5.2.1 基本初等函数的导数 数学 选择性必修 第二册 (配人教A版)学案

5．2　导数的运算
5．2.1　基本初等函数的导数
[新课程标准]
1．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
3．通过导数的计算，培养学生数学运算的核心素养．　
(一)教材梳理填空
1．几种常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝
f(x)＝x f′(x)＝
f(x)＝x2 f′(x)＝
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2
f(x)＝ f′(x)＝－
f(x)＝ f′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
[微提醒]
对公式y＝xα的理解
(1)y＝xα中，x为自变量，α为常数；
(2)它的导数等于指数α与自变量x的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　)
(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　)
(3)f(x)＝，则f′(x)＝－.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．若y＝cos ，则y′＝(　　)
A．－ B．－
C．0 D．
答案：C
3．函数y＝在点处切线的倾斜角为(　　)
A. B．
C. D．
答案：B
题型一　利用导数公式求函数的导数
[学透用活]
[典例1]　求下列函数的导数：
(1)y＝x－5; (2)y＝4x；
(3)y＝log3x; (4)y＝sin.
[解]　(1)y′＝－5x－6.
(2)y′＝4xln 4.
(3)y′＝.
(4)∵y＝sin＝cos x，
∴y′＝－sin x.
求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形．
(3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式．
(4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．　　
[对点练清]
1．f(x)＝ln x在x＝e处的导数值为(　　)
A．0 B． C．1 D．e
解析：选B　∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝.∴f′(e)＝.
2．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝logx.
解：(1)y′＝′＝xln＝－xln 2.
题型二　利用导数公式求切线方程
[学透用活]
[典例2]　已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．
[解]　因为y＝，所以y′＝－.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，
则可设过该点的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－.
则切线方程为y－＝－(x－a)．①
将Q(1,0)代入方程得0－＝－(1－a)．
解得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．　　
[对点练清]
已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
所以过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
所以过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
所以切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
解得x0＝，所以切点M，
所以与PQ平行的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
题型三　导数的简单综合应用
[学透用活]
[典例3]　(1)质点的运动方程是S＝sin t，则质点在t＝时的速度为________；质点运动的加速度为________．
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析]　(1)∵v(t)＝S′(t)＝cos t，
∴v＝cos＝.
即质点在t＝时的速度为.
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
答案：　－sin t
(2)由于y＝sin x，y＝cos x，
设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．　　
[对点练清]
1．曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为(　　)
A. B． C. D．
解析：选C　可求得y′＝x，
即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，
与x轴的交点坐标为，
与x＝2的交点坐标为，
故围成的三角形面积为××＝.
2．已知直线(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图象的一条切线，求底数a的值．
解：设切点坐标为(x0，ax0)，因为y′＝axln a，所以切线斜率k＝ax0ln a，切线方程为y－ax0＝(ax0ln a)(x－x0)，
即(ax0ln a)x－y－x0ax0ln a＋ax0＝0，
因为已知切线的方程为(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0，
所以ax0ln a＝8ln 2，x0ax0ln a＝8ln 2，ax0＝4，
解得a＝4，x0＝1.综上，a＝4.
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.
y′＝(ex)′＝ex，ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为.
二、应用性——强调学以致用
2．已知点P为曲线C：y＝(x>0)上任意一点，g(x)为曲线C上点P处的导数，则函数g(x)在(0,＋∞)上(　　)
A．为增函数 B．为减函数
C．有最大值 D．有最小值
解析：选A　由题可知，g(x)＝y′＝′＝－，x2在(0，＋∞)上单调递增且恒大于零，则在(0，＋∞)上单调递减，－在(0，＋∞)上单调递增，g(x)在(0, ＋∞)上单调递增．故选A.
3．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y＝，则在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为________mm/min.
解析：因为y＝f(t)＝＝t，所以f′(t)＝′＝t，所以f′(4)＝×4＝，故在t＝4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
答案：
三、创新性——强调创新意识和创新思维
4．我们知道，函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)＝ ＝ ，由极限的意义可知，当Δx充分小时，≈f′(x0)，即Δy≈f′(x0)Δx，从而f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx，这是一个简单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和导数值求函数的增量或函数值的近似值，我们可以用它计算cos 的近似值为(≈1.732，π≈3.14)(　　)
A．0.840 B．0.853 C．0.866 D．0.879
解析：选B　设f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，
f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx，
取x0＝，Δx＝，则＋＝，
所以cos ＝cos≈cos ＋·＝－≈－≈0.866－0.013＝0.853.
5．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数，则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值．则g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ＝________.
解析：由已知得g′(x)＝，则g′(ξ)＝.由拉格朗日中值的定义可知，函数g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ满足g(e)－g(1)＝g′(ξ)(e－1)，所以g′(ξ)＝＝，所以g′(ξ)＝＝，则ξ＝e－1.
答案：e－1
[课下过关检测]　
1．[多选]以下运算正确的是(　　)
A.′＝ B．(cos x)′＝－sin x
C．(2x)′＝2xln 2 D．(lg x)′＝－
解析：选BC　因为′＝－，所以A不正确；因为(cos x)′＝－sin x，所以B正确；因为(2x)′＝2xln 2，所以C正确；因为(lg x)′＝，所以D不正确．故选B、C.
2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线方程为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2x＋1
C．y＝ex＋1 D．y＝x＋1
解析：选A　易得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得所求切线的斜率k＝y′x＝0＝e0＝1，故所求切线方程为y＝x＋1.
3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)
A. B． C. D．
解析：选B　∵s′＝t，∴当t＝4时，s′＝·＝ .
4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C　∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
5．[多选]在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标可能为(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C. D．
解析：选AB　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.
因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1.
则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(－1)＝－1，
故点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．
6．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x．若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：1
7．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，
∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，
∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．
解析：由题意，知切线l的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)．∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1，∴切点为(1,1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
答案：4x－y－3＝0
9．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2－sin2；
(2)y＝ .
解：(1)因为y＝cos2－sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x，
所以函数y＝cos2－sin2的导数是y′＝－sin x.
(2)因为y′＝′＝′＝x－＝，
所以函数y＝ 的导数是y′＝.
10．(1)求曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．
解：(1)设所求切线的斜率为k.
∵y′＝()′＝x，∴k＝y′x＝1＝，
∴曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)．
∵y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，
∴y′x＝x0＝＝4，得x0＝，
∴y0＝－ln 4，
∴切点为，
∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，
即4x－y－1－ln 4＝0.
1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0
解析：选C　因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.
2．过曲线y＝cos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的方程为(　　)
A．2x－y－＋＝0 B．x＋2y－－1＝0
C．2x－y－－＝0 D．x＋2y－＋1＝0
解析：选A　∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲线在点P处的切线斜率是＝－sin＝－，∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，∴所求直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.
3．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则(　　)
A．A>B>C B．A>C>B
C．B>A>C D．C>B>A
解析：选A　记M(2，f(2))，N(3，f(3)), 则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线的斜率．由f(x)的图象易得A>B>C.
4．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．∪
解析：选D　∵y＝2sincos＝sin x，∴y′＝cos x．由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设P(x0，y0)，则切线的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.
∵0≤α<π，∴α∈∪.故选D.
5．已知点A，－1，B(2,1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0)．
因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.
(2)过点A，B(2,1)的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，
设P(n，log2n)，≤n≤2，
则有＝，得n＝.
又＝ln 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.