单元素养测评卷(一)
1.C [解析] 对于A,因为a是集合{a,b,c}中的元素,所以a∈{a,b,c},故A错误;对于B,因为 是任何集合的子集,所以 {0},故B错误;对于C,因为N中含有元素0,1,而且还有其他元素,所以{0,1} N,故C正确;对于D,因为是无理数,而Q是有理数集,所以 Q,故D错误.故选C.
2.B [解析] 因为命题p: x∈R,3x2+mx+m2≠0,所以 p为“ x∈R,3x2+mx+m2=0”.故选B.
3.D [解析] 由题图知,阴影部分表示的集合为A与B的交集,再与集合C的补集的交集,所以图中阴影部分表示的集合为A∩B∩( UC).故选D.
4.A [解析] 因为“两个三角形全等”能推出“两个三角形相似”,但是“两个三角形相似”不能推出“两个三角形全等”,所以“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件,故选A.
5.B [解析] 因为x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,所以A={2,3},因为B={1,2,3,4,5},且A C B,所以C中一定含有元素2,3,可能含有元素1,4,5,所以C的个数即为集合{1,4,5}的子集的个数,即为23=8.故选B.
6.C [解析] 因为B={x|1≤x<2},所以 RB={x|x<1或x≥2},因为A={x|x
7.C [解析] 因为-1≤x≤1,所以0≤x2≤1,所以a≥1.因为a≥1 / a≥10,a≥10 a≥1,所以C符合要求.故选C.
8.D [解析] 由题意,集合M={x∈N|1≤x≤15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.当A1={1,4,5,6,7},A2={3,12,13,14,15},A3={2,8,9,10,11}时,X1+X2+X3取得最小值,最小值为8+18+13=39;当A1={1,2,3,4,15},A2={5,6,7,8,14},A3={9,10,11,12,13}时,X1+X2+X3取得最大值,最大值为16+19+22=57.∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为39+57=96.故选D.
9.BD [解析] 由题得解得a≠-4,a≠2,a≠-1.故选BD.
10.BD [解析] 对于A,比较接近没有一个标准,故不符合集合确定性的性质,故A错误;对于B,因为=|x|,-=-x,所以当x=0时,这几个数均为0,当x>0时,它们分别是x,-x,x,x,-x,当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,-x,均最多表示两个不同的数,故所组成的集合中的元素最多为2个,故B正确;对于C,集合A中包含(0,0),而集合B中不含(0,0),故C错误;对于D,对于集合M,x=+=,k∈Z,对于集合N,x=+=,k∈Z,因为2k+1是奇数集,k+2是整数集,所以M N,故D正确.故选BD.
11.BC [解析] 对于A,{2}中只有一个元素,且{2} N*,{2}≠{1},1+1=2∈{2},1×1+1=2∈{2},满足条件①②③,则{2}是“增1集”,故A为假命题;对于B,集合Q是“增2集”,故Q为非空集合,且 x,y∈N*,若x+y∈Q,则xy+2∈Q,则Q∪{1} N*,满足条件①,且Q∪{1}≠{1},满足条件②,当 x,y∈N*时,满足x+y∈Q∪{1},则xy+2∈Q∪{1},满足条件③,故B为真命题;对于C,N* N*,N*≠{1}, x,y∈N*,若x+y∈N*,则xy+1∈N*,显然满足“增1集”的三个条件,故C为真命题;对于D,{1,2} N*,{1,2}≠{1},1+1=2,1×1+0=1,2∈{1,2},1∈{1,2},满足条件①②③,故{1,2}是“增0集”,故D为假命题.故选BC.
12.43 [解析] 设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A,B,C,由题意画出维恩图,如图所示,则全班共有2+4+5+10+7+11+4=43(人).
13.(-∞,1] [解析] 由A∩B=A,可得A B,则b-a≤-1,即b≤a-1.因为“a=2”是“A∩B=A”的充分条件,所以b≤2-1=1,所以b的取值范围为(-∞,1].
14. [解析] 由题可知,集合A的长度为,集合B的长度为, A,B都是集合{x|0≤x≤1}的子集,当A∩B的长度最小时,m与n应分别在区间[0,1]的左、右两端,则m=0,n=1,则A=,B=,此时A∩B=,故A∩B的长度的最小值是-=.
15.解:(1)该命题是存在量词命题,该命题的否定是“对任意一个实数x,都有x2+2x+3>0”,原命题的否定是真命题.
(2)该命题是存在量词命题,该命题的否定是“所有三角形都不是等边三角形”,原命题的否定是假命题.
(3)该命题是全称量词命题,该命题的否定是“方程x2-8x-10=0至少有一个根是奇数”,原命题的否定是假命题.
(4)该命题既不是全称量词命题也不是存在量词命题,该命题是假命题.
证明:因为a+b=1,所以a=1-b,由b+ab-b2=0,得b+ab=b2,即b+(1-b)b=b2,即b=b2,得b=0或b=1,
因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,所以b=1,
又当b=1时,a=0,与ab≠0矛盾,所以由b+ab-b2=0推不出a+b=1.
所以“a+b=1”的充要条件不是“b+ab-b2=0”.
16.解:(1)当x∈N*时,A={1,2,3,4,5},所以集合A的非空真子集有{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}.
(2)①当B= 时,m-1>2m+1,解得m<-2;
②当B≠ 时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得或
解得m>6或-2≤m<-.
综上,实数m的取值范围是m<-或m>6.
17.解:(1)由题意可得解得所以A∩B={(1,2)}.
(2)因为A∪B=A,所以B A.
若a+6=9,则a=3,此时a2=9,不符合题意;
若a+6=a2,则a=-2或a=3,
当a=-2时,A={1,9,4},B={1,4},符合题意,
当a=3时,a2=9,不符合题意.
综上所述,a=-2.
18.解:(1)因为关于x的方程x2-2x+m2=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=(-2)2-4m2>0,即m2-1<0,
解得-1(2)当p为真命题,q为假命题时,由可得m∈(-1,1);
当p为假命题,q为真命题时,由可得m∈[2,+∞).
综上可得,m的取值范围为(-1,1)∪[2,+∞).
19.解:(1)因为C={a},D={1,2,3},所以C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}.
(2)因为A×B={(1,2),(2,2)},所以A={1,2},B={2}.
(3)由(1)(2)可知,A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关, 即集合A中的任何一个元素与集合B中的一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素.
若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则A×B中有m×n个元素,
故当A中有3个元素,B中有4个元素时,A×B中有3×4=12(个)元素.单元素养测评卷(一)
第一章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列关系正确的是 ( )
A.a {a,b,c} B. ∈{0}
C. {0,1} N D.∈Q
2.[2025·海南海口高一期中] 若命题p: x∈R,3x2+mx+m2≠0,则 p为 ( )
A. x∈R,3x2+mx+m2=0
B. x∈R,3x2+mx+m2=0
C. x∈R,3x2+mx+m2>0
D. x∈R,3x2+mx+m2≠0
3.图中的阴影部分表示的集合为 ( )
A.A∩B∩C
B.( UA)∩B∩C
C.A∩( UB)∩C
D.A∩B∩( UC)
4.[2025·四川达州高一期末] “两个三角形全等”是“两个三角形相似”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0A.4 B.8
C.7 D.16
6.已知集合A={x|xA.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
7.“ x∈{x|-1≤x≤1},x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A.a≥1 B.a≥0
C.a≥10 D.a≤10
8.已知集合M={x∈N|1≤x≤15},集合A1,A2,A3满足:①每个集合都恰有5个元素;②A1∪A2∪A3=M.集合Ai(i=1,2,3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai(i=1,2,3)的特征数,记为Xi(i=1,2,3),则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为 ( )
A.56 B.72
C.87 D.96
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2025·江西上饶高一期中] 若集合A={a2+2a,3a+2,8},则实数a的值可能是 ( )
A.2 B.3
C.-4 D.5
10.[2024·沈阳二中高一月考] 下列说法正确的有 ( )
A.比较接近1的整数的全体能构成一个集合
B.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,其元素的个数最多为2
C.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则A=B
D.若集合M=,集合N=,则M N
11.对于给定整数k,如果非空集合A满足如下三个条件:①A N*;②A≠{1};③ x,y∈N*,若x+y∈A,则xy+k∈A.那么称集合A为“增k集”.则下列命题中为真命题的是 ( )
A.若集合P是“增1集”,则集合P中至少有两个元素
B.若集合Q是“增2集”,则Q∪{1}也一定是“增2集”
C.正整数集N*一定是“增1集”
D.不存在“增0集”
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某班举行数学、物理、化学三科竞赛,每名同学至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中同时只参加数学、物理两科的有10人,同时只参加物理、化学两科的有7人,同时只参加数学、化学两科的有11人,而参加数学、物理、化学三科的有4人.则全班共有 人.
13.[2025·江苏连云港高一期中] 已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x≥b-a}.若“a=2”是“A∩B=A”的充分条件,则实数b的取值范围为 .
14.设集合A=,B=,且A,B都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合A∩B的“长度”的最小值是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,如果是,写出该命题的否定,并判断该命题的否定的真假,不必证明;如果不是,需判断该命题的真假,并给出证明.
(1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0;
(2)有些三角形是等边三角形;
(3)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数;
(4)若ab≠0,则“a+b=1”的充要条件是“b+ab-b2=0”.
16.(15分)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}.
(1)当x∈N*时,求集合A的非空真子集;
(2)当x∈R时,若A∩B= ,求实数m的取值范围.
17.(15分)(1)已知集合A={(x,y)|2x-y=0},B={(x,y)|3x+y-5=0},求A∩B.
(2)已知集合A={1,9,a2},B={1,a+6},是否存在实数a,使得A∪B=A 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
18.(17分)[2025·浙江绍兴高一期中] 已知p:关于x的方程x2-2x+m2=0有两个不相等的实数根;q:m≥2.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p,q中一真一假,求实数m的取值范围.
19.(17分)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B.例如,A={1,2},B={3,4},则A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.
据此回答下列问题.
(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;
(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;
(3)若A中有3个元素,B中有4个元素,试确定A×B中有几个元素.