§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
【课前预习】
知识点
1.cos αcos β-sin αsin β 2.cos αcos β+sin αsin β
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,
cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)用两角和的余弦公式展开为cos=cos αcos-sin αsin=-sin α,用诱导公式化简为cos=-sin α.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2) (3) [解析] (1)cos 165°=cos(180°-15°)=-cos 15°=-cos(45°-30°)=
-cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=-.故选C.
(2)原式=cos(x-27°-x-18°)=cos(-45°)=cos 45°=.
(3)∵cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=,cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=×-×=,∴cos 15°+cos 75°=.
变式 解:(1)原式==
=.
(2)原式=cos 43°cos 77°+sin 43°cos(90°+77°)=cos 43°cos 77°-sin 43°sin 77°=cos 120°=
-cos 60°=-.
(3)∵cos 60°=,sin 60°=,∴cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=
cos(60°-15°)=cos 45°=.
探究点二
例2 (1)A (2) (3) [解析] (1)因为α∈,所以α-∈,所以cos>0.由sin=,可得cos=,故cos α=cos=cos-sin=×=,故选A.
(2)因为cos α=,α是第四象限角,所以sin α=-=-=-.因为sin β=,β是第二象限角,所以cos β=-=-=-.故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
(3)因为α,β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,
所以sin α==,cos(α-β)==,
故cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)=×-×=.
变式 - [解析] ∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<,∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)==,∵sin(α+β)=-,∴cos(α+β)=-=-,则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α-β)sin(α+β)=-×-×=-.
拓展 [解析] ∵α,β均为锐角,且cos(α+β)=,sin(α-β)=,∴sin(α+β)==,cos(α-β)==,
∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=.
探究点三
例3 (1) [解析] 因为cos α+sin α=coscos α+sinsin α=cos,cos α+sin α=,所以cos=.因为0<α<π,所以-<α-<,所以α-=,故α=.
(2)解:∵α-β∈,cos(α-β)=-,∴sin(α-β)=.∵α+β∈,cos(α+β)=,∴sin(α+β)=-,
∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.∵α-β∈,α+β∈,∴2β∈,
∴2β=π,故β=.
变式 解:∵α,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-,
∴α+β∈,∴sin α==,sin(α+β)==.
∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,又β∈,∴β=.§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
1.C [解析] sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10°=cos(70°-10°)
=cos 60°=.故选C.
2.A [解析] 由sin Asin B0,即cos(A+B)>0,则cos C<0,故△ABC一定为钝角三角形,故选A.
3.C [解析] 由两角差的余弦公式知,cos(-φ)=,sin(-φ)=,所以cos φ=,sin φ=-,结合选项知φ的一个值为.故选C.
4.C [解析] 因为sin α=,α∈,所以cos α=-,则cos=cos α-sin α
=×-×=.故选C.
5.D [解析] 因为角α的终边经过点P(3,4),所以sin α=,cos α=.由sin β=,β∈,可得cos β=-=-=-,则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.故选D.
6.D [解析] ∵sin α,cos α是方程5x2-x-2=0的两个实根,∴sin α+cos α=,sin αcos α
=-,∴(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α=+=.又∵α∈(0,π),sin αcos α=-<0,∴α∈,∴sin α-cos α>0,∴sin α-cos α=,∴cos=cos αcos-sin αsin=(cos α-sin α)
=-,故选D.
7.A [解析] ∵α∈,∴2α∈,又sin 2α=>0,∴2α∈,∴α∈,cos 2α
=-=-.∵β∈,∴β-α∈,又sin(β-α)=,∴cos(β-α)=-=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-
sin 2αsin(β-α)=×-×=.又α+β∈,∴α+β=, 故选A.
8.ABC [解析] 根据两角差的余弦公式知,A,B,C均恒成立,D不恒成立.故选ABC.
9.BCD [解析] 因为α,β均为锐角,所以-<α-β<,又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=,故A错误,B正确;因为sin α=,0<α<,所以cos α=,故C正确;因为cos β=cos[α-(α-β)]=
cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,0<β<,所以β=,故D正确.故选BCD.
10.- [解析] 由题意知sin α=,cos α=,将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转得到角β,则cos β=cos=cos αcos-sin αsin=×-×=-.
11.- [解析] 由题意得(sin α+sin β)2=,(cos α+cos β)2=,以上两式展开两边并相加得2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-.因为0<α<β<π,所以-π<α-β<0,所以α-β=-.
12.-7 [解析] ∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,
∴cos αcos β=,sin αsin β=-,则tan αtan β==-7.
13.解:(1)∵α为锐角,cos α=,∴α=,
则sin=sin=1.
(2)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,
又cos(α+β)=,∴sin(α+β)=,
则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=.
14.解:(1)原式===
=-sin α.
(2)由(1)得-sin α=-,所以sin α=,
因为α为锐角,所以cos α==.
因为α,β∈,所以-<α-β<,由sin(α-β)=,得cos(α-β)==,
所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,
又β为锐角,故β=.
15. [解析] ∵<α<,∴0<α-<,∵sin=,∴cos=.∵<α<,0<β<,∴α+β∈,∵cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=.∴cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-×+×=.
16.解:(1)设的模为r,点P在角θ的终边上且角θ的顶点在坐标原点O,始边为x轴正半轴,则x=rcos θ,y=rsin θ.
由题意可得点Q在角θ-α的终边上(角θ-α的顶点在坐标原点O,始边为x轴正半轴),且的模也是r.由三角函数的定义可得x'=rcos(θ-α)=rcos θcos α+rsin θsin α=xcos α+ysin α,即x'=
xcos α+ysin α.
(2)设点C(x1,y1),因为动点A在半圆上,所以设点A(cos θ,sin θ),0°≤θ≤180°,
则向量=(cos θ-2,sin θ),向量=(x1-2,y1).
由已知可得向量绕点B按顺时针方向旋转60°得到向量,所以由(1)中的结论得x1-2=
(cos θ-2)cos 60°+sin θsin 60°=cos θcos 60°+sin θsin 60°-1=cos(θ-60°)-1,所以x1=1+cos(θ-60°).
因为0°≤θ≤180°,所以-60°≤θ-60°≤120°,
所以-≤cos(θ-60°)≤1,所以x1∈.§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
【学习目标】
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
◆ 知识点 两角和与差的余弦公式
1.两角和的余弦公式:
cos(α+β)= .(Cα+β)
2.两角差的余弦公式:
cos(α-β)= .(Cα-β)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立. ( )
(2)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. ( )
(3)把“cos ”用两角和的余弦公式展开,和用诱导公式化简的结果相同. ( )
◆ 探究点一 给角求值
例1 (1)cos 165°的值为 ( )
A.
B.
C. -
D. -
(2)cos(x-27°)cos(x+18°)+sin(x-27°)sin(x+18°)= .
(3)cos 15°+cos 75°= .
变式 求下列三角函数式的值.
(1);
(2)cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°;
(3)cos 15°+sin 15°.
[素养小结]
解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:
(1)把非特殊角转化为特殊角的和(或差)的形式,正用两角和(或差)的余弦公式直接求值;
(2)充分利用诱导公式,构造两角和(或差)的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
◆ 探究点二 给值求值
例2 (1)[2024·山东滨州高一期末] 已知α∈,sin=,则cos α的值为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知cos α=,α是第四象限角,sin β=,β是第二象限角,则cos(α-β)= .
(3)已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈,则cos(2α-β)的值为 .
变式 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则cos 2α= .
[素养小结]
给值求值问题的解题策略:
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,然后进行拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换:
①α=(α-β)+β;②α=+;
③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
拓展 已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,sin(α-β)=,则cos 2α= .
◆ 探究点三 给值求角
例3 (1)已知α为三角形的内角且cos α+sin α=,则α= .
(2)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的大小.
变式 已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,求β的大小.
[素养小结]
“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的大小,可分以下三步进行:
(1)求角的某一个三角函数值;(2)确定角所在的范围(找区间);(3)确定角的大小.
用所求角的哪个三角函数值,要根据具体题目而定.
提醒:由三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
一、选择题
1.sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°= ( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中,若sin Asin BA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
3.若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个值是 ( )
A.- B.-
C. D.
4.[2024·浙江温州高一期末] 已知sin α=,α∈,则cos= ( )
A. B.-
C. D.
5.[2024·安徽宿州高一期末] 已知角α的终边经过点P(3,4),sin β=,β∈,则cos(α+β)= ( )
A. B.-
C. D.-
6.已知sin α,cos α是方程5x2-x-2=0的两个实根,且α∈(0,π),则cos= ( )
A. B. -
C. D. -
7.已知sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是 ( )
A. B. π C. 或 D. 或
8.(多选题)下列各式恒成立的是 ( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cos=cos α+sin α
9.(多选题)已知sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则 ( )
A.cos(α-β)=-
B.cos(α-β)=
C.cos α=
D.β=
二、填空题
10.[2024·昆明西山区高一期末] 如图,角α的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆交于点P,将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转得到角β,则cos β= .
11.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,0<α<β<π,则α-β= .
12.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则tan αtan β= .
三、解答题
13.已知α,β均为锐角,cos α=,cos(α+β)=.
(1)求sin的值;
(2)求cos β的值.
14.[2024·安徽阜阳高一期末] 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α,β均为锐角,f(α)=-,sin(α-β)=,求β的值.
15.[2024·天津重点学校高一期末] 已知<α<,0<β<,sin=,cos(α+β)=-,则cos= .
16.(1)把向量=(x,y)绕原点O按顺时针方向旋转角α,得到向量=(x',y'),用x,y及角α的三角函数表示x'.
(2)利用(1)中的结论解答下面的问题:
如图,点B(2,0),以坐标原点O为圆心,1为半径的半圆上有一动点A,求等边三角形ABC(A,B,C按逆时针方向排列)的顶点C的横坐标的取值范围.(共34张PPT)
§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
探究点一 给角求值
探究点二 给值求值
探究点三 给值求角
【学习目标】
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公
式进行求值、计算.
知识点 两角和与差的余弦公式
1.两角和的余弦公式：
_____________________
2.两角差的余弦公式：
_____________________
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于任意 ，， 都
成立.( )
√
（2）对于任意 ，， 都不成立.
( )
×
[解析] 当 ， 时，
，
，
此时 .
（3）把“ ”用两角和的余弦公式展开，和用诱导公式化简
的结果相同.( )
√
[解析] 用两角和的余弦公式展开为
，
用诱导公式化简为
探究点一 给角求值
例1（1） 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
√
（2） _ __.
[解析] 原式 .
（3） _ __.
[解析] ,
,
.
变式 求下列三角函数式的值.
（1） ；
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：， ，
.
［素养小结］
解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路：
（1）把非特殊角转化为特殊角的和（或差）的形式，正用两角和
（或差）的余弦公式直接求值；
（2）充分利用诱导公式，构造两角和（或差）的余弦公式的结构形
式，然后逆用公式求值.
探究点二 给值求值
例2（1） [2024·山东滨州高一期末]已知， ，
则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，所以 .
由，可得 ，
故 ，
故选A.
√
（2）已知， 是第四象限角，， 是第二象限角，
则 _ ______.
[解析] 因为， 是第四象限角，
所以.
因为， 是第二象限角，
所以 .
故
.
（3）已知,,且 ,,则
的值为_ __.
[解析] 因为 ,,所以 ,
又,所以 ，
所以,,
故
.
变式 已知，， ，则
_____.
[解析] ，， ，
， ，
，，
则
.
［素养小结］
给值求值问题的解题策略：
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要
注意观察已知角与所求表达式中角的关系，然后进行拆角与凑角.
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要
灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换：
； ；
； .
拓展 已知 , 均为锐角，且, ，则
____.
[解析] , 均为锐角，且， ，
，
，
.
探究点三 给值求角
例3（1） 已知 为三角形的内角且，则 ___.
[解析] 因为
，所以.
因为 ，所以，所以，故 .
（2）已知，，且 ，
，求角 的大小．
解：，， .
，，，
，， ，
，故 .
变式 已知，，且 ，，求 的
大小.
解： ，,且， ，
, ，
.
，，
又 ， .
［素养小结］
“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的
大小，可分以下三步进行：
（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角所在的范围
（找区间）；（3）确定角的大小.
用所求角的哪个三角函数值，要根据具体题目而定.
提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
对两角差的余弦公式的理解：
（1）公式中的 ， 都是任意角.
（2）两角差的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，
.
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用
更能简捷地处理问题.如由 能迅速地
想到 ，
又如 .
（4）记忆：公式右边的两部分为同名三角函数的积，其连接符号与
左边角的连接符号相反.
1.给角求值
例1 求值：
（1） ；
解：
.
（2） .
解：
.
2.给值求值
例2 已知，，求 .
解：将 两边平方得
.
将 两边平方得
.
由得 ，
， .
例3 [2024·北京通州区高一期末] 如图，在平面
直角坐标系中，锐角 和钝角 的顶点与原
点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边分别
与单位圆交于点， .
（1）求 ， 的值；
解：根据题意可知， ，
则.
因为， ，所以 .
（2）求 的值.
解：易知 ，
所以 .
例4 已知， ，则
的值是____.
[解析] 由题可知
由①式平方 式平方得，
即 .
3.给值求角
已知三角函数值求角问题的一般解题步骤：
（1）界定角的范围，即根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
例5 已知 ， 均为锐角，且，，则
___.
[解析] 因为 , 均为锐角，且， ，
所以, ，
所以，
又 ，所以，所以，
所以 .
