第25章 概率初步(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第25章 概率初步
一、选择题
1．（3分）下列事件是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
2．（3分）抛掷一枚均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，正面向上的频率约为（　　）
A．40% B．50% C．60% D．70%
3．（3分）一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（　　）
A．摸出的是白球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是红球 D．摸出的是蓝球
4．（3分）标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（　　）
A．12个黑球和4个白球 B．10个黑球和10个白球
C．4个黑球和2个白球 D．10个黑球和5个白球
5．（3分）抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．增加几次试验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大
B．增加几次试验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能缩小
C．试验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近
D．试验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率
7．（3分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到生物学科的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许保“双打”或“单打”中的一项，那么两人同时报单打的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，然后再摸出第二个球，则取出的两个球均为黑球的机会P1与取出的两个球为一红一黑的机会P2的关系为（　　）
A．P1＝P2 B．P1＝2P2 C．P1＝3P2 D．P2＝2P1
二、填空题
11．（3分）“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是 　 　 （填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）．
12．（3分）如果电视中天气预报说：“明天降雨的概率为90%”，那么你会选　 　 ．A．带上雨具；B．不带雨具．
13．（3分）从5张上面分别写着“学”“生”“学”“数”“学”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“数”字的概率是 　 　 ．
14．（3分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是　 　 ．
15．（3分）从圆、平行四边形、菱形、正五边形随机抽取一个图形，抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　 　 ．
16．（3分）如图，是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，则a　 　 b（从“＞”，“＝”或“＜”中任选一个）
17．（3分）在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是 　 　 ．
18．（3分）小明和小华想利用摸球来决定谁先去看电影，他们在袋中装了一个红球和一个白球，这两个球除颜色外完全相同，任意摸出一球，若摸出红球，则小明去看电影，若摸出白球，则小华去看电影，这个游戏对双方公平吗？　 　 ．
三、解答题
19．（6分）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）任意两个负数和小于0；
（2）一个三角形三边长分别为4，5，9；
（3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
（4）任意一个五边形的外角和是540度．
20．（6分）一只不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和5个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）会有哪些可能的结果？
（2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
21．（6分）有7张卡片，分别写有1～7这7个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．
（1）求抽到数字为偶数的概率；
（2）求抽到数字小于5的概率．
22．（6分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601
（1）请将表中的数据补充完整，
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是 　 　 ．（精确到0.1）
23．（6分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
（1）请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）；
（2）若第一次抽出后不放回，请直接写出求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．
24．（8分）一个不透明的袋子里装有三个分别标有数字﹣1、1、2的小球，除所标有的数字不同外，其它方面均相同，现随机从中摸取一个小球，记录所摸取的小球上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一个小球，记录小球上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率．
25．（8分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
第25章 概率初步
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列事件是随机事件的是（　　）
A．画一个三角形，其内角和是360°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误；
C、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确；
D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）抛掷一枚均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，正面向上的频率约为（　　）
A．40% B．50% C．60% D．70%
【答案】B
【分析】因为出现正反的可能性是相同，所以正面向上的概率为．而当抛掷的次数足够多时，正面向上的频率约等于正面向上的概率．
【解答】解：由于抛掷一枚均匀的硬币，正面向上的概率为，而当抛掷的次数足够多时，正面向上的频率约等于正面向上的概率，故正面向上的频率约为50%．
故选：B．
【点评】此题考查频率与概率的意义及相互关系．随机事件的频率是事件发生的次数与试验总次数的比值．概率是反映一个随机事件发生的可能性大小的数值，只有在大量重复试验的前提下得到的频率才可以近似地看作该事件发生的概率．
3．（3分）一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（　　）
A．摸出的是白球 B．摸出的是黑球
C．摸出的是红球 D．摸出的是蓝球
【答案】A
【分析】个数最多的就是可能性最大的．
【解答】解：因为白球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故选：A．
【点评】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等．
4．（3分）标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（　　）
A．12个黑球和4个白球 B．10个黑球和10个白球
C．4个黑球和2个白球 D．10个黑球和5个白球
【答案】A
【分析】分别计算出每个选项中摸到黑球的概率可得答案．
【解答】解：A、摸到黑球的概率为0.75，
B、摸到黑球的概率为0.5，
C、摸到黑球的概率为，
D、摸到黑球的概率为，
故选：A．
【点评】此题主要考查了可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出从4个盒子中摸到黑球的可能性各是多少．
5．（3分）抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】让朝上一面的数字是2的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【解答】解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为2的只有1种，
∴朝上一面的数字为2的概率为，
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．增加几次试验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能扩大
B．增加几次试验，事件发生的频率与这一事件发生的概率的差距可能缩小
C．试验次数很大时，事件发生的频率稳定在这一事件发生的概率附近
D．试验次数增大时，事件发生的频率越来越接近这一事件发生的概率
【答案】D
【分析】直接利用频率与概率的关系进而分析得出答案．
【解答】解：D、试验次数增大时，事件发生的频率不一定越来越接近这一事件发生的概率，故D选项说法错误，符合题意．
故A，B，C中的说法正确，不合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率的关系是解题关键．
7．（3分）如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，转盘停止后指针（指针指向分隔线，则重新转动转盘）落在红色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用红色区域面积除以整个圆面积即可得到红色区域的占比，即可得到答案；
【解答】解：由题意可得，，
故选：C．
【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是掌握P＝事件可能出现的结果÷所有可能结果．
8．（3分）某市初中学业水平实验操作考试要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到生物学科的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：如图所示：
，
一共有9种可能，符合题意的有1种，
故小华和小强都抽到生物学科的概率是：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键．
9．（3分）小芳和小丽是乒乓球运动员，在一次比赛中，每人只允许保“双打”或“单打”中的一项，那么两人同时报单打的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时报单打的只有1种，
∴两人同时报单打的概率为，
故选：A．
【点评】本题主要考查列表法和画树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
10．（3分）盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，然后再摸出第二个球，则取出的两个球均为黑球的机会P1与取出的两个球为一红一黑的机会P2的关系为（　　）
A．P1＝P2 B．P1＝2P2 C．P1＝3P2 D．P2＝2P1
【答案】D
【分析】用列表法或树形图分别表示出二者的概率，比较即可．
【解答】解：根据题列表得：
（红，黑） （红，黑） （黑，黑） （黑，黑）
（红，黑） （红，黑） （黑，黑） （黑，黑）
（红，红） （红，红） （黑，红） （黑，红）
（红，红） （红，红） （黑，红） （黑，红）
∴一共有16种情况，两个球均为黑球的有4种，两个球为一红一黑的有8种情况，
∴P1，P2
∴P2＝2P1．
故选：D．
【点评】考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
11．（3分）“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是 　必然事件　 （填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是必然事件，
故答案为：必然事件．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．（3分）如果电视中天气预报说：“明天降雨的概率为90%”，那么你会选　A　 ．A．带上雨具；B．不带雨具．
【答案】见试题解答内容
【分析】明天的降雨概率是90%，超过了50%，所以明天下雨的可能性很大．
【解答】解：根据概率的意义：明天的降雨概率是90%，所以明天下雨的可能性很大，因此我会选带上雨具，
故答案为：A．
【点评】此题主要考查了概率的意义，对于这类题目，判断的标准，是看预计的这种情况是否超过了一半，超过一半就说明可能性很大．
13．（3分）从5张上面分别写着“学”“生”“学”“数”“学”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“数”字的概率是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵5张卡片中有1张写有“数”字，
∴抽取一张恰好写有“数”字的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
【解答】解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
15．（3分）从圆、平行四边形、菱形、正五边形随机抽取一个图形，抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】从这4个图形中找到既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：在圆、平行四边形、菱形、正五边形这4个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆、菱形这2个图形，
所以抽到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及轴对称图形和中心对称图形的概念．
16．（3分）如图，是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，则a　＝　 b（从“＞”，“＝”或“＜”中任选一个）
【答案】见试题解答内容
【分析】分别利用概率公式将a和b求得后比较即可得到正确的选项．
【解答】解：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，
∴a，
∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b，
∴a＝b，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得a、b的值，难度不大．
17．（3分）在一个不透明的口袋中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是 　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意画出树状图列出所有可能情况，然后根据概率公式进行计算即可得解．
【解答】解：画出树状图为：
共有12种等可能情况，其中两个球都是红球的有2种情况，
所以P（两个球都是红球）．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，利用树状图列出所有可能情况是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（3分）小明和小华想利用摸球来决定谁先去看电影，他们在袋中装了一个红球和一个白球，这两个球除颜色外完全相同，任意摸出一球，若摸出红球，则小明去看电影，若摸出白球，则小华去看电影，这个游戏对双方公平吗？　公平　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用概率公式求出摸出红球的概率和摸出白球的概率，通过比较两概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：这个游戏对双方公平．理由如下：
任意摸出一球，摸出红球的概率，摸出白球的概率，
所以这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
三、解答题
19．（6分）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）任意两个负数和小于0；
（2）一个三角形三边长分别为4，5，9；
（3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
（4）任意一个五边形的外角和是540度．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐个判断即可．
【解答】解：（1）是必然事件；
（2）是不可能事件；
（3）是随机事件；
（4）是不可能事件．
【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件等知识点，能够理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是解此题的关键．
20．（6分）一只不透明的袋子中有2个红球，3个绿球和5个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）会有哪些可能的结果？
（2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）摸到每种球都有可能；
（2）哪种球的数量多可能性就大，否则就小．
【解答】解：（1）从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球；
（2）∵白球最多，红球最少，
∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）有7张卡片，分别写有1～7这7个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．
（1）求抽到数字为偶数的概率；
（2）求抽到数字小于5的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】根据概率公式解答即可．
【解答】解：（1）1，2，3，4，5，6，7中，偶数为2，4，6，抽到数字为偶数的概率为：P（偶数）；
（2）1，2，3，4，5，6，7中，小于5的数有1，2，3，4，抽到数字小于5的概率为：P（数字小于5）．
【点评】本题考查了概率公式，熟悉古典概型是解题的关键．
22．（6分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601
（1）请将表中的数据补充完整，
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是 　0.6　 ．（精确到0.1）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6．
【解答】解：（1）填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
故答案为：0.58，0.59；
（2）当n很大时，摸到白球的概率约是0.6，
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（6分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
（1）请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B）；
（2）若第一次抽出后不放回，请直接写出求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意画出树状图，求出所有的情况数和抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：（1）画树状图为：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，
所以P（两张都是“红脸”）．
（2）第一次抽出后不放回，抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率为．
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为树状图和概率，概率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
24．（8分）一个不透明的袋子里装有三个分别标有数字﹣1、1、2的小球，除所标有的数字不同外，其它方面均相同，现随机从中摸取一个小球，记录所摸取的小球上的数字后放回并搅匀，再随机摸取一个小球，记录小球上的数字，用列表法或树形图法求两次记录数字之和是正数的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】画树状图或列表展示所有9种等可能的结果数，再找出两次记录数字之和是正数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图：
或列表：
﹣1 1 2
﹣1 ﹣2 0 1
1 0 2 3
2 1 3 4
共有9种等可能的结果数，其中两次记录数字之和是正数的结果数为6，
所以P（两次记录数字之和是正数）．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（8分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意此实验室是放回实验；
【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸到卡片字母相同的概率为：；
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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