2.3 三角函数的叠加及其应用
【课前预习】
知识点
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)acos α+bsin α=,令=sin φ,=cos φ,则cos α+sin α=sin(α+φ),所以tan φ=.
(2)y=sin x+acos x=sin(x+φ),其中tan φ=a,所以函数y=sin x+acos x的最大值是.
(3)y=sin 2x-cos 2x=2sin,令2x-=kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z,
所以函数y=sin 2x-cos 2x图象的对称中心是,k∈Z.
2.解:asin α+bcos α=,令=-sin φ,=cos φ,
则asin α+bcos α=(cos αcos φ-sin αsin φ)=cos(α+φ).
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)sin 15°+cos 15°=(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)=sin(15°+45°)=sin 60°=.
(2)原式=2.
方法一(化正弦):原式=2=2=2sin=2sin=-.
方法二(化余弦):原式=2=-2=-2cos=-2cos=-.
(3)cos+sin=2=2=2sin=2sin=2.
变式 (1)B (2)sin [解析] (1)cos+sin=2=2=2sin=2sin=2.故选B.
(2)sin+cos==×2==sin=sin.
探究点二
例2 A [解析] y=sin 2x-cos 2x=2sin,将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin的图象,故选A.
变式 B [解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,则将函数g(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),可得f(x)=sin的图象.故选B.
探究点三
例3 解:(1)f(x)=sin+sin+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)(i)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.又x∈,所以≤x≤,
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(ii)由(i)知,f(x)在上单调递减,在上单调递增.又f(0)=2sin=,f=2sin=2,f=2sin=-,所以当x=时,f(x)取得最大值,最大值为2;
当x=时,f(x)取得最小值,最小值为-.
变式 ACD [解析] f(x)=cos x-sin x=2 =2cos.对于A,易知函数 f(x)的最大值为 2, ∴A正确;对于B, ∵ f=2cos=2cos=0 ≠±2, ∴B错误;对于C,∵ f=2cos=2cos=0,∴C正确;对于D, ∵当 x∈时, x+∈, ∴易知函数f(x)在区间上单调递增,∴D正确.故选ACD.2.3 三角函数的叠加及其应用
1.A [解析] cos-sin=cos+sin=sin=sin=.
2.C [解析] f(x)=2sin+2cos=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为=8π,最大值为2.故选C.
3.B [解析] ∵sin=sin θ+cos θ,∴sin θ+sin=sin θ+cos θ=sin=1,∴sin=.故选B.
4.B [解析] f(x)=sin x-cos=sin x-cos x+sin x=sin,∵sin∈[-1,1],∴f(x)的值域为[-,].
5.B [解析] 因为a⊥b,所以a·b=4sin+4cos α-=2sin α+6cos α-=4sin-=0,所以sin=,则sin=-sin=-.
6.A [解析] 由y=cos 2x-sin 2x=2cos可知,函数的最大值为2,故排除D;易知函数图象过点,故排除B;易知函数图象过点,故排除C.故选A.
7.B [解析] 由题意得,f(x)=sin 2x-cos 2x =2sin,则g(x)=2sin,从而2sin=2sin=-2sin(2x-2t)=2sin(2x-2t+π),所以2t-=-2t+π+2kπ(k∈Z),即t=+(k∈Z),又t>0,所以tmin=.故选B.
8.ABC [解析] cos 10°+sin 10°=2=2sin 40°,A选项正确;cos+sin=2=2=2sin=2sin=2,B选项正确;cos-sin=cos=cos=,C选项正确;sin+cos=2=2sin=2sin,D选项错误.故选ABC.
9.ABC [解析] 函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0),当x∈[0,1]时,可得ωx+∈.因为在[0,1]内有且仅有两个不同的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=2,所以≤ω+<,解得≤ω<,结合选项可知,实数ω的值可能为π,3π和π.故选ABC.
10.-1 [解析] cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x==cos=-1.
11. [解析] 因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A)
=sin A+cos A=2sin=2sin=.
12.,k∈Z [解析] f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+1=sin+1,因为函数f(x)的最小正周期为π,ω>0,所以T==π,则ω=1,所以f(x)=sin+1.由2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,故f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
13.解:(1)f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,ω>0,则最小正周期T==π,所以ω=2.
(2)由(1)知,f(x)=2sin,令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以f(x)图象的对称中心是,k∈Z.
(3)将f(x)的图象向右平移个单位长度后可得y=2sin的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到g(x)=2sin的图象.
由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
14.解:它们叠加后对应的函数是y=y1+y2+y3=4sin+3cos 2t+2sin=4+3cos 2t+2=3sin 2t+4cos 2t==sin(2t+φ),其中tan φ=,所以它们叠加后对应的函数的振幅为,最小正周期T==π.
15.C [解析] f(x)=cos x-sin x+1=cos+1.当x∈[0,a]时,x+∈,结合余弦函数的单调递减区间可知, [0,π],所以a+≤π,又a>0,所以0
16.解:(1)由已知可得,f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin,又T==π,所以ω=1,
所以f(x)=2sin.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=2sin=2sin 2x的图象,再向上平移1个单位,得到函数y=2sin 2x+1的图象,
所以g(x)=2sin 2x+1.
由g(x)=0,可得sin 2x=-,
所以2x=+2kπ,k∈Z或2x=+2kπ,k∈Z,
所以x=+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z.
所以当x≥0时,函数g(x)=2sin 2x+1的从小到大的第10个零点为x=+4π=.
因为0≤x≤b,且y=g(x)在[0,b](b>0)上至少存在10个零点,所以b≥.所以b的最小值为.2.3 三角函数的叠加及其应用
【学习目标】
1.进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换(重点、难点).
2.会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题(重点、难点).
◆ 知识点 三角函数的叠加
辅助角公式:一般地,当a,b不同时为0时,asin α+bcos α=.
根据Sα+β,引入辅助角φ,使得=cos φ,=sin φ.
所以asin α+bcos α=·sin(α+φ)(a,b不同时为0).
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在公式acos α+bsin α=·sin(α+φ)中,tan φ=. ( )
(2)函数y=sin x+acos x的最大值是1+a. ( )
(3)函数y=sin 2x-cos 2x图象的对称中心是,k∈Z. ( )
2.试着利用两角和与差的余弦公式推导asin α+bcos α转化为cos(α+φ)的形式.
◆ 探究点一 三角函数的叠加
例1 计算:(1)sin 15°+cos 15°;
(2)sin-cos;
(3)cos+sin.
变式 (1)计算:cos+sin= ( )
A. B.2
C.2 D.
(2) 化简:sin+cos= .
[素养小结]
在三角函数公式求值或化简时,一般先观察角、函数名、所求(或所化简)问题的整体形式中的差异,再利用辅助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ)(a,b不同时为0)进行转化.
◆ 探究点二 利用三角函数的叠加解决三角函数的图象问题
例2 将函数y=sin 2x-cos 2x的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
变式 [2024·四川绵阳南山中学高一月考] 为了得到函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象,只需将函数g(x)=sin x的图象 ( )
A.向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B.向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C.所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
[素养小结]
(1)研究三角函数图象的对称性和平移变换时,都要先把三角函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式后再解决问题.
(2)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的图象的对称轴,那么只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求出x即可;如果求f(x)的图象的对称中心的横坐标,那么只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求出x即可.
◆ 探究点三 利用三角函数的叠加解决三角函数的性质问题
例3 已知函数f(x)=sin+sin+cos 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)当x∈时,
(i)求函数f(x)的单调递减区间;
(ii)求函数f(x)的最大值、最小值,并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值.
变式 (多选题)已知函数f(x)=cos x-sin x,则 ( )
A.函数f(x)的最大值为2
B. 函数f(x)的图象关于直线x=对称
C. 函数f(x)的图象关于点对称
D. 函数f(x)在区间上单调递增
[素养小结]
对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的单调区间,那么只需把ωx+φ看成整体,利用正弦函数(或余弦函数)的单调性,列出关于ωx+φ的不等式,求出x的范围即可.2.3 三角函数的叠加及其应用
一、选择题
1.cos-sin的值是 ( )
A. B. C.0 D.
2.函数f(x)=2sin+2cos的最小正周期和最大值分别是 ( )
A.4π和2 B. 4π和2
C. 8π和2 D. 8π和2
3.已知sin θ+sin=1,则sin= ( )
A. B. C. D.
4.函数f(x)=sin x-cos的值域为 ( )
A.[-2,2] B.[-,]
C.[-1,1] D.
5.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin等于 ( )
A.- B.-
C. D.
6.函数y=cos 2x-sin 2x的部分图象大致是 ( )
A B C D
7.将函数f(x)=sin 2x-cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后,得到函数g(x)的图象,若g(x)=g,则实数t的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·云南德宏州高一期末] 下列化简结果正确的是 ( )
A.cos 10°+sin 10°=2sin 40°
B.cos+sin=2
C.cos-sin=
D.sin+cos=2sin
9.(多选题)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若在[0,1]内有且仅有两个不同的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=2,则实数ω的值可能为 ( )
A.π B.3π
C.π D.π
二、填空题
10.已知cos=-,则cos x+cos的值为 .
11.在△ABC中,内角A=,则sin A-cos(B+C)= .
12.[2024·福建漳州高一期末] 已知函数f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+1(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为π,则f(x)的图象的对称中心为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)图象的对称中心;
(3)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
14.在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中,三角函数发挥了重要的作用.在这些问题中,经常会涉及“波”的叠加,在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y1=4sin,y2=3cos 2t,y3=2sin表示三个不同的波,试求它们叠加后对应的函数的振幅、最小正周期.
15.若f(x)=cos x-sin x+1在[0,a]上单调递减,则a的最大值是 ( )
A. B. C. D.π
16.已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象,若g(x)在[0,b](b>0)上至少存在10个零点,求b的最小值.(共31张PPT)
§2 两角和与差的三角函数公式
2.3 三角函数的叠加及其应用
探究点一 三角函数的叠加
探究点二 利用三角函数的叠加解决三角函数的图象
问题
探究点三 利用三角函数的叠加解决三角函数的性质
问题
【学习目标】
1.进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行
三角恒等变换（重点、难点）.
2.会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题（重点、难
点）.
知识点 三角函数的叠加
辅助角公式：一般地，当， 不同时为0时，
.
根据,引入辅助角 ，使得 ,
所以, 不同时为0).
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在公式中， .
( )
√
[解析] ，
令 ， ，
则，所以 .
（2）函数的最大值是 .( )
×
[解析] ，其中 ,
所以函数的最大值是 .
（3）函数图象的对称中心是 ，
.( )
√
[解析] ，
令 ，，解得 ， ，
所以函数图象的对称中心是, .
2.试着利用两角和与差的余弦公式推导 转化为
的形式.
解： ，
令 ， ，则 .
探究点一 三角函数的叠加
例1 计算：
（1） ;
解： .
（2） ；
解：原式 .
方法一（化正弦）：原式
.
方法二（化余弦）：原式
.
（3） .
解： .
变式（1） 计算： ( )
A. B.2 C. D.
[解析] .故选B.
√
（2）化简: _ ____________.
[解析]
.
［素养小结］
在三角函数公式求值或化简时，一般先观察角、函数名、所求
（或所化简）问题的整体形式中的差异，再利用辅助角公式
, 不同时为0)进行转化.
探究点二 利用三角函数的叠加解决三角函数的图象问题
例2 将函数的图象向左平移 个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] ，将函数
的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，故选A.
√
变式 [2024·四川绵阳南山中学高一月考]为了得到函数
的图象，只需将函数 的图象
( )
A.向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变）
B.向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）
C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移 个
单位长度
D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度
√
[解析] ，则将函数
的图象向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标
缩短到原来的（纵坐标不变），可得 的图象.
故选B.
［素养小结］
（1）研究三角函数图象的对称性和平移变换时，都要先把三角函数
化为 的形式后再解决问题.
（2）对于可化为形式的函数，如果求 的图
象的对称轴，那么只需令，求出 即可；如
果求 的图象的对称中心的横坐标，那么只需令
，求出 即可.
探究点三 利用三角函数的叠加解决三角函数的性质问题
例3 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期.
解： ，
所以函数的最小正周期 .
（2）当 时，
（ⅰ）求函数 的单调递减区间；
解：由 , ,
得 ,.
又，所以 ，
所以函数的单调递减区间为 .
（ⅱ）求函数 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大
值、最小值时的自变量 的值.
解：由知，在上单调递减，在 上单调递增.
又，， ，
所以当时， 取得最大值，最大值为2;
当时，取得最小值，最小值为 .
变式 （多选题）已知函数 ，则( )
A.函数的最大值为
B.函数的图象关于直线 对称
C.函数的图象关于点 对称
D.函数在区间 上单调递增
√
√
√
[解析] .
对于A，易知函数的最大值为， 正确；
对于B,, 错误；
对于C，, 正确；
对于D， 当时，， 易知函数 在区
间上单调递增，正确.
故选 .
［素养小结］
对于可化为形式的函数，如果求 的单调区
间，那么只需把 看成整体，利用正弦函数（或余弦函数）的
单调性，列出关于 的不等式，求出 的范围即可.
对辅助角公式的理解
（1）辅助角公式是和（差）角公式的逆用,是和（差）角公式的特例.
（2）使用公式时不一定非要求出 的值,如求函数
的最值时，只要化简成
即可，此时函数的最大值和最小值分别为5和.没有求出 不影响
求最值.
1.三角函数的叠加问题，对于两角和与差的三角函数公式，要抓住其
结构特征，在涉及相关题目时，要构造逆用公式的形式，对三角函
数式化简和求值.
例1 等于( )
A.0 B. C. D.1
[解析] 原式 .
√
2.辅助角公式及其应用：对于三角函数 ，可以
提取，化为 的形式，然后研究其周期、最
值和单调性等性质.
例2 化简： _________.
[解析] .
例3 函数 的最大值为___.
2
[解析] 由题知 ，
， ， 当，即 时，
函数 取得最大值，最大值为2.
例4 [2024·山东济南高一期末] 已知函数 的图
象关于直线对称，则 的值为___.
0
[解析] 由题意得 ，
显然，,,，
因为函数 的图象关于直线对称，所以 ,,
则 , ，可得，，
则 ，故 .