本章总结
【知识辨析】
1.× [解析] 因为集合A为数集,集合B为点集,所以A,B两个集合中没有公共元素,所以这两个集合的交集为空集.
2.√
3.√ [解析] {x|x=2n,n∈N*}是所有正偶数组成的集合,{1,2,3,4,5,6,…}是正整数组成的集合,所以{x|x=2n,n∈N*} {1,2,3,4,5,6,…}.
4.× [解析] 因为全集U=(4,+∞), UA=(5,+∞),所以A=(4,5].
5.× [解析] 若四边形的对角线互相垂直,则四边形不一定是菱形,反之,若四边形是菱形,则其对角线互相垂直.所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件.
【素养提升】
例1 (1)C (2)A [解析] (1) ∵-1∈A,A={1,a-2,a2-a-1},∴a-2=-1或a2-a-1=-1,解得a=0或a=1.当a=0时,A={1,-2,-1},成立;当a=1时,a-2=a2-a-1=-1,不成立.故选C.
(2)当B= 时,1-m>1+m,解得m<0,此时B A.当B≠ 时,若B A,则解得0≤m≤3.综上,实数m的取值范围为m≤3.故选A.
变式 (1)C (2){2,4,6},{2,4,8},{2,4,10}
[解析] (1)∵A={1,2,a},∴B={y|y=2x-3,x∈A}={-1,1,2a-3},又B={1,5,b},∴-1=b,2a-3=5,解得b=-1,a=4,∴A={1,2,4},B={1,5,-1},∴A∪B={-1,1,2,4,5}.故选C.
(2)由题意,集合M中含有3个元素,所以M={2,4,6},{2,4,8},{2,4,10}.
例2 (1)D (2)D (3)B [解析] (1)∵集合M={x|<4}={x|0≤x<16},集合N={x|3x≥1}=,∴M∩N=.故选D.
(2)由题意,B={x|x2-4x+3=0}={1,3},A={-1,2},所以A∪B={-1,1,2,3},所以 U(A∪B)={-2,0}.故选D.
(3)由题意可得A={x|y=}=[2,+∞),B={y|y=x2+1}=[1,+∞),则A∩B=[2,+∞),故A错误;因为A B,所以A∩B=A,A∪B=B,故B正确,C错误; RB=(-∞,1),则 RB不是A的子集,故D错误.故选B.
变式 (1)C (2)C (3){3} [解析] (1)A∩C={1,3,6,7}∩{x∈R|-1≤x<7}={1,3,6},又B={1,2,6},所以(A∩C)∪B={1,2,3,6}.故选C.
(2)∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},∴A∩B={3,5},则题图中阴影部分表示的集合为 U(A∩B)={1,2,4},∴题图中阴影部分表示的集合的真子集有23-1=8-1=7(个).故选C.
(3)∵全集U={1,2,3,4},B={1,2},∴ UB={3,4},∵ U(A∪B)={4},∴3∈A,4 A,∴A∩( UB)={3}.
例3 解:(1)由题知A={x||x+1|≤3}={x|-4≤x≤2},因为A∪B=A,所以B A.
当B= ,即0≥3m时,m≤0,满足B A;当B≠ ,即0<3m时,m>0,由B A,得3m≤2,可得0则实数m的取值范围是.
(2)因为 x∈Z且x∈P,所以集合P中至少存在一个整数.
RA={x|x<-4或x>2},B={x|0要使P=( RA)∩B中至少存在一个整数,
则解得m>1,则实数m的取值范围是(1,+∞).
变式 ACD [解析] 由( RA)∩B= ,得B A,A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}.当B= 时,m=0,此时符合题意;当B≠ 时,m≠0,则B=,若=-2,则m=-2,则B={-2},则B A,符合题意;若=4,则m=1,则B={4},则B A,符合题意.故选ACD.
例4 (1)C (2)C [解析] (1)命题“ x∈R,x3+|x|-2>0”的否定是“ x∈R,x3+|x|-2≤0”.故选C.
(2)若命题p:关于x的方程x2+x+m=0有两个相异负根为真命题,则解得0变式 解:(1)若p: x∈A,x∈B是真命题,则A B.
又B≠ ,所以解得m≥4,故实数m的取值范围为{m|m≥4}.
(2)因为B≠ ,所以-3m+4≤2m-1,解得m≥1.
若q: x∈B,x∈A是真命题,则A∩B≠ .
当A∩B= 时,-3m+4>7或2m-1<2,解得m<,
又m≥1,所以当A∩B= 时,1≤m<,
所以当A∩B≠ 时,m≥.
故实数m的取值范围为.
例5 (1)D (2) (3)(0,+∞) [解析] (1)由01,因为q是p的必要不充分条件,所以a≤恒成立,所以a≤1.故选D.
(2)因为p是q的必要不充分条件,所以{x|2(3)因为x-(2a+1)<0,所以x<2a+1,所以q:x<2a+1.因为p是q的充分不必要条件,所以(-∞,1)是(-∞,2a+1)的真子集,所以1<2a+1,所以a>0.故实数a的取值范围为(0,+∞).
变式 (1)B [解析] 对于A,因为(5,+∞) (3,+∞),所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A错误;对于B,x≠±1时,|x|≠1,反之也成立,所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件,故B正确;对于C,若q p,则p是q的必要条件,故C错误;对于D,矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形,所以“一个四边形是矩形”的必要条件是“它是平行四边形”,故D错误.故选B.
(2)解:①A={x|x2-4x-12=0}={-2,6},
由A∪B=A,得B A,则B= 或{-2}或{6}.
当B= 时,a=0,当B={-2}时,-2a-1=0,解得a=-,当B={6}时,6a-1=0,解得a=,
所以实数a的取值集合为.
②若a=-,则B=={-2},故A∩B={-2}.又“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件,
所以{-2}是C的真子集,于是1-m≤-2≤1+m,解得m≥3,经检验符合条件,故实数m的取值范围是{m|m≥3}.本章总结
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.若集合A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x+2,x∈R},则A∩B={(-1,1),(2,4)}. ( )
2.“全等三角形的面积相等”是全称量词命题.( )
3.{x|x=2n,n∈N*} {1,2,3,4,5,6,…}.( )
4.若全集U=(4,+∞), UA=(5,+∞),则A=(-∞,5]. ( )
5.“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的充要条件. ( )
◆ 题型一 集合的概念、集合的基本关系
[类型总述] (1)集合中元素的互异性;(2)集合的基本关系;(3)子集的个数.
例1 (1)已知集合A={1,a-2,a2-a-1},若-1∈A,则实数a的值为 ( )
A.1 B.1或0
C.0 D.-1或0
(2)[2025·四川达州高一期中] 已知集合A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}.若 B A,则实数m的取值范围为 ( )
A.m≤3 B.m≤9
C.m≤3或m≥9 D.3≤m≤9
变式 (1)已知集合A={1,2,a},B={y|y=2x-3,x∈A}={1,5,b},则A∪B= ( )
A.{1} B.{1,2,5}
C.{-1,1,2,4,5} D.{0,1,2,5,6}
(2)已知{2,4} M {2,4,6,8,10},且M有7个真子集,则所有满足条件的M是 .
◆ 题型二 集合的基本运算
[类型总述] (1)集合中并集、交集的运算;(2)集合的补集运算;(3)集合运算中求参数.
例2 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N= ( )
A.{x|0≤x<2}
B.
C.{x|3≤x<16}
D.
(2)[2022·全国甲卷] 设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则 U(A∪B)= ( )
A.{1,3} B.{0,3}
C.{-2,1} D.{-2,0}
(3)已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+1},则 ( )
A.A∩B= B.A∩B=A
C.A∪B=A D. RB A
变式 (1)设集合A={1,3,6,7},B={1,2,6},C={x∈R|-1≤x<7},则(A∩C)∪B=( )
A.{1,3,6,7}
B.{1,2,3,6,7}
C.{1,2,3,6}
D.{x∈R|-1≤x<7}
(2)如图,已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则图中阴影部分表示的集合的真子集有 ( )
A.3个 B.4个
C.7个 D.8个
(3)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且 U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩( UB)= .
例3 已知集合A={x||x+1|≤3},B={x|0(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围;
(2)设P=( RA)∩B,若 x∈Z且x∈P,求实数m的取值范围.
变式 (多选题)[2025·湖北武汉高一期中] 已知集合A={x|x2-2x-8=0},集合B={x|mx-4=0},若( RA)∩B= ,则实数m的值可以为 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
◆ 题型三 全称量词与存在量词
[类型总述] (1)含一个量词的命题的真假判断;(2)含一个量词的命题的否定.
例4 (1)[2025·广西南宁高一期中] 命题“ x∈R,x3+|x|-2>0”的否定是 ( )
A. x R,x3+|x|-2≤0
B. x∈R,x3+|x|-2≤0
C. x∈R,x3+|x|-2≤0
D. x R,x3+|x|-2≤0
(2)命题p:关于x的方程x2+x+m=0有两个相异负根,命题q: x∈(0,+∞),x2-3mx+9=0.若这两个命题有且仅有一个为真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C.∪[2,+∞) D.[2,+∞)
变式 已知集合A={x|2≤x≤7},B={x|-3m+4≤x≤2m-1},且B≠ .
(1)若p: x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若q: x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围.
◆ 题型四 充分条件、必要条件、充要条件
[类型总述] (1)判断充分条件、必要条件;(2)充要条件的逆用求参数;(3)充要条件的证明.
例5 (1)已知x∈R,p:0A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
(2)已知p:a(3)[2025·陕西西安高一期中] 已知p:x<1,q:x-(2a+1)<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 .
变式 (1)下列说法正确的是 ( )
A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件
B.“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件
C.若q p,则p是q的充分条件
D.“一个四边形是矩形”的充分条件是“它是平行四边形”
(2)[2024·辽宁葫芦岛高一期末] 已知集合A={x|x2-4x-12=0},集合B={x|ax-1=0},集合C={x|1-m≤x≤1+m},且A∪B=A.
①求实数a的值组成的集合;
②当a=-时,“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.(共31张PPT)
本章总结
题型一 集合的概念、集合的基本关系
题型二 集合的基本运算
题型三 全称量词与存在量词
题型四 充分条件、必要条件、充要条件
答案核查
判断下列说法是否正确.（请在括号中填“√”或“×”）
1.若集合，，， ，则
， .( )
×
[解析] 因为集合为数集，集合为点集，所以， 两个集合中没
有公共元素，所以这两个集合的交集为空集.
2.“全等三角形的面积相等”是全称量词命题.( )
√
3.,,2,3,4,5,6, .( )
√
[解析] ,是所有正偶数组成的集合，,2,3,4,5,6,
是正整数组成的集合，所以,,2,3,4,5,6, .
4.若全集，，则 .( )
×
[解析] 因为全集，，所以 .
5.“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的充要条件.( )
×
[解析] 若四边形的对角线互相垂直，则四边形不一定是菱形，反之，
若四边形是菱形，则其对角线互相垂直.所以“四边形的对角线互相垂
直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件.
题型一 集合的概念、集合的基本关系
［类型总述］（1）集合中元素的互异性；（2）集合的基本关系；
（3）子集的个数.
例1（1）已知集合，，，若 ，则实数
的值为( )
A.1 B.1或0 C.0 D. 或0
[解析] ，，，， 或
，解得或.
当时，，， ，成立；
当时， ，不成立.故选C.
√
（2）［2025·四川达州高一期中］已知集合 ，
.若，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C.或 D.
[解析] 当 时，，解得，此时 .
当 时，若，则解得.
综上，实数 的取值范围为 .故选A.
√
变式（1）已知集合,2,，,,5, ，
则 ( )
A. B. C.,1,2,4, D.
[解析] ,2,，,,1, ，
又,5,，,，解得, ，
，,5,，,,2,4, ．故选C.
√
（2）已知，且 有7个真子集，则所有满足
条件的 是________________________.
，，
[解析] 由题意，集合中含有3个元素，所以， ，
.
题型二 集合的基本运算
［类型总述］（1）集合中并集、交集的运算；（2）集合的补集运
算；（3）集合运算中求参数.
例2（1）［2022·新高考全国Ⅰ卷］若集合 ，
,则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 集合 ,集合
, .故选D.
（2）［2022·全国甲卷］设全集，，0，1，2， ，集合
，，,则 ( )
A. B. C., D.,
[解析] 由题意，，, ，所
以,1,2,,所以, .故选D.
√
（3）已知集合， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 ，
，则 ，故A错误;
因为，所以， ，故B正确，C错误；
，则不是 的子集，故D错误.故选B.
√
变式（1）设集合， ，
，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] ，又
，所以 .故选C.
√
（2）如图，已知集合 ，2，3，
4，，，3，，，3， ，
则图中阴影部分表示的集合的真子集有
( )
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
[解析] 集合，2，3，4，，，3，， ，3，，
， ，则题图中阴影部分表示的集合为
，2，， 题图中阴影部分表示的集合的真子集有
（个）.故选C.
√
（3）已知集合，均为全集，2，3， 的子集，且
，，，则 ____.
[解析] 全集，2，3，，，，， ,
，,， .
例3 已知集合， .
（1）若，求实数 的取值范围；
解：由题知，因为 ，
所以 .
当 ，即时，，满足；
当 ，即时，，由，得可得 .
则实数的取值范围是 .
（2）设，若且，求实数 的取值范围.
解：因为且，所以集合 中至少存在一个整数.
或， ，
要使 中至少存在一个整数，
则解得，则实数的取值范围是 .
例3 已知集合， .
变式 （多选题）［2025·湖北武汉高一期中］ 已知集合
，集合 ，若
，则实数 的值可以为( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 由 ，得 ，,.
当 时， ，此时符合题意；
当 时，，则，若 ，则
，则，则，符合题意；
若，则 ，则，则，符合题意.故选 .
√
√
√
题型三 全称量词与存在量词
［类型总述］（1）含一个量词的命题的真假判断；（2）含一个量
词的命题的否定.
例4（1）［2025·广西南宁高一期中］命题“ ，
”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 命题“，”的否定是“ ，
”.故选C.
√
（2）命题关于的方程 有两个相异负根，命题
, .若这两个命题有且仅有一个为真
命题，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 若命题关于的方程 有两个相异负根为真
命题，则解得 ；
若命题, 为真命题，则
解得 .因为这两个命题有且仅有一个为
真命题，所以或解得或 ，
即实数的取值范围是 .故选C.
变式 已知集合 ，
，且 ．
（1）若,是真命题，求实数 的取值范围；
解：若,是真命题，则 .
又 ，所以解得，故实数 的取值
范围为 ．
（2）若,是真命题，求实数 的取值范围．
解：因为 ，所以，解得 ．
若，是真命题，则 .
当 时，或，解得 ，
又，所以当 时， ,所以当 时, .
故实数的取值范围为 ．
变式 已知集合 ，
，且 ．
题型四 充分条件、必要条件、充要条件
［类型总述］（1）判断充分条件、必要条件；（2）充要条件的逆
用求参数；（3）充要条件的证明.
例5（1）已知，，，若是 的必要不充
分条件，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，因为是 的必要不充分条件，所以
恒成立，所以 .故选D.
√
（2）已知，，若是 的必要不充分
条件，则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为是 的必要不充分条件，所以
，所以 或
解得，故实数的取值范围是 .
（3）［2025·陕西西安高一期中］已知， ，
若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围为________.
[解析] 因为，所以，所以 .
因为是的充分不必要条件，所以是 的真子集，
所以，所以.故实数的取值范围为 .
变式（1）下列说法正确的是( )
A.“”是“ ”的充分不必要条件
B.“”是“ ”的充要条件
C.若，则是 的充分条件
D.“一个四边形是矩形”的充分条件是“它是平行四边形”
√
[解析] 对于A，因为，所以“”是“ ”的必
要不充分条件，故A错误；
对于B，时， ，反之也成立，所以“”是“”
的充要条件，故B正确；
对于C，若 ，则是 的必要条件，故C错误；
对于D，矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，
所以“一个四边形是矩形”的必要条件是“它是平行四边形”，故D错误.
故选B.
（2）［2024·辽宁葫芦岛高一期末］已知集合
，集合 ，集合
，且 .
①求实数 的值组成的集合；
解：, ，
由，得，则 或或 .
当 时，，当时，，解得 ，
当时，，解得 ，
所以实数的取值集合为 .
②当时，“”是“”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
解：若，则，故 .
又“”是“ ”的充分不必要条件，
所以是的真子集，于是，解得 ，
经检验符合条件，故实数的取值范围是 .
（2）［2024·辽宁葫芦岛高一期末］已知集合
，集合 ，集合
，且 .
快速核答案（导学案）
知识辨析 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.×
素养提升
例1 （1）C （2）A 变式 （1）C （2），，
例2 （1）D （2）D （3）B 变式 （1）C （2）C （3）
例3 （1）（2）例4 （1）C （2）C 变式 （1）（2）>
例5 （1）D （2） （3） 变式 （1）B
（2）①实数的取值集合为 ②
