第23章 旋转(单元测试.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第23章 旋转
一、选择题
1．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转88°得到△AB'C'，若点B'恰好落到边BC上，则∠AB'C'的度数为（　　）
A．44° B．46° C．54° D．56°
2．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE．若DE∥AB，则n的值为（　　）
A．130 B．85 C．75 D．65
3．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．
4．（4分）下列图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
6．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同
B．点M（﹣2，1）与（2，﹣1）关于原点成中心对称
C．若点P（a，b）在x轴上，则a＝0
D．（﹣3，4）与（4，﹣3）表示两个不同的点
7．（4分）下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到 ABCD（如图），下列说法错误的是（　　）
A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到 ABCD
B．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到 ABCD
C．将△AOB绕点O旋转180°可以得到 ABCD
D．将△ABC沿AC翻折可以得到 ABCD
9．（4分）如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（　　）
A．（3038，1） B．（3032，1） C．（2021，0） D．（2021，1）
10．（4分）在平面直角坐标系中，如果点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（y﹣1，3﹣x），我们把点P′（y﹣1，3﹣x）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P的终结点为P1，点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn．若点P的坐标为（1，0），则点P2021的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，2） C．（1，4） D．（3，2）
二、填空题
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为　 　 ．
12．（4分）如图，已知正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转45°，得到线段CE，连接DE，CE．连接DE，AE，DC＝2，则AE的长为 　 　 ．
13．（4分）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 　 　 ．
14．（4分）若M（3，y）与N（x，y﹣1）关于原点对称，则xy的值为　 　 ．
15．（4分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　 　 种．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得△ACA1．将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则A2020的坐标为 　 　 ．
三、解答题
17．（8分）（1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征：　 　 ；　 　 ．
（2）在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征．
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣1，4）与点B（﹣3，2b+2）关于y轴对称，点C（5﹣a，2b）与点D关于原点对称．
（1）求出点A，B，C，D的坐标，并在图中描出这四个点；
（2）依次连接点A，C，D，求△ACD的面积．
19．（10分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）取BC中点P，连接PH，求证：PH∥CG；
20．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转α到△A'BC'的位置，AB与A'C'相交于点D，AC与A'C'、BC'分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA'D；
（2）当∠C＝α时，判断四边形A'BCE的形状，并说明理由．
21．（12分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2并求出点A2，B2，C2坐标．
22．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
23．（12分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积．
24．（14分）如图，等边△ABC中，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点O，交AC于点H，E是CH上一点，连接OE，将OE绕点O顺时针旋转60°得到OF，点F恰好落在BC边上．
（1）求证：△OHE≌△ODF；
（2）连接EF，若OE＝2，求HE的长．
第23章 旋转
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转88°得到△AB'C'，若点B'恰好落到边BC上，则∠AB'C'的度数为（　　）
A．44° B．46° C．54° D．56°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可求得AB＝AB′，∠AB′C′的度数．
【解答】解：由旋转的性质可知：AB＝AB′，旋转角∠BAB′＝88°，
∴∠B＝∠AB′C′，
∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠BB′A＝46°，
∴∠AB'C'＝46°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，掌握其性质定理是解题的关键．
2．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE．若DE∥AB，则n的值为（　　）
A．130 B．85 C．75 D．65
【答案】B
【分析】先根据旋转的性质得到∠CAE＝n°，∠E＝∠C＝20°，再根据平行线的性质得到∠EAB＝∠E＝20°，然后计算∠EAB+∠BAC即可得到n的值．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE．
∴∠CAE＝n°，∠E＝∠C＝20°，
∵DE∥AB，
∴∠EAB＝∠E＝20°，
∴∠CAE＝∠EAB+∠BAC＝20°+65°＝85°，
∴n＝85．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．
【答案】C
【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝EG＝11﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，
∴EG＝11﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，
解得x，
∴CE的长为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．（4分）下列图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而求解．
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即纵横坐标均互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（﹣3，1），
故选：C．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的两个点坐标之间的关系是得出正确答案的前提．
6．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同
B．点M（﹣2，1）与（2，﹣1）关于原点成中心对称
C．若点P（a，b）在x轴上，则a＝0
D．（﹣3，4）与（4，﹣3）表示两个不同的点
【答案】C
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的特征判断A；根据关于原点对称的点的坐标特点判断B；根据x轴上的点的特征判断C；根据点的坐标定义判断D．
【解答】解：A、平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同，本选项说法正确，不符合题意；
B、点M（﹣2，1）与（2，﹣1）关于原点成中心，本选项说法正确，不符合题意；
C、若点P（a，b）在x轴上，则b＝0，本选项说法错误，符合题意；
D、（﹣3，4）与（4，﹣3）表示两个不同的点，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．也考查了平行于x轴的直线上的点的特征，x轴上的点的特征，点的坐标定义．
7．（4分）下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移的性质即可进行判断．
【解答】解：根据平移的性质可知：能用平移变换得到的是选项B．
故选：B．
【点评】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质．
8．（4分）平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到 ABCD（如图），下列说法错误的是（　　）
A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到 ABCD
B．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到 ABCD
C．将△AOB绕点O旋转180°可以得到 ABCD
D．将△ABC沿AC翻折可以得到 ABCD
【答案】D
【分析】利用平移变换，旋转变换，翻折变换的性质一一判断即可．
【解答】解：A、将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到 ABCD，正确，本选项不符合题意．
B、将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到 ABCD，正确，本选项不符合题意．
C、将△AOB绕点O旋转180°可以得到 ABCD，正确，本选项不符合题意．
D、将△ABC沿AC翻折不可以得到 ABCD，错误，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解旋转变换，翻折变换，平移变换的性质．
9．（4分）如图所示，已知点A（﹣1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2021次，点A依次落在点A1，A2，A3，…，A2021的位置，则A2021的坐标是（　　）
A．（3038，1） B．（3032，1） C．（2021，0） D．（2021，1）
【答案】B
【分析】分析A1，A2，A3，A4，A5点坐标，找到规律求解．
【解答】解：根据图形分析，从A开始旋转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．
A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），
A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），
A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），
A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，2），
当A2021时，即4n+1＝2021，解得n＝505，
∴横坐标为6n+2＝6×505+2＝3032，纵坐标为1，
则A2021的坐标（3032，1），
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
10．（4分）在平面直角坐标系中，如果点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（y﹣1，3﹣x），我们把点P′（y﹣1，3﹣x）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P的终结点为P1，点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，Pn．若点P的坐标为（1，0），则点P2021的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，2） C．（1，4） D．（3，2）
【答案】B
【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P1的坐标为（﹣1，2），点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（3，2），点P4的坐标为（3，2），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2021＝4×505+1可判断点P2021的坐标与点P1的坐标相同．
【解答】解：根据题意得点P1的坐标为（﹣1，2），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（3，2），点P4的坐标为（1，0），…，
从P5开始，4个应该循环，
而2021＝4×505+1，
所以点P2021的坐标与点P1的坐标相同，为（﹣1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律．
二、填空题
11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为　（3，﹣2）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，由此确定点P′的坐标．
【解答】解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，
∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，
∴∠POP′＝∠AOB＝90°，
∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠PAO＝∠P′BO＝90°，
∴△OAP≌△OBP′（AAS），即P′B＝PA＝3，BO＝OA＝2，
∴P′（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
【点评】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形．
12．（4分）如图，已知正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转45°，得到线段CE，连接DE，CE．连接DE，AE，DC＝2，则AE的长为 　2　 ．
【答案】2．
【分析】连接AC，由旋转的性质得出∠DCE＝45°，DC＝CE＝2，由正方形的性质得出AB＝BC＝DC，∠ACD＝45°，得出∠ACE＝90°，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：连接AC，
∵将边CD绕点C顺时针旋转45°，
∴∠DCE＝45°，DC＝CE＝2，
∵四边形ABD是正方形，
∴AB＝BC＝DC，∠ACD＝45°，
∴AC＝2，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°，
∴AE2．
故答案为2．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，由旋转的性质得出∠ACE＝90°是解题的关键．
13．（4分）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 　6　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
14．（4分）若M（3，y）与N（x，y﹣1）关于原点对称，则xy的值为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于原点对称点的性质可得x＝﹣3，y﹣1＝﹣y，解出y的值，然后可得答案．
【解答】解：∵M（3，y）与N（x，y﹣1）关于原点对称，
∴x＝﹣3，y﹣1＝﹣y，
解得：x＝﹣3，y，
∴xy，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
15．（4分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有　5　 种．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：5．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得△ACA1．将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则A2020的坐标为 　（8082，2）　 ．
【答案】（8082，2）．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据等边三角形的性质可求出AD，BD的长度，进而可得出点A的坐标，再由旋转的性质可得出四边形ABCA1是平行四边形，结合点A的坐标及BC的值，即可得出点A1的坐标；根据平移的性质可找出点A2，A3，…的坐标，根据规律可得出点A2020的坐标．
【解答】解：∵边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，
∴OA＝BC＝4，∠AOC＝60°．
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∴BD＝DCBC＝2，AD＝2，
∴点A的坐标为（2，2）．
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得到△ACA1，
∴四边形ABCA1是平行四边形，
∴AA1＝BC＝4，AA1∥BC，
∴点A1的坐标为（2+4，2），即（6，2）．
∵将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，
∴点A2的坐标为（2+4×2，2），即（10，2）；
点A3的坐标为（2+4×3，2），即（14，2）；
……
由规律可得：点A2020的坐标为（2+4×2020，2），即（8082，2）．
故答案为：（8082，2）．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案、等边三角形的性质，旋转与平移的性质，正确求出A1，A2，A3的坐标，从而找出规律是解题的关键．
三、解答题
17．（8分）（1）观察图①～图④中阴影部分的图形，写出这4个图形具有的两个共同特征：　都是轴对称图形　 ；　面积都等于四个小正方形的面积之和　 ．
（2）在图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）应从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑；
（2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可，最简单的是相邻4个小正方形组成一个较大的正方形．
【解答】解：（1）答案不唯一，例如四个图案具有的共同特征可以是：
①都是轴对称图形；
②面积都等于四个小正方形的面积之和；
故答案为：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）答案示例：
．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同，有一定难度．
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣1，4）与点B（﹣3，2b+2）关于y轴对称，点C（5﹣a，2b）与点D关于原点对称．
（1）求出点A，B，C，D的坐标，并在图中描出这四个点；
（2）依次连接点A，C，D，求△ACD的面积．
【答案】（1）A（3，4），B（﹣3，4），C（3，2），D（﹣3，﹣2），在图中描点见解答；
（2）6．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的特点（横坐标互为相反数，纵坐标不变）可得a、b的值，进而得出点A、B、C的坐标，再根据原点对称的点的特点可得D点的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（2a﹣1，4）与点B（﹣3，2b+2）关于y轴对称，
∴2a﹣1＝3，2b+2＝4，
解得a＝2，b＝1，
∴点A、B、C的坐标分别为（3，4），（﹣3，4），（3，2），
∵点C与点D关于原点对称，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2），
如图所示：
（2）由（1）可得，△ACD的面积为：6．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于y轴对称的点的坐标以及三角形的面积，正确求出a、b的值是解答本题的关键．
19．（10分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．
（1）求证：BE平分∠AEC；
（2）取BC中点P，连接PH，求证：PH∥CG；
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）根据旋转的性质得到CB＝CE，求得∠EBC＝∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BEA，于是得到结论；
（2）过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得到AB＝BQ，求得CG＝BQ，根据全等三角形的性质得到BH＝GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CB＝CE，
∴∠EBC＝∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠BEA，
∴∠BEA＝∠BEC，
∴BE平分∠AEC；
（2）过点B作CE的垂线BQ，如图：
∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE，
∴AB＝BQ，
∴CG＝BQ，
∵∠BQH＝∠GCH＝90°，BQ＝AB＝CG，∠BHQ＝∠GHC，
∴△BHQ≌△GHC（AAS），
∴BH＝GH，即点H是BG中点，
又∵点P是BC中点，
∴PH∥CG．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转α到△A'BC'的位置，AB与A'C'相交于点D，AC与A'C'、BC'分别交于点E、F．
（1）求证：△BCF≌△BA'D；
（2）当∠C＝α时，判断四边形A'BCE的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋转的性质得到A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
（2）由旋转的性质得到∠A1＝∠A，根据平角的定义得到∠DEC＝180°﹣a，根据四边形的内角和得到∠ABC＝360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC＝180°﹣a，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B＝BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，
∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）；
（2）四边形A1BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，
∴∠A1＝∠A，
∵∠ADE＝∠A1DB，
∴∠AED＝∠A1BD＝a，
∴∠DEC＝180°﹣a，
∵∠C＝a，
∴∠A1＝a，
∴∠A1BC＝360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC＝180°﹣a，
∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∴A1B＝BC，
∴四边形A1BCE是菱形．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
21．（12分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2并求出点A2，B2，C2坐标．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，A2（2，﹣2），B2（0，﹣1），C2（1，﹣3）．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2（2，﹣2），B2（0，﹣1），C2（1，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，正确作出图形．
22．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用中心对称的两个三角形全等解决问题即可．
（2）求出AA′的取值范围，可得结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称
∴△A′BD≌△ACD，
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD，
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3，
在△AA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
【点评】本题考查中心对称，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，利用全等三角形的性质解决问题．
23．（12分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积．
【答案】（1）菱形，证明见解析；
（2）四边形ABDF的面积＝7．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DF∥AB，根据旋转的性质，BD∥AF，可证明四边形是平行四边形，再根据BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，可知BD＝AB，所以四边形是菱形；
（2）设OA＝x，OB＝y，构造方程求出2xy即可．
【解答】解：（1）四边形ABDF是菱形，理由如下：∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DF∥AB，
又∵△CDE绕点E旋转180度后得△AFE，
∴∠C＝∠FAE，
∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BD，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）如图，连接BF，AD交于点O，
∵四边形ABDF为菱形，
∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，
设OA＝x，OB＝y，
则有2x+2y＝8，x2+y2＝32，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝16，
∴2xy＝7，
∴SBF×AD＝2xy＝7．
【点评】本题考查了中心对称，三角形的面积，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质等相关知识，解题关键是掌握这些基本知识，并且熟练运用．
24．（14分）如图，等边△ABC中，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点O，交AC于点H，E是CH上一点，连接OE，将OE绕点O顺时针旋转60°得到OF，点F恰好落在BC边上．
（1）求证：△OHE≌△ODF；
（2）连接EF，若OE＝2，求HE的长．
【答案】（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）由角平分线的性质和等边三角形的性质得∠AHO＝∠BDO，BD＝AH，再由全等三角形的判定得△AOH≌△BOD，由全等三角形的性质可以得出△OHE≌△ODF；
（2）由（1）可以得出△OEF为等边三角形，由等边三角形的性质得∠OEH＝60°，即在直角△OEH中30°的角所对的直角边是斜边的一半即可得出HE的长．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AD是高，BH是∠ABC的角平分线，
∴AC＝BC，∠AHO＝∠EHO＝∠BDO＝∠FDO＝90°，BDBCAC＝AH，
又∵∠AOH＝∠BOD，
∴△AOH≌△BOD（AAS），
∴OH＝OD，
∵将OE绕点O顺时针旋转60°得到OF，
∴OE＝OF，
在Rt△OHE与Rt△ODF中，
，
∴Rt△OHE≌Rt△ODF（HL）；
（2）∵OE＝OF，∠EOF＝60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠OEF＝60°，
∵等边△ABC中，AD是高，∠ABC的平分线交AD于点O，
DCBCAC＝HC，
∴HC＝DC，
∵△OHE≌△ODF，
∴HE＝DF，
∴CE＝CF，
∠C＝60°，
△CEF是等边三角形，
∴∠FEC＝∠OEF＝60°，
∴∠OEH＝60°，
在Rt△OEH中，HEOE＝1．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解本题要熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等基本知识点．
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