2025-2026学年高一数学上学期第一次月考模拟试卷（含答案）

2025-2026学年高一数学上学期第一次月考模拟试卷
（测试范围：必修第一册第一、二章）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1.已知集合A={x∈N|-1A．{2} B．{0,1,2,3} C．{2,3} D．{1,2,3}
2.已知命题p:x<1，x2≤1，则命题p的否定为（ ）
A.x≥1，x2>1 B.x<1，x2>1
C.x<1，x2>1 D.x≥1，x2>1
3.下列各组中的M、P表示同一集合的是（ ）
①M={3，-1}，P={（3，-1）}；
②M={（3，1）}，P={（1，3）}；
③M={y|y=x2-1}，P={t|t=x2-1}；
④M={y|y=x2-1}，P={（x,y）|y=x2-1}．
A．① B．② C．③ D．④
4.设a，bR，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>3}，则下列结论正确的是（ ）
A．a>0 B．c＜0
C．a+b+c＜0 D．cx2-bx+a＜0的解集为{x|-6.若不等式1A．[5，10] B．（5，10）
C．[3，12] D．（3，12）
若正实数x，y满足x+y=1，且不等式+m<-3或m> B.m<-或m>3 C.-已知x>0，y>-1，且x+y=1，则+最小值为（ ）
A. B.2+ C.2 D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列说法正确的是（ ）
A.> B.a-c>2b C.a3 >b3 D.ab+bc>0
10.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下示：已知A={x|x=3n+2，n∈N*}，B={x|x=5n+3，n∈N*}，C={x|x=7n+2，n∈N*}，若x∈（A∩B∩C），则下列选项中符合题意的整数x为（ ）
A．8 B．23 C．37 D．128
11.已知x，y均为正实数，则（ ）
A.的最大值为 B．若x+y=4，则x2+y2的最大值为8
C.若+y =1，则x+的最小值为3+2 D．若x2+y2=x-y,则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12.已知集合A={m+2,2m2+m}，若3∈A，则m的值为___________.
13.若关于x的不等式x2-（a+1）x+a<0的解集中，恰有3个整数，则实数a的取值范围是______________.
14.已知正实数a，b满足+=1，则ab的最大值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知集合A={x|x<0或x>2}，B={x|a≤x≤3-2a}，
（1） 若AUB=R， 求实数a的取值范围;
（2） 若BCRA， 求实数a的取值范围.
16.已知m∈R．
（1）若x∈R时，不等式mx2-mx-1＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）求解上述不等式：mx2-mx-1＜0．
17.设a＞0，b＞0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
18.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中的阴影部分，这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．
（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；
（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．
19.问题：正实数a，b满足a+b=1，求+的最小值.其中一种解法是：+=（+）（a+b）=1+++2≥3+2，当且仅当=且a+b=1时，即a=-1且b=2-时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足x+y=1，求+的最小值；
（2）若实数a，b，x，y满足－＝1，求证：a2-b2≤（x-y）2；
（3）求代数式M=-的最小值，并求出使得M最小的m的值.
【答案】
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.BC 10.BD 11.ACD
12.- 13.[-3，-2）U（4,5] 14.2-
15.解：（1）因为A={x|x＜0或x＞2}，B={x|a≤x≤3-2a}，A∪B=R，所以解得a≤0
所以实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）A={x|x＜0或x＞2}，CRA={x|0≤x≤2}，B CRA①当B= 时，3-2a＜a,解得a＞1，②当B≠ 时，3-2a≥a,即a≤1，则解得≤a≤1 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥}．
16.解：（1）①当m=0时，原不等式即：-1＜0，符合题意；②当m≠0时，不等式mx2-mx-1＜0恒成立，必有：，解得：-4＜m＜0，综上：实数m的取值范围为：{m|-4＜m≤0}；
Δ=m2+4m,当m＜-4时，Δ=m2+4m＞0，由mx2-mx-1＜0可得：x<或x>
当m=-4时，Δ=m2+4m=0，由mx2-mx-1＜0可得：x≠；
当-4＜m≤0时，由（1）知：不等式mx2-mx-1＜0的解为R；
当m＞0时，Δ=m2+4m＞0，由mx2-mx-1＜0可得：综上所述：当m＜-4时，不等式的解集为（-∞，）U（，+∞）
当m=-4时，不等式的解集为（-∞，）U（，+∞）
当-4＜m≤0时，不等式的解集为R；当m＞0时，不等式的解集为（，）
17.解：（1）因为a+b=2，所以ab≤（）2 当且仅当a=b=1时等号成立，所以==1+≥1+3=4 即≥4；
（2）由（1）可知ab≤1，所以a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）[（a+b）2-3ab]=8-6ab≥8-6=2，当且仅当a=b=1时取等号，所以a3+b3≥2．
18.解：（1）设广告牌的宽为tm,由题意，则（x-1）（t-1.25）=45，解得t=1.25+（x＞1），所以广告牌的面积y=xt=x（1.25+）（x＞1）
（2）由（1）可知，y=x（1.25+）=1.25（x-1）++46.25≥2+46.25=61.25
当且仅当1.25（x-1）=，即x=7时取等号，所以当x=7时，广告牌的面积最小为61.25（m2），故设计广告牌的高度为7m时，广告牌的面积最小为61.25（m2）
19.解：（1）若正实数x,y满足x+y=1，则+=+=5++≥5+2，当且仅当=且x+y=1，即x=-2，y=3-时取等号 , 此时+取得最小值5+2
（2）证明：若实数a,b,x,y满足－＝1 则a2-b2=（a2-b2）（－）=x2+y2-（+）≤x2+y2-2 =x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=（x-y）2，当且仅当=且xy≥0时取等号，所以a2-b2≤（x-y）2；
（3）令x=，y=，则x2-3y2=1 即-=1 由（2）得，M=-=x-y≥= 当且仅当x2=3y2且x2-3y2=1，即x= ，y= 时取等号，此时m= ，故M的最小值为 ．