5.1.2 导数的概念及其几何意义 数学 选择性必修 第二册 (配人教A版)学案

5．1　导数的概念及其意义
5.1.2　导数的概念及其几何意义
[新课程标准]
1．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．通过学习，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．　
知识点一　导数的概念
(一)教材梳理填空
1．平均变化率
我们把＝叫做函数f(x)从到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数的概念
定义式 ＝
记法 f′(x0)或y′|x＝x0
实质 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)
(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C　f′(0)＝
＝＝(Δx－3)＝－3.故选C.
3.如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1)　(2)
知识点二　导数的几何意义
(一)教材梳理填空
　导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　)
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)
(3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　)
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：D
题型一　求函数在某点处的导数
[学透用活]
[典例1]　(1)函数y＝在x＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3.
①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；
②求t1＝4时的导数．
[解析]　(1)因为Δy＝－1，
＝＝，
＝，所以y′x＝1＝.
(2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)
＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，
故当t1＝4，Δt＝0.01时，
Δy＝0.481 201，＝48.120 1.
②＝[3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，
故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，
即y′t1＝4＝48.
[答案]　(1)　(2)y′t1＝4＝48
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限.
2．瞬时变化率的变形形式
＝
＝
＝
＝f′(x0)．　　
[对点练清]
求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
所以＝＝1＋.
当Δx趋于0时，→2，
所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
题型二　导数的实际意义
[学透用活]
[典例2]　一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2处的瞬时变化率，并解释它的实际意义．
[解]　当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3(2＋Δx)，函数值y关于x的瞬时变化率为＝＝＝3(m3/s)．
当Δx趋于0时，瞬时变化率总是3，
所以f′(2)＝3 m3/s.
导数f′(2)表示当x＝2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中的水保持以x＝2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.
解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可．　　
[对点练清]
建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解：当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为
＝
＝＋.
当x趋于100，即Δx趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f′(100)＝0.105，
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．
题型三　求曲线切线方程
[探究发现]
在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))．
(1)是函数f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率，有什么几何意义？
提示：函数y＝f(x)图象上A，B两点连线的斜率．
(2)Δx趋于0时，函数y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率即为函数y＝f(x)在x1点的瞬时变化率，能否看成函数y＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
提示：能．
(3)函数y＝f(x)在x0处的导数的几何意义是什么？
提示：函数y＝f(x)图象上点(x0，f(x0))处的切线斜率．　　　
[学透用活]
[典例3]　求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
[解]　由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数．
而f′(－2)＝
＝＝＝－，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的3个步骤
2．过曲线外一点P求切线方程的6个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))；
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝li ；
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率；
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k；
(5)根据点斜式写出切线方程；
(6)将切线方程化为一般式．　　
[对点练清]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为(　　)
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选A　显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，
若切点为(1，－1)，
则由f′(1)＝
＝
＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，
即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
则k＝＝
＝
＝x＋x0－1.
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝
＝
＝3x－2，
∴x＋x0－1＝3x－2，
∴2x－x0－1＝0.
∵x0≠1，∴x0＝－.
∴k＝x＋x0－1＝－，
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
即5x＋4y－1＝0，故选A.
题型四　求切点坐标
[学透用活]
[典例4]　已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值和切点的坐标．
[解]　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
则f′(x)＝
＝
＝3x2－4x.
由题意可知，直线l的斜率k＝4，
即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，
解得a＝；
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
解得a＝－5.
∴当a＝时，切点为；
当a＝－5时，切点为(2,3)．
求切点坐标的4个步骤
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．　　
[对点练清]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为y′＝
＝3x2－2x，
则y′x＝x0＝3x－2x0＝1，
解得x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，
又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．
当x0＝－时，y0＝3－2＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
答案：　
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：联立两曲线方程得解得即交点坐标为(1,1)．
令f(x)＝，g(x)＝x2.曲线y＝在点(1,1)处的切线斜率为f′(1)＝＝＝－1，
所以曲线y＝在点(1,1)处的一条切线方程为y－1＝－1×(x－1)，即y＝－x＋2.
同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线斜率为
g′(1)＝ ＝ ＝(2＋Δx)＝2，
所以曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
两条切线方程y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示，
所以S＝×1×＝，故三角形的面积为.
二、应用性——强调学以致用
2．某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数．设此时正方形的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃时正方形面积的瞬时变化率，并解释其实际意义．
解：依题意可知，
f(t)＝[10(1＋at)]2＝100(1＋at)2.
设t＝0时温度的改变量为Δt，
则＝
＝
＝200a＋100a2Δt.
可得f′(0)＝＝(200a＋100a2Δt)＝200a.
这表示在0 ℃时，铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.其实际意义是，在0 ℃时，温度的改变量Δt ℃很小时，铁板面积的改变量的近似值为200a cm2.
[课下过关检测]　
1．[多选]下列说法正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率存在
D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处的切线方程为x＝x0
解析：选CD　f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在x＝x0处可能没有切线，也可能有切线x＝x0，故A错误；当曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线为直线x＝x0时，f′(x0)不存在，故B错误；C显然正确；当曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率不存在时，其切线方程为x＝x0，故D正确．
2．若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于(　　)
A．f′(x0)　　　　　　 B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
解析：选B　
＝
＝2
＝2f′(x0)．
3．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2 B．k2解析：选D　k1＝
＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
4．已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选D　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，
∴＝＝x＋1.
由x＋1＝3，得x＝2，即该切点的横坐标为2.
5.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
解析：选C　曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2,0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2)．因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.
6．已知y＝，则y′＝________.
解析：∵Δy＝－，∴＝，
∴＝＝＝＝，即y′＝.
答案：
7．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是____________．
解析：由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx.
∴y′x＝1＝＝2，∴所求直线的斜率k＝2.
故直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
答案：2x－y＋4＝0
8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，
f′(x0)＝
＝＝2x0－3＝1，故x0＝2，
y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
答案：(2，－2)
9．已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值．
解：∵直线5x＋16y＋b＝0的斜率k＝－，
∴f′(4)＝－.
而f′(4)＝
＝
＝
＝－，
∴－＝－，解得a＝1.
∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－，即切点坐标为.
∵点在切线5x＋16y＋b＝0上，
∴5×4＋16×＋b＝0，即b＝8，
从而a＝1，b＝8.
10．已知曲线y＝f(x)＝x3－3x上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求与曲线y＝f(x)相切且以P为切点的直线l的方程；
(2)求与曲线y＝f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程．
解：(1)f′(x)
＝＝3x2－3，
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，
所以所求直线l的方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)(x0≠1)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x－3，
所以直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又直线l过点P(1，－2)，
则－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－.
故直线l的斜率为－，
于是直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
1．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解析：选D　由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′＝
＝.
当Δx→0时，cos Δx→1，
∴f′＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
2．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0) B．(－1，－4)
C．(1，－4) D．(－1，－4)或(1,0)
解析：选D　由f(x)＝x3＋x－2，
得f′(x)＝
＝
＝[3x2＋1＋(Δx)2＋3x·Δx]＝3x2＋1.
设点P(x0，y0)，则有3x＋1＝4，
解得x0＝－1或x0＝1.
又点P(x0，y0)在曲线f(x)＝x3＋x－2上，
所以y0＝－4或y0＝0，
所以点P的坐标为(－1，－4)或(1,0)．故选D.
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则(　　)
A．2f′(2)B．2f′(4)<2f′(2)C．2f′(2)<2f′(4)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)
解析：选A　由图可知，经过点(2，f(2))和点(4，f(4))的割线的斜率大于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率，且小于曲线y＝f(x)在点(4，f(4))处的切线斜率，即f′(2)<4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4.
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．
答案：(3,30)
5．已知曲线f(x)＝－x3＋2x2－3x＋1.
(1)求该曲线的斜率为－3的切线方程；
(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P，过点P作直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值．
解：(1)f′(x)＝＝－x2＋4x－3.
由－x2＋4x－3＝－3，解得x＝0或x＝4.
又f(0)＝1，f(4)＝－.
∴所求切线方程为y－1＝－3x或y＋＝－3(x－4)，
即3x＋y－1＝0或9x＋3y－35＝0.
(2)∵f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
∴当x＝2时，切线的斜率取得最大值1，
此时点P的坐标为.
由题意，设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，∴＋＝1.
S△OAB＝ab＝ab2＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即a＝6b时取“＝”．将a＝6b代入＋＝1，解得a＝4，b＝.
∴△AOB面积的最小值为.