第2课时 充要条件
知识点
1.充分不必要条件 必要不充分条件
2.充分必要条件 充要条件 p q
3.p(x) q(x) 充要条件
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)因为x>1 x>1或x<-1,x>1或x<-1 / x>1,所以“x>1”是“x>1或x<-1”的充分不必要条件.
(2)因为x>0,y>0 / xy<0,xy<0 / x>0,y>0,所以p是q的既不充分也不必要条件.
(3)因为x=0,y=0 x2+y2=0,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件;因为x2+y2=0 x=0,y=0,所以q是p的充分条件,p是q的必要条件.所以p是q的充要条件.
(4)“x为正数”是“x≥0”的充分不必要条件.
(5)当x=2或x=-1时,x2-x-2=0成立;反之,当x2-x-2=0时,x=2或x=-1,所以p与q等价.
【课中探究】
例1 解:(1)因为ab=0 / a=0,而a=0 ab=0,所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为四边形的对角线相等 / 四边形是正方形,而四边形是正方形 四边形的对角线相等,所以p是q的必要不充分条件.
(3)因为a+5是无理数 a是无理数,a是无理数 a+5是无理数,所以p是q的充要条件.
(4)因为A B A∪B=B,A∪B=B A B,所以p是q的充要条件.
变式 解:(1)由ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,解得a>-1且a≠0,则p q,q / p,所以p是q的充分不必要条件.
(2)p q,但q / p,所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为A∪B=A A∩B=B,所以p是q的充要条件.
(4)方法一(定义法):p:x>1或x<-3,q:2
方法二(集合法):令C={x|x>1或x<-3},D={x|2例2 证明:充分性:方法一:当a=2时,b2+c2-2(b+c)=bc-4可化为b2+c2-a(b+c)=bc-a2,即a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,所以a-b=b-c=a-c=0,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立.
方法二:因为b2+c2-2(b+c)=bc-4,所以2b2+2c2-4b-4c-2bc+8=0,则(b-2)2+(c-2)2+(b-c)2=0,所以b=c=2,即a=b=c,所以△ABC为等边三角形,充分性成立.
必要性:由△ABC为等边三角形,且a=2,得a=b=c=2,则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0,所以b2+c2-2(b+c)=bc-4,必要性成立.故△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4.
变式 证明:充分性(由条件推出结论):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0 关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性(由结论推出条件):因为关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0,所以关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1 a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
例3 解:∵A={x|2m≤x≤m+3},B={x|-2p:x∈B,q:x∈A,且p是q的充分不必要条件,∴B A,
∴解得-2≤m≤-1,
∴m的取值范围为-2≤m≤-1.
变式 解:因为5-m2≤5+m2,所以B={x|5-m2≤x≤5+m2}≠ .因为p是q的必要不充分条件,所以B A,只需解得-1综上,实数m的取值范围为-1【课堂评价】
1.AD [解析] 由题得A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B=.因为x∈B是x∈A的充分不必要条件,所以B是A的真子集.因为a≠0,所以B≠ ,即B={3}或B={-2}.当B={3}时,3a-1=0,解得a=;当B={-2}时,-2a-1=0,解得a=-.故a的值可以是,-.故选AD.
2.AC [解析] 由A∩B=A可得A B,由A B,可得A∩B=A,故“A B”是“A∩B=A”的充要条件,故A正确,B错误;由 UA UB可得A B,故C正确;由 UA UB可得B A,不能得到“A∩B=A”,故D错误.故选AC.
3.必要不充分 [解析] 当m≥0,n≥0时,m+n≥0一定成立;当m=2,n=-1时,有m+n=1>0,即当m+n≥0时,不一定有m≥0且n≥0.故应填“必要不充分”.
4.充分不必要 [解析] 依题意有(-)=(x1-x2)(++x1x2)<0,故x1≠0,因为++x1x2=+≥>0,所以x1-x2<0,即x11.A [解析] 当a=0时,x=,方程有实根;当a≠0时,Δ=4+4a≥0,解得a≥-1,此时a≥-1且a≠0.综上可得,“方程ax2+2x-1=0有实根”的充要条件为a∈[-1,+∞).故选A.
2.C [解析] 根据相似三角形的性质得,由“两个三角形相似”可得到“两个三角形的三边对应成比例”,即充分性成立;反之,由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”,即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C.
3.B [解析] 当a=0且b>-1时,不等式ax-b≥1 -b≥1,此时不等式ax-b≥1的解集为 ;当a=0且b≤-1时,不等式ax-b≥1 -b≥1 b≤-1,此时不等式ax-b≥1的解集为R;当a>0时,不等式ax-b≥1的解集为;当a<0时,不等式ax-b≥1的解集为.综上,“a=0”是“关于x的不等式ax-b≥1的解集为R”的必要不充分条件.故选B.
4.B [解析] 因为A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N},所以B A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故选B.
5.C [解析] 因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以解得a<0,所以一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是a<-1.故选C.
6.C [解析] 因为p是r的充分条件,所以p r.因为q是r的充分不必要条件,所以q r,r / q.因为s是r的必要条件,所以r s.因为p是s的必要条件,所以s p.由p r,r s,s p可得p r s.则r是p的充要条件,命题①为假命题;r是s的充要条件,命题②为假命题;因为q r,r / q,所以q p,p / q,故q是p的充分不必要条件,命题③为真命题;易得s / q,q s,所以s是q的必要不充分条件,命题④为假命题.故选C.
7.ACD [解析] 由a>0,b>0可以推出ab>0,反之推不出,故A满足题意.当a=5,b=-4时,满足a+b>0,但不满足ab>0,故B不满足题意.由a<0,b<0可以推出ab>0,反之推不出,故C满足题意.由a>1,b>1可以推出ab>0,反之推不出,故D满足题意.故选ACD.
8.①②③ [解析] 由①②③均可推出“两条直线平行”,由“两条直线平行”也可以推出①②③.由④不能推出“两条直线平行”.故填①②③.
9.证明:充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.
综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
10.D [解析] 因为p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,q是p的必要不充分条件,所以且两个等号不同时成立,解得0≤a≤,经检验满足题意.故选D.
11.AD [解析] 对于A,在△ABC中,设AB边上的高为h1,AC边上的高为h2,若p成立,不妨设h1=h2,则由S△ABC=·h1·AB=·h2·AC,得AB=AC,即q成立;若q成立,不妨设AB=AC,则由S△ABC=·h1·AB=·h2·AC,得h1=h2,即p成立.故A满足题意.对于B,当x=1-,y=1+时,x+y=1-+1+=2为有理数,此时p成立,q不成立,故B不满足题意.对于C,当a=b=0时,p成立,q不成立,故C不满足题意.对于D,若p成立,则当x=1时,y=a+b+c=0,即q成立,当q成立时,显然p成立,故D满足题意.故选AD.
12.充要 [解析] 由题意可得A∪B={x|x<0或x>2},即A∪B=C,所以“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.
13.-2 [解析] 若二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.所以二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
14.解:(1)不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.理由如下:假设x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
所以此方程组无解,
故不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
(2)由x∈P是x∈S的必要条件,得S P.
因为S≠ ,所以1-m≤1+m,解得m≥0,因为S P,所以解得m≤0,所以m=0.
所以实数m的取值范围为{0}.
15.0即①或②.当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},则01时,②无解,由①得1≤x≤a,此时A={x∈Z|1≤x≤a},因为1∈A,3 A,所以116.解:“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下:若a-b+c=0,则b=a+c,则ax2+bx+c=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1),故x=-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0,即一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,充分性成立;
若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,则a-b+c=0,必要性成立.
综上所述,“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.第2课时 充要条件
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;
2.能够判定充要条件.
◆ 知识点 充要条件
1.充分不必要条件和必要不充分条件
如果p q且q / p,则称p是q的 ;如果p / q且q p,则称p是q的 .
2.充要条件
如果p q且q p,则称p是q的 (简称为 ),记作 ,读作“p与q等价”“p当且仅当q”.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
3.集合关系
如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A=B,则 ,因此也就有p(x)是q(x)的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x>1”是“x>1或x<-1”的充分不必要条件.( )
(2)已知p:x>0,y>0,q:xy<0,则p是q的既不充分也不必要条件. ( )
(3)已知p:x=0,y=0,q:x2+y2=0,则p是q的充要条件.( )
(4)“x为正数”是“x≥0”的必要不充分条件. ( )
(5)已知p:x=2或x=-1,q:x2-x-2=0,则p与q等价. ( )
◆ 探究点一 充分不必要条件、必要不充分条
件、充要条件的判断
例1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件.
(1)p:ab=0,q:a=0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形;
(3)p: a+5是无理数,q: a是无理数;
(4)p:A B,q:A∪B=B.
变式 下列各题中,p是q的什么条件
(1)p:ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,q:a>-1;
(2)p:x>2,y>2,q:x+y>4;
(3)p:A∪B=A, q:A∩B=B;
(4)p:x>1或x<-3,q:2[素养小结]
判断p是q的充要条件的两种思路:
(1)命题角度:判断p是q的充要条件,主要是判断p q及q p是否成立.若p q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.
(2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p q及q p是否成立时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题大有益处.
此外,对于较复杂的关系,常用 , , 等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
◆ 探究点二 充要条件的证明
例2 [2024·重庆八中高一期中] 已知△ABC的三边长为a,b,c,其中a=2.求证:△ABC为等边三角形的充要条件是b2+c2-2(b+c)=bc-4.
变式 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
[素养小结]
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,即充分性需要证明“条件” “结论”,必要性需要证明“结论” “条件”.
◆ 探究点三 充分条件、必要条件、充要条件
的应用
例3 已知集合A={x|2m≤x≤m+3},B={x|-2变式 已知集合A={x|4[素养小结]
应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤:
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系;
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
1.(多选题)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件,则实数a的值可以为 ( )
A.- B.-
C. D.
2.(多选题)设U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”的充要条件是 ( )
A.A B B.B A
C. UA UB D. UA UB
3.若m,n∈R,则“m+n≥0”是“m≥0且n≥0”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4.若x1,x2∈R,则“(-)<0”是“x11.“方程ax2+2x-1=0有实根”的充要条件为 ( )
A.a∈[-1,+∞)
B.a∈(-1,+∞)
C.a∈[-1,0)∪(0,+∞)
D.a∈(-1,0)∪(0,+∞)
2.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.“a=0”是“关于x的不等式ax-b≥1的解集为R”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2024·河南开封高一期中] 已知集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N},则“x∈A”是“x∈B”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是 ( )
A.a<0 B.a>0
C.a<-1 D.a>1
6.[2024·重庆八中高一月考] 已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中所有的真命题是 ( )
A.①④ B.②③
C.③ D.④
7.(多选题)ab>0的一个充分不必要条件可以是 ( )
A.a>0,b>0 B.a+b>0
C.a<0,b<0 D.a>1,b>1
8.下列条件可作为“两条直线平行”的充要条件的是 .(填序号)
①同位角相等;②内错角相等;③同旁内角互补;④同旁内角相等.
9.(13分)求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
10.设p:≤x≤1;q:a≤x≤a+1,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 ( )
A.0C.0≤a< D.0≤a≤
11.(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的有 ( )
A.p:△ABC有两条边上的高相等,q:△ABC是等腰三角形
B.p:x,y均为无理数,q:x+y为无理数
C.p:|a+b|=|a|+|b|,q:ab>0
D.p:函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0),q:a+b+c=0
12.[2024·广东深圳高一期中] 设集合A={x|x>2},B={x|x<0},C={x|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
13.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m= .
14.(15分)[2025·陕西西安高一期中] 已知集合P={x|1≤x≤2},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
15.已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是 .
16.(15分)已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件 并说明理由.(共55张PPT)
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
第2课时 充要条件
探究点一 充分不必要条件、必要不充分
条件、充要条件的判断
探究点二 充要条件的证明
探究点三 充分条件、必要条件、充要条
件的应用
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学
定义与充要条件的关系；
2.能够判定充要条件．
知识点 充要条件
1.充分不必要条件和必要不充分条件
如果且，则称是的________________；如果 且
，则称是 的________________.
充分不必要条件
必要不充分条件
2.充要条件
如果且，则称是 的______________（简称为________
___），记作_______，读作“与等价”“当且仅当”.当是 的充要
条件时，也是 的充要条件.
充分必要条件
充要条件
3.集合关系
如果,,且 ，则_____________，因此
也就有是 的__________.
充要条件
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“”是“或 ”的充分不必要条件.( )
√
[解析] 因为或,或 ，所以
“”是“或 ”的充分不必要条件.
（2）已知，，，则是 的既不充分也不必
要条件.( )
√
[解析] 因为，，， ，所
以是 的既不充分也不必要条件.
（3）已知，，，则是 的充要条件.
( )
√
[解析] 因为，，所以是的充分条件，
是的必要条件；
因为，，所以是 的充分条件，是的必要
条件.所以是 的充要条件.
（4）“为正数”是“ ”的必要不充分条件.( )
×
[解析] “为正数”是“ ”的充分不必要条件.
（5）已知或，，则与 等价.
( )
√
[解析] 当或时， 成立；
反之，当时，或，所以与 等价.
探究点一 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断
例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件.
（1）， ；
解：因为，而，所以是 的必要不
充分条件.
（2）四边形的对角线相等， 四边形是正方形；
解：因为四边形的对角线相等 四边形是正方形，而四边形是正方
形 四边形的对角线相等，所以是 的必要不充分条件.
（3）是无理数, 是无理数；
解：因为是无理数是无理数,是无理数 是无理数，
所以是 的充要条件.
（4）, .
解：因为，,所以是 的充要
条件.
例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件.
变式 下列各题中，是 的什么条件？
（1）有两个不等的实数根， ；
解：由 有两个不等的实数根，知
且，解得且 ，则
，，所以是 的充分不必要条件.
（2），， ；
解：，但，所以是 的充分不必要条件．
（3）， ；
解：因为，所以是 的充要条件．
（4）或, .
解：方法一（定义法）或， ，
，，故是 的必要不充分条件.
方法二（集合法）：令或， ，
显然，故是 的必要不充分条件.
变式 下列各题中，是 的什么条件？
［素养小结］
判断是的充要条件的两种思路：
（1）命题角度：判断是的充要条件，主要是判断及
是否成立.若成立，则是的充分条件，同时是的必要条件；
若成立，则是的必要条件，同时是的充分条件；若二者
都成立，则与互为充要条件.
（2）集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判
断及 是否成立时，也可以从集合角度去判断，结合集合
中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题大
有益处.
此外，对于较复杂的关系，常用 ，， 等符号进行传递，画
出它们的综合结构图，可降低解题难度.
探究点二 充要条件的证明
例2 ［2024·重庆八中高一期中］已知的三边长为,, ，其中
.求证： 为等边三角形的充要条件是
.
证明：充分性:方法一：当时， 可
化为，即 ，
所以 ，
则，所以 ，
即，所以 为等边三角形，充分性成立.
方法二：因为 ，所以
，则
，所以，即 ,
所以 为等边三角形，充分性成立.
必要性:由为等边三角形，且，得 ，则
， ，所以
，必要性成立．
故 为等边三角形的充要条件是 .
变式 求证：关于的方程 有一个根为1的充要条件
是 .
证明：充分性（由条件推出结论）:因为 ,所以
,代入方程中,得 ,即
，所以方程有一个根为1,所以
关于的方程 有一个根为1.
必要性（由结论推出条件）:因为关于的方程 有一
个根为1,所以满足方程 ,所以有
,即，所以关于 的方程
有一个根为.故关于 的方程
有一个根为1的充要条件是 ．
［素养小结］
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清
哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明
“条件” “结论”，必要性需要证明“结论” “条件”.
探究点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3 已知集合， .若
，，且是的充分不必要条件，求 的取值范围.
解：， ，
，，且是的充分不必要条件， ，
解得 ，
的取值范围为 .
变式 已知集合， .设
，，若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
解：因为，所以 .
因为是的必要不充分条件，所以，只需 解得
.
综上，实数的取值范围为 .
［素养小结］
应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值（范围）
的一般步骤：
（1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化
为集合间的关系；
（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组）
求解.
1.（多选题）设集合， 且
.若是的充分不必要条件，则实数 的值可以为
( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由题得,， .
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集.
因为 ，所以 ，即或
当时， ，解得；
当时，，解得.
故 的值可以是，.故选 .
2.（多选题）设是全集，，是的两个子集，则“ ”的
充要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得，由，可得 ，
故“”是“”的充要条件，故A正确，B错误；
由 可得，故C正确；
由可得 ，不能得到“”，故D错误.故选 .
√
√
3.若,，则“”是“且 ”的____________条件.
（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
必要不充分
[解析] 当,时，一定成立；
当, 时，有，即当时，
不一定有且 .故应填“必要不充分”.
4.若,，则“”是“ ”的____________条
件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
充分不必要
[解析] 依题意有 ，
故，因为 ，所以
，即，故充分性成立；
取, ，则，但 ，故必要性不成立.
故应填“充分不必要”.
1.从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要
条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件.
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即 ，
，则：
（1）若，则是 的充分条件；
（2）若，则是 的必要条件；
（3）若，则是 的充要条件；
（4）若且，即，则是 的充分不必
要条件；
（5）若且，即，则是 的必要不充
分条件；
（6）若且，则是 的既不充分也不必要条件．
图形表示如下：
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
______________________________________
2.“ ”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即,,则有 ，
即是 的充要条件.
续表
例 ［2025·浙江丽水高一期中］已知，,则是
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由可得.由可得或 .
由于或，所以是 的必要不充分条件.故选B.
√
练习册
1.“方程 有实根”的充要条件为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，方程有实根；
当 时，，解得，此时且 .
综上可得，“方程有实根”的充要条件为 .
故选A.
√
2.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个
三角形的三边对应成比例”，即充分性成立；
反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”，
即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”
的充要条件.故选C.
√
3.“”是“关于的不等式的解集为 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当且时，不等式 ，此时不
等式的解集为 ；
当且 时，不等式，
此时不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为.
综上，“”是“关于 的不等式的解集为 ”的必要不
充分条件.故选B.
√
4.［2024· 河南开封高一期中］已知集合, ,
,，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为,,,，所以 ，
所以“”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
√
5.一元二次方程 有一个正根和一个负根的充
分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为一元二次方程 有一个正根和一
个负根，所以解得 ，所以一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件
可以是 .故选C.
√
6.［2024·重庆八中高一月考］已知是的充分条件，是 的充分不
必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：
是的必要不充分条件；是的充分不必要条件；是 的充分不
必要条件；是 的充要条件.其中所有的真命题是( )
A.①④ B.②③ C.③ D.④
√
[解析] 因为是的充分条件，所以.因为是 的充分不必要条
件，所以，.因为是的必要条件，所以.因为是
的必要条件，所以.由，，可得.则
是的充要条件，命题①为假命题；
是 的充要条件，命题②为假命题；
因为，，所以，，故是 的充分不必要条件，
命题③为真命题；
易得，，所以是 的必要不充分条件，命题④为假命题.
故选C.
7.（多选题） 的一个充分不必要条件可以是( )
A., B. C., D.,
[解析] 由，可以推出 ，反之推不出，故A满足题意.
当,时，满足，但不满足 ，故B不满足题意.
由，可以推出 ，反之推不出，故C满足题意.
由，可以推出，反之推不出，故D满足题意.故选 .
√
√
√
8.下列条件可作为“两条直线平行”的充要条件的是________.（填序号）
①同位角相等;②内错角相等;③同旁内角互补;④同旁内角相等.
①②③
[解析] 由①②③均可推出“两条直线平行”,由“两条直线平行”也可以
推出①②③.由④不能推出“两条直线平行”.故填①②③.
9.（13分）求证：一次函数 的图象经过坐标原点
的充要条件是 ．
证明：充分性：如果，那么，当时， ，所以
一次函数 的图象经过坐标原点.
必要性：因为一次函数 的图象经过坐标原点，所
以当时，，即，所以 .
综上，一次函数 的图象经过坐标原点的充要条件
是 ．
10.设;，若是 的必要不充分条件，则
实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，是 的必要不充分条件，
所以且两个等号不同时成立，解得 ，
经检验满足题意.故选D.
√
11.（多选题）下列选项中，是 的充要条件的有( )
A.有两条边上的高相等， 是等腰三角形
B.，均为无理数， 为无理数
C.，
D.函数的图象经过点，
√
√
[解析] 对于A，在中，设边上的高为，边上的高为 ，
若成立，不妨设，则由 ，得
，即成立；
若成立，不妨设 ，则由，
得，即 成立.故A满足题意.
对于B，当， 时，
为有理数，此时成立， 不成立，故B不满足题意.
对于C，当时，成立， 不成立，故C不满足题意.
对于D，若成立，则当时，，即 成立，
当成立时，显然成立，故D满足题意.故选 .
12.［2024·广东深圳高一期中］设集合 ，
，或，则“”是“ ”的
______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不
必要”）
充要
[解析] 由题意可得或，即 ，所以
“”是“ ”的充要条件.
13.二次函数的图象关于直线 对称的充要条件
是 ____.
[解析] 若二次函数的图象关于直线 对称,则
;反之也成立.所以二次函数 的图象关于直线
对称的充要条件是 .
14.（15分）［2025·陕西西安高一期中］ 已知集合
，非空集合 .
（1）是否存在实数，使是 的充要条件？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：不存在实数，使是 的充要条件.理由如下：
假设是的充要条件，则 ，
所以 此方程组无解，
故不存在实数，使是 的充要条件.
（2）是否存在实数，使是 的必要条件？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：由是的必要条件，得 .
因为 ，所以，解得，因为 ，所以
解得，所以 .
所以实数的取值范围为 .
14.（15分）［2025·陕西西安高一期中］ 已知集合
，非空集合 .
15.已知集合点不在第一、三象限 ，集合
，若“”是“”的必要条件，则实数 的取
值范围是__________.
[解析] 由“”是“”的必要条件，得.又 中元素为整数，
故只可能为，，.由点 不在第一、三象限，
得或 即或.
当时，①无解，由②得 ，此时，
故，则；
当 时，，则，满足题意；
当 时，②无解，由①得，此时，
因为， ，所以.
综上，实数的取值范围是 .
16.（15分）已知，，，.判断“ ”是“一元二
次方程有一根为 ”的什么条件？并说明理由．
解：“”是“一元二次方程有一根为 ”
的充要条件．理由如下：
若，则 ，则
，故 满足一元二次方程 ，
即一元二次方程有一根为 ，充分性成立；
若一元二次方程有一根为，则 ，
必要性成立．
综上所述，“”是“一元二次方程 有一根
为 ”的充要条件．
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点 1.充分不必要条件 必要不充分条件
2.充分必要条件 充要条件 3. 充要条件
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√ （4）× （5）√
课中探究
例1 （1）是的必要不充分条件 （2）是的必要不充分条件
（3）是的充要条件 （4）是的充要条件
变式 （1）是的充分不必要条件 （2）是的充分不必要条件
（3）是的充要条件 （4）是的必要不充分条件
例2 证明略 变式 证明略 例3 变式
课堂评价 1.AD 2.AC 3.必要不充分 4.充分不必要
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.ACD 8.①②③ 9.证明略
综合提升
10.D 11.AD 12.充要 13.
14.（1）不存在实数，使是的充要条件 （2）实数的取值范围为
思维探索
15.
16. “”是“一元二次方程有一根为”的充要条件．
理由略