第22章 二次函数(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一、选择题
1．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c，若b+c＝0，则它的图象一定过点（　　）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
2．（3分）抛物线的形状、开口方向与yx2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y（x﹣2）2+1 B．y（x+2）2﹣1
C．y（x+2）2+1 D．y（x+2）2+1
3．（3分）直线y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限，则抛物线y＝﹣（x﹣a）2+b可以是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知二次函数y＝x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
5．（3分）二次函数y＝mx2﹣4x+m有最小值﹣3，则m等于（　　）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或4
6．（3分）函数y＝ax2+bx+c中，若ac＜0，则它的图象与x轴的位置关系为（　　）
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．不确定
7．（3分）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列五个代数式ab、ac、a﹣b+c、b2﹣4ac、2a+b中，值大于0的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣1
10．（3分）下列判断中唯一正确的是（　　）
A．函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝﹣ax2的图象开口向下
B．二次函数y＝ax2，当x＜0时，y随x的增大而增大
C．y＝2x2与y＝﹣2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的图象关于x轴对称
二、填空题
11．（3分）若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+（m+5）的顶点在y轴上，则m＝　 　 ．
12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线　 　 ．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与y轴交点是　 　 ，x轴交点是　 　 ．
14．（3分）抛物线y＝ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a＝　 　 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣1与x轴的交点及顶点构成的三角形的面积等于　 　 ．
16．（3分）已知二次函数的图象经过（1，0），（2，0），（0，2）三点，则该二次函数的解析式为 　 　 ．
17．（3分）已知点（2，6），（4，6）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是　 　 ．
18．（3分）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为　 　 ．
19．（3分）一个关于x的二次函数，当x＝2时，取得最小值﹣5，则这个函数的图象的开口一定　 　 ．
20．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4mx+m2的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，若△ABC的面积为4，则m＝　 　 ．
三、解答题
21．（6分）已知二次函数，当x＝﹣1时，函数的最小值为﹣3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．
22．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+4．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设两个交点间的距离为d，当m为何值时，d取得最小值？并求出最小值．
23．（12分）已知函数y．
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）写出函数图象最高点或最低点的纵坐标；
（3）函数图象与x轴交点的坐标；
（4）x为何值时，y随x的增大而减小．
24．（10分）某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成图象．请根据图象回答：
（1）第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（2）第三天12时这头骆驼的体温是多少？
（3）兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．
25．（8分）某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
26．（12分）如图，已知二次函数的顶点坐标为（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点在y轴上，
（I）求此二次函数的解析式．
（II）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过P点作x轴的垂线PC与（I）中的二次函数的图象交于Q点，设线段PQ的长为m，P点的横坐标为x，求出函数m与自变量x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（III）线段AB上是否存在一点，使（II）中的线段PQ的长等于5？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c，若b+c＝0，则它的图象一定过点（　　）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
【答案】B
【分析】分析解析式与方程可知：x＝1时可得到b+c的形式，再根据x＝1时y的值进行求解．
【解答】解：∵当x＝1时，
∴y＝﹣x2+bx+c
＝﹣1+b+c
即b+c＝y+1，
又∵b+c＝0，
∴x＝1时y＝﹣1，
故它的图象一定过点（1，﹣1）．
故选：B．
【点评】解决此题的关键是根据b+c＝0的形式巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．
2．（3分）抛物线的形状、开口方向与yx2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（　　）
A．y（x﹣2）2+1 B．y（x+2）2﹣1
C．y（x+2）2+1 D．y（x+2）2+1
【答案】C
【分析】抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．据此作答．
【解答】解：抛物线的形状、开口方向与yx2﹣4x+3相同，所以a．
顶点在（﹣2，1），所以是y（x+2）2+1．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线顶点坐标式表达时的顶点坐标．抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关．y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
3．（3分）直线y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限，则抛物线y＝﹣（x﹣a）2+b可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限可确定a，b的符号，从而确定二次函数的顶点坐标的位置，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限，
∴a＜0，b≥0，
又∵y＝﹣（x﹣a）2+b的顶点坐标为（a，b），
∴（a，b）在第二象限或x轴的负半轴上，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是要能根据y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限得出a和b的符号．
4．（3分）已知二次函数y＝x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【分析】由题意二次函数y＝x2+x+m知，函数图象开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，可以推出Δ＜0，从而解出m的范围．
【解答】解：已知二次函数的解析式为：y＝x2+x+m，
∴函数的图象开口向上，
又∵当x取任意实数时，都有y＞0，
∴有Δ＜0，
∴Δ＝1﹣4m＜0，
∴m，
故选：B．
【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，当函数图象与x轴无交点时，说明方程无根则Δ＜0，若有交点，说明有根则△≥0，这一类题目比较常见且难度适中．
5．（3分）二次函数y＝mx2﹣4x+m有最小值﹣3，则m等于（　　）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或4
【答案】A
【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵二次函数有最小值，
∴m＞0且3，
解得m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键．
6．（3分）函数y＝ax2+bx+c中，若ac＜0，则它的图象与x轴的位置关系为（　　）
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．不确定
【答案】C
【分析】若ac＜0，则必有Δ＝b2﹣4ac＞0，故函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．
【解答】解：若函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交，则y＝0，即ax2+bx+c＝0，有解，
∵ac＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数解，
因此函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个相交．
故选：C．
【点评】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系．
7．（3分）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　）
A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4
【答案】D
【分析】由抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），再将（2，8）代入求得a的值即可．
【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得
8＝a（2﹣1）（2+2），
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），
化简得，y＝2x2+2x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式的求法，注意函数解析式的设法．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列五个代数式ab、ac、a﹣b+c、b2﹣4ac、2a+b中，值大于0的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由函数图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，令y＝0，方程有两正实根，根据以上信息，判断五个代数式的正负．
【解答】解：从函数图象上可以看到，a＜0，b＞0，c＜0，令y＝0，方程有两正实根，
则①ab＜0；
②ac＞0；
③当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0；
④令y＝0，方程有两不等实根，b2﹣4ac＞0；
⑤对称轴x1，
∴2a+b＝0
故值大于0的个数为2．
本题选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断．
9．（3分）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣1
【答案】D
【分析】利用对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可．
【解答】解：∵y＝2（x+3）（x﹣1）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴对称轴为x
＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线的对称轴，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式．
10．（3分）下列判断中唯一正确的是（　　）
A．函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝﹣ax2的图象开口向下
B．二次函数y＝ax2，当x＜0时，y随x的增大而增大
C．y＝2x2与y＝﹣2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的图象关于x轴对称
【答案】D
【分析】利用二次函数的图象与a的关系逐项判断即可．
【解答】解：
A、若当a＜0时，则函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝﹣ax2的图象开口向上，故A不正确；
B、若a＞0时，则二次函数y＝ax2开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故B不正确；
C、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C不正确；
D、因为a和﹣a互为相反数，所以抛物线y＝ax2与y＝﹣ax2的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于x轴对称；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a与抛物线的关系是解题的关键．
二、填空题
11．（3分）若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+（m+5）的顶点在y轴上，则m＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据顶点在y轴上，对称轴x＝0，列出方程求出m．
【解答】解：根据题意知，对称轴x＝0，即0
解得m＝2．
【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系．
12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线　y＝﹣2（x+3）2﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先确定出抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵向左平移3个单位，向下平移两个单位
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣1），
∴所得到的抛物线解析式是y＝﹣2（x+3）2﹣1．
故答案为：y＝﹣2（x+3）2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定抛物线的变换是解题的关键．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与y轴交点是　（0，6）　 ，x轴交点是　（3，0），（2，0）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意令x＝0，可以求出抛物线与y轴的交点，令y＝0，得方程x2﹣5x+6＝0，解出x的值，从而求出抛物线与x轴的交点．
【解答】解：令x＝0得，y＝6，
∴抛物线y＝x2﹣5x+6与y轴交点是（0，6），
令y＝0得，x2﹣5x+6＝0，
解得x＝2或3；
故答案为（0，6），（3，0）、（2，0）．
【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
14．（3分）抛物线y＝ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a＝　﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知了抛物线顶点横坐标为3，即抛物线的对称轴方程为x3，将b的值代入即可求出a的值．
【解答】解：∵抛物线的顶点横坐标是3，
∴3，解得，a＝﹣2．
【点评】主要考查了二次函数的对称轴与系数之间的关系式，即对称轴公式为：x．
15．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣1与x轴的交点及顶点构成的三角形的面积等于　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由抛物线表达式求出与x轴和y轴的交点坐标，从而得出三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），
∵x＝0时y＝﹣1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣1），
∴三角形的面积为：2×1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，用到的知识点是二次函数的基本性质，关键是根据交点坐标求出三角形的底和高．
16．（3分）已知二次函数的图象经过（1，0），（2，0），（0，2）三点，则该二次函数的解析式为 　y＝x2﹣3x+2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，把三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出二次函数解析式．
【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把三点坐标代入得：
，
解得：a＝1，b＝﹣3，c＝2，
则二次函数解析式为y＝x2﹣3x+2，
故答案为：y＝x2﹣3x+2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．（3分）已知点（2，6），（4，6）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是　x＝3　 ．
【答案】x＝3．
【分析】根据抛物线具有对称性解答即可．
【解答】解：∵点（2，6），（4，6）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，
∴这条抛物线的对称轴是直线x3，
故答案为：x＝3．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握抛物线是关于对称轴x成轴对称．
18．（3分）抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为　a＞﹣1且a≠0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，可以得到b2﹣4ac＞0且a≠0，从而可以求得a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，
∴，
解得，a＞﹣1且a≠0，
故答案为：a＞﹣1且a≠0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
19．（3分）一个关于x的二次函数，当x＝2时，取得最小值﹣5，则这个函数的图象的开口一定　向上　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质直接解答即可．
【解答】解：因为二次函数有最小值，所以此二次函数的二次项系数a＞0，这个函数的图象开口一定向上．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质．
20．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4mx+m2的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，若△ABC的面积为4，则m＝　±2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设A、B两点坐标分别为（x1，0），（x2，0），用A、B的横坐标表示出A、B两点间的距离，再根据根与系数的关系，将AB用含m的代数式表示；利用公式求出抛物线顶点纵坐标，其绝对值即为△ABC的高，再根据三角形面积公式列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵x1+x2＝﹣＝2m，x1x2，
∴AB＝|x1﹣x2||m|，
又∵二次函数y＝2x2﹣4mx+m2的顶点纵坐标为﹣m2，
则△ABC的高是m2，
又∵△ABC的面积为4，
∴|m|m2＝4，
∴|m|3＝8，
∴|m|＝2，
∴m＝±2．
故答案为：±2．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点与两点间的距离，解答时要熟悉根与系数的关系、三角形的面积公式及抛物线的顶点坐标公式．
三、解答题
21．（6分）已知二次函数，当x＝﹣1时，函数的最小值为﹣3，它的图象经过点（1，5），求这个二次函数的表达式．
【答案】y＝2x2+4x﹣1．
【分析】设抛物线顶点式，然后将（1，5）代入解析式求解．
【解答】解：依题意，可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣3），设该二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣3，
∵它的图象经过点（1，5），
∴代入上式得5＝a （1+1）2﹣3，
解得a＝2．
故该二次函数的解析式为：y＝2（x+1）2﹣3＝2x2+4x﹣1．
【点评】本题考查求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的三种解析式．
22．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+4．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设两个交点间的距离为d，当m为何值时，d取得最小值？并求出最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算判别式的值，再利用配方法得到Δ＝（m+2）2+12，利用非负数的性质可得Δ＞0，然后根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数可得到结论；
（2）设抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0），利用根与系数的关系得到x1+x2＝m，x1 x2＝﹣（m+4），利用完全平方公式变形得到d＝|x1﹣x2|，所以d，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】（1）证明：Δ＝m2﹣4×（﹣1）×（m+4）
＝m2+4m+16
＝（m+2）2+12，
∵（m+2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）解：设抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0），则x1、x2为方程﹣x2+mx+m+4＝0的两根，
∴x1+x2＝m，x1 x2＝﹣（m+4），
∴d＝|x1﹣x2|，
当m＝﹣2时，d最小，最小值2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；由二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
23．（12分）已知函数y．
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）写出函数图象最高点或最低点的纵坐标；
（3）函数图象与x轴交点的坐标；
（4）x为何值时，y随x的增大而减小．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题已知二次函数的解析式的一般形式，从题目的问题可知，需要把一般式变形为顶点式，交点式解题．
【解答】解：（1）本题的二次函数不代表任何实际问题，x为全体实数；
（2）把二次函数解析式写成顶点式得：y（x﹣3）2﹣3，顶点为（3，﹣3），即最低点纵坐标是﹣3；
（3）令y＝0，解方程x2﹣3x0得：函数图象与x轴交点的坐标是（3，0），（3，0）；
（4）∵抛物线对称轴是直线x＝3，开口向上，∴当x＜3时，y随x的增大而减小．
【点评】解答此题的关键是求出顶点坐标，对称轴，与x轴的交点，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
24．（10分）某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成图象．请根据图象回答：
（1）第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（2）第三天12时这头骆驼的体温是多少？
（3）兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意：观察图象，找函数图象上升的范围及从最低到最高的横坐标的差即可得到答案；
（2）直接读取x＝12时，纵坐标的数值即可；
（3）根据图象，使用待定系数法，设出函数的解析式，找到函数过的特殊点，可求出答案．
【解答】解：（1）第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，
它的体温从最低上升到最高需要12小时；
（2）第三天12时这头骆驼的体温是39℃；
（3）观察可得：函数的对称轴为x＝16，且最大值为40，
故设其解析式为y＝a（x﹣16）2+40，
且过点（12，39）
将其坐标代入可得解析式为yx2+2x+24（10≤x≤22）．
【点评】本题考查利用图象获取信息的能力及二次函数的实际应用，要求学生会使用待定系数法求函数的解析式．
25．（8分）某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据矩形周长为12m，一边长为x，得出另一边为6﹣x，再根据矩形的面积公式即可得出答案．
（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法进行整理，可求出函数的最大值，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵矩形的一边长为x米，
∴另一边长为米，即（6﹣x）米，
∴S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x，
即S＝﹣x2+6x，其中0＜x＜6；
（2）根据（1）得：S＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+9，
则矩形一边长为3m时，面积最大为9m2，
则此时最大费用为9×1000＝9000（元）．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用以及矩形面积的计算公式，关键是根据矩形的面积公式＝长×宽列出关系式．
26．（12分）如图，已知二次函数的顶点坐标为（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点在y轴上，
（I）求此二次函数的解析式．
（II）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过P点作x轴的垂线PC与（I）中的二次函数的图象交于Q点，设线段PQ的长为m，P点的横坐标为x，求出函数m与自变量x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
（III）线段AB上是否存在一点，使（II）中的线段PQ的长等于5？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）已知抛物线的顶点坐标，可将该抛物线的解析式设为顶点式，要想用待定系数法求出抛物线的解析式，还需找出另外一点的坐标，显然直线AB与y轴的交点A是最好的选择，按此思路求解即可．
（Ⅱ）根据给出的P点横坐标，结合直线AB和抛物线的解析式，先表示出P、Q两点的坐标，它们纵坐标的差即为线段PQ的长．自变量的取值范围可由A、B两点的坐标来确定．
（Ⅲ）将PQ的长代入上题的函数解析式中，能得到一个方程，若方程有解即可得到符合条件的P点坐标；若方程无解，那么就不存在符合条件的P点．
【解答】解：（Ⅰ）由直线AB：y＝x+2 知，A（0，2）；
已知抛物线的顶点坐标为（2，0），可设其解析式为 y＝a（x﹣2）2，代入A点坐标得：
2＝a（0﹣2）2，a
∴抛物线的解析式：y（x﹣2）2x2﹣2x+2．
（Ⅱ）已知点P的横坐标为x，则P（x，x+2）、Q（x，x2﹣2x+2）；
则：PQ＝（x+2）﹣（x2﹣2x+2）x2+3x
由于点P在线段AB上移动，且不与A、B重合，所以 0＜x＜6；
综上，mx2+3x，0＜x＜6，
（Ⅲ）不存在．
理由：将PQ＝5代入（Ⅱ）的函数解析式中，得：
5x2+3x，化简得：x2﹣6x+10＝0
Δ＝36﹣40＜0
∴不存在符合条件的P点．
【点评】该题是较为简单的二次函数综合题，只要准确得到抛物线的解析式，后面的题目就能迎刃而解．第二小题要注意点的运动范围，以便正确的得到自变量的取值范围．
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