1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× [解析] (2)如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是假命题,反之亦然.
(3)因为命题p:若x>1,则x2>1是真命题,所以其否定 p:若x>1,则x2≤1是假命题.
知识点二
存在量词命题 全称量词命题
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (2)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
(4)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”.
【课中探究】
例1 解:(1) p:4≤2,假命题.
(2) q:方程x2+2x-4=0没有实数根,假命题.
(3) r:正方形不都是菱形,假命题.
变式 解:(1) p:空集不是集合A的子集.因为命题p是真命题,所以 p是假命题.
(2) q:若xy=0,则x与y均不为0. 因为命题q是真命题,所以 q是假命题.
(3) s:有的平行四边形的对角线不互相平分.因为命题s是真命题,所以 s是假命题.
例2 解:(1)全称量词命题.
原命题的否定:存在实数x,使得x2<|x|.原命题的否定是真命题.
(2)存在量词命题.
原命题的否定:对任意的实数x,都有x2+x-2>0.原命题的否定是假命题.
(3)全称量词命题.
原命题的否定:存在一个素数不是奇数.原命题的否定是真命题.
(4)全称量词命题.
原命题的否定:方程x2-3x+1=0至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题.
变式 解:(1) x∈R,|x|+1-x=0.
(2)三个给定产品中至少有一个不是次品.
(3) a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点.
(4)每一个平行四边形都不是菱形.
探索 解:若全称量词命题为假命题,则通常转化为其否定,即存在量词命题为真命题来解决问题.同理,若存在量词命题为假命题,则通常转化为其否定,即全称量词命题为真命题来解决问题.
例3 (1)B (2)A [解析] (1)由题知命题“ x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根.当a=0时,满足题意;当a≠0时,Δ=4-4a≥0,即a≤1且a≠0.综上,a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}.故选B.
(2)由于“ x∈[1,4],2x+a+1≥0”是假命题,因此“ x∈[1,4],2x+a+1<0”是真命题,则2×4+a+1<0,则a<-9.故选A.
变式 (1) x≥1,x2+1≤2 (2)(-∞,6) [解析] (1)因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“ x≥1,x2+1>2”的否定为“ x≥1,x2+1≤2”.
(2)由题意知,p为真命题,即关于x的不等式x2+2-a>0,即x2+2>a在[1,2]上有解,当1≤x≤2时,3≤x2+2≤6,所以a<6.故实数a的取值范围为(-∞,6).
【课堂评价】
1.A [解析] 命题“ x∈Q,x+是无理数”的否定是“ x∈Q,x+不是无理数”.故选A.
2.D [解析] 由题意知,原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,所以其否定为“对任意a∈{x|x<0},都有a2-2a-1≤0”.
3.B [解析] 因为p:任意的菱形四条边都相等,所以 p:“存在一个四边形为菱形,它的四条边不全相等”.故选B.
4.(-∞,-3]∪[3,+∞) [解析] 由“ x∈[1,3],mx+3-2m>0”是假命题,得“ x∈[1,3],mx+3-2m≤0”是真命题,则m+3-2m≤0或3m+3-2m≤0,解得m≥3或m≤-3,故实数m的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.C [解析] 命题“ x∈(1,+∞),x2-2=0”的否定为“ x∈(1,+∞),x2-2≠0”.故选C.
2.C [解析] 命题“ x>0,x+≥3”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“ x>0,x+≥3”的否定是“ x>0,x+<3”.故选C.
[易错点] 在命题的否定中要先考虑原命题中自变量的范围.
3.B [解析] 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p:所有学生都会做第1题的否定是“至少存在一个学生不会做第1题”.故选B.
4.A [解析] 有的三角形为正三角形的否定是所有的三角形都不是正三角形,故A中说法错误;有些矩形是正方形的否定是所有矩形都不是正方形,故B中说法正确;对任意x∈R,都有x3-x2+1≤0的否定是存在x∈R,使得x3-x2+1>0,故C中说法正确; x∈R,x2+x+2≤0的否定是 x∈R,x2+x+2>0,故D中说法正确.故选A.
5.C [解析] 对于A,自然数都是整数,所以命题“ n∈N,n∈Z”是真命题,故A错误;对于B,命题“ n∈N,n∈Z”的否定是“ n∈N,n Z”, 故B错误;对于C,当x=0时,x-1=-1<0,所以“ x∈R,x-1<0”是真命题,故C正确;对于D,命题“ x∈R,x-1<0”的否定是“ x∈R,x-1≥0”,故D错误.故选C.
6.C [解析] 由4∈Q,=2 RQ,得命题p为假命题.命题p的否定为 p: x∈Q, RQ.故选C.
7.BD [解析] 因为A={x|x>3},B={x|x<-1或x>2},所以A B.对于A,原命题的否定为“ x∈B,x A”,当x=-2时,满足x∈B,x A,即原命题的否定为真命题,故A不满足题意;对于B,原命题的否定为“ x∈B,x∈A”,当x=-2时,x∈B,x A,即原命题的否定为假命题,故B满足题意;对于C,原命题的否定为“ x∈A,x∈B”,因为A B,所以原命题的否定为真命题,故C不满足题意;对于D,原命题的否定为“ x∈A,x B”,因为A B,所以原命题的否定为假命题,故D满足题意.故选BD.
8.ACD [解析] p: x∈R,x>0, p: x∈R,x≤0,故A正确;p: x∈R,x2≤-1, p: x∈R,x2>-1,故B错误;p: x<2,x<1, p: x<2,x≥1,故C正确;p: x∈R,x2+1≠0, p: x∈R,x2+1=0,故D正确.故选ACD.
9. a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根
[解析] 命题“ a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是“ a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根”.
10.解:(1)命题“ n∈N*,∈N*”的否定为“ n∈N*, N*”.因为当n=1∈N*时,=1∈N*,所以命题“ n∈N*, N*”为假命题.
(2)命题“ x∈R,x2+x+1>0”的否定为“ x∈R,x2+x+1≤0”.
因为x2+x+1=+>0恒成立,所以不存在x∈R使得x2+x+1≤0,
故命题“ x∈R,x2+x+1≤0”为假命题.
(3)命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为“存在三角形的三个内角不都是锐角”.
因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角,所以命题“存在三角形的三个内角不都是锐角”为真命题.
11.C [解析] 因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”为假命题,所以“非空集合M中的元素不都是集合P中的元素”为真命题,所以M中一定有不属于P的元素,故②④为真命题.故选C.
12.ACD [解析] A中,因为>,所以p是假命题,故A正确.B中,由=,可得x=2x+1,解得x=-1,但x需要满足x≥0,所以q是假命题,故B错误.C中,命题q中有存在量词,所以q是存在量词命题,故C正确.D中,命题p中有全称量词,所以p是全称量词命题,故D正确.故选ACD.
13.{0,1,2} [解析] 因为 x1∈A, x2∈B,x1=x2,所以A B,所以解得0≤m≤2.又因为m∈Z,所以整数m的取值集合为{0,1,2}.
14.解:因为“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,所以“ m∈R,A∩B= ”为真命题.
当a<0时,A= ,此时A∩B= ,满足题意;
当a≥0时,要使A∩B= 成立,则a
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,3).
[易错] 不要忽略集合A为空集的情形.
15.解:(1)由命题p为真命题可得A B,又B≠ ,
所以解得m≥8.
故实数m的取值范围为[8,+∞).
(2)因为命题q: x∈B,x A是假命题,
所以命题 q: x∈B,x∈A是真命题,即A∩B≠ ,
则解得m≥2,
故实数m的取值范围为[2,+∞).
16.解:选条件①.由p为真,可得不等式x2≥a对任意x∈[1,2]恒成立,因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1.
若q为真,则关于x的方程x2+2ax+4=0在R上有解,所以Δ=(2a)2-16≥0,解得a≥2或a≤-2.
因为p,q都是真命题,所以a≤-2,所以实数a的取值范围是{a|a≤-2}.
选条件②.由p为真,可得不等式x2≥a对任意x∈[1,2]恒成立,因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1.
对于q,当B= ,即a≤0时,A∩B= ;
当B≠ ,即a>0时,由A∩B= ,得a≥4或3a≤2,所以0综上,a≤或a≥4.因为p,q都是真命题,所以a≤,所以实数a的取值范围是.1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,并会判断真假;
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,并会判断真假.
◆ 知识点一 命题的否定
一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“ p”,读作“非p”或“p的否定”.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题 p的否定是p. ( )
(2)命题p是真命题,则其否定一定是假命题.( )
(3)命题p:若x>1,则x2>1的否定 p是真命题. ( )
◆ 知识点二 含有量词的命题的否定
含有量词 的命题 p p 结论
全称量词 命题 x∈M, p(x) x∈M, p(x) 全称量词命题的否定是
存在量词 命题 x∈M, p(x) x∈M, p(x) 存在量词命题的否定是
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”. ( )
(2)存在量词命题的否定是对“量词”和“p(x)”同时否定. ( )
(3)“ x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“ x∈R,x3-x2+1>0”. ( )
(4)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”. ( )
(5)“ x∈M,p(x)”与“ x∈M, p(x)”的真假性相反. ( )
◆ 探究点一 命题的否定及真假的判断
例1 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:4>2;(2)q:方程x2+2x-4=0有实数根;(3)r:正方形都是菱形.
变式 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p:空集是集合A的子集;
(2)q:若xy=0,则x与y中至少有一个为0;
(3)s:平行四边形的对角线互相平分.
[素养小结]
p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写 p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的否定是“至少三个”等.
◆ 探究点二 含有量词的命题的否定
例2 [2025·湖南长沙高一期末] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,写出这些命题的否定,并判断这些命题的否定的真假.
(1)对任意的实数x,都有x2≥|x|;
(2)存在实数x,使得x2+x-2≤0;
(3)所有的素数都是奇数;
(4)方程x2-3x+1=0的每一个根都是正数.
变式 写出下列命题的否定.
(1) x∈R,|x|+1-x≠0;
(2)三个给定产品都是次品;
(3) a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点;
(4)某些平行四边形是菱形.
[素养小结]
(1)全称量词命题的否定:将全称量词变为存在量词,再否定它的结论.
(2)存在量词命题的否定:将存在量词变为全称量词,再否定它的结论.
(3)对省略量词的命题要补回量词再否定.解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”“有一个”“存在”等量词的简化形式,则应先将命题写成完整形式,再依据法则写出其否定形式.
(4)若命题为真命题,则该命题的否定就是假命题;若命题为假命题,则该命题的否定就是真命题.
◆ 探究点三 全称量词命题、存在量词命题否定的应用
[探索] 若全称量词命题为假命题,则该如何处理 若存在量词命题为假命题,则该如何处理
例3 (1)已知命题“ x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|a≤-1} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|a≥-1}
(2)[2025·广东广州高一期末] 若“ x∈[1,4],2x+a+1≥0”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-9) B.(-∞,-3)
C.(-9,+∞) D.(-3,+∞)
变式 (1)命题“ x≥1,x2+1>2”的否定是 .
(2)已知p:“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2-a>0成立”的否定为假命题,则实数a的取值范围为 .
[素养小结]
(1)注意p与 p只能为一真一假,解决问题时可以相互转化.
(2)对求参数范围的问题,往往分离参数,转化成求函数的最值问题.
1.命题“ x∈Q,x+是无理数”的否定是 ( )
A. x∈Q,x+不是无理数
B. x∈Q,x+不是无理数
C. x Q,x+不是无理数
D. x Q,x+不是无理数
2.已知命题p:“存在a∈{x|x<0},使得a2-2a-1>0”,那么命题p的否定是 ( )
A.存在a∈{x|x>0},使得a2-2a-1≤0
B.存在a∈{x|x<0},使得a2-2a-1≤0
C.对任意a∈{x|x>0},都有a2-2a-1≤0
D.对任意a∈{x|x<0},都有a2-2a-1≤0
3.已知命题p:任意的菱形四条边都相等,则 p是 ( )
A.若四边形为菱形,则它的四条边不全相等
B.存在一个四边形为菱形,它的四条边不全相等
C.若四边形不是菱形,则它的四条边不全相等
D.存在一个四边形为菱形,它的四条边相等
4.[2025·四川泸州高一期中] 若“ x∈[1,3],mx+3-2m>0”是假命题,则实数m的取值范围为 . 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.命题“ x∈(1,+∞),x2-2=0”的否定为 ( )
A. x∈(-∞,1],x2-2≠0
B. x∈(-∞,1],x2-2=0
C. x∈(1,+∞),x2-2≠0
D. x∈(1,+∞),x2-2=0
★2.[2025·江西抚州高一期中] 命题“ x>0,x+≥3”的否定是 ( )
A. x>0,x+<3
B. x≤0,x+<3
C. x>0,x+<3
D. x≤0,x+≥3
3.对某次考试有命题p:所有学生都会做第1题,那么命题p的否定是 ( )
A.所有学生都不会做第1题
B.至少存在一个学生不会做第1题
C.存在一个学生会做第1题
D.至少有一个学生会做第1题
4.对下列命题的否定说法错误的是 ( )
A.p:有的三角形为正三角形; p:所有的三角形都是正三角形
B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形
C.p:对任意x∈R,都有x3-x2+1≤0; p:存在x∈R,使得x3-x2+1>0
D.p: x∈R,x2+x+2≤0; p: x∈R,x2+x+2>0
5.下列说法正确的是 ( )
A.命题“ n∈N,n∈Z”是假命题
B.命题“ n∈N,n∈Z”的否定是“ n∈N,n∈Z”
C.命题“ x∈R,x-1<0”是真命题
D.命题“ x∈R,x-1<0”的否定是“ x∈R,x-1>0”
6.[2025·广东清远高一期中] 已知Q是有理数集,R是实数集,命题p: x∈Q,∈ RQ,则( )
A.p是真命题, p: x∈Q, RQ
B.p是真命题, p: x Q, RQ
C.p是假命题, p: x∈Q, RQ
D.p是假命题, p: x Q, RQ
7.(多选题)已知集合A={x|x-1>2},集合B={x|x<-1或x>2},则下列命题的否定为假命题的是 ( )
A. x∈B,x∈A B. x∈B,x A
C. x∈A,x B D. x∈A,x∈B
8.(多选题)对下列命题的否定说法正确的是 ( )
A.p: x∈R,x>0; p: x∈R,x≤0
B.p: x∈R,x2≤-1; p: x∈R,x2>-1
C.p: x<2,x<1; p: x<2,x≥1
D.p: x∈R,x2+1≠0; p: x∈R,x2+1=0
9.[2024·浙江台州高一期中] 命题“ a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是 .
10.(13分)写出下列命题的否定,并判断你写出的命题的真假.
(1) n∈N*,∈N*;
(2) x∈R,x2+x+1>0;
(3)所有三角形的三个内角都是锐角.
11.已知“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”为假命题,现有下列命题:
①M中的元素都不是集合P中的元素;
②M中一定有不属于P的元素;
③M中一定有属于P的元素;
④M中的元素不都是集合P中的元素.
其中为真命题的是 ( )
A.①③ B.①④
C.②④ D.②③
12.(多选题)[2025·江西上饶高一期中] 已知命题p: x∈(0,+∞),x2A.p是假命题
B.q是真命题
C.q是存在量词命题
D.p是全称量词命题
13.已知集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|m-1≤x≤2m+3},若 x1∈A, x2∈B,x1=x2,则整数m的取值集合为 .
★14.(13分)已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,求实数a的取值范围.
15.(15分)[2025·湖南衡阳高一期中] 已知集合A={x|1≤x≤7},B={x|-3m+1≤x≤m-1},且B≠ .
(1)若命题p: x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题q: x∈B,x A是假命题,求实数m的取值范围.
16.(15分)在① x∈R,x2+2ax+4=0;②存在集合A={x|2问题:已知p: x∈[1,2],x2-a≥0,q: .
若p,q都是真命题,求实数a的取值范围.(共60张PPT)
1.2 常用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题
的否定
探究点一 命题的否定及真假的判断
探究点二 含有量词的命题的否定
探究点三 全称量词命题、存在量词命题
否定的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,并会判断真假；
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,并会判断真假.
知识点一 命题的否定
一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作“ ”，读
作“非”或“ 的否定”.
（3）命题若，则的否定 是真命题.( )
×
[解析] 因为命题若，则是真命题，所以其否定
若，则 是假命题.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）命题的否定是 .( )
√
（2）命题 是真命题，则其否定一定是假命题.( )
√
[解析] 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是假命题，
反之亦然.
知识点二 含有量词的命题的否定
含有量词 的命题 结论
全称量词 命题 全称量词命题的否定是
______________
存在量词 命题 存在量词命题的否定是
______________
存在量词命题
全称量词命题
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”.( )
√
（2）存在量词命题的否定是对“量词”和“ ”同时否定.( )
×
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“ ”进行否定,
而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
（3）“，”的否定是“ ，
”.( )
√
（4）“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平
行四边形”.( )
×
[解析] “所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四
边形”.
（5）“,”与“, ”的真假性相反.( )
√
探究点一 命题的否定及真假的判断
例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1） ；
解： ，假命题.
（2）方程 有实数根；
解：方程 没有实数根，假命题.
（3） 正方形都是菱形.
解： 正方形不都是菱形，假命题.
变式 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）空集是集合 的子集；
解：空集不是集合的子集．因为命题是真命题，所以 是
假命题.
（2）若，则与 中至少有一个为0；
解：若，则与均不为0. 因为命题是真命题，所以
是假命题．
（3） 平行四边形的对角线互相平分.
解：有的平行四边形的对角线不互相平分.因为命题 是真命题，
所以 是假命题.
［素养小结］
是对命题的全盘否定，对一些词语的正确否定是写的关键，
如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的否定是“至少三个”等.
探究点二 含有量词的命题的否定
例2 ［2025·湖南长沙高一期末］判断下列命题是全称量词命题还是存
在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假.
（1）对任意的实数，都有 ；
解：全称量词命题.
原命题的否定：存在实数，使得 .原命题的否定是真命题.
（2）存在实数，使得 ；
解：存在量词命题.
原命题的否定：对任意的实数，都有 .原命题的否定
是假命题.
（3）所有的素数都是奇数；
解：全称量词命题.
原命题的否定：存在一个素数不是奇数.原命题的否定是真命题.
（4）方程 的每一个根都是正数.
解：全称量词命题.
原命题的否定：方程 至少有一个根不是正数.原命题
的否定是假命题.
变式 写出下列命题的否定.
（1）， ；
解：， ．
（2）三个给定产品都是次品;
解：三个给定产品中至少有一个不是次品.
（3），一次函数 的图象经过原点；
解：，一次函数 的图象不经过原点．
（4）某些平行四边形是菱形．
解：每一个平行四边形都不是菱形．
［素养小结］
（1）全称量词命题的否定:将全称量词变为存在量词,再否定它的结论.
（2）存在量词命题的否定:将存在量词变为全称量词,再否定它的结论.
（3）对省略量词的命题要补回量词再否定.解题中若遇到省略“所有”
“任何”“任意”“有一个”“存在”等量词的简化形式,则应先将命题写成
完整形式,再依据法则写出其否定形式.
（4）若命题为真命题,则该命题的否定就是假命题;若命题为假命题,
则该命题的否定就是真命题.
探究点三 全称量词命题、存在量词命题否定的应用
［探索］ 若全称量词命题为假命题，则该如何处理？若存在量词命
题为假命题，则该如何处理？
解：若全称量词命题为假命题，则通常转化为其否定，即存在量词
命题为真命题来解决问题．
同理，若存在量词命题为假命题，则通常转化为其否定，
即全称量词命题为真命题来解决问题．
例3（1）已知命题“，”为假命题，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知命题“，”为真命题，则关于
的方程有实根．
当时，满足题意；
当 时，，即且.
综上，.故实数 的取值范围是 ．故选B.
√
（2）［2025·广东广州高一期末］若“， ”是
假命题，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由于“， ”是假命题，因此“
，”是真命题，则 ，则
.故选A.
√
变式（1）命题“, ”的否定是_________________.
,
[解析] 因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“
,”的否定为“, ”.
（2）已知“至少存在一个实数，使不等式
成立”的否定为假命题，则实数 的取值范围为________.
[解析] 由题意知，为真命题，即关于的不等式 ，即
在上有解，当时， ，所以
.故实数的取值范围为 .
［素养小结］
（1）注意与只能为一真一假，解决问题时可以相互转化.
（2）对求参数范围的问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题.
1.命题“, 是无理数”的否定是( )
A.,不是无理数 B., 不是无理数
C.,不是无理数 D., 不是无理数
[解析] 命题“,是无理数”的否定是“, 不是
无理数”.故选A.
√
2.已知命题“存在，使得 ”，那么命
题 的否定是( )
A.存在，使得
B.存在，使得
C.对任意，都有
D.对任意，都有
[解析] 由题意知，原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命
题，所以其否定为“对任意，都有 ”.
√
3.已知命题任意的菱形四条边都相等，则 是( )
A.若四边形为菱形，则它的四条边不全相等
B.存在一个四边形为菱形，它的四条边不全相等
C.若四边形不是菱形，则它的四条边不全相等
D.存在一个四边形为菱形，它的四条边相等
[解析] 因为任意的菱形四条边都相等，所以 “存在一个四边
形为菱形，它的四条边不全相等”.故选B.
√
4.［2025·四川泸州高一期中］若“， ”是
假命题，则实数 的取值范围为__________________.
[解析] 由“， ”是假命题，
得“，”是真命题，则 或
，解得或，故实数 的取值范围为
.
歌德 是德国的著名诗人、作家、思想家、科学家.
有一天，歌德在魏玛公园散步.当他走在一条仅容一人通过的小径上
时，迎面走来了一个曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺
批评家.那位批评家站在歌德的对面，胸膛朝前一挺，傲慢地说：“对
一个傻子，我决不让路!”批评家的姿态使歌德感到十分有趣，他把
头一点，微笑着说：“我正好和您相反，先生.”说着，歌德站到了一
边.顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容.
1.含有一个量词的命题的否定要注意的问题：
（1）确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．
（2）改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词，把存在量词改为
恰当的全称量词．
（3）否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没
有”“不存在”“不成立”等．
（4）无量词的全称量词命题或存在量词命题要先补回量词再否定.
例1 命题“大于3的自然数是不等式 的解”的否定是_________
_____________________________________，且该命题的否定是
_________（填“真命题”或“假命题”）.
至少有一个大于3的自然数不是不等式的解
假命题
[解析] 由命题“大于3的自然数是不等式 的解”，得该命题的
否定是“至少有一个大于3的自然数不是不等式 的解”，
因为大于3的自然数有4,5,6， ，它们的平方一定大于10，即大于3的
自然数是不等式 的解，故该命题的否定是假命题.
2.关键量词的否定
（1）常见全称量词的否定
词语 每一个 所有的 一个也没有 任意
词语的否定 存在一个 有的 至少有一个 存在
（2）常见存在量词的否定
词语 至多有一个 存在
词语的否定 至少有两个 任意
（3）一些常见判断词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 不大于
词语的否 定 不是 不一定 是 不都是 小于或等 于 大于或等 于 小于
3.含量词命题的真假问题,直接判断含有一个量词的全称量词命题
（存在量词命题）的真假较为困难时,可借助全称量词命题与存在量
词命题的关系,转化为判断其否定的真假问题,达到化难为易的目的.
例2 写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）可以被5整除的数，末位是0；
解：原命题的否定为“有些可以被5整除的数，末位不是0”，这是真
命题．
（2）能被3整除的数，也能被4整除；
解：原命题的否定为“存在一个能被3整除的数，不能被4整除”，这
是真命题．
（3）非负数的平方为正数；
解：原命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”．因为
，不是正数，所以该命题是真命题．
（4）有的四边形没有外接圆；
解：原命题的否定为“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补
的四边形才有外接圆，所以该命题为假命题．
（5），， .
解：原命题的否定为“，，”．因为当 ，
时， ，所以该命题为假命题.
练习册
1.命题“， ”的否定为( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 命题“，”的否定为“ ，
”.故选C.
√
★2.［2025·江西抚州高一期中］命题“， ”的否定是
( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 命题“， ”是存在量词命题，其否定是全称量
词命题，所以命题“，”的否定是“ ，
” .故选C.
［易错点］ 在命题的否定中要先考虑原命题中自变量的范围.
3.对某次考试有命题所有学生都会做第1题，那么命题 的否定是
( )
A.所有学生都不会做第1题
B.至少存在一个学生不会做第1题
C.存在一个学生会做第1题
D.至少有一个学生会做第1题
[解析] 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题 所有
学生都会做第1题的否定是“至少存在一个学生不会做第1题”．故选B.
√
4.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.有的三角形为正三角形； 所有的三角形都是正三角形
B.有些矩形是正方形； 所有的矩形都不是正方形
C.对任意，都有；存在 ，使得
D.，；，
√
[解析] 有的三角形为正三角形的否定是所有的三角形都不是正三角
形，故A中说法错误；
有些矩形是正方形的否定是所有矩形都不是正方形，故B中说法正确；
对任意，都有 的否定是存在，使得
，故C中说法正确；
，的否定是， ，
故D中说法正确.故选A.
5.下列说法正确的是( )
A.命题“, ”是假命题
B.命题“,”的否定是“, ”
C.命题“, ”是真命题
D.命题“,”的否定是“, ”
√
[解析] 对于A，自然数都是整数，所以命题“, ”是真命题，
故A错误；
对于B，命题“,”的否定是“, ”，故B错误；
对于C，当时，，所以“ ,”是
真命题，故C正确；
对于D，命题“, ”的否定是“, ”，故D错误.
故选C.
6.［2025·广东清远高一期中］已知是有理数集， 是实数集，命题
， ，则( )
A.是真命题，，
B.是真命题，，
C.是假命题，，
D.是假命题，，
[解析] 由，，得命题为假命题.命题 的否定为
， .故选C.
√
7.（多选题）已知集合，集合 或
，则下列命题的否定为假命题的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
[解析] 因为，或，所以 .
对于A，原命题的否定为“,”，当时，满足 ,
，即原命题的否定为真命题，故A不满足题意；
对于B，原命题的否定为“,”，当时，, ，
即原命题的否定为假命题，故B满足题意；
对于C，原命题的否定为“ ,”，因为 ，所以原命题的
否定为真命题，故C不满足题意；
对于D，原命题的否定为“,”，因为 ，所以原命题
的否定为假命题，故D满足题意.故选 .
8.（多选题）对下列命题的否定说法正确的是( )
A.，；，
B.，；，
C.，；，
D.，；，
[解析] ,，,，故A正确；
，，，，故B错误；
， ,，，故C正确；
，, ,，故D正确.故选 .
√
√
√
9.［2024·浙江台州高一期中］命题“ ，一元二次方程
有实根”的否定是______________________________
______________.
，一元二次方程没有实根
[解析] 命题“，一元二次方程 有实根”的否定
是“，一元二次方程 没有实根”.
10.（13分）写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假.
（1）， ；
解：命题“，”的否定为“， ”.
因为当时，，所以命题“， ”为假命题.
（2）， ；
解：命题“，”的否定为“ ， ”.
因为恒成立，所以不存在 使得
，故命题“， ”为假命题.
（3）所有三角形的三个内角都是锐角.
解：命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为“存在三角形的
三个内角不都是锐角”.
因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题“存
在三角形的三个内角不都是锐角”为真命题.
11.已知“非空集合中的元素都是集合 中的元素”为假命题,现有下
列命题:
中的元素都不是集合 中的元素;
中一定有不属于 的元素;
中一定有属于 的元素;
中的元素不都是集合 中的元素.
其中为真命题的是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
√
[解析] 因为“非空集合中的元素都是集合 中的元素”为假命题,所
以“非空集合中的元素不都是集合中的元素”为真命题,所以 中一
定有不属于 的元素，故②④为真命题.故选C.
12.（多选题）［2025·江西上饶高一期中］ 已知命题
，，命题， ，则
( )
A.是假命题 B. 是真命题
C.是存在量词命题 D. 是全称量词命题
√
√
√
[解析] A中，因为，所以是假命题，故A正确
中，由，可得，解得，但需要
满足 ，所以是假命题，故B错误
中，命题中有存在量词，所以 是存在量词命题，故C正确
中，命题中有全称量词，所以 是全称量词命题，故D正确.故选 .
13.已知集合，集合 ，
若，，，则整数 的取值集合为_______.
[解析] 因为,，，所以 ，所以
解得.
又因为，所以整数 的取值集合为 .
★14.（13分）已知集合 ，集合
，如果“， ”为假命题，
求实数 的取值范围.
［易错］ 不要忽略集合 为空集的情形.
解：因为“， ”为假命题，所以“ ，
”为真命题.
当时， ，此时 ，满足题意；
当时，要使 成立，则 ，即
，可得，即 .
综上所述，实数的取值范围是 .
15.（15分）［2025·湖南衡阳高一期中］ 已知集合
，，且 .
（1）若命题，是真命题，求实数 的取值范围；
解：由命题为真命题可得，又 ，
所以解得 .
故实数的取值范围为 .
（2）若命题，是假命题，求实数 的取值范围.
解：因为命题， 是假命题，
所以命题，是真命题，即 ，
则解得 ，
故实数的取值范围为 .
15.（15分）［2025·湖南衡阳高一期中］ 已知集合
，，且 .
16.（15分）在， ；②存在集合
，，使得 这两个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知，， _________．
若，都是真命题，求实数 的取值范围．
解：选条件①.由为真，可得不等式对任意 恒成立，
因为，所以，所以 .
若为真，则关于的方程在 上有解，所以
，解得或 .
因为，都是真命题，所以，所以实数 的取值范围是
．
选条件②.由为真，可得不等式对任意 恒成立，因为
，所以，所以 .
对于，当 ，即时， ；
当 ，即时，由 ，得或 ，所以
或 .
综上，或.因为，都是真命题，所以，所以实数
的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点一 【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）×
知识点二 存在量词命题 全称量词命题
【诊断分析】 （1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）√
课中探究
例1（1），假命题 （2）方程没有实数根，假命题
（3）正方形不都是菱形，假命题 变式 略
例2 略 变式 （1）， （2）三个给定产品中至少有一个
不是次品 （3），一次函数的图象不经过原点
（4）每一个平行四边形都不是菱形 ［探索］略 例3 （1）B （2）A
变式 （1）, （2）
课堂评价 1.A 2.D 3.B 4.
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.BD 8.ACD
9.，一元二次方程没有实根 10.略
综合提升
11.C 12.ACD 13. 14. 实数的取值范围是
思维探索
15.（1）实数的取值范围为 （2）实数的取值范围为
16.略 略