第22章 二次函数（提高卷.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一、选择题
1．函数y3与y2的图象的不同之处是（　　）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
2．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0）
3．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
4．A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y＝500（x+1）2 B．y＝x2+500
C．y＝x2+500x D．y＝x2+5x
6．若二次函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是n，最小值是m，则n﹣m＝（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
7．若二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2﹣1＝0的实数根为（　　）
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1，x2 D．x1＝﹣4，x2＝0
8．定义：若两个函数图象与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如y＝x2﹣4与y＝（x+1）（x﹣2）的图象与x轴的共同交点为（2，0），那么这两个函数就是“共根函数”．若y＝2x2﹣4x与y＝x2﹣3x+m﹣1为“共根函数”，则m的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b﹣a＞c
C．3a＞﹣c D．a+b＜m（am+b）（m≠1）
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为　 　 ．
12．将二次函数y＝x2的图象向左平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是　 　 （写出一个即可）．
13．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 　 　 ．
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 　 　 m．
15．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 　 　 ．
三、解答题
16．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由．
17．要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数表达式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
18．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣2 m 2 1 2 1 ﹣2 …
其中，m＝　 　 ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　 　 个实数根；
②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　 　 ．
19．如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心．（不考虑篮球大小和篮球的反弹）
探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心？
探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？
20．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表
时间t/天 1 3 10 20
日销售量m/件 98 94 80 60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：yt+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
21．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣3经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E．设点P的横坐标为m，连接PB，线段PD把△PEB分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4：5，求出m的值．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．函数y3与y2的图象的不同之处是（　　）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
【答案】C
【分析】根据二次函数a、b相同，可得开口方向、形状、对称轴的关系，可得答案．
【解答】解：y3与y2，
a，b＝0，
对称轴都是y轴，开口方向都向上，形状相同，
yx2+3的顶点坐标是（0，3），y2的顶点坐标是（0，﹣2），即它们的顶点坐标不同．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，利用了函数图象与a、b、c的关系，a相同函数的形状相同，开口方向相同．
2．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（﹣8，0） D．（﹣4，0）
【答案】B
【分析】利用待定系数法确定抛物线的解析式，令y＝0，解方程即可求得另一个交点．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），
∴（2﹣3）2+c＝0．
解得：c＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣1．
令y＝0，则（x﹣3）2﹣1＝0．
解得：x＝2或x＝4．
∴该抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
3．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【答案】B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
4．A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【分析】抛物线的对称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2，
由x，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的增减性、对称性是常考的知识点．
5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y元，则y与x之间的函数关系式为（　　）
A．y＝500（x+1）2 B．y＝x2+500
C．y＝x2+500x D．y＝x2+5x
【答案】A
【分析】根据两年后的本息和＝本金×（1+一年定期储蓄的年利率）×（1+一年定期储蓄的年利率），可得两年后的本息和y与年利率x的表达式是：y＝500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，据此解答即可．
【解答】解：∵人民币一年定期储蓄的年利率是x，
∴两年后的本息和y与年利率x的表达式是：y＝500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，
故选：A．
【点评】此题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
6．若二次函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是n，最小值是m，则n﹣m＝（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】把解析式化成顶点式，根据2≤x≤6求得函数的最大值和最小值，进一步求得n﹣m的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝6时，函数有最大值n＝36﹣36+5＝5，
当x＝3时，函数有最小值m＝﹣4．
∴n﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值，根据x的取值范围求得m的值和n的值是解题的关键．
7．若二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2﹣1＝0的实数根为（　　）
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1，x2 D．x1＝﹣4，x2＝0
【答案】A
【分析】先求出函数y＝ax2﹣1的解析式，求出和x轴的交点坐标，根据平移规律得出即可．
【解答】解：把（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2﹣1得：4a﹣1＝0，
解得：a，
所以二次函数的解析式为yx2﹣1，
当y＝0时，x2﹣1＝0，
解得：x＝±2，
即二次函数yx2﹣1与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（2，0），
所以把二次函数yx2﹣1向右平移2个单位得出二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1，
即关于x的方程a（x﹣2）2﹣1＝0的实数根为x＝4或x＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与x轴的交点问题，平移的性质等知识点，能求出二次函数与x轴的交点坐标是解此题的关键．
8．定义：若两个函数图象与x轴有一个共同的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”．如y＝x2﹣4与y＝（x+1）（x﹣2）的图象与x轴的共同交点为（2，0），那么这两个函数就是“共根函数”．若y＝2x2﹣4x与y＝x2﹣3x+m﹣1为“共根函数”，则m的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【答案】B
【分析】先求出y＝2x2﹣4x与x轴的交点坐标，分别代入函数y＝x2﹣3x+m﹣1中，求出m的值即可．
【解答】解：令y＝2x2﹣4x＝0，则x＝0或x＝2，
∴函数y＝2x2﹣4x与x轴的交点为（0，0），（2，0），
当两个函数同时过点（0，0）时，有0＝0﹣0+m﹣1，解得m＝1，
当两个函数同时过点（2，0）时，有0＝4﹣6+m﹣1，解得m＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题属于新定义类问题，解题关键是理解给出的定义，并对结果进行分类讨论．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．b﹣a＞c
C．3a＞﹣c D．a+b＜m（am+b）（m≠1）
【答案】B
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再由抛物线的对称轴是直线x＝1以及x＝﹣1时函数值小于0，便可解决问题．
【解答】解：由图象可知，
a＜0，b＞0，c＞0，
所以abc＜0．
故A错误．
当x＝﹣1时，函数值小于0，
即a﹣b+c＜0，
所以b﹣a＞c．
故B正确．
又抛物线的对称轴是直线x＝1，
则，即b＝﹣2a．
又a﹣b+c＜0，
所以3a＜﹣c．
故C错误．
由图象可知，
当x＝1时，函数有最大值为a+b+c．
则当x＝m（m≠1）时，函数值为am2+bm+c．
所以有a+b+c＞am2+bm+c．
即a+b＞m（am+b）．
故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称轴是直线x＝1是解题的关键．
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GHEJx，
∴yEJ GHx2．
当x＝2时，y，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
yFJ GH（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
二、填空题
11．已知y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为　﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握系数与次数是解题关键．
12．将二次函数y＝x2的图象向左平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是　y＝（x+1）2（答案不唯一）　 （写出一个即可）．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次函数平移规律得出符合题意的解析式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2的图象向左平移，
∴平移后所得图象对应的函数解析式可以是：y＝（x+1）2（答案不唯一）．
故答案为：y＝（x+1）2（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律“左加右减，上加下减”进而得出是解题关键．
13．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 　或﹣3　 ．
【答案】或﹣3．
【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，
解得：b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，
整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，
解得：b，
所以b的值为：﹣3或，
故答案为：或﹣3．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点的坐标，掌握翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的方法是解本题的关键．
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 　13.5　 m．
【答案】见试题解答内容
【分析】当y取得最大值时，飞机停下来，y＝60t（t﹣20）2+600，即当t＝20时，飞机滑行600米才停下来，当t＝17时，y＝586.5，即可求解．
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
y＝60t（t﹣20）2+600，
即当t＝20时，飞机滑行600米才停下来，
当t＝17时，y＝586.5，
600﹣586.5＝13.5，
故答案为13.5．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，本题要首先确定飞机最大滑行时间，然后确定最后3秒滑行的距离．
15．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 　（2，2）　 ．
【答案】（2，2）．
【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【解答】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，
理由：连接AC，由点的对称性知，MA＝MB，
△MAC的周长＝AC+MA+MC＝AC+MB+MC＝CA+BC为最小，
令y＝2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
令x＝0，则y＝6，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，6），
则函数的对称轴为x（1+3）＝2，
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣2x+6，
当x＝2时，y＝﹣2x+6＝2，
故点M的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
三、解答题
16．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；
（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由．
【答案】（1）y＝（x﹣3）2﹣3；
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由见解答部分．
【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；
（2）根据二次函数的最小值即可判断．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．
（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，
∴函数的最小值为﹣3，
∵﹣6＜﹣3，
∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．
17．要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数表达式；（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
【答案】（1）S＝﹣2x2+32x；
（2）x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．
【分析】（1）设AB边的长为x米，则BC＝32﹣2x，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质求最大值即可．
【解答】解：（1）由题意，得S＝AB BC＝x（32﹣2x），
∴S＝﹣2x2+32x．
（2）∵a＝﹣2＜0，
∴S有最大值．
∴x8时，有S最大128．
∴x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣2 m 2 1 2 1 ﹣2 …
其中，m＝　1　 ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程﹣x2+2|x|+1＝0有　2　 个实数根；
②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是　1＜a＜2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据对称可得m＝1；
（2）画出图形；
（3）①写函数的最大值和最小值问题；
②确定一个范围写增减性问题；
（4）①当y＝0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；
②当y＝a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．
【解答】解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）如图所示；
（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；
②当x＞1时，y随x的增大而减小；
（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点
∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；
故答案为：2；
②由图象可知：﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，
即y＝a时，与图象有4个交点，
所以a的取值范围是：1＜a＜2．
故答案为：1＜a＜2．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．
19．如图，在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心．（不考虑篮球大小和篮球的反弹）
探究一：若出手的角度、力度和高度都不变，则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心？
探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变，但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变，则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？
【答案】此球不能投至篮筐中心，理由见解析；
探究一：米；
探究二：米．
【分析】先根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出当x＝7时y的值即可判断；
探究一：设向前移动h米，得到，代入点（7，3）即可求出h的值；
探究二：设y＝m（x﹣4）2+4，代入点（7，3）即可求出m的值，然后求出当x＝0时y的值即可．
【解答】解：根据题意得抛物线的顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
∵抛物线过点（0，2），
∴16a+4＝2，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当x＝7时，，
∴此球不能投至篮筐中心；
探究一：设向前移动h米，由题意得，，
代入点（7，3）得，，
解得，（不合题意，舍去），
即小明朝着篮球架再向前移动米后投篮能将篮球投至篮筐中心；
探究二：设y＝m（x﹣4）2+4，
代入点（7，3）得，3＝m（7﹣4）2+4，
解得，
∴，
当x＝0时，，
∴，
即小明出手的高度需要增加米才能将篮球投至篮筐中心．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式，吃透题意是解题的关键．
20．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位/件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表
时间t/天 1 3 10 20
日销售量m/件 98 94 80 60
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元件）与时间t的函数关系式为：yt+25（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，通过销售记录发现．这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标即可求解；
（3）根据销售利润减去捐赠数等于单件利润乘以销售量列出解析式，并结合二次函数的性质和a＜4即可求解．
【解答】解：（1）设日销售量m关于时间t的一次函数为m＝kt+b，
将（1，98）（3，94）代入，得
，解得k＝﹣2，b＝100，
答：m关于t的函数关系式为m＝﹣2t+100．
（2）设日销售利润为w元，根据题意，得
w＝（t+25﹣20）（﹣2t+100）
（t﹣15）2+612.5
∵0，当t＝15时，w有最大值为612.5，
答：这20天中15天的日销售利润最大，最大的销售利润是612.5元．
（3）根据题意，得
w＝（t+25﹣20﹣a）（﹣2t+100）
t2+（15+2a）t+100（5﹣a）
∵二次函数开口向下，对称轴是t＝15+2a，
要使每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，t为整数，t＝20的点到对称轴的距离需小于t＝19的点到对称轴的距离，
必须15+2a＞19.5，
∴a＞2.25，
又a＜4，
∴2.25＜a＜4，
答：a的取值范围是2.25＜a＜4．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
21．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣3经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E．设点P的横坐标为m，连接PB，线段PD把△PEB分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4：5，求出m的值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）或．
【分析】（1）由直线y＝x﹣3求出C、B坐标，再将它们代入y＝x2+bx+c即可得抛物线解析式；
（2）线段PD把△PEB分成两个三角形，它们的底边都是PD，用面积之比等于高的比列方程即可得到答案．
【解答】解：（1）令直线y＝x﹣3＝0，x＝3，
令x＝0，y＝﹣3，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
把点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点E作EM⊥PD于点M，
∵点P的横坐标为m，
∴点P（m，m2﹣2m﹣3），点F（m，0），点D（m，m﹣3），
∴PD＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BF＝3﹣m，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝45°，
则∠BDF＝∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴（﹣m2+3m），
∵，，
∴，
①当时，；
②当时，．
综上所述，或．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是用m的代数式表示PD的长度以及用面积之比等于高的比处理这一道有公共边的面积比问题．
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