第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
【课前预习】
知识点
1.1
2.tan α
3.(1)1-cos2α 1-sin2α (2)sin2α+cos2α±2sin αcos α
1±2sin αcos α (3)cos αtan α
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立,即sin2α+cos2α=1.
(2)只有式子有意义时才成立 .当α=π时,=tan不成立.
(3)若sin α=,则cos α=±.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵cos α=-<0,∴α是第二象限角或第三象限角.当α是第二象限角时,sin α>0,
tan α<0,∴sin α===,tan α==-;当α是第三象限角时,sin α<0,
tan α>0,∴sin α=-=-=-,tan α==.
(2)∵tan α==2,∴sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,∴4cos2α+cos2α=1,∴cos2α=,又α∈,∴cos α<0,∴cos α=-.
变式 (1)BC (2)B [解析] 因为tan 151°=k,所以k<0,所以=k2(*),即=k2,因为sin 151°>0,所以sin 151°=-,A错误,B正确;(*)式也可以变为=k2,因为cos 151°<0,所以cos 151°=-,C正确,D错误.故选BC.
(2)∵sin α=,<α<π,∴cos α=-=-,则tan α=-.故选B.
探究点二
例2 解:因为sin θ+cos θ=(0<θ<π),所以(sin θ+cos θ)2=,即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,
所以sin θcos θ=-.因为0<θ<π,sin θcos θ<0,所以<θ<π,所以sin θ-cos θ>0,
所以sin θ-cos θ==
=.
变式 解:(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,
∵α∈,∴cos α(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=,
∵α∈,∴cos α>0,sin α>0,故cos α+sin α=.
探究点三
例3 解:(1)原式=====.
(2)原式==
==
=-.
(3)原式=======.
变式 解:(1)由=3,化简得2cos α=sin α,
∴tan α==2.
(2)∵tan α=2,∴sin2α-2sin αcos α====0.
探究点四
例4 解:(1) 原式===1.
(2)-===-.
(3)方法一:原式==
=.
方法二:原式==
=
==.
方法三:原式==
===.
变式 1 [解析] sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β=sin2αcos2β+sin2β+
cos2αcos2β=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β=cos2β+sin2β=1.
例5 证明:方法一:左边==
===右边,所以原式成立.
方法二:右边===
==左边,所以原式成立.
变式 证明:由tan2α=2tan2β+1,可得tan2β=(tan2α-1),
即=,所以==×,得=,即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β),整理得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1.第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
1.A [解析] ∵cos α=-,α为第二象限角,∴sin α===,故选A.
2.B [解析] ∵sin(π-α)=sin α=-,且α是第四象限角,∴cos α==,
∴tan α===-.
3.D [解析] 由tan α=,得=,即sin α=cos α,代入sin2α+cos2α=1,得cos α=±.∵sin α<0,
tan α>0,∴α为第三象限角,则cos α=-.故选D.
4.C [解析] ∵a=(1,3),b=(sin α,cos α),且a∥b,∴3sin α=cos α,∴tan α==, 故选C.
5.C [解析] ===|sin 2-
cos 2|,∵<2<π,∴sin 2>cos 2,则原式=sin 2-cos 2,故选C.
6.A [解析] ∵π<α<2π,sin α+cos α=,∴等号两边同时平方可得1+2sin αcos α=,
即sin αcos α=-<0,∴sin α<0,cos α>0.∵sin2α+cos2α=1,∴+cos2α=1,解得cos α=或cos α=-(舍去),∴sin α=-=-,可得tan α=-.
7.B [解析] ====-1.
8.AC [解析] 对于A,∵sin α=,∴cos α=±=±,正确;对于B,∵α∈,∴sin α的值为负数,不正确;对于C,∵α∈(0,π),且cos α=,∴sin α=,∴tan α==,正确;对于D,当α=+kπ,k∈Z时,cos α=0,tan α无意义,不正确.故选AC.
9.AB [解析] 由sin α-cos α=,得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,所以sin αcos α=,故选项A正确;因为sin αcos α=,α∈[0,π],所以sin α>0,cos α>0,又因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,所以sin α+cos α=,故选项B正确;tan α+=+==,故选项C错误;
由sin α-cos α=,sin α+cos α=,可得sin α=,故选项D错误.故选AB.
10. [解析] ∵sin2+cos2=1,∴sin2=1-=.∵0<α<,∴<α+<,∴sin=.
11. [解析] 方法一:∵sin 89°=cos 1°,sin 88°=cos 2°,sin 87°=cos 3°,…,sin 46°=cos 44°,∴原式=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+…+cos22°+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44×1+=.
方法二(倒序相加法):设S=sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°①,则S=sin289°+sin288°+…+sin22°+sin21°=cos21°+cos22°+…+cos288°+cos289°②,①+②得2S=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89×1=89,∴S=sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=.
12.-3 [解析] 将sin θ+cos θ=两边同时平方得1+2sin θcos θ=,可得sin θcos θ=-,
∴tan θ+=+===-3.
13.解:(1)由sin α+2cos α=0,可得tan α=-2.
(2)===.
(3)==+=tan α+=-2-=-.
14.解:(1)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α===.
(2)证明:因为左边==
=
=
==右边,所以原式成立.
15.-或- [解析] ∵sin θ=,cos θ=,∴+=1,整理得4m(m-8)=0,解得m=0或m=8,经检验都是分式方程的解,则m=0或m=8.当m=0时,sin θ=-,cos θ=,则tan θ=-;当m=8时,sin θ=,cos θ=-,则tan θ=-.故tan θ=-或-.
16.解:(1)由题意得===1,解得tan α=2.
(2)由tan α==2,得sin α=2cos α①,则α为第一象限角或第三象限角,将①式代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=.当α为第一象限角时,cos α=,sin α==,
所以sin α-cos α=;当α为第三象限角时,cos α=-,sin α=-=-,所以sin α-cos α=-.综上所述,sin α-cos α=±.(共38张PPT)
§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
探究点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值
（即 ， ， 知一求二）
探究点二 “ ”型求值问题
探究点三 弦切互化求值
探究点四 三角函数式的化简与证明
【学习目标】
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
知识点 同角三角函数的基本关系
1.平方关系： ___.
2.商数关系： _______________________.
1
3.同角三角函数基本关系式的常用变形：
（1）的变形公式：__________；
__________.
（2）__________________________ ___________
______.
（3）的变形公式：__________； _____.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
[解析] 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，
即 .
（2）对任意角 , 都成立.( )
×
[解析] 只有式子有意义时才成立 .当 时, 不成立.
（3）若，则 .( )
×
[解析] 若,则 .
探究点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值（即 ，
， 知一求二）
例1（1） 已知，求 , 的值.
解：, 是第二象限角或第三象限角.
当 是第二象限角时，, ,
,；
当 是第三象限角时，, ，
, .
（2）已知，，求 的值.
解：， ，
又 ,，，
又， ， .
变式
（1）（多选题）设 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 因为，所以，所以 ，
即，
因为，所以 ，A错误，B正确；
式也可以变为，
因为 ，所以，C正确，D错误.
故选 .
（2）[2024·北京平谷区高一期末]已知， ，则
的值为( )
A. B. C. D.
[解析] ， ， ，
则 .故选B.
√
［素养小结］
在 , , 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.
解题时要注意角 的终边所在的象限，从而判断三角函数值的正负.
探究点二 “ ”型求值问题
例2 已知，求 和
的值.
解：因为，所以 ，
即，所以 .
因为 ,,所以 ，所以 ，
所以
.
变式 已知，且，求 ，
的值.
解： ，
， ,故 .
，
，,,故 .
［素养小结］
（1） ， ， 三个式子中，已知
其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是
.
（2）求 或 的值时，要注意判断它们的符号.
探究点三 弦切互化求值
例3 已知 ，求下列各式的值：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式 .
变式 [2024·四川遂宁安居育才中学高一期末] 已知 ，
计算下列各式的值.
（1） ；
解：由，化简得 ，
.
（2） .
解： ，
.
［素养小结］
已知，求关于 , 的齐次式的值，解决这类问题
需注意以下两点：①被求式必须是关于 , 的齐次式
（或能化为齐次式的表达式）；②因为 ，所以分子、分母
可以同时除以，这样可将被求式化为关于 的表
达式，然后将 代入表达式，从而求得被求式的值.
探究点四 三角函数式的化简与证明
角度1 一般三角函数式的化简
例4 化简下列各式：
（1） ；
解： 原式 .
（2） 为第二象限角)；
解： .
（3） .
解：方法一:原式
.
方法二:原式
.
方法三:原式
.
变式 化简: ___.
1
[解析] .
［素养小结］
三角函数式的化简技巧：
（1）化切为弦，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名
称，达到化繁为简的目的.
（2）对于含有根号的式子，常把根号里面的部分化成完全平方式，
然后去根号达到化简的目的.
（3）对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造
，以降低次数，达到化简的目的.
角度2 一般恒等式的证明
例5 求证： .
证明：方法一：左边
右边，所以原式成立.
方法二：右边
左边，所以原式成立.
变式 已知,求证: .
证明:由,可得 ,
即,所以 ,
得,即 ,
整理得,即 .
［素养小结］
证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地化简.证明三
角恒等式的基本原则是由繁到简.
常用方法:①从左向右证明;②从右向左证明;③左、右归一；④变更
命题法，如要证明，可证，或证 等；⑤比较法，
即设法证明“左边-右边”或“ ”.
常用技巧:“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想.
1.应用同角三角函数的基本关系式时应注意：
（1）“角相同”，如与， 与 ，与 都是同一个角，
要有整体思想；
（2）对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（3）平方关系式中的 是的简写，不能写成 .
2.根据问题的需要，应注意同角三角函数的正用、逆用和变形用.基
本关系式常见的变形： ， ，
， , ,
等.
1.已知角 的一个三角函数值,求其他三角函数值
解决此类问题时，要注意:①确定 的终边所在的象限,以便确定三角
函数值的符号;②尽可能地避免使用平方关系,以免造成不必要的讨论;
③必要时进行讨论.
例1 已知 ,求 , , .
解： , ,
即,故 是第一或第三象限角.
将 代入,得 ,
解得 .
当 是第一象限角时,, ；
当 是第三象限角时,, .
2.利用 与 的关系计算
对于三角函数式 , , ,它们之间可
通过 ,
进行转换.若已知 ,
, 中的一个,则可求其余两个函数式的值.
例2 已知 ,,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可得 ，
即.
因为 ,所以， ，
所以 ，
所以 ，故选D.
3.三角齐次式求值
已知 的值,求关于 , 的齐次式的值一般有两种方法:
一种是将分子分母（若不是分式形式，则利用 变
为分式形式）同时除以,构造关于 的表达式,再
整体代入 的值求解;另一种是将 化为,找出 与
的关系再代入求解.
例3（1） 已知,求 的值;
解： .
（2）已知,求 的值.
解： .第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
【学习目标】
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.
◆ 知识点 同角三角函数的基本关系
1.平方关系:sin2α+cos2α= .
2.商数关系:= .
3.同角三角函数基本关系式的常用变形:
(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:sin2α= ;cos2α= .
(2)(sin α±cos α)2= = .
(3)tan α=的变形公式:sin α= ;cos α= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin2α+cos2β=1. ( )
(2)对任意角α,=tan都成立. ( )
(3)若sin α=,则cos α=. ( )
◆ 探究点一 已知一个三角函数值求其他三角函数值(即sin θ,cos θ,tan θ知一求二)
例1 (1)已知cos α=-,求sin α,tan α的值.
(2)已知α∈,tan α=2,求cos α的值.
变式 (1)(多选题)设tan 151°=k,则下列结论正确的是 ( )
A.sin 151°=
B. sin 151°=-
C.cos 151°=-
D.cos 151°=
(2)[2024·北京平谷区高一期末] 已知sin α=,<α<π,则tan α的值为 ( )
A. B.- C. D.-
[素养小结]
在sin α,cos α,tan α三个值之间,知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的终边所在的象限,从而判断三角函数值的正负.
◆ 探究点二 “sin θ±cos θ”型求值问题
例2 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值.
变式 已知α∈,且sin α·cos α=,求cos α-sin α,sin α+cos α的值.
[素养小结]
(1)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
(2)求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时,要注意判断它们的符号.
◆ 探究点三 弦切互化求值
例3 已知tan α=3,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)sin2α+cos2α.
变式 [2024·四川遂宁安居育才中学高一期末] 已知=3,计算下列各式的值.
(1)tan α;
(2)sin2α-2sin αcos α.
[素养小结]
已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值,解决这类问题需注意以下两点:①被求式必须是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式的表达式);②因为cos α≠0,所以分子、分母可以同时除以cosn α(n∈N*),这样可将被求式化为关于tan α的表达式,然后将tan α=m代入表达式,从而求得被求式的值.
◆ 探究点四 三角函数式的化简与证明
角度1 一般三角函数式的化简
例4 化简下列各式:
(1);
(2)-(θ为第二象限角);
(3).
变式 化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β= .
[素养小结]
三角函数式的化简技巧:
(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的式子,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低次数,达到化简的目的.
角度2 一般恒等式的证明
例5 求证:=.
变式 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
[素养小结]
证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地化简.证明三角恒等式的基本原则是由繁到简.
常用方法:①从左向右证明;②从右向左证明;③左、右归一;④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等;⑤比较法,即设法证明“左边-右边=0”或“=1”.
常用技巧:“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想.第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
1.1 基本关系式
1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1.3 综合应用
一、选择题
1.已知cos α=-,α为第二象限角,则sin α= ( )
A. B.-
C.± D.±
2.已知sin(π-α)=-,且α是第四象限角,则tan α= ( )
A. B. -
C. - D.
3.已知tan α=,sin α<0,则cos α= ( )
A. B.- C. D.-
4.已知向量a=(1,3),b=(sin α,cos α),且a∥b,则tan α= ( )
A.3 B. -3 C. D. -
5.化简的结果是 ( )
A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2
C.sin 2-cos 2 D.±cos 2-sin 2
6.已知π<α<2π,sin α+cos α=,则tan α等于 ( )
A.- B. -或-
C. 或 D.
7.的值为 ( )
A.1 B. -1
C. sin 10° D. cos 10°
8.(多选题)下列说法中正确的有 ( )
A.若sin α=,则cos α=±
B.已知角α∈,且tan α=3,则sin α=
C.已知角α∈(0,π),且cos α=,则tan α=
D.对于任意角α都有tan α=
9.(多选题)[2024·山西吕梁高一期末] 已知sin α-cos α=,0≤α≤π,则下列选项中正确的有 ( )
A.sin αcos α=
B.sin α+cos α=
C.tan α+=
D.sin α=
二、填空题
10.已知cos=,0<α<,则sin= .
11.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
12.已知sin θ+cos θ=,则tan θ+的值是 .
三、解答题
13.已知sin α+2cos α=0.
(1)求tan α;
(2)求;
(3)求.
14.(1)化简:sin2αtan α++2sin αcos α;
(2)求证:-=.
15.若sin θ=,cos θ=,则tan θ= .
16.[2024·陕西宝鸡金台区高一期末] 已知=-tan.
(1)求tan α的值;
(2)求sin α-cos α的值.
