2026届高三数学阶段检测四(B)卷（含解析）

2026届高三数学阶段检测四(B)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知非零向量的夹角的余弦值为，且，则( )
A. B. C. D.
3.设数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.若正数，，满足为自然对数底数，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，动点满足，若，则直线为原点斜率的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设圆上两点，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知，且，若定义，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于，两点现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后，两点的对应点分别为，，且若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则( )
A. B. 函数为偶函数
C. 满足条件的正实数，存在且唯一 D. 是周期函数，且最小正周期为
10.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，，若为其图象上任意一点，则( )
A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为
C. 点是它的一个焦点 D.
11.已知，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是虚数单位，复数，则的共轭复数 ．
13.已知点，，若直线过且平分的面积，则被外接圆截得的弦长为 ．
14.已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为 ，的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
证明：
若的面积为，求C.
16.本小题分
已知且，函数．
当时，求的单调区间；
若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于．
若，求抛物线的焦点坐标；
若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．
18.本小题分
已知数列的前项和，数列的前项和为．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和；
证明：．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作圆锥曲线一书中指出：平面内动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程
如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，点在轴上方，点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
求的取值范围
若外接圆的周长为，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由 ，则 ，
由 ，则 ，即 ，故 ，
所以是的必要不充分条件．
故选：
2.【答案】
【解析】因为，则，
可得，
由题可知，的夹角的余弦值为，则，
原式整理得，
因为，为非零向量，将等式两边同时除以，
得，解得舍或．
3.【答案】
【解析】由题可知，，令时，，
所以，
所以，即，
所以是等比数列，首项为，公比为，
所以，所以，
故答案为．
4.【答案】
【解析】令，显然在上单调递增，
又，，为正数，所以，即，所以，
令，则在上单调递增，又，即，所以，
综上可得．
故选：．
5.【答案】
【解析】由题意得，所以点的轨迹是以线段为直径的圆，圆心为，半径，
设，由，知为的中点，所以，
所以，
设，显然是圆的一条切线，另一条切线的斜率即为的最大值，
设直线的倾斜角为，则，
由对称性，．
故选：．
6.【答案】
【解析】设，，，，，
由，
可得，
即，
即，
因为，，
所以，，
又，，
所以，，
即，，
所以，，
所以，
故选：．
7.【答案】
【解析】设，，，垂直于直线，
为垂足，为抛物线的焦点，则，
所以，
设函数，而，易得点在函数的图象上，且函数在点处的切线方程为，
此时直线垂直切线方程为，且垂足为，
则得，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】，将代入双曲线方程，可得，
，由题意可知，，均为等腰三角形，
且，，
在中，，
在中，，
，
，
解得：．
故选：．
9.【答案】
【解析】由函数的部分图象可知，
且的最大值为，
则，解得：，故A正确；
则，
由图像可得：，即，
又，，
由五点描图法可得：，，
即，，又，得，
，周期，
，故B错误，C正确，D正确；
故选ACD．
10.【答案】
【解析】因为反比例函数的图象是双曲线，且渐近线为轴和轴，
所以渐近线的夹角为，所以是等轴双曲线，对称轴为，离心率为，故A，B正确；
设和相交于，两点，
由，可得
不妨取，
故为原点，
所以，所以，
而焦点在直线上，所以焦点坐标为和，故C错误；
由，且焦点为，，为图象上任意一点，
所以，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】对于、，分别作、、、的图象，
如图，点横坐标为，点横坐标为，，，
与的图象关于直线对称、与的图象关于直线对称，
所以点与关于直线对称，线段中点在直线上，
则，即，
令，，则单调递增，
，则，
因为，，
后式减前式，得，故A正确，B错误；
对于，由，得，则，
，
又，矛盾，故C错误；
对于，，
令，，
则，
单调递增，故，即，D正确．
12.【答案】
【解析】复数
，
则的共轭复数，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】如图，
据题意，，，
则且，
得是一个等腰直角三角形，所以其外接圆圆心就是的中点，
设为，则，且为直径，所以半径为，
则外接圆方程为，
过的直线平分的面积，，因是三形的一个顶点，
则过的中点，易得的方程为，即，
则到直线：距离为，
则被外接圆截得的弦长为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】方法一：的边数至多为，延长交于点，延长交于点，连接分别与交于，连接得截面五边形．
设，，
，，
，，，
，，
，
而，，
，显然五边形时截面面积最大，
，时取“”，
面积的最大值为．
方法二：取中点，，平面．
作平面与平行，如图至多为五边形．
令，，，
，，
，．
，
与的夹角为与夹角，而与垂直，
，，
时，取最大值．
15.【解析】根据正弦定理设，
则，
代入，得，
即，
整理得，
由，得，
所以．
由面积公式得，
由正弦定理得，
整理得，
由，得，
由得，
由平方关系得
解得或
因为，
所以，
所以．
16.【解析】，
求导，
，
令，即，此时单调递减，
单调递增区间为，单调递减区间为；
，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
故．
17.【解析】当，则，则抛物线的焦点坐标，
当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，
由题意可设直线：，点，
将直线的方程代入椭圆：得
，
为线段的中点，
点的纵坐标，
将直线的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
18.【解析】当时，，，
两式相减：；
当时，，也适合，
故数列的通项公式为；
由题意知：，，
，
，
两式相减可得：，
即，，
．
，显然，
即，；
另一方面，，
即，，，，
，
即：．
19.【解析】设，由题意常数，
整理得，
故，又，解得，，
，椭圆的方程为
由，又，
，或由角平分线定理得
令，则，
设，则有，
又直线的斜率，则，
代入，得，
即，
，，
，
由知，，
由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点的阿波罗尼斯圆上，且圆心在直线上
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得，
又外接圆的周长为，故，
，
又，
，
解得，，
，
直线的方程为．
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