第22章 二次函数单元测试 (含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一、选择题
1．（3分）函数y＝ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则a的值为（　　）
A．0 B．1或9 C．0或9 D．0或1或9
2．（3分）无论m为何实数，二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（　　）
A．（1，3） B．（1，0） C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）
3．（3分）函数y＝x2+4x+4的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不存在
4．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），当x＝m和x＝n时，函数值相等，则m+n的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
5．（3分）已知二次函数y＝ax2的图象如图所示，则a满足条件（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
6．（3分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a≤2 C．a≤1 D．a≤2
7．（3分）抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x﹣2m与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），若||＝1，则m的值为（　　）
A． B．± C．0 D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0，②b＞0，③4a+2b+c＞0，④4ac＜b2．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知以M（﹣1，0）为圆心，1为半径的⊙M和抛物线y＝x2+6x+11，现有两个命题：
①抛物线y＝x2+6x+11与⊙M没有交点；
②将抛物线y＝x2+bx+11向下平移3个单位，则此抛物线与⊙M相交．
则以下选项正确的是（　　）
A．①正确②不正确 B．①不正确②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（3分）已知二次函数y＝（m﹣1）的图象开口向上，则m＝　 　 ．
12．（3分）二次函数y，当x1＞x2＞0时，试比较y1和y2的大小：y1　 　 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是　 　 ．
14．（3分）二次函数y＝（x﹣1）（x+3）的最小值是 　 　 ．
15．（3分）已知抛物线y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x＝2的两侧，则k的取值范围是　 　 ．
16．（3分）用配方法将二次函数y＝4x2﹣24x+26写y＝（x﹣h）2+k的形式是　 　 ．
17．（3分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　 　 ．
18．（3分）已知抛物线y＝mx2+2x﹣1与x轴有两个交点，则m的取值范围是　 　 ．
19．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 　 　 ．
20．（3分）二次函数y＝x2﹣ax+a﹣2，当a＝　 　 时，图象与x轴两交点的距离最小，最小距离为 　 　 ．
三、解答题
21．（12分）如图所示，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的解析式．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过A（﹣2，﹣3）和B（2，5）两点，求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标及对称轴．
23．（12分）已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+2k﹣1
（1）证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线与y轴交于点（0，5），求k的值．
24．（12分）某果品公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行调查统计，得到如下数据：
销售价x（元/kg） … 25 24 23 22 …
销售量y（kg） … 2000 2500 3000 3500 …
（1）在如图坐标系中作出各组有序数对（x，y）所对应点，连接并观察所得图象，判定y与x之间函数关系式，并求出y与x关系式．
（2）若樱桃进价为12元/kg，求销售利润P（元）与销售价x（元/kg）之间函数关系式，并求售价多少元时，利润最大？
25．（12分）某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图①，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其他的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现，由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面的面积越大，则它的容积越大．
（1）该小组通过多次尝试，最终选定表中的简便且易操作的三种横截面图形，图②是根据这三种横截面的面积y（cm2）与x（cm）（见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象，请你根据已有信息，在表中空白处填上适当的数、式子，并完成y取得最大值时的设计示意图：
横截面图形
y与x的函数关系式 yx2+30x
　 　 yx2x
y取最大值时x（cm）的值 30
　 　 20
y（cm2）取得的最大值 450
　 　
y取最大值时的设计示意图
（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图中“底角为60°的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法正确吗？请简要说明理由．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）函数y＝ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个公共点，则a的值为（　　）
A．0 B．1或9 C．0或9 D．0或1或9
【答案】D
【分析】根据函数y＝ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴只有一个交点，确定出a的值即可．
【解答】解：当a≠0时，
∵关于x的函数y＝ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝（﹣a+3）2﹣4a＝a2﹣10a+9＝0，
解得：a＝1或9，
当a＝0时，y＝3x+1，与x轴只有一个公共点，
综上，a的值为1或9或0．
故选：D．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
2．（3分）无论m为何实数，二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（　　）
A．（1，3） B．（1，0） C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）
【答案】C
【分析】无论m为任何实数，二次函数y＝x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点，即该定点坐标与m的值无关．
【解答】解：原式可化为y＝x2﹣（2﹣m）x+m＝x2﹣2x+m（1+x），
二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与m的值无关，
于是1+x＝0，解得x＝﹣1，
此时y的值为y＝1+2＝3，图象总过的定点是（﹣1，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是明确二次函数的图象总过该定点，即该定点坐标与m的值无关．
3．（3分）函数y＝x2+4x+4的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不存在
【答案】A
【分析】利用配方法将已知函数解析式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质解答．
【解答】解：由于y＝x2+4x+4＝（x+2）2，
所以该抛物线顶点坐标是（﹣2，0），且开口向上，
所以函数y＝x2+4x+4的最小值为0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
4．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），当x＝m和x＝n时，函数值相等，则m+n的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2
【答案】A
【分析】根据题意可得出m+n＝4，再把x＝m+n代入即可得出答案．
【解答】解：∵当x＝m和x＝n时，y的值相等，
∴am2﹣4am﹣3＝an2﹣4an﹣3，
解得：a（m﹣n）（m+n﹣4）＝0．
∵a≠0，m≠n，
∴m+n﹣4＝0，
即m+n＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，解题关键是得出m与n的关系式．
5．（3分）已知二次函数y＝ax2的图象如图所示，则a满足条件（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
【答案】A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0．
故选：A．
【点评】考查二次函数y＝ax2中，a由抛物线开口方向确定．
6．（3分）抛物线y＝ax2与直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a≤2 C．a≤1 D．a≤2
【答案】D
【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决了．
【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），
再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，
把A点代入y＝ax2得a＝2，
把B点代入y＝ax2得a，
则a的范围介于这两点之间，故a≤2．
故选：D．
【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．
7．（3分）抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x﹣2m与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），若||＝1，则m的值为（　　）
A． B．± C．0 D．
【答案】D
【分析】本题要分两种情况来解：一、两根相等时，即Δ＝0；二、两根互为相反数时，即2m﹣1＝0．
【解答】解：∵||＝1，
∴x1＝±x2，两根相等（不合题意舍去）或互为相反数，即2m﹣1＝0．
2m﹣1＝0时m．
故选：D．
【点评】二次函数和一元一次方程有以下关系：方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点；方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴有1个交点；方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0，②b＞0，③4a+2b+c＞0，④4ac＜b2．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．
【解答】解：①∵与y轴交于正半轴，所以c＞0，错误；
②∵开口向上，∴a＞0，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴0，
∴b＜0，错误．
③由图，当x＝2时，y＝0，
把x＝2代入解析式得：4a+2b+c＝0，错误．
④∵图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，正确．
所以其中正确的有④，故选A．
【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定．
9．（3分）已知以M（﹣1，0）为圆心，1为半径的⊙M和抛物线y＝x2+6x+11，现有两个命题：
①抛物线y＝x2+6x+11与⊙M没有交点；
②将抛物线y＝x2+bx+11向下平移3个单位，则此抛物线与⊙M相交．
则以下选项正确的是（　　）
A．①正确②不正确 B．①不正确②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】C
【分析】（1）把抛物线化为顶点坐标式，然后找出抛物线的顶点坐标，判定抛物线与圆有没有交点．（2）找出平移后的抛物线顶点的坐标，再判断抛物线与圆是否相交．
【解答】解：（1）y＝x2+6x+11＝（x+3）2+2；所以顶点坐标是（﹣3，2），抛物线开口向上，顶点在x轴上方；⊙M上最高点为（﹣1，1），所以抛物线y＝x2+6x+11与⊙M没有交点．
（2）y＝（x+3）2+2向下平移3个单位得：y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8；当y＝0时，x2+6x+8＝0，解得x＝﹣2或﹣4；所以抛物线与x轴有一交点是（﹣2，0），抛物线的顶点是（﹣3，﹣1），在圆的下方，抛物线开口向上，⊙M最左边点为（﹣2，0），所以抛物线与圆相交．
故选：C．
【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了圆的知识和考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别根据抛物线与直线所经过的象限判断出a、c的符号，进而可得出结论．
【解答】解：A、由抛物线知，a＜0，c＞0；由直线知a＞0，c＜0，a的值矛盾，故本选项错误；
B、由抛物线知，a＞0，c＜0；由直线知a＞0，c＞0，c的值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线知，a＞0，c＞0；由直线知a＜0，c＞0，a的值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线知，a＜0，c＞0；由直线知a＜0，c＞0，两结论一致，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象，熟知二次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
二、填空题
11．（3分）已知二次函数y＝（m﹣1）的图象开口向上，则m＝　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由解析式是二次函数，得m2﹣3m+2＝2，得m＝0或3，再由图象的开口向上，得m＞1，故排除m＝0，得m＝3．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）是二次函数，
∴m2﹣3m+2＝2
得m＝0或3，
又∵图象的开口向上，
∴m﹣1＞0，即m＞1，
∴m＝3．
【点评】本题综合考查二次函数的性质及定义，同学们要熟练掌握．
12．（3分）二次函数y，当x1＞x2＞0时，试比较y1和y2的大小：y1　＜　 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数图象上点的坐标得到y1，y2，然后根据x1＞x2＞0比较y1与y2的大小即可．
【解答】解：∵y1，y2，
∴x1＞x2＞0时，y1＜y2．
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是　（1，2）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．
14．（3分）二次函数y＝（x﹣1）（x+3）的最小值是 　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴函数最小值为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15．（3分）已知抛物线y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x＝2的两侧，则k的取值范围是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由a＝1＞0可知，抛物线的开口向上，因为抛物线与x轴的两个交点的坐标在x＝2的两侧，故当x＝2时，y＜0，从而可求得k的取值范围．
【解答】解：∵y＝x2+2kx﹣6与x轴有两个交点，两个交点分别在直线x＝2的两侧，
∴当x＝2时，y＜0．
∴4+4k﹣6＜0
解得：k；
∴k的取值范围是k，
故答案为：k．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意得到当x＝2时，y＜0是解题的关键．
16．（3分）用配方法将二次函数y＝4x2﹣24x+26写y＝（x﹣h）2+k的形式是　y＝4（x﹣3）2﹣10　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式．
【解答】解：y＝4x2﹣24x+26
＝4（x2﹣6x）+26
＝4（x2﹣6x+9﹣9）+26
＝4（x﹣3）2﹣10．
故答案为y＝4（x﹣3）2﹣10．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
17．（3分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　（，）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用待定系数法确定b、c的值，然后求得顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝x2+x﹣2＝（x）2，
∴顶点坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法确定二次函数的解析式，难度不大．
18．（3分）已知抛物线y＝mx2+2x﹣1与x轴有两个交点，则m的取值范围是　m＞﹣1且m≠0　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的定义及抛物线与x轴有两个交点，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣1与x轴有两个交点，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
故答案为：m＞﹣1且m≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
19．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 　﹣2＜x＜8　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图形可得，当﹣2＜x＜8时，二次函数图象在一次函数图象下方，y1＜y2，
所以，使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．
故答案为：﹣2＜x＜8．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．
20．（3分）二次函数y＝x2﹣ax+a﹣2，当a＝　2　 时，图象与x轴两交点的距离最小，最小距离为 　2　 ．
【答案】2；2．
【分析】根据根与系数的关系求得两交点距离，然后利用二次函数最值的求法解答．
【解答】解：设二次函数y＝x2﹣ax+a﹣2的图象与x轴两个交点为x1、x2，
则x1+x2＝a，x1 x2＝a﹣2．
二次函数两交点距离|x1﹣x2|．
所以当a﹣2＝0，即a＝2时，|x1﹣x2|有最小值，最小值是2．
故答案为：2；2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，求出抛物线与x轴的两交点坐标是解决问题的关键．
三、解答题
21．（12分）如图所示，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出点B、C的坐标，再运用顶点坐标式求抛物线的表达式．
【解答】解：当x＝0时，y＝2，所以B点的坐标是（0，2），
当y＝0时，x＝﹣2，所以A点的坐标是（﹣2，0），
∴OA＝OB，∴∠OAB＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OCB＝45°，
∴OC＝OB＝OA＝2，
∴C点的坐标是（2，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2，抛物线过B（0，2），
所以4a＝2，a，
因此抛物线的解析式为：y（x﹣2）2x2﹣2x+2．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题以及待定系数法求函数解析式的知识，解题的关键是使用顶点坐标式求二次函数的解析式，此题难度不大．
22．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过A（﹣2，﹣3）和B（2，5）两点，求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标及对称轴．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣3）和B（2，5）两点，将两点坐标代入二次函数解析式得方程组，求出方程组的解得到a的值，即可确定出二次函数的解析式．
（2）由（1）的解析式求得顶点坐标以及对称轴即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣3）和B（2，5）两点代入y＝ax2+bx+c得
，
解得；
所以二次函数的关系式为yx2+2x+c；
（2）二次函数的顶点坐标为（，），对称轴x．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
23．（12分）已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+2k﹣1
（1）证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线与y轴交于点（0，5），求k的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当Δ＞0时，抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）将（0，5）代入抛物线的解析式，从而得到关于k的一元一次方程，从而可求得k的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k﹣1）
＝k2+6k+9﹣8k+4
＝k2﹣2k+13
＝（k﹣1）2+12
∵（k﹣1）2≥0，
∴Δ＝（k﹣1）2+12＞0．
∴无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）将x＝0，y＝5代入得；2k﹣1＝5．
解得：k＝3．
故k的值为3．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，将函数问题转化为方程问题是解题的关键．
24．（12分）某果品公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行调查统计，得到如下数据：
销售价x（元/kg） … 25 24 23 22 …
销售量y（kg） … 2000 2500 3000 3500 …
（1）在如图坐标系中作出各组有序数对（x，y）所对应点，连接并观察所得图象，判定y与x之间函数关系式，并求出y与x关系式．
（2）若樱桃进价为12元/kg，求销售利润P（元）与销售价x（元/kg）之间函数关系式，并求售价多少元时，利润最大？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）认真作图、连线，根据图象判断函数关系，易求解析式；
（2）销售利润＝每千克的利润×销售量．根据函数性质求最值．
【解答】解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数．
设y＝kx+b，
∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，
∴，
解之得：，
∴y＝﹣500x+14500；
（2）P＝（x﹣12） y
＝（x﹣12） （﹣500x+14500），
＝﹣500x2+20500x﹣174000，
∴P与x的函数关系式为
P＝﹣500x2+20500x﹣174000，
∵P＝﹣500x2+20500x﹣174000，
＝﹣500（x）2+36125
∴当销售价为20.5元/千克时，能获得最大利润．
【点评】此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用以及待定系数法求一次函数解析式和数形结合求自变量的取值范围等知识，求二次函数最值是考查重点，利用数形结合得出是解题关键．
25．（12分）某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图①，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其他的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现，由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面的面积越大，则它的容积越大．
（1）该小组通过多次尝试，最终选定表中的简便且易操作的三种横截面图形，图②是根据这三种横截面的面积y（cm2）与x（cm）（见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象，请你根据已有信息，在表中空白处填上适当的数、式子，并完成y取得最大值时的设计示意图：
横截面图形
y与x的函数关系式 yx2+30x
　y＝﹣2x2+60x　 yx2x
y取最大值时x（cm）的值 30
　15　 20
y（cm2）取得的最大值 450
　450　
y取最大值时的设计示意图
（2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图中“底角为60°的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法正确吗？请简要说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x2+60x，15，450；图形见解答；（2）小华的说法不正确．理由见解答．
【分析】（1）结合图形，确定函数的解析式和最值；
（2）说法是否正确，可分析函数自变量在实际应用中的取值范围．
【解答】解：（1）∵横截面图形是矩形，
∴y＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，y最大，最大值为450，
故答案为：y＝﹣2x2+60x，15，450；
表中y取最大值时的设计示意图分别为：
（2）小华的说法不正确．
因为腰长x大于30cm时，符合题意的等腰梯形不存在，
所以x的取值范围不能超过30cm，
因此研究性学习小组画出的图象是正确的．
【点评】本题考查二次函数等知识，第（1）小题考查求函数的解析式和求函数的最值问题，第（2）小题其实涉及的是函数的自变量取值问题．
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