1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件的概念
1.A [解析] 由命题“ x∈{x|1≤x≤3},x2-a≤0”为真命题可得a≥x2对1≤x≤3恒成立,即可得a≥9.由a≥9可推出a≥8,故只有A符合题意.故选A.
2.B [解析] 设集合A={x|x
3.故选B.
3.A [解析] 对于A,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;对于B,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;对于C,x>2 x≥1,所以p是q的充分条件;对于D,当a=b时,ac2=bc2,所以p是q的充分条件.故选A.
4.A [解析] 因为Q={x|x≤0或x≥5},所以 RQ={x|05.C [解析] 由题意可得{x|06.D [解析] 对于A,a-b=0,即a=b,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故A错误;对于B,a+b=0,即a=-b,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故B错误;对于C,a2-b2=0,即|a|=|b|,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故C错误;对于D,a2+b2=0,即则ab=0成立,故D正确.故选D.
7.BC [解析] 对于A,若灯泡L亮,则可能是开关S2闭合,S1不闭合,∴A不是B的必要条件;对于B,只有一个开关,若灯泡L要亮,则开关S1必须闭合,∴A是B的必要条件;对于C,∵只有S1和S2同时闭合,灯泡L才能亮,∴A是B的必要条件;对于D,灯一直亮,与开关S1是否闭合没有关系,∴A不是B的必要条件.故选BC.
8.充分 [解析] 由正方形的定义知,若四边形ABCD是正方形,则四边形ABCD的四个角都是直角,所以由α可以推出β,即α是β的充分条件;当四边形ABCD的四个角都是直角时,四边形ABCD可以为矩形,所以由β推不出α,即α不是β的必要条件.故α是β的充分条件.
9.解:(1)当x>y时,|x|>|y|不一定成立,当|x|>|y|时,x>y也不一定成立,故p是q的既不充分也不必要条件.
(2)当a∈N时,a∈Z成立,当a∈Z时,a∈N不一定成立,故p是q的充分不必要条件.
(3)当点D在△ABC的边BC的中线上时,S△ABD=S△ACD,当S△ABD=S△ACD时,点D不一定在△ABC的边BC的中线上,故p是q的充分不必要条件.
10.D [解析] 由题意知B A,B≠ ,则a≠0.①当a<0时,B={x|ax+1≤0}=,因为B A,所以-≥3,解得-≤a<0;②当a>0时,B={x|ax+1≤0}=,因为B A,所以-<-1,解得011.ABD [解析] 因为集合A={x|-112.x>2(答案不唯一) [解析] 因为2x>3,所以x>,所以使2x>3成立的一个充分条件构成的集合为的子集,所以充分条件可以为x>2(答案不唯一).
13.m≥0 [解析] 若p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根为真命题,则当a=0时,由2x+1=0,得x=-,符合题意.当a<0时,Δ=4-4a>0,设方程ax2+2x+1=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=->0,x1x2=<0,则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意.当a>0时,若Δ=4-4a=0,则a=1,此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,解得x=-1,符合题意;若Δ=4-4a>0,则00,则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符合题意.综上所述,当p为真命题时,a的取值范围是a≤1.若p为真命题的一个必要条件为a≤m+1,则m+1≥1,解得m≥0.
14.解:(1)①当B= 时,2m≥1-m,解得m≥,满足题意;
②当B≠ 时,若A∩B= ,则或
解得0≤m<.
综上所述,实数m的取值范围为m≥0.
(2)若p是q的充分条件,则A B,所以解得m≤-2,所以实数m的取值范围为m≤-2.
15.m≥1 [解析] 对于集合A={y|y=x-[x]},可设k≤x16.解:(1)由x∈A是x∈B的充分条件,得A B,
故所以m≥4,即实数m的取值范围为m≥4.
(2)因为A∩B=B,所以B A.
当B= 时,2-m>2m-3,所以m<,满足题意;
当B≠ 时,若B A,则解得≤m≤3.
综上,实数m的取值范围为m≤3.1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件的概念
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;
3.能够判定条件的充分性、必要性.
◆ 知识点 充分条件、必要条件
1.充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系
“若p,则q” 是真命题 p q p是q的 条件, q是p的 条件
“若p,则q” 是假命题 p / q p不是q的 条件, q不是p的 条件
2.同一个逻辑关系的四种表达形式
①“如果p,那么q”是真命题;
②p q;
③p是q的充分条件;
④q是p的必要条件.
3.充分条件、必要条件与集合的关系
一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且 (如图),那么p(x) q(x),因此也就有p(x)是q(x)的 ,q(x)是p(x)的 .
4.充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系
判定定理给出的是一个 ,性质定理给出的是一个 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x=y”是“x2=y2”的充分条件. ( )
(2)“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要条件. ( )
(3)“x2>1”是“x>1”的充分条件. ( )
(4)“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件. ( )
2.以下表述形式:①“p q”,②“q的充分条件是p”,③“p的必要条件是q”等价吗
◆ 探究点一 充分条件、必要条件的判断
例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12;
(2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0;
(3)在△ABC中,若A+B=90°,则C=90°.
例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5;
(3)p:a是自然数,q:a是正整数;
(4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件 哪些p是q的必要条件
(1)p:a=b,q:ac=bc;
(2)p:A∩B=A,q:A B;
(3)p:一个四边形是矩形,q:这个四边形的对角线相等.
[素养小结]
充分条件、必要条件的几种判定方法:
(1)定义法:根据p q,q p进行判断,适用于定义、定理的判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题.
◆ 探究点二 充分条件、必要条件的应用
例3 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围.
变式 (1)[2024·华东师大附中高一月考] 若不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,则实数a的取值范围为 .
(2)已知集合P={x|-2[素养小结]
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题.
1.[2025·江苏常州高一期中] 已知 x,y∈R,则“x>0且y>0”是“xy>0”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
2.[2025·陕西汉中高一期中] 已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-1≤x≤4},若存在x0,使得“x0∈B”是“x0∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C.[0,+∞) D.
3.(多选题)下列说法中p是q的充分条件的是 ( )
A.p:11
B.a,b∈Z,p:a+b是偶数,q:a,b都是偶数
C.p:x是无理数,q:x+5是无理数
D.甲、乙、丙三人进行比赛,p:甲不是冠军,q:乙是冠军
4.已知条件α:0第1课时 充分条件、必要条件的概念
1.[2025·江苏无锡高一期中] 命题“ x∈{x|1≤x≤3},x2-a≤0”为真命题的一个必要条件是 ( )
A.a≥8 B.a≤9
C.a≥10 D.a=9.5
2.若“x≤3”是“xA.a≥3 B.a>3
C.a≤3 D.a<3
3.下列选项中,p不是q的充分条件的是 ( )
A.p:a是无理数,q:a2是无理数
B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等
C.p:x>2,q:x≥1
D.p:a=b,q:ac2=bc2
4.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5},则“x∈P”是“x∈ RQ”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
5.若不等式-aA.0C.a≥1 D.a>1
6.已知a,b∈R,则“ab=0”的一个充分条件是 ( )
A.a-b=0 B.a+b=0
C.a2-b2=0 D.a2+b2=0
7. (多选题)设计如图所示的四个电路图,条件A:开关S1闭合;条件B:灯泡L亮.则满足A是B的必要条件的电路图为 ( )
A B C D
8.已知α:四边形ABCD是正方形,β:四边形ABCD的四个角都是直角,则α是β的 条件.(填“充分”或“必要”)
9.(13分)判断下列情况中p是q的什么条件.
(1)设x,y是实数,p:x>y,q:|x|>|y|;
(2)p:a∈N,q:a∈Z;
(3)设点A与D不重合,p:点D在△ABC的边BC的中线上,q:S△ABD=S△ACD.
10.[2025·江苏常州高一期中] 已知集合A={x|x<-1或x≥3},非空集合B={x|ax+1≤0},p:x∈A,q:x∈B.若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.(-∞,-1)∪[0,+∞)
D.∪(0,1)
11.(多选题)已知集合A={x|-1A.m≤-2 B.m<-2
C.m<2 D.-412.使2x>3成立的一个充分条件为 .
13.[2024·福州一中高一期中] 已知p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是 .
14.(15分)[2024·浙江台州一中高一期中] 已知集合A={x|1(1)若A∩B= ,求实数m的取值范围;
(2)若p:x∈A,q:x∈B,p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
15.[2024·人大附中高一月考] 已知[x]表示不大于x的最大整数,A={y|y=x-[x]},B={y|0≤y≤m},若y∈A是y∈B的充分条件,则m的取值范围是 .
16.(15分)设集合A={x|-2≤x≤3},B={x|2-m≤x≤2m-3}.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.(共55张PPT)
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件的概念
探究点一 充分条件、必要条件的判断
探究点二 充分条件、必要条件的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质
定理与必要条件的关系；
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定
定理与充分条件的关系；
3.能够判定条件的充分性、必要性.
知识点 充分条件、必要条件
1.充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系
充分
必要
充分
必要
2.同一个逻辑关系的四种表达形式
①“如果,那么 ”是真命题;
;
是 的充分条件;
是 的必要条件.
3.充分条件、必要条件与集合的关系一般地，
如果, ,且_______
（如图），那么 ，因此也就有
是的__________，是 的
__________.
充分条件
必要条件
4.充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系
判定定理给出的是一个__________，性质定理给出的是一个_______
___.
充分条件
必要条件
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“”是“ ”的充分条件.( )
√
[解析] 由可以推出，所以“”是“ ”的充分条件.
（2）“”是“ ”的必要条件．( )
√
[解析] 当“”时，一定有“”，
反之，当“ ”时，不一定有“”，
所以“”是“ ”的必要条件．
（3）“”是“ ”的充分条件.( )
×
[解析] 当时，或；当时，可得 .所以“
”是“ ”的必要条件.
（4）“或”是“ ”的必要条件. ( )
√
[解析] 当时，可得或，所以“ 或
”是“ ”的必要条件.
2.以下表述形式：①“”，②“的充分条件是”，③“ 的必要条
件是 ”等价吗？
解：等价.
探究点一 充分条件、必要条件的判断
例1 下列“若,则”形式的命题中,哪些命题中的是 的充分条件
（1）若是完全平方式,则 ；
解：若是完全平方式,则,所以,所以 不
是 的充分条件.
（2）若，则 ；
解：若，则且 ，所以
，所以,所以是 的充分条件.
（3）在中，若 ，则 .
解：由三角形的内角和为 可知，若 ，则 ,
因此，所以是 的充分条件.
综上，中是 的充分条件.
例1 下列“若,则”形式的命题中,哪些命题中的是 的充分条件
例2 下列各题中，哪些是 的必要条件
（1）, ;
解：当时,,所以,所以是 的必要条件.
（2）, ;
解：当时,成立,但是 不成立,所以
,所以不是 的必要条件.
（3）是自然数, 是正整数;
解：0是自然数,但是0不是正整数,所以,所以不是 的必要条件.
（4）三角形是等边三角形, 三角形是等腰三角形.
解：等边三角形一定是等腰三角形,所以,所以是 的必要条件.
综上，中是 的必要条件.
例2 下列各题中，哪些是 的必要条件
变式 下列各题中，哪些是的充分条件？哪些是 的必要条件？
（1）, ;
解：由，可得，即，是的充分条件.
当 时，不能推出,即，不是 的必要条件.
（2）， ；
解：若，则，，不是 的充分条件.
若，则，，是 的必要条件.
（3）一个四边形是矩形， 这个四边形的对角线相等.
解：由一个四边形是矩形，可得该四边形的对角线相等，即 ，
是的充分条件. 四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形，
即，不是的必要条件.
综上，中是 的充分条件，（2）中是 的必要条件.
变式 下列各题中，哪些是的充分条件？哪些是 的必要条件？
［素养小结］
充分条件、必要条件的几种判定方法：
（1）定义法:根据,进行判断,适用于定义、定理的判断性
问题.
（2）集合法:根据,成立的对象组成的集合之间的包含关系进行判
断,多适用于命题中涉及参数范围的推断问题.
探究点二 充分条件、必要条件的应用
例3 设全集，集合 ，非空集合
.
（1）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围；
解：因为“”是“”的充分条件，所以，又 ，
所以即解得 ，
所以实数的取值范围是 .
（2）若“”是“”的必要条件，求实数 的取值范围.
解：因为“”是“”的必要条件，所以，又 ，
所以即解得 ，
所以实数的取值范围是 .
例3 设全集，集合 ，非空集合
.
变式（1）［2024·华东师大附中高一月考］若不等式 成立
的一个充分不必要条件是，则实数 的取值范围为_______
_____.
[解析] 由，得.
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是，
所以 且两个等号不同时成立，解得 .
（2）已知集合 ，
，}.若“ ”的必要条件为“
”，则实数 的取值范围为_ __________________.
或
[解析] 因为“”的必要条件为“”，所以 .
当，即时， ，满足题意；
当，即时，
由题意得 解得.
综上，的取值范围是或 .
［素养小结］
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、
必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包
含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解，有时还需要
借助数轴解决问题.
1.［2025·江苏常州高一期中］已知,，则“且 ”是“
”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
[解析] 由“且”可得到“”，由“”可得, 同正
或同负，不一定能得到“且”.故“且”是“ ”
的充分条件.故选A.
√
2.［2025·陕西汉中高一期中］已知非空集合
，，若存在 ，使
得“”是“”的必要条件，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得,且 ,所以即
解得 .故选A.
√
3.（多选题）下列说法中是 的充分条件的是( )
A.，
B.，,是偶数,， 都是偶数
C.是无理数， 是无理数
D.甲、乙、丙三人进行比赛，甲不是冠军， 乙是冠军
√
√
[解析] 对于A，由可推出 ，所以
，故是的充分条件；
对于B，是偶数，则， 都是奇数或都是偶数，充分性不成立；
对于C,若是无理数，则 是无理数，充分性成立；
对于D，若甲不是冠军，则乙是冠军或丙是冠军，
所以“甲不是冠军”不是“乙是冠军”的充分条件.故选 .
4.已知条件和条件，若 是 的一个充分
条件，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为 是 的一个充分条件，所以
，所以 .
1.判断是的什么条件,主要判断“若,则”及“若,则 ”两命题的真假.
若,则是的充分条件;是的必要条件.要否定与 不能相互
推出时,可以举出一个反例进行否定.
例1 ［2025·上海嘉定区高一期末］ 若,4， ，
，判断 是否是 的充分条件或必要条件.
解：由,4，可得可能为，,, .
由 不能推出 ，则 不是 的充分条件.由 能推出 ，则 是
的必要条件.故 是 的必要条件，不是充分条件.
2.充分条件与必要条件的判断方法
（1）定义法
（2）集合法：利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，
要尽可能使用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、
直观，能简化解题过程，降低思维难度.
例2 ［2025·吉林松原高一期末］已知 ，
.若是的充分条件，则实数 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设集合 ，集合
.
因为是 的充分条件，所以是的子集，则
解得 .故选B.
√
练习册
1.［2025·江苏无锡高一期中］命题“， ”
为真命题的一个必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 由命题“， ”为真命题可得
对恒成立，即可得.由可推出 ，
故只有A符合题意.故选A.
√
2.若“”是“”的充分条件，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 设集合，，由题知 ，则
.故选B.
√
3.下列选项中，不是 的充分条件的是( )
A.是无理数， 是无理数
B.四边形为等腰梯形， 四边形对角线相等
C.，
D.，
[解析] 对于A，是无理数，是有理数，所以不是 的
充分条件；
对于B，因为等腰梯形的对角线相等，所以是 的充分条件；
对于C，，所以是 的充分条件；
对于D，当时，，所以是 的充分条件.故选A.
√
4.若集合,或，则“”是“ ”
的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
[解析] 因为或，所以 ，所以
，所以“”是“ ”的充分条件，故选A.
√
5.若不等式成立的一个充分条件为，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得，所以
且，解得 .故选C.
√
6.已知,，则“ ”的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，即，因为,，所以 不
一定成立,故A错误；
对于B，，即，因为, ，所以不一定成立,
故B错误；
对于C，，即 ，因为,，所以 不一定
成立,故C错误；
对于D，，即则 成立，故D正确.故选D.
√
7.（多选题）设计如图所示的四个电路图，条件开关 闭合；条
件灯泡亮.则满足是 的必要条件的电路图为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A，若灯泡亮，则可能是开关闭合，不闭合，
不是的必要条件；
对于B，只有一个开关，若灯泡 要亮，则开关必须闭合，
是的必要条件；
对于C, 只有和 同时闭合，灯泡才能亮，是的必要条件；
对于D，灯一直亮，与开关 是否闭合没有关系，不是的必要条件.
故选 .
8.已知四边形是正方形，四边形 的四个角都是直
角，则 是 的______条件.（填“充分”或“必要”）
充分
[解析] 由正方形的定义知，若四边形 是正方形，则四边形
的四个角都是直角，所以由 可以推出 ，即 是 的充分条件；
当四边形的四个角都是直角时，四边形 可以为矩形，
所以由 推不出 ，即 不是 的必要条件.故 是 的充分条件.
9.（13分）判断下列情况中是 的什么条件.
（1）设，是实数，， ；
解：当时，不一定成立，当时， 也不一
定成立，故是 的既不充分也不必要条件.
（2）， ；
解：当时，成立，当时，不一定成立，故是
的充分不必要条件.
（3）设点与不重合，点在的边 的中线上，
.
解：当点在的边的中线上时， ，当
时，点不一定在的边的中线上，故是 的
充分不必要条件.
9.（13分）判断下列情况中是 的什么条件.
10.［2025·江苏常州高一期中］已知集合或 ，
非空集合，，.若是 的必要条件，
则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知， ，则.
①当 时，，因为，
所以 ，解得；
②当时， ，
因为，所以，解得.
综上所述，实数 的取值范围为 .故选D.
11.（多选题）已知集合 ，集合
，则 的一个充分条件可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为集合，集合 ，
所以 等价于，即 .
对比选项，可得，，均为
的充分条件.故选 .
√
√
√
12.使 成立的一个充分条件为_____________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为，所以，所以使 成立的一个充分条件
构成的集合为的子集，所以充分条件可以为
（答案不唯一）.
13.［2024· 福州一中高一期中］已知方程 至少有
一个负实根，若为真命题的一个必要条件为，则实数
的取值范围是_______.
[解析] 若方程 至少有一个负实根为真命题，
则当时，由,得，符合题意.
当 时，，设方程的两个实根
分别为， ，则,，则此时方程
有一个正根和一个负根，符合题意.
当时，若 ，则，此时方程为
,解得 ，符合题意；
若，则，设方程 的两个实根
分别为，，则, ，则此时方程
有两个负根，符合题意.
综上所述，当 为真命题时，的取值范围是.
若为真命题的一个必要条件为 ，则,解得 .
14.（15分）［2024·浙江台州一中高一期中］ 已知集合
，集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
解：①当 时，，解得 ，满足题意；
②当 时，若 ，则或
解得 .
综上所述，实数的取值范围为 .
（2）若，，是的充分条件，求实数 的取值范围.
解：若是的充分条件，则，所以解得 ，
所以实数的取值范围为 .
14.（15分）［2024·浙江台州一中高一期中］ 已知集合
，集合 .
15.［2024·人大附中高一月考］已知表示不大于 的最大整数，
，，若是 的充分条
件，则 的取值范围是_______.
[解析] 对于集合，可设 ，
由的定义可知， ,所以
.
若是 的充分条件，则，所以的取值范围是 .
16.（15分）设集合， .
（1）若是的充分条件，求实数 的取值范围；
解：由是的充分条件，得 ，
故所以，即实数的取值范围为 .
（2）若，求实数 的取值范围.
解：因为，所以 .
当 时，，所以 ，满足题意；
当 时，若，则解得 .
综上，实数的取值范围为 .
16.（15分）设集合， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 1.充分 必要 充分 必要 3. 充分条件 必要条件
4.充分条件 必要条件
【诊断分析】 1.（1）√ （2）√ （3）× （4）√ 2. 等价
课中探究
例1 （1）不是的充分条件 （2）是的充分条件 （3）是的充分条件
例2 （1）是的必要条件 （2） 不是的必要条件 （3）是的必要条件
变式 略 例3 （1） （2）
变式 （1） （2）或
课堂评价 1.A 2.A 3.AC 4.
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.A 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.BC 8.充分
9.（1）是的既不充分也不必要条件 （2）是的充分不必要条件
（3）是的充分不必要条件
综合提升
10.D 11.ABD 12.（答案不唯一） 13.
14.（1）（2）
思维探索
15. 16.（1）（2）1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件的概念
【课前预习】
知识点
1.充分 必要 充分 必要 3.A B 充分条件 必要条件
4.充分条件 必要条件
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)由x=y可以推出x2=y2,所以“x=y”是“x2=y2”的充分条件.
(2)当“x=0”时,一定有“(2x-1)x=0”,反之,当“(2x-1)x=0”时,不一定有“x=0”,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要条件.
(3)当x2>1时,x>1或x<-1;当x>1时,可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件.
(4)当x2-3x+2=0时,可得x=1或x=2,所以“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件.
2.解:等价.
【课中探究】
例1 解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=±12,所以p / q,所以p不是q的充分条件.
(2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p q,所以p是q的充分条件.
(3)由三角形的内角和为180°可知,若A+B=90°,则C=90°,因此p q,所以p是q的充分条件.
综上,(2)(3)中p是q的充分条件.
例2 解:(1)当x=1时,x-1==0,所以p q,所以q是p的必要条件.
(2)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p / q,所以q不是p的必要条件.
(3)0是自然数,但是0不是正整数,所以p / q,所以q不是p的必要条件.
(4)等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要条件.综上,(1)(4)中q是p的必要条件.
变式 解:(1)由a=b,可得ac=bc,即p q,∴p是q的充分条件.当c=0时,ac=bc不能推出a=b,即q / p,∴p不是q的必要条件.
(2)若A∩B=A,则A B,∴p / q,∴p不是q的充分条件.若A B,则A∩B=A,∴q p,∴p是q的必要条件.
(3)由一个四边形是矩形,可得该四边形的对角线相等,即p q,∴p是q的充分条件.∵四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即q / p,∴p不是q的必要条件.综上,(1)(3)中p是q的充分条件,(2)中p是q的必要条件.
例3 解:(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,又B≠ ,所以即解得a≥2,
所以实数a的取值范围是a≥2.
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A,又B≠ ,所以即解得≤a≤1,
所以实数a的取值范围是≤a≤1.
变式 (1)-5≤a≤0 (2)m<-2或0[解析] (1)由|x+a|≤3,得-3-a≤x≤3-a.因为不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,所以且两个等号不同时成立,解得-5≤a≤0.
(2)因为“x∈Q”的必要条件为“x∈P”,所以Q P.当3m-2>5m+2,即m<-2时,Q= ,满足题意;当3m-2≤5m+2,即m≥-2时,由题意得解得0【课堂评价】
1.A [解析] 由“x>0且y>0”可得到“xy>0”,由“xy>0”可得x,y同正或同负,不一定能得到“x>0且y>0”.故“x>0且y>0”是“xy>0”的充分条件.故选A.
2.A [解析] 由题得A B,且A≠ ,所以即解得0≤a≤.故选A.
3.AC [解析] 对于A,由x∈{x|11},所以p q,故p是q的充分条件;对于B,a+b是偶数,则a,b都是奇数或都是偶数,充分性不成立;对于C,若x是无理数,则x+5是无理数,充分性成立;对于D,若甲不是冠军,则乙是冠军或丙是冠军,所以“甲不是冠军”不是“乙是冠军”的充分条件.故选AC.
4.a≥2 [解析] 因为α是β的一个充分条件,所以{x|0