第22章 二次函数(单元培优.含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一、选择题
1．（4分）下列函数中，一定是二次函数是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1）
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y
2．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4）
C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）
3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+h）2+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，则当x＝0时，y的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣6 C．1 D．6
4．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（　　）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
A．抛物线开口向上
B．y的最大值为4
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当0＜x＜2时，2＜y
5．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论是（　　）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
6．（4分）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
7．（4分）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
8．（4分）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（﹣1，0），则下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2
B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，﹣3）
C．图象的顶点坐标D为（1，﹣4）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
9．（4分）如图，抛物线与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．4 B．2 C．6 D．8
10．（4分）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，正方形EFGH的面积最小时，AE的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．（4分）抛物线y（x+3）（x﹣1）的对称轴是　 　 ．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y有最大值为4，则m的值为　 　 ．
13．（4分）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为　 　 ．
14．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6的最小值是　 　 ．
15．（4分）已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣4，0），且函数有最小值﹣9，则二次函数的解析式为　 　 ．
16．（4分）某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度AB是10米时，水面到拱顶的高度OC是 　 　 米．
三、解答题
17．（8分）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
18．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）若点B（m，n）在该抛物线上，且﹣2＜m＜4，求n的取值范围．
19．（10分）如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现在可围的材料为32m长的木板，若设与墙平行的一边长为x m，仓库的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x＝4时，求y的值．
20．（10分）如图，点A、B在yx2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数yx2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　 　 个．
21．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值．
22．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为直线BC下方的抛物线上一动点，连接DC，DB，求△BCD面积的最大值．
23．（12分）某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的销售单价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝23时，y＝34；x＝25时，y＝30．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A型产品的销售单价是多少元？
（3）设该工厂销售A型产品所获得的利润为w万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
24．（14分）抛物线L：y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC＝2OB．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图，过定点的直线y＝kxk（k＜0）与抛物线L交于点E、F．若△DEF的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向下平移m（0＜m＜6）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N，G为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若△PMN与△POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）下列函数中，一定是二次函数是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1）
C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数逐个判断即可．
【解答】解：A、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；
C、化简后不含二次项，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解此题的关键．
2．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4）
C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）
【答案】B
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，可得答案．
【解答】解：∵抛物线为y＝2（x﹣1）2+4，
∴对称轴是直线x＝1，
顶点坐标（1，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，
3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+h）2+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，则当x＝0时，y的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣6 C．1 D．6
【答案】B
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x＝﹣3，进而可得h的值，从而可得函数解析式y＝﹣（x+3）2+3，再把x＝0代入函数解析式可得y的值．
【解答】解：由题意得：二次函数y＝﹣（x+h）2+3的对称轴为x＝﹣3，
故h＝3，
把h＝3代入二次函数y＝﹣（x+h）2+3可得y＝﹣（x+3）2+3，
当x＝0时，y＝﹣6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式y＝a（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h．
4．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（　　）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
A．抛物线开口向上
B．y的最大值为4
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当0＜x＜2时，2＜y
【答案】D
【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【解答】解：将点（0，2），（1，4），（3，2）代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+2＝﹣（x）2，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不合题意，
由顶点式可知y的最大值为，
∴B选项不合题意，
由解析式可知抛物线的对称轴为x，
∴当x，y随着x的增大而增大，
∴当x＞1时，y随x的增大先增大，到达最大值后，y随x的增大而减小，
∴C选项不合题意，
当x＝0时，y＝2，当x＝2时，y＝4，
又∵对称轴为x，
当x时，y，
∴当0＜x＜2时，2＜y，
故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．
5．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论是（　　）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据点A（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴方程得a与b的关系，即可判断③；根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断④；根据二次函数的对称性和增减性即可判断⑤．
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点（1，0），
故当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，故②错误；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故③正确；
④因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0．故④错误；
⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．（4分）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
【答案】D
【分析】先把抛物线y＝2x2﹣4x+1化为顶点式的形式，再根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，即可得出平移后解析式．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，
将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．也考查了配方法．
7．（4分）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的开口向下，对称轴是直线x3，
∴当x＞3时，y随x的增大而减小，P1（1，y1）关于称轴是直线x＝3的对称点是（5，y1），
∵3＜4＜5，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
8．（4分）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（﹣1，0），则下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2
B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，﹣3）
C．图象的顶点坐标D为（1，﹣4）
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线过A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，写出B的坐标，再由交点式写出解析式即可答案．
【解答】解：∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点B（3，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝2，故A选项不符合题意；
令x＝0，y＝﹣3，则C的坐标为（0，﹣3），故B选项不符合题意；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点D的坐标为（1，﹣4），故C选项不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，开口向上
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
而当x＞0时，y随x的增大而先减小后增大，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的对称性以及交点式是解决此题的关键．
9．（4分）如图，抛物线与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．4 B．2 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据题意可推出OB＝4，OA＝2，AD＝OC＝4，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），
∴OB＝4，OA＝2，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝4，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝2×4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．
10．（4分）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，正方形EFGH的面积最小时，AE的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】因为正方形ABCD的边长为3，设AE＝x，则BE＝3﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，设AE＝x，
∴BE＝3﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，
，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝3﹣x，
∴EF2＝BE2+BF2＝（3﹣x）2+x2＝2x2﹣6x+32，
∴正方形EFGH的面积S＝EF2＝2x2﹣6x+32＝2（x）2，
即：当x（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，
∴AE．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
二、填空题
11．（4分）抛物线y（x+3）（x﹣1）的对称轴是　x＝﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案．
【解答】解：
∵y（x+3）（x﹣1）（x2+2x﹣3）（x+1）2，
∴对称轴为x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），当﹣2≤x≤1时，函数值y有最大值为4，则m的值为　2或　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分m≤﹣2、m≥1和﹣2≤m≤1三种情况，根据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），
①若m≤﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m；
m2（舍去）；
②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得：m＝2；
③若﹣2≤m≤1，当x＝m时，y＝m2+1＝4，
即：m2+1＝4，
解得：m或m，
∵﹣2≤m≤1，
∴m，
故答案为：2或．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，能根据二次函数的顶点式确定最值是解答本题的关键，难度不大．
13．（4分）将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为　y＝2（x+1）2﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
14．（4分）二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6的最小值是　﹣6　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由二次函数的顶点式即可解答．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6，
∴最小值是﹣6；
故答案为﹣6．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，二次函数是初中数学最重要的考点之一，对于其顶点公式（，）必须熟记．
15．（4分）已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣4，0），且函数有最小值﹣9，则二次函数的解析式为　y＝x2+2x﹣8．　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9），则y＝a（x﹣h）2+k＝a（x+1）2﹣9，将（2，0）代入上式得0＝a（2+1）2﹣9，即可求解．
【解答】解：函数的对称轴为x（2﹣4）＝﹣1，
故抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝a（x+1）2﹣9，
将（2，0）代入上式得0＝a（2+1）2﹣9，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣9＝x2+2x﹣8．
故答案为：y＝x2+2x﹣8．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
16．（4分）某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度AB是10米时，水面到拱顶的高度OC是 　　 米．
【答案】．
【分析】根据题意，把x＝5直接代入解析式即可解答．
【解答】解：∵水面的宽度AB为10米，
∴B的横坐标为5，
把x＝5代入yx2，
得y，
∴B（5，），
∴OCm．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的解析式求值是解题关键．
三、解答题
17．（8分）已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【答案】（1）当m＝﹣2时，此函数是一次函数；
（2）当m≠﹣2且m≠0时，此函数是二次函数．
【分析】（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【解答】解：（1）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是一次函数，
∴m（m+2）＝0且m≠0，
解得：m＝﹣2；
当m＝﹣2时，此函数是一次函数；
（2）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是二次函数，
∴m（m+2）≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0，
当m≠﹣2且m≠0时，此函数是二次函数．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握一次函数以及二次函数的定义是解题的关键．
18．（8分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）若点B（m，n）在该抛物线上，且﹣2＜m＜4，求n的取值范围．
【答案】（1）a＝1，顶点坐标为（1，2）；
（2）2≤n＜11．
【分析】（1）将点A代入即可求出a的值以及抛物线解析式，再进行配方即可找到顶点坐标；
（2）根据抛物线的增减性即当x≤1时，y随着x的增大而减小，当x≥1时，y随着x的增大而增大，结合﹣2＜m＜4，即可找到n的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过点A（2，3），
∴a 22﹣2×2+3＝3，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴当x≤1时，y随着x的增大而减小，当x≥1时，y随着x的增大而增大，
∵﹣2＜m＜4，
∴当m＝1时，n＝2，
当m＝﹣2或4时，n＝11，
∴2≤n＜11．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式以及会找顶点坐标和理解抛物线的增减性是解题的关键．
19．（10分）如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现在可围的材料为32m长的木板，若设与墙平行的一边长为x m，仓库的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x＝4时，求y的值．
【答案】（1）yx2x（1≤x≤16）；
（2）58．
【分析】（1）直接利用已知表示出矩形的长与宽，进而得出函数关系式，再利用墙长16米，得出x的取值范围；
（2）直接利用x的值代入求出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：
yx（32+1﹣x）
x2x（1≤x≤16）；
（2）当x＝4时，
原式424
16+66
＝﹣8+66
＝58．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出矩形的宽是解题关键．
20．（10分）如图，点A、B在yx2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数yx2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　4　 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．
【解答】解：（1）∵点A、B在yx2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y2；
（2）在y2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21．（12分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线BC和抛物线解析式；
（2）先判断出点Q的位置，即可得出坐标；
（3）利用平行于y轴的直线上的两点之间的距离确定出函数函数关系式即可确定出最大值．
【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（5，0），C（0，5），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴交于点C（0，5），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）如图1，
∵点A，B是抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴的交点，
∴点A，B关于抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴x＝3对称，
∵抛物线的对称轴上的点Q，使得△QAC的周长最小，
∴点Q就是抛物线的对称轴与直线BC的交点，
∴Q（3，2）；
（3）如图2，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
∴A（1，0），B（5，0），
设点M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5），
∴N（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）
＝﹣m2+5m＝﹣（m）2，
∴当m时，MN最大是．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，解（2）的关键是利用对称点确定三角形周长最小时的点Q的位置，解（3）的关键是确定出MN的函数关系式．
22．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为直线BC下方的抛物线上一动点，连接DC，DB，求△BCD面积的最大值．
【答案】（1）二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）△BCD面积的最大值为．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，
解得：，
此二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y＝kx+b，
将点B（3，0）点（0，3）代入函数解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+3，
过点D作DE∥y轴，交直线BC与E，
设点D横坐标为t，
则点D（t，t2﹣4t+3），点E（t，﹣t+3），
∴DE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，
∴S△BCD＝S△BDE+S△CDE（﹣t2+3t）×3（t）2，
∵0，
∴当t时，△BCD面积最大，最大值为．
∴△BCD面积的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
23．（12分）某工厂生产A型产品，每件成本为20元，当A型产品的销售单价为x元时，销售量为y万件．要求每件A型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝23时，y＝34；x＝25时，y＝30．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A型产品的销售单价是多少元？
（3）设该工厂销售A型产品所获得的利润为w万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，自变量x的取值范围是20≤x≤28；
（2）每件A型产品的销售单价是27元；
（3）该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元．
【分析】（1）利用待定系数法可以求解析式，利用题目要求可以直接写出x的范围；
（2）令总利润为182万元建立方程求解即可；
（3）建立关于w的函数解析式，利用二次函数的图象与性质即可求出当20≤x≤28时w的最大值以及x的值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
∵当x＝23时，y＝34；x＝25时，y＝30，
，
解得：，
则y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80；
∵每件A型产品的销售单价不低于20元且不高于28元，
∴20≤x≤28，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，自变量x的取值范围是20≤x≤28；
（2）∵每件产品的利润为（x﹣20）元，
∴y万件的利润为（x﹣20）（﹣2x+80）＝182，
∴x1＝27，x2＝33，
∵20≤x≤28，
∴x＝27，
∴每件A型产品的销售单价是27元；
（3）W＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2（x﹣30）2+200，
由于﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝30，
∵20≤x≤28，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝28时，（万元），
∴该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元．
【点评】本题考查了一次函数、一元二次方程以及二次函数的应用——产品销售问题，解题关键是读懂题意，能正确建立方程求解，能正确列出表达式，利用二次函数的图象与性质求解．
24．（14分）抛物线L：y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC＝2OB．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图，过定点的直线y＝kxk（k＜0）与抛物线L交于点E、F．若△DEF的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向下平移m（0＜m＜6）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L1于另一点N，G为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若△PMN与△POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；
（2）k＝﹣3；
（3）①当时，点P的坐标为（0，）或（0，）
②当时，点P的坐标为（0，）或（0，1）
【分析】（1）根据抛物线先求出A、B两点坐标，再根据C点坐标构造方程求解可得；
（2）根据直线y＝kxk（k＜0）知直线所过定点G坐标为（，），从而得出DG＝2，由S△DEF＝S△DGF﹣S△DGEDG （x2﹣2）DG （x1﹣2）DG （x2﹣x1）得出x2﹣x1＝1，联立直线和抛物线解析式求得x的值，根据x2﹣x1＝1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+x﹣6﹣m，m＞0，知M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），由△PMN和△GOP相似，分两种情况∠MPN+∠OPG＝90°和∠MPN＝∠OPG，当△PMN∽△POG，当∠OPG＝∠MPN＝∠MNP＝∠OGP时由对应边成比例得出关于n与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）令y＝0，
则y＝ax2﹣ax﹣6a＝a（x2﹣x﹣6）＝a（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3，
∴OA＝2，OB＝3，
∵y＝ax2﹣ax﹣6a，x＝0，y＝﹣6a，
∴OC＝﹣6a，
∴OC＝2OB，
∴﹣6a＝6，
∴a＝﹣1，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+x+6；
（2）∵过定点G的直线y＝kxk（k＜0），
∴yk（x），
∴，
∴定点坐标为G（，），
∴y＝﹣x2+x+6，D（，），
设E（x1，x1+6），F（x2，x2+6），
∴DG＝2，
∵S△DEF＝S△DGF﹣S△DGEDG （x2﹣2）DG （x1﹣2）DG （x2﹣x1）2×（x2﹣x1）＝1，
∴x2﹣x1＝1，
联立方程组，
得：x2+（k﹣1）xk0，
解得：x1，x2，
∴x2﹣x11，
解得k＝±3，
∵k＜0，
∴k＝﹣3；
（3）设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+x﹣6﹣m，m＞0，
∴M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），G（，0），
设P（0，x），
①当△PMN∽△GOP时，
，
∴，
即﹣x2+（6﹣m）x①，
②当△PMN∽△POG时，
，
，
即（6﹣m﹣x）＝x ②，
当方程①有两个相等的实根时，
Δ＝0，（6﹣m）2﹣2＝0，m＝6，（66，舍去），
x1＝x2，
方程②中x，
∴m＝6，P的坐标为（0，）或（0，），
当方程①有两种不同实根时，
将②代入①得：
8mm2，
m或（舍去），m6（不符合题意），
∴方程①的解：
x1＝1，x2（舍去），
方程②的解：x，
当m时，点P的坐标为（0，）或（0，1），
综上所述，当m＝6时，点P的坐标为（0，）或（0，）；当m时，点P的坐标为（0，）或（0，1），此时△PMN和△GOP相似．
【点评】本题主要考查二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点，解题时，注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用，难度较大．
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