2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
【课前预习】
知识点一
1.sin αcos β+cos αsin β 2.sin αcos β-cos αsin β
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (2)当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立.
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.
知识点二
1. 2.
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)还需满足α±β≠kπ+(k∈Z).
(2)当α=,β=π时,tan(α+β)=tan=tan=1,tan α+tan β=tan+tan π=1,故该说法正确.
(3)∵=tan(12°+33°)=tan 45°=1,∴tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
∴tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)D (3)-1 [解析] (1)∵cos 151°=-cos 29°,
∴原式=-sin 16°cos 29°-cos 16°sin 29°=-sin(16°+29°)=-sin 45°=-,故选A.
(2)tan 75°=tan(45°+30°) ==
===2+.故选D.
(3)原式====-1.
变式 解:(1)原式==
=
====2-.
(2)原式==tan(45°+15°)=tan 60°=.
(3)∵tan 23°+tan 37°=tan 60°(1-tan 23°tan 37°),
∴原式=-tan 23°tan 37°+tan 23°tan 37°=.
探究点二
例2 (1)A (2)D (3)- [解析] (1)∵0
(2)∵tan α=,∴tan===7.故选D.
(3)由已知得cos[(α+β)-α]=cos β=-,∵450°<β<540°,∴β为第二象限角,
∴sin β=,∴sin(60°-β)=sin 60°cos β-cos 60°sin β=×-×=-.
变式 (1)B [解析] 因为tan α=-3, 所以tan===-,所以tan=tan==7.故选B.
(2)解:(i)因为<α<,所以<+α<π,
所以sin==.
因为0<β<,所以<+β<π,
所以cos=-=-,
故sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sin=-=-=.
(ii)由(i)可得tan==-,所以tan α=tan ===7.
探究点三
例3 (1) [解析] 因为tan α=,tan β=,所以tan(α+β)===1.因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
(2)解:因为α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-.
又α-β∈,所以α-β=-.
变式 解:因为α,β∈,所以α-β∈,
又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.
由cos α=得sin α=,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,又因为β∈,所以β=.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
1.D [解析] sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.
2.A [解析] tan(α-β)===.
3.C [解析] ∵tan===-,∴tan α=-2,∵点P(1,a)在角α的终边上,
∴tan α==a,∴a=-2.
4.D [解析] tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===.
5.A [解析] ∵0<α<<β<π ,∴ <α+β<,∴sin β==,cos(α+β)=-=-,
∴sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=.故选A.
6.C [解析] 由a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1),且a⊥b,得2cos θ-sin θ=0,
即tan θ=2.∴tan===.故选C.
7.A [解析] sin(α+β)=sin=sincos-cossin,∵α∈,β∈,∴-<-α<0,<+β<,又cos=,cos=,∴sin=-,sin=,∴sin(α+β)=×-×=.故选A.
8.BC [解析] sin(-330°)=sin(-360°+30°)=sin 30°=.对于A,cos 30°=,故A不符合题意;对于B,cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=,故B符合题意;
对于C,sin 12°cos 18°+cos 12°sin 18°=sin(12°+18°)=sin 30°=,故C符合题意;对于D,=tan(30°+15°)=tan 45°=1,即tan 30°+tan 15°=1-tan 30°tan 15°,
则tan 30°+tan 15°+tan 30°tan 15°=1,故D不符合题意.故选BC.
9.ABC [解析] 因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π,0<2α<π.因为cos 2α=-,
所以sin 2α==,A正确;因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=,B正确;sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]=sin 2αcos(α+β)-cos 2αsin(α+β)=×-×=,C正确;tan(α-β)==,D错误.故选ABC.
10. [解析] sin 200°sin 230°-cos 160°sin 40°=sin(180°+20°)sin(270°-40°)-
cos(180°-20°)sin 40°=
-sin 20°(-cos 40°)+cos 20°sin 40°=sin 60°=.
11. [解析] 因为sin α=,0<α<,所以cos α=,所以sin=sin αcos+cos αsin=.
12.-1 [解析] 因为(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1,故tan(α+β)==-1.因为α+β∈(0,π),所以α+β=.
13.解:(1)sin x=sin=sincos+cossin==.
因为x∈,所以x-∈,
所以sin==,
所以sin x=×=.
(2)由(1)知sin x=,x∈,所以cos x=-,
所以sin=sin xcos+cos xsin=×+×=.
14.解:∵tan(α-β)=,tan β=-,∴tan α=tan[(α-β)+β]===,
又α∈(0,π),∴0<α<,∴0<2α<.
∵tan β=-<0,β∈(0,π),
∴<β<π,∴-π<2α-β<0.
又tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==
=1,∴2α-β=-.
15.A [解析] ∵β为锐角,∴tan β>0,∵α+β+γ=π,∴tan γ=-tan(α+β)=-=-,∴+=+==≥×=,当且仅当tan β=,即tan β=时取等号,所以+的最小值为.故选A.
16.解:因为tan A=tan[180°-(B+C)]=-tan(B+C)===-,且0°因为tan C=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)===,且0°【学习目标】
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
◆ 知识点一 两角和与差的正弦公式
1.两角和的正弦公式:
sin(α+β)= .(Sα+β)
2.两角差的正弦公式:
sin(α-β)= .(Sα-β)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)存在α,β∈R,使sin(α-β)=sin α-sin β成立. ( )
(3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立. ( )
(4) sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)·sin(36°+x)=1. ( )
◆ 知识点二 两角和与差的正切公式
1.两角和的正切公式:
tan(α+β)= .(Tα+β)
2.两角差的正切公式:
tan(α-β)= .(Tα-β)
3.两角和的正切公式的变形
=tan(α+β),1-tan αtan β=,tan α+tan β=(1-tan αtan β)·tan(α+β),tan αtan β=1-.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若公式tan(α±β)=有意义,则只需α,β≠kπ+(k∈Z)即可. ( )
(2)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. ( )
(3)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1. ( )
◆ 探究点一 公式的正用和逆用
例1 (1)sin 16°cos 151°-cos 16°sin 29°= ( )
A.- B.
C.-sin 13° D.sin 13°
(2)tan 75°= ( )
A.-2- B. -2+
C. 2- D. 2+
(3)= .
变式 求值:(1);
(2);
(3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°.
[素养小结]
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要遵循先整体后局部的基本原则,若整体符合三角函数公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形;
(2)在逆用两角和与差的正弦和正切公式时,首先要看结构是否符合公式特点,其次看角是否满足要求.
◆ 探究点二 给值求值
例2 (1)在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.- C. D.-
(2)已知tan α=,则tan= ( )
A.-7 B.-1 C. D.7
(3)若cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-,且450°<β<540°,则sin(60°-β)= .
变式 (1)若tan α=-3,则tan=( )
A.-7 B.7 C.- D.
(2)已知<α<,0<β<,cos=-,sin=.
(i)求sin(α+β)的值;
(ii)求tan α的值.
[素养小结]
解决给值求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,其具体做法如下:(1)当条件中有两角时,一般把所求角表示为已知两角的和或差;(2)当已知角只有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
◆ 探究点三 给值求角
例3 (1)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β= .
(2)已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,求α-β的大小.
变式 已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈,求β的大小.
[素养小结]
解决给值求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值之间的关系,利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式,求出所求角的三角函数值,从而求出角.给值求角本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的范围进行讨论,以免产生增解或漏解.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
一、选择题
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( )
A.- B.
C.- D.
2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于 ( )
A. B.-
C.3 D.-3
3.已知点P(1,a)在角α的终边上,tan=-,则实数a的值是 ( )
A.2 B.
C.-2 D.-
4.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α= ( )
A. B.
C. D.
5.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则sin α的值是 ( )
A. B. C. D.
6.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1),且a⊥b,则tan的值是 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
7.[2024·四川绵阳南山中学高一月考] 已知cos=,cos=,α∈,β∈,则sin(α+β)= ( )
A. B.
C.- D.-
8.(多选题)下列选项中,与sin(-330°)的值相等的是 ( )
A.cos 30°
B. cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°
C. sin 12°cos 18°+cos 12°sin 18°
D. tan 30°+tan 15°+tan 30°tan 15°
9.(多选题)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则下列结论正确的是 ( )
A.sin 2α=
B. cos(α-β)=
C. sin(α-β)=
D. tan(α-β)=2
二、填空题
10.[2024·石家庄高一期末] sin 200°sin 230°-cos 160°sin 40°= .
11.已知sin α=,0<α<,则sin= .
12.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)= ,α+β= .
三、解答题
13.已知cos=,x∈.
(1)求sin x的值;
(2)求sin的值.
14.已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.
15.[2024·广东华南师大附中高一期末] 已知α+β+γ=π,β为锐角,tan α=3tan β,则+的最小值为 ( )
A. B. C. D.
16.在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC的形状.(共40张PPT)
§2 两角和与差的三角函数公式
2.2 两角和与差的正弦、正切公式
及其应用
探究点一 公式的正用和逆用
探究点二 给值求值
探究点三 给值求角
【学习目标】
1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式,
了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行简
单的恒等变换.
知识点一 两角和与差的正弦公式
1.两角和的正弦公式:
_____________________
2.两角差的正弦公式:
_____________________
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两角和与差的正弦公式中的角 ， 是任意的.( )
√
（2）存在 ，，使 成立.( )
√
[解析] 当 ， 时， .
（3）对于任意 ，， 都不成立.
( )
×
[解析] 当 ， 时， 成立.
（4） .
( )
√
[解析] .
知识点二 两角和与差的正切公式
1.两角和的正切公式:
_ __________
2.两角差的正切公式:
_ __________
3.两角和的正切公式的变形
, ,
,
.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若公式有意义，则只需 ，
即可．( )
×
[解析] 还需满足 .
（2）存在 ，，使 成立.( )
√
[解析] 当， 时， ，
，故该说法正确.
（3） .( )
√
[解析] ,
,
.
探究点一 公式的正用和逆用
例1（1） ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
原式 ,故选A.
√
（2） ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选D.
√
（3） ____.
[解析] 原式 .
变式 求值:
（1） ；
解：原式
.
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：，
原式 .
［素养小结］
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要遵循先整体后局
部的基本原则，若整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否
则进行各局部的变形；
（2）在逆用两角和与差的正弦和正切公式时，首先要看结构是否符
合公式特点，其次看角是否满足要求.
探究点二 给值求值
例2（1） 在中，，，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] ,， .
又， .故选A.
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.7
[解析] , .故选D.
√
（3）若 ，且
，则 _ _______.
[解析] 由已知得 ，
， 为第二象限角，， .
变式（1） 若，则 ( )
A. B.7 C. D.
[解析] 因为 ，
所以 ,
所以 .故选B.
√
（2）已知,,, .
（ⅰ）求 的值;
解：因为,所以 ,
所以 .
因为,所以 ,
所以 ，
故
.
（ⅱ）求 的值.
解：由可得 ,
所以 .
［素养小结］
解决给值求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地
运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为
同角,其具体做法如下:（1）当条件中有两角时,一般把所求角表示为
已知两角的和或差;（2）当已知角只有一个时,可利用诱导公式把所
求角转化为已知角.
探究点三 给值求角
例3（1） 已知 ， 均为锐角，，，则
___.
[解析] 因为， ，
所以.
因为 ， 均为锐角，所以，所以 .
（2）已知 ， 均为锐角，且，，求
的大小．
解：因为 ， 均为锐角，且， ，
所以， ，
所以 .
又，所以 .
变式 已知，，且 ，，求 的
大小．
解：因为 ，，所以 ，
又，所以 .
由得 ，
所以，
又因为，所以 .
［素养小结］
解决给值求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值之间
的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的
三角函数值，从而求出角.给值求角本质上为给值求值问题，解题时
应注意对角的范围进行讨论，以免产生增解或漏解．
1.对两角和与差的正弦、余弦公式的理解
（1）两角和与差的正弦公式与两角差的余弦公式一样，公式对分配
律一般情况下不成立，即 .
（2）和（差）角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和（差）角公
式的特例.如
.
当 或 中有一个角是 的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.
（3）使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简
时，不要将 和
展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
.
（4）注意公式的结构特征和符号规律：
对于公式，可记为“同名相乘，符号反”；对于公式 ，
可记为“异名相乘，符号同”.
2.对两角和与差的正切公式的理解
（1）公式的适用范围：由正切函数的定义可知 ， ，
(或的终边不能落在 轴上.
（2）公式的逆用：一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值
代换，如，， 等.特别要注意
， .
（3）对于公式， 可记为“分子同，分母异”.
（4）公式的变形：见到 ， 时，要有灵活应
用公式的意识.特别是 ， 容易与根与系
数的关系联系，应注意此类题型.
1.三角函数求值问题
利用两角和与差的三角函数公式求值时,不能机械地从表面去套公式,
而要变通地从本质上使用公式,即把所求的角分解成某两个角的和或
差,并且这两个角的正、余弦值或正切值是已知的或可求的,再代入公
式即可求解.
例1 [2024·山西吕梁高一期末] 已知， ，
则 ____.
[解析] .
例2 [2024·浙江丽水高一期末] 已知 为锐角， .
（1）求 的值；
解： 为锐角，， ，
.
（2）若，求 的值.
解：， ，
或 .
2.三角函数式的化简
化简的常用方法:（1）“切”化“弦”;（2）异角化同角,异次化同次,异
名化同名;（3）活用公式:正用、逆用、变形用;（4）巧用“1”的代换.
例3 化简： .
解：原式 .
例4 ( )
A. B. C.2 D.1
√
[解析] .故选A.