第25章 概率初步(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第25章 概率初步
一、选择题
1．“守株待兔”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定性事件
C．必然事件 D．不可能事件
2．下列四个袋子中，装有除颜色外完全相同的6个小球，任意摸出一个球，摸到红球的可能性最小的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为45°，120°，195°，让转盘自由转动（若指针停在分界线上，则重转），指针停在黄色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法错误的是（　　）
A．必然事件发生的概率是1
B．不可能事件发生的概率为0
C．随机事件发生的可能性越大，它的概率就越接近1
D．概率很小的事件不可能发生
5．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（　　）
A． B． C． D．1
6．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超如图，若铜钱半径为2cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．某班从两名男生和两名女生四位选手中随机选取两人参加校演讲比赛，恰好选出是一男一女两位选手的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．王阿姨在网上看中了一款医用外科口罩，付款时需要输入6位的支付密码，她只记得密码的前3位，后3位由1，7，9这3个数字组成，但具体顺序忘记了，则她第一次就输入正确密码的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现5点的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率
D．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率
10．桌面上放有三张背面完全一样的不透明卡片，卡片正面分别标有数字0，1，2，把三张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片，记下数字为a后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为b，则点（a，b）在函数y＝（x﹣1）2图象上的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．“任意画一个四边形，其内角和是360°”是　 　 （填“随机”、“必然”或“不可能”中任一个）事件．
12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是　 　 ．
13．一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球　 　 个．
14．某轨道列车共有4节车厢，乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一轨道列车，则甲和乙分别在相邻车厢的概率 　 　 ．
15．如图，甲、乙两个转盘分别被平均分成4份与3份，每个转盘分别标有不同的数字．转动两个转盘，当转盘停止后，甲转盘指针指向的数字作为m，乙转盘指针指向的数字作为n，则为非负整数的概率为　 　 ．
三、解答题
16．在一个不透明的袋子中装有积分卡10张，这些积分卡除颜色、图案不同外其他都相同，其中红色积分卡4张，绿色积分卡6张．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）张红色积分卡，再从袋子中随机取出1张积分卡，将“取出红色积分卡”记为事件A．请完成下列表格：
事件A 不可能事件 随机事件
m的值
　 　
　 　
（2）先从袋子中取出n张红色积分卡，再放入n张一样的绿色积分卡，并搅拌均匀，随机摸出1张积分卡是绿色的概率等于，求n的值．
17．摩尔斯电码（又译为摩斯密码）是一种时通时断的信号代码，通过不同的排列顺序来表达不同的英文字母、数字和标点符号．它的表现形式可以是编码，可以是敲击声音，也可以是灯光，其中灯光是以光亮时间来表示长短信号，若短光对应的是字母S，长光对应的是字母O，请回答下列问题：
（1）若随机发射一组这样的长光或短光，信号对应为字母“S”的概率是 　 　 ．
（2）S．O．S是国际摩尔斯电码救难信号，它的光线发射方法为：短光﹣长光﹣短光，若随机发射三组这样的长光或短光，请你求出救难信号发送成功的概率．
18．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
试验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m 1 4 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 a b
（1）计算表中a、b的值；
（2）估计该麦种的发芽概率；
（3）如果该麦种发芽后，只有87%的麦芽可以成活，现有100kg麦种，则大约有多少千克的麦种可以成活为秧苗？
19．某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有A，B，C三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车．
请你运用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）这两人中，谁乘坐到A车的可能性大？请说明理由．
20．有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 　 　 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改游戏规则，使游戏公平．
21．小明参加某个智力竞答节目，答对最后的两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 　 　 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，建议小明在第 　 　 题使用“求助”．（直接写出答案）
第25章 概率初步
参考答案与试题解析
一、选择题
1．“守株待兔”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．确定性事件
C．必然事件 D．不可能事件
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“守株待兔”这个事件是随机事件．
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件、必然事件、不可能事件的概念．确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．下列四个袋子中，装有除颜色外完全相同的6个小球，任意摸出一个球，摸到红球的可能性最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】各选项袋子中分别共有6个小球，若要使摸到红球可能性最小，只需找到红球的个数最少的袋子即可得出答案．
【解答】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最少，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最小，
故选：D．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
3．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为45°，120°，195°，让转盘自由转动（若指针停在分界线上，则重转），指针停在黄色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为120°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即指针停在黄区域的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率．
4．下列说法错误的是（　　）
A．必然事件发生的概率是1
B．不可能事件发生的概率为0
C．随机事件发生的可能性越大，它的概率就越接近1
D．概率很小的事件不可能发生
【答案】D
【分析】根据必然事件、不可能事件及随机事件的概率逐一判断即可．
【解答】解：A．必然事件发生的概率是1，此选项正确，不符合题意；
B．不可能事件发生的概率为0，此选项正确，不符合题意；
C．随机事件发生的可能性越大，它的概率就越接近1，此选项正确，不符合题意；
D．概率很小的事件发生的可能性小，但不表示不可能发生，此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
5．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【解答】解：此事件发生的概率，
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
6．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超如图，若铜钱半径为2cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得．
【解答】解：∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1，
∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
7．某班从两名男生和两名女生四位选手中随机选取两人参加校演讲比赛，恰好选出是一男一女两位选手的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选出是一男一女两位选手的结果有8种，
∴恰好选出是一男一女两位选手的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．王阿姨在网上看中了一款医用外科口罩，付款时需要输入6位的支付密码，她只记得密码的前3位，后3位由1，7，9这3个数字组成，但具体顺序忘记了，则她第一次就输入正确密码的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先列举出所有可能的结果，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵后3位由1，7，9这3个数字组成，
∴可能的结果有：179，197，719，791，917，971共6种，
∴他第一次就拨通电话的概率是．
故选：D．
【点评】本题考查的是概率公式，熟知概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
9．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现5点的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率
D．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率
【答案】B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，出现5点的概率为，故此选项不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率为，故此选项符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
D、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，掌握概率公式是解题的关键．
10．桌面上放有三张背面完全一样的不透明卡片，卡片正面分别标有数字0，1，2，把三张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片，记下数字为a后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为b，则点（a，b）在函数y＝（x﹣1）2图象上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，再根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（a，b）在函数y＝（x﹣1）2图象上的结果数为3，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中点（a，b）在函数y＝（x﹣1）2图象上的结果数为3种，
所以点（a，b）在函数y＝（x﹣1）2图象上的概率．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
二、填空题
11．“任意画一个四边形，其内角和是360°”是　必然　 （填“随机”、“必然”或“不可能”中任一个）事件．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【解答】解：因为任意一个四边形内角和为360°，
所以任意画一个四边形，其内角和是360°是必然事件，
故答案为：必然．
【点评】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】从图中可以看出共有6条路径，其中有2条路径树枝上有食物，从而根据等可能概型的计算方法求解即可．
【解答】解：设事件A表示能找到食物的路径，S为样本空间．
则p（A）
答案：
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．一个不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球　32　 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
【解答】解；设盒子里有白球x个，根据题意得：
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故答案为：32．
【点评】此题考查了用样本估计总体，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
14．某轨道列车共有4节车厢，乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一轨道列车，则甲和乙分别在相邻车厢的概率 　　 ．
【答案】．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，甲和乙分别在相邻车厢的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把4节车厢顺次记为A、B、C、D，画树状图如图所示：
共有16种等可能的结果，甲和乙分别在相邻车厢的结果有AB、BA、BC、CB、CD、DC共6种，甲和乙分别在相邻车厢的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15．如图，甲、乙两个转盘分别被平均分成4份与3份，每个转盘分别标有不同的数字．转动两个转盘，当转盘停止后，甲转盘指针指向的数字作为m，乙转盘指针指向的数字作为n，则为非负整数的概率为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】依据树状图分析所有等可能的情况数和为非负整数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等情况数，为非负整数的4种情况数，
则为非负整数的概率为；
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
16．在一个不透明的袋子中装有积分卡10张，这些积分卡除颜色、图案不同外其他都相同，其中红色积分卡4张，绿色积分卡6张．
（1）先从袋子中取出m（m＞1）张红色积分卡，再从袋子中随机取出1张积分卡，将“取出红色积分卡”记为事件A．请完成下列表格：
事件A 不可能事件 随机事件
m的值
　4　
　2或3　
（2）先从袋子中取出n张红色积分卡，再放入n张一样的绿色积分卡，并搅拌均匀，随机摸出1张积分卡是绿色的概率等于，求n的值．
【答案】（1）4；2或3；
（2）2．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出当m为何值时，事件A为不可能事件和随机事件；
（2）根据题意，可以列出关于n的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵一个不透明的袋子中装有仅颜色、图案不同的10张积分卡，其中红色积分卡4张，绿色积分卡6张，m＞1，
∴当m＝4时，事件A为不可能事件；
∵m＞1，
∴当m＝2或3时，事件A为随机事件，
故答案为：4；2或3；
（2）由题意可得，
，
解得n＝2．
故n的值为2．
【点评】本题考查概率、随机事件、不可能事件，解答本题的关键是明确不可能事件和随机事件的含义，求出相应的概率．
17．摩尔斯电码（又译为摩斯密码）是一种时通时断的信号代码，通过不同的排列顺序来表达不同的英文字母、数字和标点符号．它的表现形式可以是编码，可以是敲击声音，也可以是灯光，其中灯光是以光亮时间来表示长短信号，若短光对应的是字母S，长光对应的是字母O，请回答下列问题：
（1）若随机发射一组这样的长光或短光，信号对应为字母“S”的概率是 　　 ．
（2）S．O．S是国际摩尔斯电码救难信号，它的光线发射方法为：短光﹣长光﹣短光，若随机发射三组这样的长光或短光，请你求出救难信号发送成功的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）随机发射一组这样的长光或短光，短光出现的可能性是；
（2）利用树状图，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵随机发射一组这样的长光或短光，短光对应的是字母S，长光对应的是字母O，短光信号对应为字母“S”是两种情况中的一种，
∴信号对应为字母“S”的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如图所示，
∵每种情况出现的可能性相同，共有8种结果，
∴救难信号发送成功的概率为．
【点评】本题考查了概率的公式，正确画出树状图是解决问题的关键．
18．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
试验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽频数m 1 4 45 92 188 476 951 1900 2850
发芽频率 0 0.80 0.90 0.92 0.94 0.952 0.951 a b
（1）计算表中a、b的值；
（2）估计该麦种的发芽概率；
（3）如果该麦种发芽后，只有87%的麦芽可以成活，现有100kg麦种，则大约有多少千克的麦种可以成活为秧苗？
【答案】（1）0.95，0.95；（2）0.95；（3）82.67千克．
【分析】（1）用发芽频数除以实验种子数即可求得发芽频率；
（2）观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率；
（3）用小麦种子总重量乘以发芽率即可求得结果．
【解答】解：（1）计算表中a＝1900÷2000＝0.95，b＝2850÷3000＝0.95．
答：a、b的值分别为0.95，0.95；
（2）观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数0.95附近，
所以该麦种的发芽概率约为0.95．
答：该麦种的发芽概率为0.95；
（3）100×0.95×87%＝82.65kg．
答：大约有82.67千克的麦种可以成活为秧苗．
【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．
19．某单位组织员工进行新冠疫苗接种，现有A，B，C三辆车去医院，它们出发的先后顺序随机，财务科的王会计要早点出发，她只坐第一个出发的那辆车，张会计手上还有一些事务需要处理，她要坐第三个出发的那辆车．
请你运用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）这两人中，谁乘坐到A车的可能性大？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用树状图表示所有可能出现的结果情况即可；
（2）分别求出王会计、张会计乘坐A车的概率，进而得出结论．
【解答】解：（1）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
（2）王会计、张会计乘坐A车的可能性是相等的，
理由：王会计乘坐A车的可能性为：，
张会计乘坐A车的可能性为：，
因此王会计、张会计乘坐A车的可能性是相等的．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是求相应概率的关键．
20．有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 　　 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌正面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改游戏规则，使游戏公平．
【答案】（1）；
（2），修改规则见解答．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．
（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．
【解答】解：（1）共有4张牌，出的牌面图形是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种结果，每种结果出现的等可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A），
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形），
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．小明参加某个智力竞答节目，答对最后的两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 　　 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，建议小明在第 　第一　 题使用“求助”．（直接写出答案）
【答案】（1）；
（2）；
（3）第一题．
【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）根据概率公式分别求出第一次和第二次使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；
故答案为：；
（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（3）如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为；
如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为；
∵，
∴建议小明在第一题使用“求助”；
故答案为：第一．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
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