1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
【课前预习】
知识点一
1.陈述语句 真命题 假命题 2.小写英文字母
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [解析] (1)新闻中的命题往往是“命制的题目”的缩写,两者不一样.
(2)不能判断真假的语句不是命题.
(3)数学命题可以借助符号和式子来表示,22=4是真命题.
(4)命题要么是真,要么是假,命题的真假不能模棱两可.
(5)没有判断“数学比英语难学”的标准,故不是命题.
知识点二
1.任意 所有 每一个
2.全称量词命题 x∈M,r(x)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)负数没有平方根.
(2) “负数没有倒数” 即“任何负数都没有倒数”,是全称量词命题.
(3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和都等于180°”,是全称量词命题.
(4)根据全称量词命题的概念知,该说法正确.
知识点三
1. 2.存在量词命题 x∈M,s(x)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [解析] (1)“存在实数x,使得|x|≤0”是存在量词命题.
(2)“在一个平面内,存在两条相交直线垂直于同一条直线”有存在量词,所以是存在量词命题.
(3)“有些整数只有两个正因数”有存在量词,所以是存在量词命题.
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题,因为偶数2是质数,所以该命题是真命题.
(5)当全称量词命题和存在量词命题中包含多个变量时,可以同时用相关量词进行表述.
【课中探究】
例1 (1)B (2)C [解析] (1)①是感叹句,不能判断真假,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是祈使句,不能判断真假,不是命题;⑥是疑问句,不能判断真假,不是命题.②⑤可以判断真假,都是命题.故选B.
(2)对于A,互余的两个角可能相等,比如都为45°,故A是假命题;对于B,相等的两个角不一定是同位角,故B是假命题;对于C,若a2=b2,则(a+b)(a-b)=0,即a=b或a=-b,则|a|=|b|,故C是真命题;对于D,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和,故D是假命题.故选C.
例2 解:(1)该命题可用符号表示为“ x∈N,x2>0”.
(2)该命题可用符号表示为“ x<0,ax2+2x+1=0(a<1)”.
(3)该命题可用符号表示为“ a,b∈{x|x是无理数},a+b∈{x|x是无理数}”.
(4)该命题可用符号表示为“ △ABC∽△A'B'C',△ABC≌△A'B'C'不成立”.
变式 解:(1)该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,含有全称量词“所有的”,故为全称量词命题.
(2)该语句含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(3)该语句可以改为“任意一个菱形的对角线互相垂直”,含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
例3 (1)D (2)AD [解析] (1)对于A,a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故A是假命题;易知B是假命题;易知C是存在量词命题;对于D,对于任意k∈R,函数y=kx+1的图象过定点(0,1),故D既是真命题又是全称量词命题.故选D.
(2)对于A,因为x2≥0,所以x2+2≥2>0,故A是真命题;对于B,当x=0时,x4=0<1,故B不是真命题;对于C,若x2=3,则x=±,都为无理数,故C不是真命题;对于D,取x=0,则x3=0<1,故D是真命题.故选AD.
变式 C [解析] 对于A,因为x2+1≥1>0,所以A是假命题;对于B,当x=0时,x+|x|=0,所以B是假命题;对于C, x∈Z,|x|∈N,所以C是真命题;对于D,方程x2-7x+15=0中Δ=72-4×15<0,此方程无解,所以D是假命题.故选C.
例4 解:(1)因为p: x∈B,x∈A是真命题,所以B A,且B不为空集,所以解得2≤m≤3.
故实数m的取值范围为[2,3].
(2)因为q: x∈A,x∈B是真命题,
所以A∩B≠ ,所以B≠ ,即m+1≤2m-1,即m≥2,
则m+1≥3,所以m+1≤5,即m≤4,所以2≤m≤4.
故实数m的取值范围为[2,4].
变式 (1)C (2)2 [解析] (1)由 x∈{x|0≤x≤2},m>x,可得m>2;由 x∈{x|0≤x≤2},n>x,可得n>0.故选C.
(2)因为“ x∈R,x2+2x-1+m=0”是真命题,所以Δ=4-4m+4≥0,解得m≤2,故实数m的最大值是2.
【课堂评价】
1.A [解析] ①②③可以判断真假,都是命题;④中语句不能判断真假,⑤中语句为疑问句,则④⑤不是命题.故选A.
2.B [解析] 因为“至少有一个”“存在”是存在量词,“任意的”是全称量词,所以①④为存在量词命题,②③为全称量词命题,所以全称量词命题的个数为2.故选B.
3.D [解析] ① x∈R,x≤0,故①是真命题;②数字1是整数,且既不是合数也不是质数,故②是真命题;③ x∈{x|x是无理数},x2是无理数,例如x=π,故③是真命题.故选D.
4.真 [解析] ∵A B,∴若x∈A,则x∈B,故命题“若α,则β”是真命题.
5.(-∞,1] [解析] ∵“ x∈R,x2-2x+a=0”为真命题,∴Δ=4-4a≥0,解得a≤1.故实数a的取值范围为(-∞,1].1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
1.A [解析] 因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是“两个三角形全等”,结论为“这两个三角形的面积相等”,所以改写成“若p,则q”的形式为“若两个三角形全等,则它们的面积相等”.故选A.
2.C [解析] 易知A是假命题;对于B,Δ=4-4×3<0,所以该方程无解,故B是假命题;有的三角形是正三角形,故C是真命题;不是每一个四边形都有外接圆,故D是假命题.故选C.
3.C [解析] 由已知得,原命题为存在量词命题.∵“有一个”“有些”“至少有一个”均为存在量词,“任选一个”为全称量词,∴A,B,D中的命题均为存在量词命题,C中的命题为全称量词命题.故选C.
4.A [解析] 命题p的含义是“对于任意m∈[1,2],方程x2-2x+m=0都没有实数解”,但当m=1时,方程有实数解x=1,故命题p是全称量词命题,且为假命题.故选A.
5.A [解析] 命题“ x∈[1,2],x-a>0”即“ x∈[1,2],a
6.D [解析] 若p为真命题,则a≤(x2)min,又x∈{x|1≤x≤2},所以(x2)min=1,所以a≤1;若q为真命题,则x2+2ax+2-a=0有解,所以Δ=(2a)2-4×1×(2-a)≥0,解得a≥1或a≤-2.当p与q全为真命题时,实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1},所以若p与q不全为真命题,则实数a的取值范围是{a|-21}.故选D.
7.B [解析] 因为P∩Q=P,所以P Q,画出维恩图如图,易知B正确,故选B.
[技巧点拨] 根据集合与集合的关系画出维恩图,再作出判断,与集合有关的含有量词的命题,常用此方法判断其真假.
8.AB [解析] -4∈(-∞,2),但(-4)2=16>4,故A正确;-2∈(-∞,2),但(-2)2=4,故B正确;0∈(-∞,2),02=0<4,故C错误;显然3 (-∞,2),故D错误.故选AB.
9.(1)(3) (2) [解析] (1)中含有全称量词“每一个”,(3)中陈述的是所有满足条件的数,所以(1)(3)是全称量词命题;
(2)中含有存在量词“有些”,所以(2)是存在量词命题.
10.解:(1) a∈R,a都能写成小数形式.此命题是真命题.
(2) x∈Q,x没有倒数.有理数0没有倒数,故此命题是真命题.
(3) m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.
当m=-1时,方程无实根,故此命题是假命题.
(4) x∈R,x2+x+4≤0.因为x2+x+4=+>0恒成立,所以此命题是假命题.
11.A [解析] 将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题为“ x,y∈R,x2+y2≥2xy”.故选A.
12.ABC [解析] 对于A,当x=0时,x≤0成立,故A正确;对于B,1既不是合数也不是质数,故B正确;对于C,当x=时,x+5是无理数,故C正确;对于D,负数没有算术平方根,故D错误.故选ABC.
13.②③④ [解析] ①中,若a=2,b=1,则a+b=3 C,故①是假命题;②中,设a=2k1,b=4k2+1,k1,k2∈Z,则a+b=2k1+4k2+1=2(k1+2k2)+1∈B,故②是真命题;③中,设a=2k1+1,b=4k2+1,k1,k2∈Z,则a+b=2k1+1+4k2+1=2(k1+2k2+1)∈A,故③是真命题;④中,设a=4k1+1,b=4k2+1,k1,k2∈Z,则a-b=4k1+1-4k2-1=2(2k1-2k2)∈A,故④是真命题;⑤中,若a=3,b=1,则a·b=3 C,故⑤是假命题.故真命题的序号为②③④.
14.解:(1)因为命题r为真命题,所以A∩B≠ ,故B≠ ,则a>0,所以B={x|-因为A∩B≠ ,所以>1,即a>1.
(2)①命题p: x∈A,x∈B为真命题时,A B,由于A≠ ,所以B≠ ,则a>0,
故B={x|-2,所以a>4.
②命题q: x∈R,ax2+2x+1=0为真命题时,
(i)当a=0时,x=-,符合题意;
(ii)当a≠0时,Δ=4-4a≥0,即a≤1,此时a≤1且a≠0.
故命题q为真命题时,有a≤1.由命题“p和q有且仅有一个是真命题”是假命题可知,p真q真或p假q假.
当p真q真时,a∈ ;当p假q假时,1综上所述,实数a的取值范围为115.BC [解析] 对于A,当x=1.5时,[2x]=[3]=3,但2[x]=2[1.5]=2×1=2,故A为假命题;对于B,当x=2时,[2x]=[4]=4=2[2]=2[x],故B为真命题;对于C,设[x]=[y]=k∈Z,则k≤x[x]+[y],故D为假命题.故选BC.
16.解:当p为真命题时,x2+x+m=0有两个不等的负根,
∴解得0当q为真命题时,4x2+4(m-2)x+m2=0无实根,
∴16(m-2)2-16m2<0,解得m>1.
∵p和q有且只有一个为真命题,∴p真q假时,01.
综上,实数m的取值范围为∪(1,+∞).1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
【学习目标】
1.掌握命题的概念,能对命题进行真假判断;
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;
3.会判断哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题.
◆ 知识点一 命题
1.定义:可供真假判断的 就是命题,判断为真的语句称为 ,判断为假的语句称为 .
2.记法:命题可以用 表示,如若记p:A (A∪B),则可知p是一个真命题.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数学中的命题与新闻中的命题含义一样.( )
(2)“明天要下雨”是一个命题. ( )
(3)“22=4”是一个真命题. ( )
(4)命题的真假可以模棱两可. ( )
(5)“数学比英语难学”是一个命题. ( )
◆ 知识点二 全称量词
1.全称量词
一般地,“ ”“ ”“ ”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“ ”表示.
2.全称量词命题
含有全称量词的命题,称为 .全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有实数都有平方根. ( )
(2) “负数没有倒数” 是全称量词命题. ( )
(3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题. ( )
(4)“对于任意实数x,2x+1是奇数”是全称量词命题. ( )
◆ 知识点三 存在量词
1.存在量词
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“ ”表示.
2.存在量词命题
含有存在量词的命题,称为 .存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“存在实数x,使得|x|≤0” 是存在量词命题. ( )
(2)“在一个平面内,存在两条相交直线垂直于同一条直线”不是存在量词命题. ( )
(3)“有些整数只有两个正因数”是存在量词命题. ( )
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题.( )
(5)命题“ x∈R, y∈R,y=3x-4”的书写是正确的. ( )
◆ 探究点一 命题及其真假的判断
例1 (1)下列语句中,命题的个数为 ( )
①中国航天人真伟大!②空集是任何集合的真子集;③3x-2>0;④把门关上;⑤自然数是偶数;⑥矩形是平行四边形吗
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)下列命题中的真命题是 ( )
A.互余的两个角不相等
B.相等的两个角是同位角
C.若a2=b2,则|a|=|b|
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
[素养小结]
(1)判断一个语句是不是命题,关键看它是否同时具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.祈使句、感叹句、疑问句等都不是命题.
(2)判断命题真假的方法:
①要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证;
②要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
◆ 探究点二 全称量词命题和存在量词命题的判定
例2 将下列命题用量词符号“ ”或“ ”表示.
(1)自然数的平方大于零;
(2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根;
(3)两个无理数的和是无理数;
(4)存在两个相似三角形不全等.
变式 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的三角形没有中线;
(3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
[素养小结]
(1)判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤:
(2)全称量词命题或存在量词命题的不同表述方法:
命题 全称量词命题 “ x∈A,p(x)” 存在量词命题 “ x∈A,p(x)”
表述 方法 ①所有的x∈A,p(x)成立; ②对一切x∈A,p(x)成立; ③对每一个x∈A,p(x)成立; ④任意一个x∈A,p(x)成立; ⑤凡x∈A,都有p(x)成立 ①存在x∈A,使得p(x)成立; ②至少有一个x∈A,使得p(x)成立; ③对有些x∈A,p(x)成立; ④对某个x∈A,p(x)成立; ⑤有一个x∈A,使得p(x)成立
◆ 探究点三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
例3 (1)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是 ( )
A.对于a,b∈R,有a2+b2-2a-2b+2<0
B.梯形的两条对角线相等
C.有小于1的自然数
D.对于任意k∈R,函数y=kx+1的图象过定点(0,1)
(2)(多选题)下列命题中为真命题的是 ( )
A. x∈R,x2+2>0 B. x∈N,x4≥1
C. x∈Q,x2=3 D. x∈Z,x3<1
变式 [2024·辽宁鞍山高一期中] 下列命题中为真命题的是 ( )
A. x∈R,x2+1<0
B. x∈R,x+|x|>0
C. x∈Z,|x|∈N
D. x∈R,x2-7x+15=0
[素养小结]
(1)全称量词命题的真假判断:
(2)存在量词命题的真假判断:
◆ 探究点四 利用全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围
例4 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)若p: x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若q: x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围.
变式 (1)已知 x∈{x|0≤x≤2},m>x, x∈{x|0≤x≤2},n>x,那么m,n的取值范围分别是 ( )
A.{m|m>0},{n|n>0}
B.{m|m>0},{n|n>2}
C.{m|m>2},{n|n>0}
D.{m|m>2},{n|n>2}
(2)若“ x∈R,x2+2x-1+m=0”是真命题,则实数m的最大值是 .
[素养小结]
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,常见解题方法:一是结合函数性质,利用数形结合求解;二是利用分离参数法求解.
(2)存在量词命题的常见题型是“存在性”问题,解题过程中要注意与“恒成立”问题进行区别.
1.下列语句是命题的是 ( )
①三角形的内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④2x>1;⑤3是偶数吗
A.①②③ B.①③④
C.①②⑤ D.②③⑤
2.给出下列四个命题:
①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立;
②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;
③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;
④存在x,使x2+2x+1=0成立.
其中是全称量词命题的个数为 ( )
A.1 B.2C.3 D.0
3.下列命题中是真命题的个数是 ( )
① x∈R,x≤0;
②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数;
③ x∈{x|x是无理数},x2是无理数.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知A={x|x满足α},B={x|x满足β},A B,A≠ ,则命题“若α,则β”是 命题.(填“真”或“假”)
5.若“ x∈R,x2-2x+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是 . 1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
1.命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p,则q”的形式为 ( )
A.若两个三角形全等,则它们的面积相等
B.若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等
C.若两个三角形的面积相等,则这两个三角形不全等
D.若两个三角形不全等,则它们的面积不相等
2.下列命题是真命题的是 ( )
A. x∈R,x>0
B. x∈R,x2+2x+3=0
C.有的三角形是正三角形
D.每一个四边形都有外接圆
3.下列命题不是“ x∈R,x2>3”的表述的是 ( )
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
4.已知命题p:当m∈[1,2]时,关于x的方程x2-2x+m=0没有实数解.下列说法正确的是 ( )
A.p是全称量词命题,且是假命题
B.p是全称量词命题,且是真命题
C.p是存在量词命题,且是假命题
D.p是存在量词命题,且是真命题
5.若“ x∈[1,2],x-a>0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
6.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+2-a=0.若p与q不全为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|a≤-2}
B.{a|a≤1}
C.{a|a≤-2或a=1}
D.{a|-21}
★7.设非空集合P,Q满足P∩Q=P,则 ( )
A. x∈Q,x∈P
B. x Q,x P
C. x Q,x∈P
D. x∈P,x Q
8.(多选题)能说明“ x∈(-∞,2),x2<4”为假命题的x的值可以是 ( )
A.-4 B.-2
C.0 D.3
9.[2025·江苏扬州高一期中] 下列命题中,是全称量词命题的是 ;是存在量词命题的是 .(填序号)
(1)每一个矩形的对角线都互相平分;
(2)有些集合无真子集;
(3)能被8整除的数也能被2整除.
10.(13分)用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)实数都能写成小数形式;
(2)有的有理数没有倒数;
(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根;
(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.
11.[2025·河北石家庄高一期中] 将x2+y2≥2xy改写成全称量词命题正确的是 ( )
A. x,y∈R,x2+y2≥2xy
B. x,y∈R,x2+y2≥2xy
C. x>0,y>0,x2+y2≥2xy
D. x>0,y>0,x2+y2≤2xy
12.(多选题)下列命题中为真命题的是 ( )
A. x∈R,x≤0
B.至少有一个整数,它既不是合数也不是质数
C. x∈{x|x是无理数},x+5是无理数
D.任何实数都有算术平方根
13.设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z}.下列命题中,真命题的序号为 .
①若a∈A,b∈B,则a+b∈C;
②若a∈A,b∈C,则a+b∈B;
③若a∈B,b∈C,则a+b∈A;
④若a∈C,b∈C,则a-b∈A;
⑤若a∈B,b∈B,则a·b∈C.
14.(15分)[2025·重庆渝中区高一期末] 已知集合A={x|1(1)若命题r是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p和q有且仅有一个是真命题”是假命题,求实数a的取值范围.
15.(多选题)取整函数[x]=不超过x的最大整数,如[1.2]=1,[3.9]=3,[-1.5]=-2,取整函数在现实生活中有着广泛的应用.以下关于“取整函数”的命题是真命题的有 ( )
A. x∈R,[2x]=2[x]
B. x∈R,[2x]=2[x]
C. x,y∈R且[x]=[y],x-y<1
D. x,y∈R,[x+y]≤[x]+[y]
16.(15分)已知p:x2+x+m=0有两个不等的负根;q:4x2+4(m-2)x+m2=0无实根.若p与q有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.(共68张PPT)
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
探究点一 命题及其真假的判断
探究点二 全称量词命题和存在量词命题的判定
探究点三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
探究点四 利用全称量词命题与存在量词命题的真假
求参数的取值范围
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断；
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;
3.会判断哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题.
知识点一 命题
1.定义：可供真假判断的__________就是命题，判断为真的语句称为
________，判断为假的语句称为________.
2.记法：命题可以用______________表示，如若记 ，
则可知 是一个真命题.
陈述语句
真命题
假命题
小写英文字母
（2）“明天要下雨”是一个命题.( )
×
[解析] 不能判断真假的语句不是命题.
（3）“ ”是一个真命题.( )
√
[解析] 数学命题可以借助符号和式子来表示， 是真命题.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）数学中的命题与新闻中的命题含义一样.( )
×
[解析] 新闻中的命题往往是“命制的题目”的缩写，两者不一样.
（4）命题的真假可以模棱两可.( )
×
[解析] 命题要么是真，要么是假，命题的真假不能模棱两可.
（5）“数学比英语难学”是一个命题.( )
×
[解析] 没有判断“数学比英语难学”的标准，故不是命题.
知识点二 全称量词
1.全称量词
一般地，“______”“______”“________”在陈述中表示所述事物的全体，
称为全称量词，用符号“___”表示.
任意
所有
每一个
2.全称量词命题
含有全称量词的命题，称为______________.全称量词命题就是形如
“对集合中的所有元素， ”的命题，可简记为____________.
全称量词命题
,
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）所有实数都有平方根.( )
×
[解析] 负数没有平方根.
（2）“负数没有倒数” 是全称量词命题.( )
√
[解析] “负数没有倒数” 即“任何负数都没有倒数”，是全称量词命题.
（3）“三角形内角和等于 ”是全称量词命题.( )
√
[解析] “三角形内角和等于 ”即“所有的三角形内角和都等于
”，是全称量词命题.
（4）“对于任意实数， 是奇数”是全称量词命题.( )
√
[解析] 根据全称量词命题的概念知，该说法正确.
知识点三 存在量词
1.存在量词
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为
存在量词，用符号“___”表示.
2.存在量词命题
含有存在量词的命题，称为______________.存在量词命题就是形如
“存在集合中的元素， ”的命题，可简记为____________.
存在量词命题
,
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“存在实数，使得 ” 是存在量词命题.( )
√
[解析] “存在实数，使得 ”是存在量词命题.
（2）“在一个平面内，存在两条相交直线垂直于同一条直线”不是存
在量词命题.( )
×
[解析] “在一个平面内，存在两条相交直线垂直于同一条直线”有存
在量词，所以是存在量词命题.
（3）“有些整数只有两个正因数”是存在量词命题.( )
√
[解析] “有些整数只有两个正因数”有存在量词，所以是存在量词命题.
（4）“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题.( )
√
[解析] “至少有一个偶数是质数”是存在量词命题，因为偶数2是质数，
所以该命题是真命题.
（5）命题“,, ”的书写是正确的.( )
√
[解析] 当全称量词命题和存在量词命题中包含多个变量时，可以同
时用相关量词进行表述.
探究点一 命题及其真假的判断
例1（1）下列语句中，命题的个数为( )
①中国航天人真伟大！②空集是任何集合的真子集；③ ；
④把门关上；⑤自然数是偶数；⑥矩形是平行四边形吗？
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ①是感叹句，不能判断真假，不是命题；③不能判断真假，
不是命题；④是祈使句，不能判断真假，不是命题；⑥是疑问句，
不能判断真假，不是命题.②⑤可以判断真假，都是命题.故选B.
√
（2）下列命题中的真命题是( )
A.互余的两个角不相等
B.相等的两个角是同位角
C.若，则
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
√
[解析] 对于A，互余的两个角可能相等，比如都为 ，故A是假命题；
对于B，相等的两个角不一定是同位角，故B是假命题；
对于C，若，则，即或，
则 ，故C是真命题；
对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D是假
命题.故选C.
［素养小结］
（1）判断一个语句是不是命题，关键看它是否同时具备“是陈述句”
和“可以判断真假”这两个条件.祈使句、感叹句、疑问句等都不是命题.
（2）判断命题真假的方法：
①要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比
如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；
②要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
探究点二 全称量词命题和存在量词命题的判定
例2 将下列命题用量词符号“ ”或“ ”表示.
（1）自然数的平方大于零；
解：该命题可用符号表示为“， ”.
（2）方程 至少存在一个负根；
解：该命题可用符号表示为“， ”．
（3）两个无理数的和是无理数；
解：该命题可用符号表示为“，是无理数，
是无理数 ”．
（4）存在两个相似三角形不全等.
解：该命题可用符号表示为“，
不成立”．
变式 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）凸多边形的外角和等于 ;
解：该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和都等于 ”,含有全
称量词“所有的”,故为全称量词命题.
（2）有的三角形没有中线;
解：该语句含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
（3）若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
解：该语句可以改为“任意一个菱形的对角线互相垂直”,含有全称量
词“任意”,故为全称量词命题.
［素养小结］
（1）判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：
（2）全称量词命题或存在量词命题的不同表述方法：
命 题 全称量词命题“， ” 存在量词命题“， ”
表 述 方 法 ①所有的， 成立； ②对一切， 成立； ③对每一个， 成立； ④任意一个， 成立； ⑤凡，都有 成立 ①存在，使得 成立；
②至少有一个，使得
成立；
③对有些， 成立；
④对某个， 成立；
⑤有一个，使得 成立
探究点三 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
例3（1）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是( )
A.对于，，有
B.梯形的两条对角线相等
C.有小于1的自然数
D.对于任意，函数的图象过定点
√
[解析] 对于A， ，
故A是假命题；
易知B是假命题；易知C是存在量词命题；
对于D，对于任意，函数的图象过定点 ，故D既
是真命题又是全称量词命题.故选D.
（2）（多选题）下列命题中为真命题的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 对于A，因为，所以 ，故A是真命题；
对于B，当时， ，故B不是真命题；
对于C，若，则 ，都为无理数，故C不是真命题；
对于D，取，则，故D是真命题.故选 .
√
√
变式 ［2024·辽宁鞍山高一期中］下列命题中为真命题的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 对于A，因为 ，所以A是假命题；
对于B，当时，，所以B是假命题；
对于C，， ，所以C是真命题；
对于D，方程 中 ，此方程无解，
所以D是假命题.故选C.
√
［素养小结］
（1）全称量词命题的真假判断：
（2）存在量词命题的真假判断：
探究点四 利用全称量词命题与存在量词命题的真假
求参数的取值范围
例4 已知集合, .
（1）若,是真命题,求实数 的取值范围;
解：因为,是真命题,所以，且 不为空集，所以
解得 .
故实数的取值范围为 .
（2）若,是真命题,求实数 的取值范围.
解：因为, 是真命题,
所以 ,所以 ,即,即 ,
则,所以,即,所以 .
故实数的取值范围为 .
例4 已知集合, .
变式（1）已知,,, ,
那么, 的取值范围分别是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 由,,可得 ;
由,,可得 .故选C.
√
（2）若“，”是真命题，则实数 的最大
值是___.
2
[解析] 因为“， ”是真命题，所以
，解得，故实数 的最大值是2.
［素养小结］
（1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，常见解题方法：一
是结合函数性质，利用数形结合求解；二是利用分离参数法求解.
（2）存在量词命题的常见题型是“存在性”问题，解题过程中要注意
与“恒成立”问题进行区别.
1.下列语句是命题的是( )
三角形的内角和等于 ；； 一个数不是正数就是负
数；； 是偶数吗？
A.①②③ B.①③④ C.①②⑤ D.②③⑤
[解析] ①②③可以判断真假，都是命题；④中语句不能判断真假，
⑤中语句为疑问句，则④⑤不是命题.故选A.
√
2.给出下列四个命题：
①至少有一个，使 成立；
②对任意的，都有 成立；
③对任意的，都有 不成立；
④存在，使 成立．
其中是全称量词命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
√
[解析] 因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”是全称量词，
所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命
题的个数为2.故选B.
3.下列命题中是真命题的个数是( )
， ；
至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
是无理数， 是无理数．
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ， ，故①是真命题；
②数字1是整数，且既不是合数也不是质数，故②是真命题；
是无理数， 是无理数，例如 ，故③是真命题.
故选D.
√
4.已知满足，满足，， ，则命题
“若 ，则 ”是____命题.（填“真”或“假”）
真
[解析] ， 若，则，故命题“若 ，则 ”是真命题.
5.若“，”是真命题，则实数 的取值范围是
________.
[解析] “，”为真命题， ，
解得.故实数的取值范围为 .
1.全称量词命题和存在量词命题的区分
要判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题
中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称量词命题
（存在量词命题）的叙述中并不含有全称量词（存在量词），这时
我们就要根据命题涉及的意义去判断.
例1 判断正误：
（1）命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.( )
×
（2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题.( )
√
（3）命题“有的实数的绝对值是正数”是存在量词命题.( )
√
2.全称量词命题和存在量词命题的真假的判断方法
首先判断命题中含有哪种量词，进而确定是哪种命题，然后正面推
理证明或举反例说明命题的真假．对于全称量词命题，若要判定其
为真命题，需证明对每一个， 恒成立；若要判定其为假命题，
只需举一个反例．对存在量词命题，若要判定其为真命题，只需找
到一个元素，使 成立；若要判定其为假命题，需证明对每一个
， 都不成立.
例2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，
并判断其真假．
（1）有的集合中存在两个相同的元素．
解：该命题是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题
是假命题．
（2）存在一个，使 .
解：该命题是存在量词命题，因为不存在，使 成立，
所以该命题是假命题．
（3）对任意等腰直角三角形的两个锐角，，都有 ．
解：该命题是全称量词命题，在等腰直角三角形中， ，
，因为，所以 ，所以该
命题是真命题.
练习册
1.命题“全等三角形的面积相等”改写成“若，则 ”的形式为( )
A.若两个三角形全等，则它们的面积相等
B.若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
C.若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等
D.若两个三角形不全等，则它们的面积不相等
[解析] 因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是“两个三角形全
等”，结论为“这两个三角形的面积相等”，所以改写成“若，则 ”的
形式为“若两个三角形全等，则它们的面积相等”.故选A.
√
2.下列命题是真命题的是( )
A.， B.，
C.有的三角形是正三角形 D.每一个四边形都有外接圆
[解析] 易知A是假命题；
对于B， ，所以该方程无解，故B是假命题；
有的三角形是正三角形，故C是真命题；不是每一个四边形都有外接圆，
故D是假命题．故选C.
√
3.下列命题不是“， ”的表述的是( )
A.有一个，使得 成立
B.对有些， 成立
C.任选一个，都有 成立
D.至少有一个，使得 成立
[解析] 由已知得，原命题为存在量词命题. “有一个”“有些”“至少有
一个”均为存在量词，“任选一个”为全称量词， ,B,D中的命题均为
存在量词命题，C中的命题为全称量词命题.故选C.
√
4.已知命题当时，关于的方程 没有实
数解．下列说法正确的是( )
A. 是全称量词命题，且是假命题
B. 是全称量词命题，且是真命题
C. 是存在量词命题，且是假命题
D. 是存在量词命题，且是真命题
[解析] 命题的含义是“对于任意，方程 都
没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题 是全称
量词命题，且为假命题.故选A.
√
5.若“，”是真命题，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 命题“，”即“， ”，因为
，所以.故实数的取值范围是 .故选A.
√
6.已知命题，，命题 ,
.若与不全为真命题，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C.或 D.或
√
[解析] 若为真命题，则，又 ，所以
，所以；
若为真命题，则 有解，所以
，解得或.
当 与全为真命题时，实数的取值范围是或 ，
所以若与不全为真命题，则实数的取值范围是
或 .故选D.
★7.设非空集合，满足 ，则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 因为，所以 ，画出维恩图如
图，易知B正确，故选B.
［技巧点拨］ 根据集合与集合的关系画出维恩图，再作出判断，与
集合有关的含有量词的命题，常用此方法判断其真假.
√
8.（多选题）能说明“，”为假命题的 的值可以
是( )
A. B. C.0 D.3
[解析] ，但，故A正确；
，但，故B正确；
， ，故C错误；
显然，故D错误.故选 .
√
√
9.［2025·江苏扬州高一期中］下列命题中，是全称量词命题的是
____________；是存在量词命题的是_______.（填序号）
（1）每一个矩形的对角线都互相平分；
（2）有些集合无真子集；
（3）能被8整除的数也能被2整除.
（1）（3）
（2）
[解析] （1）中含有全称量词“每一个”，（3）中陈述的是所有满足
条件的数，所以（1）（3）是全称量词命题；
（2）中含有存在量词“有些”，所以（2）是存在量词命题.
10.（13分）用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）实数都能写成小数形式；
解：， 都能写成小数形式．此命题是真命题．
（2）有的有理数没有倒数；
解：， 没有倒数．有理数0没有倒数，故此命题是真命题．
（3）不论取什么实数，方程 必有实根；
解：，方程 必有实根．
当 时，方程无实根，故此命题是假命题．
（4）存在一个实数，使 .
解：，.因为 恒成
立，所以此命题是假命题．
11.［2025·河北石家庄高一期中］将 改写成全称量词
命题正确的是( )
A.,， B.,，
C.,， D.,，
[解析] 将改写成全称量词命题为“, ，
”.故选A.
√
12.（多选题）下列命题中为真命题的是( )
A.，
B.至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C.是无理数， 是无理数
D.任何实数都有算术平方根
[解析] 对于A，当时， 成立，故A正确；
对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确；
对于C,当时， 是无理数，故C正确；
对于D,负数没有算术平方根，故D错误.故选 .
√
√
√
13.设集合,,, ,
, }.下列命题中，真命题的序号为________.
①若,，则 ；
②若,，则 ；
③若,，则 ；
④若,，则 ；
⑤若,，则 .
②③④
[解析] ①中，若,,则 ，故①是假命题；
②中，设，，， ，则
，故②是真命题；
③中，设，，， ，则
，故③是真命题；
④中，设，，， ，则
，故④是真命题；
⑤中，若,,则 ，故⑤是假命题.故真命题的序号
为②③④.
14.（15分）［2025·重庆渝中区高一期末］ 已知集合
，集合，命题， ，
命题，，命题， .
（1）若命题是真命题，求实数 的取值范围；
解：因为命题为真命题，所以 ，故 ，则 ，
所以 .
因为 ，所以，即 .
（2）若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数 的取
值范围.
解：①命题,为真命题时，，由于 ，所以
，则 ，故，
由得，所以 .
14.（15分）［2025·重庆渝中区高一期末］ 已知集合
，集合，命题， ，
命题，，命题， .
②命题, 为真命题时，
当时， ，符合题意；
当时，，即，此时且 .
故命题为真命题时，有.由命题“和 有且仅有一个是真命题”
是假命题可知，真真或假 假.
当真真时， ；当假假时， .
综上所述，实数的取值范围为 .
15.（多选题）取整函数不超过的最大整数,如 ,
, ，取整函数在现实生活中有着广泛的应用.以下
关于“取整函数”的命题是真命题的有( )
A., B.,
C.,且, D.,,
√
√
[解析] 对于A,当时, ,但
,故A为假命题;
对于B,当 时, ,故B为真命题;
对于C,设,则,,
所以 ,故C为真命题;
对于D,当,时, ,但
,故D为假命题.故选 .
16.（15分）已知 有两个不等的负根;
无实根.若与 有且只有一个为真命题，
求实数 的取值范围.
解：当为真命题时， 有两个不等的负根，
解得 .
当为真命题时， 无实根,
,解得 .
和有且只有一个为真命题，真假时，；
假 真时， .
综上，实数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.陈述语句 真命题 假命题 2.小写英文字母
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×
知识点二 1.任意 所有 每一个 2.全称量词命题 ,
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）√ （4）√
知识点三 1. 2.存在量词命题 ,
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）√
课中探究 例1 （1）B （2）C 例2 略 变式 略
例3 （1）D （2）AD 变式 C
例4 （1） （2）> 变式 （1）C （2）2
课堂评价 1.A 2.B 3.D 4.真 5.
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.B 8.AB 9.（1）（3） （2） 10. 略
综合提升
11.A 12.ABC 13.②③④
14.（1）（2）m>
思维探索
15.BC 16. 