第23章 旋转(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第23章 旋转
一、选择题
1．（4分）下列标志中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（2，0） C．（0，1） D．（3，1）
3．（4分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（　　）
A．10° B．20° C．7.5° D．15°
4．（4分）如图，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠A＝30°，OA＝4，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（　　）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
5．（4分）正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合…按这样的方式将正方形依次绕点H、M、E旋转后，正方形中与EF重合的是（　　）
A．AB B．BC C．CD D．DA
6．（4分）已知△ABC绕点C按顺时针方向旋转49°后得到△A1B1C，如果A1C⊥BC，那么∠A+∠B等于（　　）
A．41° B．149° C．139° D．139°或41°
7．（4分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（4分）如图，P是等腰直角△ABC外一点，∠ABC＝90°，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，求P′A：PB的值（　　）
A．1：3 B．1：2 C．3：4 D．2：3
9．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣4）则点A′的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，1）
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（　　）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
二、填空题
11．（5分）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这些图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　 　 ．
12．（5分）平面直角坐标系中，点P（3，2﹣a）与点Q（b+2，4）关于原点对称，则a+b＝　 　 ．
13．（5分）在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有　 　 个．
14．（5分）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C＝　 　 ．
15．（5分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，则图中阴影部分的面积等于 　 　 ．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是 　 　 ．
三、解答题
17．（8分）（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．
18．（8分）如图，在直角坐标系中，A（0，4）、C（3，0），
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB，B点的坐标为　 　 ；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y＝kx平分（1）中四边形ABCD的面积，实数k的值为　 　 ．
19．（8分）请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．
20．（10分）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x﹣y的值．
21．（10分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
23．（12分）已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE＝CD；
②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B（0，）．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．
第23章 旋转
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）下列标志中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项正确；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（2，0） C．（0，1） D．（3，1）
【答案】C
【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：如图，点P即为旋转中心，P（0，1），
故选：C．
【点评】本题考查旋转变换，记住对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心是解题的关键．
3．（4分）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（　　）
A．10° B．20° C．7.5° D．15°
【答案】D
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE＝60°，旋转的性质可得∠BCE1＝15°，然后求出∠BCD1＝45°，从而得到∠BCD1＝∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C＝∠ABC＝45°，再根据∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．
【解答】解：∵∠CED＝90°，∠D＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，
∴∠BCE1＝15°，
∴∠BCD1＝60°﹣15°＝45°，
∴∠BCD1＝∠A，
在△ABC和△D1CB中，
，
∴△ABC≌△D1CB（SAS），
∴∠BD1C＝∠ABC＝45°，
∴∠E1D1B＝∠BD1C﹣∠CD1E1＝45°﹣30°＝15°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．
4．（4分）如图，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠A＝30°，OA＝4，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（　　）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
【答案】B
【分析】根据含30°的直角三角形三边的关系得到OBOA＝2，ABOB＝2，则A点坐标为（2，2），再根据旋转的性质得到∠A′OA＝120°，OA′＝OA＝4，则∠A′OB＝60°，于是可判断点A′和点A关于x轴对称，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A′的坐标．
【解答】解：∵∠ABO＝90°，∠A＝30°，OA＝4，
∴∠AOB＝60°，OBOA＝2，ABOB＝2，
∴A点坐标为（2，2），
∵△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，
∴∠A′OA＝120°，OA′＝OA＝4，
∴∠A′OB＝60°，
∴点A′和点A关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
5．（4分）正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合…按这样的方式将正方形依次绕点H、M、E旋转后，正方形中与EF重合的是（　　）
A．AB B．BC C．CD D．DA
【答案】B
【分析】由于正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，则正方形ABCD的各边依次与正五边形EFGHM的各边重合，与EF重合的应该是正方形第五次与正五边形重合的边，即得到BC．
【解答】解：∵正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，
∴从BC与FG重合开始，正方形ABCD的各边依次与正五边形EFGHM的各边重合，
而与EF重合是正方形的边与正五边形的边第五次重合，
∴正方形中与EF重合的是BC．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了图形的规律探究．
6．（4分）已知△ABC绕点C按顺时针方向旋转49°后得到△A1B1C，如果A1C⊥BC，那么∠A+∠B等于（　　）
A．41° B．149° C．139° D．139°或41°
【答案】D
【分析】找出旋转角∠ACA1＝49°；然后利用垂直（A1C⊥BC）的定义知∠A1CB＝90°，则易求∠ACB；最后在△ACB中，利用三角形内角和定理即可求得（∠A+∠B）的值；同理，根据图2即可求得（∠A+∠B）的值．
【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转49°后得到△A1B1C，
∴∠ACA1＝49°．
又∵A1C⊥BC，
∴∠A1CB＝90°．
如图1，∠ACB＝∠A1CB﹣∠A1CA＝41°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝41°．
如图2，∠ACB＝∠A1CB+∠A1CA＝139°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝41°．
综上所述，∠A+∠B等于139°或41°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质．解题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，此题利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得形象化，降低了题的难度．
7．（4分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用轴对称图形的性质进而求出即可．
【解答】解：如图所示：符合题意的图形有3种．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的定义得出是解题关键．
8．（4分）如图，P是等腰直角△ABC外一点，∠ABC＝90°，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A：P′C＝1：3，求P′A：PB的值（　　）
A．1：3 B．1：2 C．3：4 D．2：3
【答案】B
【分析】连接AP，连接PP′，如图，设P′A＝x，P′C＝3x，根据旋转的性质得BP＝BP′，∠PBP′＝90°，则可判断△BPP′为等腰直角三角形，所以∠BP′P＝45°，则∠AP′P＝90°，接着证明△ABP≌△CBP′得到AP＝CP′＝3x，然后利用勾股定理计算出PP′＝2x，所以PB＝2x，从而得到P′A：PB的值．
【解答】解：连接AP，连接PP′，如图，设P′A＝x，P′C＝3x，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP＝BP′，∠PBP′＝90°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴∠BP′P＝45°，
∵∠AP′B＝135°，
∴∠AP′P＝90°，
∵∠ABP+∠ABP′＝90°，∠ABP′+∠CBP′＝90°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝CP′＝3x，
在Rt△APP′中，PP′2x，
∴PBPP′2x＝2x，
∴P′A：PB＝x：2x＝1：2．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
9．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣4）则点A′的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，1）
【答案】A
【分析】把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣3，由于平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，则A′点的对应点的坐标为（3，3），然后还原，把点（3，3）向下平移1个单位即可得到点A′的坐标．
【解答】解：把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，则平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣3），所以A′点的对应点的坐标为（3，3），把点（3，3）向下平移1个单位得点（3，2），即点A′的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．本题的关键是利用平移把图形转化为关于原点对称的图形．
10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是（　　）
A．4 B．6 C．2+2 D．8
【答案】B
【分析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝AC÷cos30°＝48，
BC＝AC tan30°＝44，
∵BC的中点为D，
∴CDBC4＝2，
连接CG，∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，
∴CGEFAB8＝4，
由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，
∴D、C、G三点共线时DG有最大值，
此时DG＝CD+CG＝2+4＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，根据三角形的三边关系判断出DG取最大值时是解题的关键．
二、填空题
11．（5分）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这些图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　平行四边形　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
而等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：平行四边形．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
12．（5分）平面直角坐标系中，点P（3，2﹣a）与点Q（b+2，4）关于原点对称，则a+b＝　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由点P（3，2﹣a）与点Q（b+2，4）关于原点对称，得
b+2＝﹣3，2﹣a＝﹣4．
解得b＝﹣5，a＝6，
a+b＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数得出a、b的值是解题关键．
13．（5分）在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有　4　 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心对称图形的概念对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①正方形是中心对称图形；
②长方形是中心对称图形；
③等边三角形不是中心对称图形；
④线段是中心对称图形；
⑤锐角，不是中心对称图形；
⑥平行四边形是中心对称图形；
所以，①②④⑥共4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
14．（5分）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C＝　105°　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用旋转的性质得AB＝AB′，∠BAB′＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠B＝∠AB′B＝75°，接着利用平行四边形的性质得到∠C＝105°．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′，点B′恰好落在BC边上，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°，
∴∠B＝∠AB′B（180°﹣30°）＝75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣75°＝105°．
故答案为105°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．
15．（5分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，则图中阴影部分的面积等于 　　 ．
【答案】．
【分析】由旋转的性质可得∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB＝1，可证△AFB′，△ADB和△BEF为等腰直角三角形，分别求出S△ADB，S△BEF的值，即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝45°，∠B′＝∠B＝45°，AB′＝AB＝1，
∴△AFB′是等腰直角三角形，
∴AD⊥BC，B′F⊥AF，AFAB′，
∴BF＝AB﹣AF＝1，
∵∠B＝45°，EF⊥BF，AD⊥BD，
∴△ADB和△BEF为等腰直角三角形，
∴AD＝BDAB，EF＝BF＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S△ADB﹣S△BEF
．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．
其中正确的是 　①②④　 ．
【答案】①②④．
【分析】首先根据旋转的性质可得∠FAD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF，接下来结合全等三角形的判定定理可得△AED≌△AEF；然后利用全等三角形的性质与勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，
∴∠FAD＝90°，DC＝BF，∠FBE＝90°，AD＝AF．
∵∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴EF＝ED．
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴BE2+DC2＝DE2．
∴①②④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题侧重考查关于旋转的题目，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质．
三、解答题
17．（8分）（1）如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将△ABC向绕点C逆时针旋转90°，得到△A'B'C'，请你画出△A'B'C'（不要求写画法）．
（2）如图2，已知点O和△ABC，试画出与△ABC关于点O成中心对称的图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转后A，B两点对应坐标，即可得出答案；
（2）根据中心对称图形的性质，连接AO，BO，CO，并延长，使OA″＝OA，C″O＝CO，B″O＝BO，再连接A″B″，B″C″，A″C″即可．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质以及中心对称图形的性质，根据已知得出对应点的位置是解题关键．
18．（8分）如图，在直角坐标系中，A（0，4）、C（3，0），
（1）①画出线段AC关于y轴对称线段AB，B点的坐标为　（﹣3，0）　 ；
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，请画出线段CD；
（2）若直线y＝kx平分（1）中四边形ABCD的面积，实数k的值为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连接AB即可；②根据轴对称的性质找出点A关于直线x＝3的对称点，即为所求的点D；
（2）对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD的形状，根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出AC的中点，代入直线计算即可求出k值．
【解答】解：（1）①如图，线段AB即为所求线段，点B的坐标为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）；
②如图，线段CD即为所求线段；
（2）由（1）知四边形ABCD是平行四边形，
∵直线y＝kx平分（1）中四边形ABCD的面积，
则直线y＝kx必过对角线的交点E，
∵点E坐标为（，2），
∴k，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，还考查了平行四边形的判定与性质，是基础题，要注意平分四边形面积的直线经过中心的应用．
19．（8分）请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析部分．
【分析】过圆心O，平行四边形的对称中心O′作直线l即可．
【解答】解：如图，直线l即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（10分）直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x﹣y的值．
【答案】2．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：根据题意，得（x2+2x）+（x+2）＝0，y＝﹣3．
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
∴x＝﹣1，y＝﹣3，
∴x﹣y＝2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
21．（10分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝CD，∠ADC＝90°，∠EA′D＝45°，则∠A′DE＝90°，再计算出∠A′ED＝45°，根据等角对等边可得A′D＝ED，即可利用SAS证明△ADA′≌△CDE；
（2）首先由AC＝A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE＝A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠A′DE＝90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D＝45°，
∴∠A′ED＝45°，
∴A′D＝ED，
在△AA′D和△CED中，
∴△ADA′≌△CDE（SAS）；
（2）由正方形的性质及旋转，得
CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°，又CE＝CE，
∴Rt△CEB′≌Rt△CED
∴∠B′CE＝∠DCE，
∵AC＝A′C
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段．
22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD∠BACα，求出∠BECα＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；
（3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°α＝15°，求出即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝90°α，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，
即∠ABD＝30°α；
（2）△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC＝BD，∠DBC＝60°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD∠BACα，
∵∠BCE＝150°，
∴∠BEC＝180°﹣（30°α）﹣150°α＝∠BAD，
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形；
（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°，
∴∠EBC（180°﹣150°）＝15°，
∵∠EBC＝30°α＝15°，
∴α＝30°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．（12分）已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE＝CD；
②△AMN是等腰三角形；
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAE＝∠CAD，又因为AB＝AC，AD＝AE，利用SAS可证出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．
（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．
【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM＝AN，即△AMN为等腰三角形．
（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．
理由：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM＝CN，
在△ABM和△ACN中，，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM＝AN，即△AMN为等腰三角形．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B（0，）．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；
（2）根据等边三角形的性质可得AO＝AA'，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AOAB，然后求出AO＝OA'，再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A'到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（3）方法1、根据旋转的性质可得BO＝OB'，AA'＝OA'，再求出∠AON＝∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
方法2、利用三角形的中线判断出S△AOB'＝S△B'OC，再判断出△A'OB≌△COB'，即S△A'OB＝S△COB'，即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，），
∴OA＝1，OB，
在Rt△AOB中，tan∠BAO，
∴∠BAO＝60°；
（2）∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OA'＝OAAB，
∴OA'＝AA'＝AO，
根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2，
（3）S1＝S2不发生变化；
方法1、理由：如图，过点A'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，
∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，
∴BO＝OB'，AO＝OA'，
∵∠AON+∠BON＝90°，∠A'OM+∠BON＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AON＝∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN＝A'M，
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2．
方法2、如图2，
在x轴正半轴上取一点C，使OC＝OA，连接B'C，
∴S△AOB'＝S△B'OC，
由旋转知，AO'＝AO，BO＝B'O，
∴OC＝OA'
∵∠BOC＝∠A'OB'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COB'，
∴△A'OB≌△COB'，
∴S△A'OB＝S△COB'，
∴S△A'OB＝S△AOB'，
即S1＝S2
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)