4.2.2 等差数列的前n项和公式 数学 选择性必修 第二册 (配人教A版)学案

4．2．2　等差数列的前n项和公式
[新课程标准]
1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．掌握等差数列前n项和的性质并应用．
3．会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题．
4．通过掌握等差数列前n项和的公式及应用，培养学生数学运算的核心素养；通过对等差数列前n项和性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．　
第一课时　等差数列的前n项和
(一)教材梳理填空
　等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
[微思考]
等差数列的前n项和公式可变形为Sn＝na1＋d＝n2＋n.那么我们说“等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数”，这种说法对吗？为什么？
提示：不正确．当d≠0时，Sn是n的二次函数，且不含有常数项；当d＝0时，Sn＝na1，不是n的二次函数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　)
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　)
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，S偶－S奇＝an＋1.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于(　　)
A．10 B．12
C．15 D．30
解析：选C　因为等差数列{an}中，a2＋a4＝6，故a1＋a5＝6，所以S5＝＝＝15.故选C.
3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
解析：∵an＝－5n＋2，
∴数列{an}是等差数列，且a1＝－3，公差d＝－5，
∴Sn＝＝－.
答案：－
题型一　等差数列前n项和的计算
[学透用活]
[典例1]　(1)在等差数列{an}中，a4＝9，a9＝－6，若Sn＝63，求n的值．
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
∴Sn＝18n－n(n－1)＝63，解得n＝6或n＝7.
故n的值为6或7.
(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d.
将S12＝84，S20＝460分别代入，
得解得
∴S28＝28a1＋d＝28×(－15)＋14×27×4
＝1 092.
法二：设此等差数列的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S12＝84，S20＝460，
∴解得
∴Sn＝2n2－17n，∴S28＝2×282－17×28＝1 092.
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　
[对点练清]
1．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
解析：选B　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，
S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
2．(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　)
A．－2　　　　　B．　　　　　C．1　　　　　D．
解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故选D.
3．[多选]数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　)
A．a1＝1 B．d＝－
C．a2＋a12＝10 D．S10＝40
解析：选ACD　设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
题型二　等差数列前n项和的应用
[学透用活]
[典例2]　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，则这个数列的通项公式为________．
(2)设正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　(1)由Sn＝n2＋n可知，数列{an}为等差数列．设等差数列{an}的公差为d，可得Sn＝n2＋n，则＝1，a1－＝，解得d＝2，a1＝，则an＝＋2(n－1)＝2n－.
(2)令n＝1，得a1＝S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因为an>0，所以an＋an－1≠0，
于是有an－an－1＝2.
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
[答案]　(1)an＝2n－　(2)an＝2n－1
数列{an}中，若Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为{an}的前n项和)，则数列{an}是以(A＋B)为首项，2A为公差的等差数列．当Sn＝An2＋Bn＋C时，数列{an}不是等差数列，但从第二项起构成等差数列．
熟记下列常见的等差数列的前n项和公式有助于快速解题：
an＝n Sn＝；an＝2n－1 Sn＝n2；
an＝2n Sn＝n(n＋1)；an＝2n＋1 Sn＝n(n＋2)．　　
[对点练清]
已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4.
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，因为an＞0，解得a1＝3.
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，即(an－1)2＝a，
所以an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1(n≥2)，因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.
题型三　求等差数列前n项的绝对值之和问题
[探究发现]
已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则Tn与Sn有何关系？
提示：(1)若a1＞0，d＜0，则存在k∈N*，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn＝
(2)若a1＜0，d＞0，则存在k∈N*，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn＝　　　
[学透用活]
[典例3]　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解]　(1)设{an}的公差为d，
则
解得a1＝13，d＝－2.
所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n.
(2)由(1)得|an|＝
当n≤7时，
Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2，
当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2.
综上，Tn＝
求数列{|an|}的前n项和实际上是求数列{an}前n项各项的绝对值之和．由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前n项各项的绝对值之和．　　
[对点练清]
已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104.
∵a1＝101也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．
由an＝－3n＋104≥0，得n≤.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
①当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－＝n2－n＋3 502.
∴Tn＝
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2 550，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．
解：(1)由已知得4×2＝a－1＋2a，解得a＝3，
∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.
由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)，
∴a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d，
得Sn＝2n＋×2＝n2＋n，∴bn＝＝n＋1.
又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项，
∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n.
二、应用性——强调学以致用
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)
A．12 B．16 C．9 D．16或9
解析：选C　设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5(n－1)＝5n＋115.由an<180，得n<13且n∈N*.由n边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋×5.解得n＝16或n＝9.∵n<13，∴n＝9.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若首项a1＝，公差d＝1，求满足Sk2＝(Sk)2的正整数k；
(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立．
解：(1)数列{an}为等差数列，不妨设Sn＝An2＋Bn，其中A＝，B＝a1－，则Sk2＝A(k2)2＋Bk2，Sk＝Ak2＋Bk.
由Sk2＝(Sk)2可得k2(Ak2＋B)＝k2(Ak＋B)2.
考虑到k为正整数，从而Ak2＋B＝A2k2＋2ABk＋B2，
即(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)＝0.
又A＝＝，B＝a1－＝1，
所以k2－k＝0，又k≠0，从而k＝4.
(2)由(1)可知k2[(A2－A)k2＋2ABk＋(B2－B)]＝0，
考虑到对一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立，
只需解得或或
又A＝，B＝a1－，
从而可得或或
故满足题意的无穷等差数列有：①an＝0；②an＝2n－1；③an＝1.
[课下过关检测]　
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．7
解析：选B　由已知得解得d＝3.
2．[多选]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝－18，a6＝－a3，则(　 )
A．an＝2n－9　　　　　　 B．an＝2n－7
C．Sn＝n2－8n　　　　　　 D．Sn＝n2－6n
解析：选AC　因为a3＋S5＝6a3＝－18，所以a3＝－3.又a6＝3，所以a1＝－7，d＝2，则an＝2n－9，Sn＝n2－8n.故选A，C.
3．已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)
A．24 B．26 C．25 D．28
解析：选B　设该等差数列为{an}，由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，∴n＝26.
4．数列{an}的首项a1＝1，对于任意m，n∈N*，有an＋m＝an＋3m，则{an}的前5项和S5＝(　　)
A．121 B．25 C．31 D．35
解析：选D　令m＝1，有an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3，又已知a1＝1，∴{an}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2，
∴S5＝＝5a3＝5×(3×3－2)＝35.
5．已知Sn是公差d不为零的等差数列{an}的前n项和，且S3＝S8，S7＝Sk(k≠7)，则k的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选B　由S3＝S8可知3a1＋3d＝8a1＋28d，
即a1＝－5d.由S7＝Sk得7a1＋d＝ka1＋d，将a1＝－5d代入化简得k2－11k＋28＝0，解得k＝4或k＝7(舍去)，故选B.
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________.
解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，
则解得
所以S10＝10×8＋×10×9×6＝350.
法二：设Sn＝An2＋Bn，则
解得所以S10＝3×102＋5×10＝350.
答案：350
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，
∴
解得∴an＝2n－1.
答案：2n－1
8．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5S6＋15＝0.若S5＝5，则Sn＝________.
解析：由题意知S6＝－3，∴a6＝S6－S5＝－8，
∴解得
∴Sn＝7n＋×(－3)＝－n2＋n.
答案：－n2＋n
9．已知等差数列中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7为所求结果．
10．已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d＞0，所以d＝2.
从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得，am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，
故解得
即所求m的值为5，k的值为4.
1．已知公差不为0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为(　　)
A．－2 B．－3 C．2 D．3
解析：选C　∵公差d≠0的等差数列{an}满足a＝a1·a4，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，即a1＝－4d，
则＝＝＝＝2.
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．10
解析：选D　∵数列{an}为等差数列，
S5＝2S4，a2＋a4＝8，
∴
整理得解得
∴a5＝a1＋4d＝－2＋12＝10.
3．已知等差数列{an}中，a5＋a9＝14，S9＝90，则a12的值是(　　)
A．15 B．－ C．－ D．
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，由已知得，a5＋a9＝2a7＝14，故a7＝7.又S9＝＝9a5＝90，故a5＝10.则a7－a5＝－3＝2d，即d＝－，故a12＝a5＋7d＝10－＝－.
4．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
解：(1)设{an}的公差为d，
由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.
所以{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
(2)因为bn＝
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
5．等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}的前n项和，其中bn＝|an|，n∈N*.若Tn≥1 464，求n的最小值．
解：(1)∵等差数列{an}中，公差d<0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，
且a3>a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴解得a1＝5，d＝－3.
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)由(1)知{an}的前n项和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
∵bn＝|an|，
∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
当n≥3时，bn＝|an|＝3n－8.
当n<3时，T1＝5，T2＝7；
当n≥3时，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14.
∵Tn≥1 464，∴Tn＝－＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，
解得n≥，
∴n的最小值为34.
第二课时　等差数列前n项和的性质及其应用
题型一　等差数列前n项和的性质
[学透用活]
(1)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的一半．
(2)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，且公差为m2d.
(3)关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质：
若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
[典例1]　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)
A．130 B．170 C．210 D．260
(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
[解析]　(1)利用等差数列的性质：
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，
即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，
解得S3n＝210.
(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.
[答案]　(1)C　(2)10
利用等差数列前n项和的性质解题时，一是要注意判断等差数列中的项数，二是注意整体思想在解题中的应用．　　
[对点练清]
1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：选C　设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d＝3，故选C.
2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝＝n2＋2n，
所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.
答案：75
题型二　等差数列前n项和的最值问题
[学透用活]
[典例2]　在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
[解]　法一：由S9＝S17得9a1＋d＝17a1＋d，又a1＝25，∴d＝－2.
则Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169，
故当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169.
法二：由S9＝S17得9a1＋d＝17a1＋d，又a1＝25，∴d＝－2，则an＝25＋(－2)×(n－1)＝－2n＋27.
令an＞0，则－2n＋27＞0，解得n＜13.5，
即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
故数列{an}的前13项和最大，最大值为S13＝13×25＋×(－2)＝169.
法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0，
即a13＋a14＝0.
∵a1＞0，∴d＜0，∴a13＞0，a14＜0，
∴当n＝13时，Sn有最大值，为169.
法四：设Sn＝An2＋Bn，
∵S9＝S17，
∴二次函数图象的对称轴为＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值为169.
求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法
(1)通项法
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定．
(2)二次函数法
在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．　　
[对点练清]
1．[多选]记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝10，S5＝S2，则(　　)
A．S3＝S4 B．a6＝10
C．Sn的最大值为30 D．an的最大值为15
解析：选ACD　设等差数列的公差为d，则由题可得解得a1＝15，d＝－5，∴an＝15＋(n－1)×(－5)＝20－5n，Sn＝＝，∴a4＝0，S3＝S4，故A正确；a6＝－10，故B错误；当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值为30，故C正确；由于d<0，∴an的最大值为a1＝15，故D正确．
2．[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2 024>0，a2 023＋a2 024<0，则(　　)
A．数列{an}是递增数列
B．数列{Sn}是递增数列
C．Sn的最小值是S2 023
D．使得Sn取得最小正数的n＝4 046
解析：选AC　因为a2 024>0，a2 023＋a2 024<0，所以a2 023<0，可得公差d>0，Sn的最小值是S2 023，故A、C正确；当1≤n≤2 023时，Sn单调递减，当n≥2 024时，Sn单调递增，B项错误；因为a2 023＋a2 024<0，所以S4 046＝＝<0，同理S4 047＝＝4 047a2 024>0，所以使Sn取得最小正数的n＝4 047，D项错误．
题型三　等差数列前n项和的实际应用问题
[学透用活]
[典例3]　在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问：
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
[解]　(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)．
等差数列前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题，如材料的总数目、行程问题中的总行程等．只要是等差数列，就可以应用前n项和公式计算总数，求解时应注意从实际问题中抽象出的数学模型要准确．　　
[对点练清]
中国植树节定于每年的3月12日，是中国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．某班41名同学打算在明年的植树节这一天，在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n(n＝1,2，…，41)个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小．
解析：设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为f(n)，
则f(n)＝10(1＋2＋3＋…＋n－1)＋10(1＋2＋3＋…＋41－n)，
所以f(n)＝20×＋20×
＝10(n2－n＋n2－83n＋41×42)＝10(2n2－84n＋1 722)
＝20(n2－42n＋861)＝20[(n－21)2＋420]，
所以当n＝21时，f(n)取得最小值．
答案：21
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和．
(1)证明：是等差数列；
(2)设Tn为数列的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn.
解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2＋n，
∴＝n＋，∴－＝(n＋1)＋－＝.
又∵＝a1，∴是首项为a1，公差为的等差数列．
(2)由(1)知为等差数列，设其公差为d′，
则－＝4d′ ，即4d′＝－＝2，则d′＝.
又∵＝－3d′＝3－3×＝，
∴Tn＝n＋×＝n2＋n.
二、应用性——强调学以致用
2．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元．
(1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第n(n≤18)年后所获利润f(n)；
(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
解：(1)由题意知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以f(n)＝21n－－25＝－n2＋20n－25(n≤18，n∈N*)．
(2)年平均收入为＝＝20－≤20－2＝10，
当且仅当n＝，即n＝5时，等号成立，
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．[多选]对于数列{an}，定义H0＝为{an}的“优值”．已知数列{an}的“优值”H0＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　　)
A．an＝2n＋2 B．Sn＝n2－19n
C．S8＝S9 D．Sn的最小值为－62
解析：选AC　由题意知，H0＝＝2n＋1，则a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1　①，当n＝1时，a1＝21＋1×1＝4，当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n　②，①－②得，2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n，解得an＝2(n＋1)，当n＝1时也成立，∴an＝2n＋2，A正确；Sn＝a1－20＋a2－20＋…＋an－20＝a1＋a2＋…＋an－20n＝2×1＋2＋2×2＋2＋…＋2×n＋2－20n＝2(1＋2＋…＋n)＋2n－20n＝n(n＋1)－18n＝n2－17n，B错误；∵an－20＝2n－18，当an－20≤0时，即n≤9，且a9－20＝0，故当n＝8或n＝9时，{an－20}的前n项和Sn取得最小值，最小值S8＝S9＝＝－72，C正确，D错误．
[课下过关检测]　
1．一个等差数列共有10项，其奇数项之和是，偶数项之和是15，则它的首项与公差分别是(　　)
A.， B．，1 C．1， D．，2
解析：选A　设等差数列为{an}，首项为a1，公差为d，由S偶－S奇＝5d＝15－＝，得d＝.再由S10＝10a1＋×＝15＋，得a1＝.
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)
A．36 B．18 C．72 D．9
解析：选A　由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果＝(n∈N*)，则的值是(　　)
A. B． C. D．
解析：选C　由等差数列前n项和的性质，得
＝＝＝＝＝＝.
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4≠0，且S8＝3S4，设S12＝λS8，则λ＝(　　)
A. B． C．2 D．3
解析：选C　∵Sn是等差数列{an}的前n项和，
若S4≠0，且S8＝3S4，S12＝λS8，
∴由等差数列的性质得
S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，
∴2(3S4－S4)＝S4＋(λ·3S4－3S4)，
解得λ＝2.故选C.
5．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17
解析：选A　∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2.
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
6．已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
故d＝a4－a3＝－2，an＝a3＋(n－3)d＝7－2(n－3)＝13－2n.令an＞0，得n＜6.5.所以在等差数列{an}中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使Sn取到最大值的n的值为6.
答案：6
7．已知等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝10，a13＋a14＋a15＋a16＝70，则数列{an}的前16项和等于________．
解析：根据等差数列的性质，可知a1＋a2＋a3＋a4，a5＋a6＋a7＋a8，a9＋a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15＋a16构成等差数列，则a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝a1＋a2＋a3＋a4＋a13＋a14＋a15＋a16＝80，所以数列{an}的前16项和等于160.
答案：160
8．在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则满足Sn＜0的n的最大值为________．
解析：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，
所以a11＞－a10，a1＋a20＝a10＋a11＞0，
所以S20＝＞0.
又因为a10＋a10＜0，
所以S19＝＝19a10＜0，
故满足Sn＜0的n的最大值为19.
答案：19
9．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求Sn的最小值及对应的n值．
解：(1)∵Sn＝2n2－30n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
又a1＝－28满足此式，
∴an＝4n－32，n∈N*.
(2)法一 ∵Sn＝2n2－30n＝22－，
∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
法二 ∵an＝4n－32，∴a1＜a2＜…＜a7＜0，a8＝0，
当n≥9时，an＞0，
∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.
10．某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24 h．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24 h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调多少辆这种型号翻斗车？
解：总工作量为20×24＝480 h，由题意可知，每调来一辆车，工作时间依次递减 h，则每辆车的工作时间成等差数列，设第n辆车的工作时间为an，则a1＝24，等差数列的公差d＝－，∴n辆车的工作总时长Sn＝na1＋d＝24n－，∵S23＝24×23－≈468<480，S24＝24×24－＝484>480，∴共需24辆车完成工程，∴至少还需要抽调24－1＝23辆车．
1．[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－5n，则下列说法正确的是(　　)
A．{an}为等差数列
B．an>0
C．Sn最小值为－
D．{an}为单调递增数列
解析：选AD　由题意数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－5n，
当n＝1时，a1＝S1＝1－5＝－4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－5n－[(n－1)2－5(n－1)]＝2n－6，
当n＝1时，a1＝－4满足上式，所以an＝2n－6，
由于an－an－1＝2(n≥2)，所以数列{an}为首项为－4，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{an}为单调递增数列，所以A，D正确，
由于a1＝－4<0，故B错误，
由于Sn＝n2－5n＝2－，n∈N*，
所以当n＝2或n＝3时，Sn取最小值，且最小值为－6，所以C错误．
2．(多选)两位大学毕业生甲、乙同时开始工作．甲第1个月工资为4 000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4 500元，以后每月增加50元，则(　 )
A．第5个月甲的月工资低于乙
B．甲与乙在第11个月时月工资相等
C．甲、乙前11个月的工资总收入相等
D．甲比乙前11个月的工资总收入要低
解析：选ABD　设甲各月工资组成数列{an}，乙各月工资组成数列{bn}，易知an＝100n＋3 900，bn＝50n＋4 450.因为a5＝4 400＜b5＝4 700，所以A正确；因为a11＝b11＝5 000，所以B正确；因为甲前11个月工资总收入为＝49 500元，乙前11个月工资总收入为＝52 250元，所以C不正确，D正确．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则正整数m＝________.
解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
答案：4
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
解：(1)依题意
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.　　　　　　　　　　　③
将③分别代入①②，得
解得－故公差d的取值范围为.
(2)由d<0可知{an}是递减数列，
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，
可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
5．对于由正整数构成的数列{An}，若对任意m，n∈N*，且m≠n，Am＋An也是{An}中的项，则称{An}为Q数列．设数列{an}满足a1＝6,8≤a2≤12.
(1)请给出一个{an}的通项公式，使得{an}既是等差数列也是“Q数列”，并说明理由；
(2)根据你给出的通项公式，设{an}的前n项和为Sn，求满足Sn＞100的正整数n的最小值．
解：(1)给出的通项公式为an＝2n＋4.
理由如下：
因为对任意n∈N*，an＋1－an＝2(n＋1)＋4－2n－4＝2，
所以{an}是公差为2的等差数列．
对任意m，n∈N*，且m≠n，
am＋an＝2m＋4＋2n＋4＝2(m＋n＋2)＋4＝am＋n＋2，
所以{an}是“Q数列”．
(2)因为{an}是等差数列，所以Sn＝＝n2＋5n(n∈N*)．
因为Sn单调递增，且S7＝72＋5×7＝84＜100，S8＝82＋5×8＝104＞100，所以n的最小值为8.
注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：
①an＝3n＋3，Sn＝n2＋n，n的最小值为7；
②an＝6n，Sn＝3n2＋3n，n的最小值为6.