5},所以1 B,3 B,5 B,1∈A,3∈A,5∈A.假设0 B,则0∈A,0∈ UB,所以0∈(A∩( UB)),与已知矛盾,所以0∈B.同理可得-1∈B,2∈B,4∈B,所以B={-1,0,2,4}.故选A.
6.C [解析] 方法一:因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.故选C.
方法二:借助维恩图,如图所示,由图可知B={2,3,5,7}.故选C.
7.BC [解析] 因为集合M={x|-33}.故选BC.
8.{4} {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6} [解析] 由题得全集U={x∈N*|x≤7}={1,2,3,4,5,6,7},集合B={x∈Z||x|<5}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},则 UA={4,5,7},所以( UA)∩B={4},A∪B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,6}.
9.解:(1)由题知A=[3,10),B=(2,7),所以 RA=(-∞,3)∪[10,+∞),所以A∪B=(2,10),( RA)∩B=(2,3).
(2)若C= ,则5-a≥a,即a≤,符合题意;
若C≠ ,则解得综上,实数a的取值范围为(-∞,3].
10.A [解析] 由已知得U={1,2,3,4,5,6,7,8}.若 UA的元素个数为4,则 UA={1,2,7,8},所以A={3,4,5,6},可得611.ABD [解析] 对于A,由B A可得A∪B=A,故A正确;对于B,由A∩C= ,可得A RC,则A∩( RC)=A,故B正确;对于C,D,由B A与A∩C= ,可知B∩C= ,又B A RC,所以B∩( RC)=B,故C错误,D正确.故选ABD.
12. UA UB [解析] UA={x|x<0}, UB={y|y<1},所以 UA UB.
13.{x|x<0} {x|x≥0} [解析] 由题知M-N={x|x∈M且x N}={x|x<0},所以 R(M-N)={x|x≥0}.
14.解:(1)当a=3时,B={x|3≤x≤8}.
因为全集U=R,所以 UB={x|x<3或x>8},
因为A={x|2≤x<4},
所以A∩( UB)={x|2≤x<3}.
(2)因为集合B={x|a≤x≤3a-1}只有一个元素,
所以a=3a-1,解得a=.
(3)因为A∪B=B,所以A B.
因为集合A={x|2≤x<4},集合B={x|a≤x≤3a-1},
所以解得≤a≤2,故a的取值范围为.
15.AD [解析] 对于A,E={1,2,3,6}为有限集,故A正确;对于B,若A∪B=U,则( UA)∩( UB)= U(A∪B)= ,故B错误;对于C,当m=0时,N= ,此时M N,故C错误;对于D,根据有理数的定义,若x∈Q,则x∈,故D正确.故选AD.
16.解:(1)由集合A={x|-4<3x+2<11}={x|-2又B={x|x<-3或x>1},所以( RA)∪B={x|x≤-2或x>1}.
(2)由(1)知,A={x|-21},所以A∪B={x|x<-3或x>-2},
则 R(A∪B)={x|-3≤x≤-2}.
当2a-4≥a,即a≥4时,C= ,
此时满足C∩ R(A∪B)= ;
当2a-4则或解得1≤a<4或a≤-3.
综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).(共62张PPT)
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时 集合的全集、补集
探究点一 补集的简单运算
探究点二 并集、交集、补集的综合运算
探究点三 与补集有关的参数范围问题
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.在具体情境中了解全集的含义；
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能借助维恩图求给
定子集的补集.
知识点一 全集
1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是
某一给定集合的______，那么称这个给定的集合为全集.
2.记法：全集通常记作___.
子集
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）整数集可以作为全集.( )
√
[解析] 根据研究的问题的不同，全集可以为整数集、自然数集或有
理数集等等.
（2）全集一定包括任何一个元素.( )
×
[解析] 全集仅包含研究问题中涉及的全部元素，而非任何元素.
（3）为了研究集合，， 之间
的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合是 .( )
√
[解析] 根据全集的定义知应选集合 作为全集.
（4）在研究一元二次方程的实数根时，可以将 作为全集.( )
√
[解析] 一元二次方程的实数根是实数范围内的解，可以将 作为全集.
知识点二 补集
文字语言 如果集合是全集的一个子集，则由 中_________的
所有元素组成的集合，称为在 中的补集，记作
_____,读作“在 中的补集”
符号语言 _________________
图形语言 ___________________________________________________
不属于
且
知识点三 补集运算的性质
给定全集及其任意一个子集 ，补集运算具有如下性质：
（1） ；
（2） ；
（3） .
（2）集合与集合 相等.( )
×
[解析] 因为，而，所以 ，故错误．
（3）集合与集合 相等.( )
×
[解析] 当 时，二者相等，否则不相等，故错误.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）一个集合的补集一定含有元素.( )
×
[解析] 因为全集的补集是空集，即 ，所以错误.
探究点一 补集的简单运算
例1（1）已知全集，集合 满足
，则 ( )
A. B. C.,2, D.
[解析] 因为， ，所
以 .故选B.
√
（2）已知全集，，则
_____________________.
或
[解析] 或 ．
变式（1）［2025·河北石家庄高一期末］已知全集 ，
集合，则 ( )
A.或 B.或
C.或 D.或
[解析] 因为， ，所以
或 .故选B.
√
（2）已知全集为，集合， ，
，则集合 _________.
[解析] 集合,3,5,7，，，4，6， ,
.又, .
［素养小结］
求补集的一般方法：如果全集及其子集是用列举法表示的，那么可
根据补集的定义求解；如果较为复杂，那么可借助于维恩图求解；
如果全集及其子集是用不等式表示的，那么常借助于数轴求解.
探究点二 并集、交集、补集的综合运算
例2（1）［2025·湖北荆州高一期中］已知全集
,，则集合
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得
，
如图所示，由 ，得
.故选C.
√
（2）已知全集，2，3，4，5，6，，，4， ，
，3，，那么集合， 是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，4，，，3，，所以 ，3，4，
5，，又，2，3，4，5，6，，所以 ， ．
故选D.
√
（3）已知全集，集合 ，
，，求 ，
， .
解：因为， ，所以
或 ，又，
所以 .
又 ，所以
.
变式（1）（多选题）如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] A选项表示的是图①中的阴影部分，不符合题意；
B选项表示的是图②中的阴影部分，不符合题意；
C，D选项表示的都是题干中的阴影部分.故选 .
（2）已知集合, ,
，且 .
①求实数 的取值范围；
解：，.显然 恒成立，故
, ，
，解得.
故实数 的取值范围是 .
②若全集，求 .
解：依题意得， ,
，， .
（2）已知集合, ,
，且 .
［素养小结］
（1）解决与不等式有关的集合问题时，借助数轴表示集合可以使问
题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
（2）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求
时，应先求出，再求交集；求时，应先求出
，再求补集.
拓展 ［2025·江苏南京高一期中］ 已知全集, ，
，，， ，
，则下列说法正确的是( )
A. B. 的子集的个数为8
C. D.
√
√
√
[解析] 由题得 ,
.因为，
所以属于集合 ，但不属于集合 的元素有1，9；
，所以既不属于集合 ，也不
属于集合的元素有4，6，7；因为，所以集合与 的公
共元素只有3.所以属于集合，但不属于集合 的元素有0，2，5，8，
即，如图.
由图得，，则 ，故A，C正确；
因为集合中有3个元素，所以的子集的个数为 ，故B正确；
显然，故D错误.故选 .
探究点三 与补集有关的参数范围问题
例3（1）已知集合 ,
.若 ，则实数 的取值范
围为( )
A. B.
C.或 D.
[解析] 由 ，得.
①当，即 时， ，符合题意；
②当，即 时，有解得.
综上可得， .故选A.
√
（2）已知全集，集合， 或
.若，，则实数 的取值范围为______.
[解析] 由已知得， ,
又，,则 ， ，
可得.故实数的取值范围为 .
变式（1）已知集合， ，若
，则实数 的取值范围是__________.
[解析] 由已知得,因为 ,所以要
使 ,则需,解得.故实数 的取值范围
是 .
（2）设全集，集合 ，
.
①当时，求 ；
解：当时，，所以 ，
所以 .
②若 ，求实数 的取值范围.
解：因为 ，所以.
当时， ，此时成立；
当时，由，得 ，可得.
综上，实数的取值范围是 .
［素养小结］
解答有关补集问题的关键在于合理使用补集运算的性质，必要时对
含有参数的集合进行分类讨论，转化为与之等价的不等式（组）求
解.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，注意检验.
1.［2025·广东东莞高一期中］已知全集,0,1,2, ，集合
,，则 ( )
A., B. C.,0, D.
[解析] 因为,，,0,1,2, ，
所以, .故选A.
√
2.已知全集，集合，集合 或
，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为， ，所以
.故选C.
√
3.（多选题）［2025·福建福州高一期末］ 图中阴影部分表示的集合
可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知，阴影部分表示的集合是 ，
故A，B正确，C错误.
而 ，不符合题意，故D错误.故选 .
√
√
4.已知全集，集合， ，则集合
_______， ______.
[解析] ，2，3，4，,，， ，又
，2，， .
5.已知全集为，集合 ，
，且，则实数 的取值范围是
___________________．
或
[解析] 由题可知或．
因为 ，所以或，即或.
故实数 的取值范围是或 .
1.进行集合的交、并、补运算时应紧扣定义，适当借助维恩图及数轴
等工具.
例1 对于全集的子集，，若是 的真子集，则下列集合中必为
空集的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意，可画出维恩图如图所示.
由图可知， ，故选B.
√
2.补集思想的应用
有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考
虑的因素太多，可用补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思
考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓
解题思路．
例2 已知集合 ，
.
（1）若，求 的取值范围；
解：， ，
解得 ，
故的取值范围是 .
（2）若 ，求 的取值范围.
解：若 ，则，即 ，此时满足 ；
若 ，则 ，
若 ，则或，解得或 ，
或 .
综上可得，的取值范围为 .
例2 已知集合 ，
.
练习册
1.已知全集，集合， ，则集合
( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 因为全集，集合， ，所以
，所以或 .故选D.
√
2.已知全集，2，3，，集合，2，，，3， ，
则 ( )
A.， B.，2，3， C.， D.，3，
[解析] 因为集合，2，，，3，，所以 ，
，又全集，2，3，，所以， .故选C.
√
★3.设全集,，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知 .故选C.
［结论］ 根据维恩图可知 .
√
4.已知集合，集合 ，若
，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] ，因为 ，所以 .故选A.
√
5.［2025 云南昆明高一期中］已知全集 ,0,1,2,3,4,
，，则 ( )
A.,0,2, B.,2, C. D.
[解析] 因为,0,1,2,3,4,， ，所
以，，，，，.
假设 ，则，，所以，与已知矛盾，
所以 .
同理可得，，，所以,0,2, .故选A.
√
6.已知全集，集合，3，5，，，4， ，
，4，，则集合 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为，3，5，，，4， ，所以
，2，3，4，5，6，．又，4，，所以 ，3，
5， ．故选C.
方法二：借助维恩图，如图所示，由图可知
，3，5， ．故选C.
√
7.（多选题）若集合， ，则集合
或 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为集合， ，所以
，，
或，所以或 ，
.故选 .
√
√
8.已知全集，集合 ，集合
，则____， ______________
__________.
,,,, 0,1,2,3,4,
[解析] 由题得全集 ，集合
,,,,0,1,2,3,，则 ，
所以，,,,,0,1,2,3,4, .
9.（13分）已知集合， ,
.
（1）求, ;
解：由题知，，所以 ，
所以, .
（2）若,求实数 的取值范围.
解：若 ，则,即 ,符合题意；
若 ，则解得 .
综上,实数的取值范围为 .
9.（13分）已知集合， ,
.
10.已知全集 ，集合
，若 的元素个数为4，则实数
的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知得，2，3，4，5，6，7，.
若 的元素个数为4，则,所以，4，5，，
可得 .故选A.
√
11.（多选题）［2025·湖南长沙高一期中］ 已知非空集合,, 都是
的子集，且， ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，由可得 ，故A正确；
对于B，由 ，可得，则 ，故B正确；
对于C，D，由与 ，可知 ，又 ，
所以，故C错误，D正确.故选 .
√
√
√
12.设全集，集合，，则与
的关系是___________.
[解析] ，，所以 .
13.已知,是非空集合，定义运算且 ，若
，，则 __________，
__________.
[解析] 由题知且 ，所以
．
14.（15分）已知全集，设集合 ，集合
.
（1）当时，求 ；
解：当时， .
因为全集，所以或 ，
因为 ，
所以 .
（2）若集合只有一个元素，求 的值；
解：因为集合 只有一个元素，
所以，解得 .
（3）若，求 的取值范围.
解：因为，所以 .
因为集合，集合 ，
所以解得 ，
故的取值范围为 .
14.（15分）已知全集，设集合 ，集合
.
15.（多选题）下列说法中正确的有( )
A.集合 是有限集
B.若，则（ 为全集）
C.，，若 ，则
D.若，则
√
√
[解析] 对于A， 为有限集，故A正确；
对于B，若，则 ，故B错误；
对于C，当时， ，此时 ，故C错误；
对于D，根据有理数的定义，若，则 ，
故D正确.故选 .
16.（15分）已知集合， 或
， .
（1）求 ；
解：由集合 ，可得
或 ，
又或，所以或 .
（2）若 ，求实数 的取值范围.
解：由（1）知，，又或 ，
所以或 ，则 .
当，即时， ，此时满足 ；
当，即时，要使得 ，
则或解得或 .
综上可得，实数的取值范围为 .
16.（15分）已知集合， 或
， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.子集 2. 【诊断分析】（1）√ （2）× （3）√ （4）√
知识点二 不属于 且
知识点三 【诊断分析】（1）× （2）× （3）×
课中探究 例1（1）B （2）或 变式（1）B （2）
例2（1）C （2）D （3）.
变式 （1）CD （2）①
② 拓展 ABC 例3（1）A （2） 变式（1）
（2）① ②实数的取值范围是
课堂评价 1.A 2.C 3.AB 4. 5.或
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.D 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.BC
8. ,,,,0,1,2,3,4,
9.（1）, （2）实数的取值范围为
综合提升
10.A 11.ABD 12. 13.
14.（1） （2） （3）的取值范围为
思维探索
15.AD 16.（1）>或
（2）实数的取值范围为第2课时 集合的全集、补集
【学习目标】
1.在具体情境中了解全集的含义;
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能借助维恩图求给定子集的补集.
◆ 知识点一 全集
1.定义:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ,那么称这个给定的集合为全集.
2.记法:全集通常记作 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)整数集可以作为全集. ( )
(2)全集一定包括任何一个元素. ( )
(3)为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是A. ( )
(4)在研究一元二次方程的实数根时,可以将R作为全集. ( )
◆ 知识点二 补集
文字语言 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作 ,读作“A在U中的补集”
符号语言 UA=
图形语言
◆ 知识点三 补集运算的性质
给定全集U及其任意一个子集A,补集运算具有如下性质:
(1)A∪( UA)=U;
(2)A∩( UA)= ;
(3) U( UA)=A.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)一个集合的补集一定含有元素. ( )
(2)集合 ZN与集合 ZN*相等. ( )
(3)集合 AC与集合 BC相等. ( )
◆ 探究点一 补集的简单运算
例1 (1)已知全集U={x∈N|-1≤x≤3},集合A满足 UA={0,1},则A= ( )
A.{0,1} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3}
(2)已知全集U={x|x>0}, UA={x|1变式 (1)[2025·河北石家庄高一期末] 已知全集U={x|x>0},集合A={x|1≤x<2},则 UA=( )
A.{x|x≤-1或x≥2}
B.{x|0C.{x|x<-1或x>2}
D.{x|02}
(2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7,9}, UA={2,4,6,8}, UB={1,4,6,8,9},则集合B= .
[素养小结]
求补集的一般方法:如果全集及其子集是用列举法表示的,那么可根据补集的定义求解;如果较为复杂,那么可借助于维恩图求解;如果全集及其子集是用不等式表示的,那么常借助于数轴求解.
◆ 探究点二 并集、交集、补集的综合运算
例2 (1)[2025·湖北荆州高一期中] 已知全集U=A∪B={x∈N|1≤x≤8},A∩( UB)={1,3,5,7},则集合B= ( )
A.{2,6,8} B.{4,6,8}
C.{2,4,6,8} D.{1,2,4,6}
(2)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7}是 ( )
A.A∪B B.A∩B
C. U(A∩B) D. U(A∪B)
(3)已知全集U=R,集合A={x|-4≤x<2},B={x|-1变式 (1)(多选题)如图所示的阴影部分表示的集合是 ( )
A.M∩(N∩P)
B.( UM)∩(N∩P)
C.P∩[ U(M∪N)]
D.P∩( UM)∩( UN)
(2)已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|2①求实数a的取值范围;
②若全集U=A∪(B∪C),求 UB.
[素养小结]
(1)解决与不等式有关的集合问题时,借助数轴表示集合可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到.
(2)解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,如求( UA)∩B时,应先求出 UA,再求交集;求 U(A∩B)时,应先求出A∩B,再求补集.
拓展 [2025·江苏南京高一期中] 已知全集U={x|x<10,x∈N},A U,B U,
A∩( UB)={1,9},( UA)∩( UB)={4,6,7},A∩B={3},则下列说法正确的是( )
A.8∈B
B.A的子集的个数为8
C.{9} A
D.6 U(A∪B)
◆ 探究点三 与补集有关的参数范围问题
例3 (1)已知集合P={x|-2≤x≤10},Q={x|1-m≤x≤1+m}.若Q∩( RP)= ,则实数m的取值范围为 ( )
A.m≤3 B.m≥9
C.m≤3或m≥9 D.3≤m≤9
(2)已知全集U=R,集合A={2-a≤x≤2+a},B={x≤1或x≥4}.若a>0,A∩( UB)=A,则实数a的取值范围为 .
变式 (1)已知集合A={x|x≥-1},B={x|x≥3a+5},若A∩( RB)= ,则实数a的取值范围是 .
(2)设全集U=R,集合A={x|3-a①当a=4时,求( UA)∩B;
②若A∩( UB)= ,求实数a的取值范围.
[素养小结]
解答有关补集问题的关键在于合理使用补集运算的性质,必要时对含有参数的集合进行分类讨论,转化为与之等价的不等式(组)求解.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,注意检验.
1.[2025·广东东莞高一期中] 已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={x|-1A.{-1,3} B.{1,2} C.{-1,0,3} D.{0,1,2}
2.已知全集U=R,集合A={x|18},则A∩( UB)= ( )
A.{x|1C.{x|2≤x<5} D.{x|5≤x<8}
3.(多选题)[2025·福建福州高一期末] 图中阴影部分表示的集合可能是 ( )
A.A∩B B. A(A∩( UB))
C. U(A∩B) D.( UA)∩( UB)
4.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3}, UB={2,5},则集合B= ,A∩B= .
5.已知全集为R,集合A={x|21.已知全集U=R,集合A={x|x≤0},B={x|x>-1},则集合 U(A∩B)= ( )
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤0}
C.{x|x≤-1或x≥0}
D.{x|x≤-1或x>0}
2.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,3,4},则 U(A∩B)= ( )
A.{2,3} B.{1,2,3,4}
C.{1,4} D.{2,3,4}
★3.设全集U={2,4,5,6,7,9},A∩B={4,5,6,7},则( UA)∪( UB)= ( )
A.{3,5,6,8} B.{2,3,8,9}
C.{2,9} D.{5,6}
4.已知集合A={x|1m},若A∩( RB)= ,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.(-∞,1) D.[2,+∞)
5.[2025·云南昆明高一期中] 已知全集U=A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩( UB)={1,3,5},则B=( )
A.{-1,0,2,4} B.{-1,2,4}
C.{0,2,4} D.{2,4}
6.已知全集U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= ( )
A.{3,5,7} B.{3,7}
C.{2,3,5,7} D.{3,5}
7.(多选题)若集合M={x|-3A.M∩N B. RM
C. R(M∩N) D. R(M∪N)
8.已知全集U={x∈N*|x≤7},集合A={1,2,3,6},集合B={x∈Z||x|<5},则( UA)∩B= ,A∪B= .
9.(13分)已知集合A={x|-3≤x-6<4},B={x|2(1)求A∪B,( RA)∩B;
(2)若C (A∪B),求实数a的取值范围.
10.已知全集U={x∈Z|0A.(6,7] B.[6,7)
C.[6,7] D.(6,7)
11.(多选题)[2025·湖南长沙高一期中] 已知非空集合A,B,C都是R的子集,且B A,A∩C= ,则 ( )
A.A∪B=A B.A∩( RC)=A
C.B∩C=B D.B∩( RC)=B
12.设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y≥1},则 UA与 UB的关系是 .
13.已知A,B是非空集合,定义运算A-B={x|x∈A且x B},若M={x|x≤1},N={y|0≤y≤1},则M-N= , R(M-N)= .
14.(15分)已知全集U=R,设集合A={x|2≤x<4},集合B={x|a≤x≤3a-1}.
(1)当a=3时,求A∩( UB);
(2)若集合B只有一个元素,求a的值;
(3)若A∪B=B,求a的取值范围.
15.(多选题)下列说法中正确的有 ( )
A.集合E=是有限集
B.若A∪B=U,则( UA)∩( UB)≠ (U为全集)
C.M={x|x2-3x+2=0},N={x|mx-1=0},若M N,则m∈
D.若x∈Q,则x∈
16.(15分)已知集合A={x|-4<3x+2<11},B={x|x<-3或x>1},C={x|2a-4(1)求( RA)∪B;
(2)若C∩ R(A∪B)= ,求实数a的取值范围.