第十章 三角恒等变换（单元测试.含解析）-2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第二册

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第十章 三角恒等变换
一、选择题
1．sin70°cos25°﹣sin20°sin25°的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．计算cos（x+20°）cos（x﹣40°）+cos（x﹣70°）sin（x﹣40°）的值是（　　）
A． B． C．一1 D．
3．若cosα＝，sinβ＝﹣，且α，β∈（，2π），则cos（α+β）的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，tanA+tanB+＝tanAtanB，则C等于（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则cosαsinβ的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[，] C．[﹣，] D．[0，1]
6．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．计算的值是（　　）
A． B． C．1 D．
8．已知方程x2+3ax+3a+1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且α，，，则α+β等于（　　）
A． B． C． D．
9．若0＜α＜β＜，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则（　　）
A．a＜b＜1 B．a＞b＞1 C．ab＜1 D．ab＞1
二、填空题
10．已知α，β均为锐角，且满足，则cos（α﹣β）＝　 　 ．
11．已知，则tanβ＝　 　 ．
12．已知，则＝　 　 ．
13．将函数y＝cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则函数的最大值是　 　 ，m的最小值　 　 ．
三、多选题
（多选）14．下列函数f（x）与g（x）中，能表示同一函数的有（　　）
A．f（x）＝sin2x和 g（x）＝2sinxcosx
B．f（x）＝cos2x和g（x）＝cos2x﹣sin2x
C．f（x）＝2cos2x﹣1和g（x）＝1﹣2sin2x
D．
（多选）15．已知函数，下列说法中正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）16．已知函数，则下列结论中错误的是（　　）
A．f（x）既是奇函数又是周期函数
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）的最大值为1
D．f（x）在区间上单调递减
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．设函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值．
19．求函数y＝2cos（2x﹣）的最小正周期及单调增区间．
20．化简：．
21．已知，且0＜θ＜π，求．
22．求的值．
23．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的一段图象过点（0，1），如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的最大值，并求出此时自变量x的取值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．
（1）求tanα和tanβ的值；
（2）求α+β的值．
25．已知函数f（x）＝asinx+bcosx的图象经过点．
（I）求实数a、b的值；
（II）若，求函数f（x）的最大值及此时x的值．
第十章 三角恒等变换
参考答案与试题解析
一、选择题
1．sin70°cos25°﹣sin20°sin25°的值为（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：sin70° cos25°﹣sin20° sin25°
＝sin70° cos25°﹣cos70° sin25°
＝sin（70°﹣25°）
＝sin45°
＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2．计算cos（x+20°）cos（x﹣40°）+cos（x﹣70°）sin（x﹣40°）的值是（　　）
A． B． C．一1 D．
【答案】D
【分析】由诱导公式及两角差的余弦公式求解即可．
【解答】解：cos（x+20°）cos（x﹣40°）+cos（x﹣70°）sin（x﹣40°）
＝cos（x+20°）cos（x﹣40°）+cos（x+20°﹣90°）sin（x﹣40°）
＝cos（x+20°）cos（x﹣40°）+sin（x+20°）sin（x﹣40°）
＝cos[（x+20°）﹣（x﹣40°）]
＝cos60°
＝，
故选：D．
【点评】本题考查了诱导公式及两角差的余弦公式，属基础题．
3．若cosα＝，sinβ＝﹣，且α，β∈（，2π），则cos（α+β）的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和的余弦公式cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ求解即可．
【解答】解：由，，
又α，β∈（，2π），
则，
cos，
则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和的余弦公式，属基础题．
4．在△ABC中，tanA+tanB+＝tanAtanB，则C等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．
【解答】解：由tanA+tanB+＝tanAtanB可得
tan（A+B）＝＝﹣
＝
因为A，B，C是三角形内角，所以A+B＝120°，所以C＝60°
故选：A．
【点评】本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是180°．
5．已知，则cosαsinβ的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[，] C．[﹣，] D．[0，1]
【答案】C
【分析】根据﹣1≤sin（α+β）≤1，﹣1≤sin（α﹣β）≤1，利用两角和差的正弦公式，展开运算，再结合不等式的性质，得解．
【解答】解：因为，
所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝+cosαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣cosαsinβ，
因为﹣1≤sin（α+β）≤1，﹣1≤sin（α﹣β）≤1，
所以﹣1≤+cosαsinβ≤1，﹣1≤﹣cosαsinβ≤1，
所以﹣≤cosαsinβ≤，﹣≤cosαsinβ≤，
综上，﹣≤cosαsinβ≤．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简，熟练掌握两角和差的正弦公式，不等式的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由平方关系求出sinαcosα的值，再利用切化弦求解即可．
【解答】解：∵，
∴1+2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝，
∴＝+＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，切化弦思想的应用，属于基础题．
7．计算的值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由已知结合二倍角公式，辅助角及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：＝+＝ （sin105°﹣cos105°）＝2（cos45°sin105°﹣sin45°cos105°）＝2sin60°＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
8．已知方程x2+3ax+3a+1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且α，，，则α+β等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理可判断tanα＜0，tanβ＜0，并结合两角和的正切公式，推出tan（α+β）＝1，从而进一步推出α，β∈（﹣，0），得解．
【解答】解：由题意知，tanα+tanβ＝﹣3a＜0，tanαtanβ＝3a+1＞0，
所以tan（α+β）＝＝＝1，
且tanα＜0，tanβ＜0，
又α，，，所以α，β∈（﹣，0），所以α，β∈（﹣π，0），
所以α+β＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和的正切公式，韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9．若0＜α＜β＜，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则（　　）
A．a＜b＜1 B．a＞b＞1 C．ab＜1 D．ab＞1
【答案】D
【分析】根据辅角公式可先将sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b化简，再根据α，β的范围进行确定a，b的大小．
【解答】解：∵a＝sin（α+），b＝sin（β+），
又∵＜α+＜β+＜，
∴1＜a＜b，ab＞1．
故选：D．
【点评】本题主要考查辅角公式的应用和三角函数的单调性问题．
二、填空题
10．已知α，β均为锐角，且满足，则cos（α﹣β）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知可求cosα，sinβ，然后由cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ代入可求．
【解答】解：∵α，β均为锐角，且，
∴cosα＝，sinβ＝，
则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了 同角平方关系及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题．
11．已知，则tanβ＝　7　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+β），将tanα的值代入计算即可求出tanβ的值．
【解答】解：∵tan（α+β）＝＝，tanα＝﹣2，
∴＝，即﹣6+3tanβ＝1+2tanβ，
解得tanβ＝7．
故答案为：7
【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．已知，则＝　﹣　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据诱导公式和二倍角的余弦公式将所求的式子化简为2cos2（x+）﹣1，然后将值代入即可．
【解答】解：∵sin（﹣2x）
＝cos[﹣（﹣2x）]
＝cos（+2x）
＝2cos2（x+）﹣1
∵cos（x+）＝
∴sin（）＝2×＝
故答案为：
【点评】本题主要考查了诱导公式和二倍角公式，熟练掌握公式是解题的关键．
13．将函数y＝cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则函数的最大值是　2　 ，m的最小值　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由条件利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：将函数y＝cos x+sin x＝2cos（x﹣）（x∈R） 的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到y＝2cos（x+m﹣） 的图象；
根据所得到的图象关于y轴对称，可得m﹣＝kπ，k∈Z，故m的最小为，
则函数的最大值为2，
故答案为：2；．
【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
三、多选题
（多选）14．下列函数f（x）与g（x）中，能表示同一函数的有（　　）
A．f（x）＝sin2x和 g（x）＝2sinxcosx
B．f（x）＝cos2x和g（x）＝cos2x﹣sin2x
C．f（x）＝2cos2x﹣1和g（x）＝1﹣2sin2x
D．
【答案】ABC
【分析】结合二倍角公式先进行化简，然后检验函数的三要素是否相同，即可，
【解答】解：A：f（x）＝sin2x和 g（x）＝2sinxcosx＝sin2x定义域都为R，对应关系相同，表示同一函数；、
B：f（x）＝cos2x和g（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x定义域都为R，对应关系相同，表示同一函数；
C：f（x）＝2cos2x﹣1＝cos2x和g（x）＝1﹣2sin2x＝cos2x定义域都为R，对应关系相同，表示同一函数；
D：f（x）＝tan2x（x，k∈Z）与g（x）＝对应关系不同，不是同一函数．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，函数三要素的判断，属于基础题．
（多选）15．已知函数，下列说法中正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】解：，对于A：当x＝﹣，f（﹣）＝0，故A正确；
对于B：由于，所以，当时，f（）＝1．故B正确；
对于C：由于，，当，（k∈Z），即时，函数的图象关于y轴对称，故C正确；
对于D：由于，所以，即，整理得4α＝﹣2kπ，即（k∈Z），故不存在，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）16．已知函数，则下列结论中错误的是（　　）
A．f（x）既是奇函数又是周期函数
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）的最大值为1
D．f（x）在区间上单调递减
【答案】ACD
【分析】由三角恒等变换化简f（x），再利用正弦函数的性质逐一判断即可求得结论．
【解答】解：
＝cosx （sinx+cosx）
＝sinxcosx+cos2x
＝sin2x+（cos2x+1）
＝sin（2x+）+，
所以f（x）为非奇非偶函数，故A错误；
当 时，2x+＝，所以f（x）的图象关于直线对称，故B正确；
f（x）的最大值为+，故C错误；
当x∈ 时，2x+∈[，]，所以f（x）在区间 上不单调，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．
（2）原式分子分母除以cos75°，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan75°的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）＝＝
＝＝＝．
（2）∵tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝2，
∴＝＝＝．
【点评】本题主要考查三角函数值的化简，同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．
18．设函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）对f（x）化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间；
（2）当时，，然后可得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）f（x）＝4cosx sin（x+）＝2sinxcosx+2cos2x
＝sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+）+1，∴函数f（x）的周期T＝π，
∴当2kπ﹣≤2x+≤2kπ+时，即kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数单调增，
∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；
（2）当时，，
∴，
∴当，f（x）max＝3．
【点评】本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．
19．求函数y＝2cos（2x﹣）的最小正周期及单调增区间．
【答案】π；单调递增区间为：[]，（k∈Z）．
【分析】直接利用整体思想求出函数的周期性和函数的单调性．
【解答】解：函数y＝2cos（2x﹣）的最小正周期为
令，（k∈Z），整理得，（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：[]，（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的周期性和单调性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20．化简：．
【答案】0．
【分析】根据两角和差的余弦公式，化简运算，即可．
【解答】解：原式＝cosx﹣cosx+sinx﹣cosx﹣sinx＝0．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差的余弦公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
21．已知，且0＜θ＜π，求．
【答案】当tanθ＝时，2﹣3；当tanθ＝﹣时，2+3．
【分析】利用二倍角的正切公式求出tanθ，再利用两角差的余弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简，即可求解．
【解答】解：∵，且0＜θ＜π，
∴＝2，∴tan2θ+tanθ﹣＝0，
∴tanθ＝﹣或tanθ＝，
①当tanθ＝时，
则＝＝＝2﹣3，
②当tanθ＝﹣时，
则＝＝＝2+3．
【点评】本题考查二倍角公式，两角差的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
22．求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导公式逐步化简可得．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝2．
【点评】本题考查三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，属中档题．
23．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的一段图象过点（0，1），如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的最大值，并求出此时自变量x的取值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再由特殊点的坐标求出A，可得函数的解析式．
（2）利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的最值求出y＝g（x）的最大值，并求出此时自变量x的取值．
【解答】解：（1）根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的一段图象，
可得＝+，∴ω＝2．
再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ＝0，∴φ＝．
再根据函数的图象过点（0，1），可得Asin＝1，∴A＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+）．
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x﹣）的图象，
故当2x﹣＝2kπ+，即x＝kπ+，k∈Z时，
故y＝g（x）的最大值为2，此时自变量x的取值为x＝kπ+，k∈Z．
【点评】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再由特殊点的坐标求出A．y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．
（1）求tanα和tanβ的值；
（2）求α+β的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出A、B的坐标，
（1）利用三角函数的定义直接求tanα和tanβ的值；
（2）直接利用两角和与差的三角函数，求α+β的正切值然后求解角的大小．
【解答】解：由题意，得…（2分）
（1）tanα＝＝2，tanβ＝＝3…（6分）
（2）由（1）得…（9分）
又，则α+β∈（0，π）…（10分）
∴…（14分）
【点评】本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．
25．已知函数f（x）＝asinx+bcosx的图象经过点．
（I）求实数a、b的值；
（II）若，求函数f（x）的最大值及此时x的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）根据函数图象通过点．得到方程组，然后求实数a、b的值；
（II）化简函数f（x）为：，利用，求出，然后求函数f（x）的最大值及此时x的值．
【解答】解：（I）∵函数f（x）＝asinx+bcosx的图象经过点，
∴（4分）
解得：（5分）
（II）由（I）知：8分）
∵，∴，（9分）
∴时，f（x）取得最大值．（12分）
【点评】本题考查三角函数的最值，函数解析式的求解及待定系数法，考查计算能力，利用基本三角函数的最值，求三角函数的最值是常用方法．本题是基础题．
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