2.4 积化和差与和差化积公式
【课前预习】
知识点
[sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)]
2sincos 2cossin
2coscos -2sinsin
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× [解析] (4)cos(A+B)-cos(A-B)=-2sin Asin B.
2.解:都是任意角.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°
+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=.
(2)原式=cos 20°++(cos 100°+cos 140°)=cos 20°++2cos 120°cos 20°=cos 20°+-cos 20°=.
变式 解:(1)cos 15°cos 60°cos 75° =cos 15°cos 75°=[cos 90°+cos(-60°)]=.
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°=2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°)=2××
cos 26°++cos 26°=-cos 26°++cos 26°=-.
探究点二
例2 证明:左边=sin(α+β)cos α-
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin[(α+β)-α]=sin β=右边,所以原式成立.
变式 证明:方法一:∵tan-tan =-=
==
==
,∴原式成立.
方法二:∵===-=
tan -tan,∴原式成立.2.4 积化和差与和差化积公式
1.A [解析] sin 15°sin 105°=-[cos(15°+105°)-cos(15°-105°)]=-×=.
2.C [解析] =
=
==2.
3.B [解析] y=sincos x===sin-,∴ymax=-=.
4.D [解析] f(x)=sin xsin-=--=--=-cos+-=-cos,∴f(x)∈.结合选项知f(x)的值不可能为2,故选D.
5.B [解析] 因为cos α-cos β=,所以-2sinsin=.因为sin α-sin β=-,所以2cossin=-.因为sin≠0,cos≠0,所以-tan=-,即tan=.
6.C [解析] 因为A+B+C=π,B=,所以A+C=,所以-
则sin A+sin C=2sincos=2sincos=cos,所以sin A+sin C的取值范围是.
7.D [解析] 原式=-2sinsin+2cossin=-2sin xsin 3+
2cos xsin 3=-2sin 3(sin x-cos x)=-2sin 3sin.
8.AD [解析] 易知sin 5θ=sin(4θ+θ)=sin 4θcos θ+cos 4θsin θ,sin 3θ=sin(4θ-θ)=sin 4θcos θ-
cos 4θsin θ,cos 5θ=cos(4θ+θ)=cos 4θcos θ-sin 4θsin θ,cos 3θ=cos(4θ-θ)=cos 4θcos θ+sin 4θsin θ.所以sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,A中关系式成立;cos 3θ-cos 5θ=2sin 4θsin θ,B中关系式不成立;sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θsin θ,C中关系式不成立;选项D,右边=-[cos(θ+α)-cos(θ-α)]=
-[(cos θcos α-sin θsin α)-(cos θcos α+sin θsin α)]=-(-2sin θsin α)=sin θsin α=左边,故选项D中关系式成立.故选AD.
9.BC [解析] 因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sincos=,因为α∈(0,π),β∈(0,π),所以∈(0,π),∈,从而sin≠0,cos≠0,于是tan=,所以=,从而α-β=.故选BC.
10.π [解析] ∵f(x)=sincos x==sin+,∴f(x)的最小正周期T==π.
11. [解析] 原式===.
12. [解析] 由和差化积公式得sin 5x+sin x=2sincos=2sin 3xcos 2x,cos 5x+
cos x=2coscos=2cos 3xcos 2x,所以sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=
sin 3x(2cos 2x+1),cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1),所以==tan 3x,故tan 3x=.
13.解:(1)==
==
==.
(2)原式=2coscos+cos+cos+cos=-2coscos+2coscos+cos=cos=.
14.证明:左边==
=
==
==
===右边,所以原等式成立.
15.C [解析] ∵sin x+sin y=2sincos=2sincos,且<<,∴sin16.解:由题设条件知B=60°,A+C=120°,所以+==-2,
即cos A+cos C=-2cos Acos C,
则2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)],将cos=cos 60°=,cos(A+C)=cos 120°=-代入上式,得cos=-cos(A-C).
又cos(A-C)=cos=
coscos-sinsin=cos2-sin2=cos2-=2cos2-1,所以4cos2+2cos-3=0,
即=0.
因为2cos+3≠0,所以2cos-=0,所以cos=.2.4 积化和差与和差化积公式
【学习目标】
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差、和差化积两组公式的过程(难点).
2.会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明.
◆ 知识点 积化和差与和差化积公式
积化和差公式 sin αcos β=
cos αsin β=
cos αcos β=
sin αsin β=
和差化积公式 sin x+sin y=
sin x-sin y=
cos x+cos y=
cos x-cos y=
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(A+B)+sin(A-B)=2sin Acos B.( )
(2)sin(A+B)-sin(A-B)=2cos Asin B.( )
(3)cos(A+B)+cos(A-B)=2cos Acos B.( )
(4)cos(A+B)-cos(A-B)=2sin Acos B.( )
2.积化和差与和差化积公式中的角都是任意角吗
◆ 探究点一 利用积化和差与和差化积公式求值
例1 求值:(1)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°;
(2)cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140°.
变式 求值:(1)cos 15°cos 60°cos 75°;
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
[素养小结]
套用和差化积、积化和差公式的关键是记准、记牢公式.为了能够把三角函数式化为积或和差的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数,然后再化积,有时函数不同名,要先化为同名三角函数再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来.
◆ 探究点二 利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式
例2 求证:sin(α+β)cos α-[sin(2α+β)-sin β]=sin β.
变式 求证:tan -tan =.
[素养小结]
证明三角恒等式的基本原则是化繁为简,即由较为复杂的一边向较简单的一边证明.证明过程中要注意观察等号两边的函数名和结构形式的差异,并选择合适的三角函数公式进行转化.证明过程要清晰、完整、推理严密.2.4 积化和差与和差化积公式
一、选择题
1.sin 15°sin 105°的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
2.等于 ( )
A. B.
C. 2 D. 4
3.函数y=sincos x的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.
4.已知函数f(x)=sin x·sin-,则f(x)的值不可能是 ( )
A.- B.
C. 0 D. 2
5.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,则tan= ( )
A. B.
C. D.
6.A,B,C是△ABC的内角,且B=,则sin A+sin C的取值范围为 ( )
A.(1,2] B.
C. D.
7.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= ( )
A.2cos 3cos
B.2sin 3cos
C.-2sin 3sin
D.-2sin 3sin
8.(多选题)下列关系式中,成立的是 ( )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.sin θ·sin α=[cos(θ-α)-cos(θ+α)]
9.(多选题)若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则下列结论中正确的是 ( )
A.α-β=- B.α-β=
C.tan= D.tan=-
二、填空题
10.函数f(x)=sinsin的最小正周期为 .
11.= .
12.若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+cos 3x+cos 5x=b,则tan 3x= .(结果用a,b表示)
三、解答题
13.(1)计算:;
(2)计算:2coscos+cos+cos+cos.
14.求证:·tan 25°=.
15.若x+y=1,则sin x+sin y与1的大小关系是 ( )
A.sin x+sin y>1
B.sin x+sin y=1
C.sin x+sin y<1
D.不确定
16.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,+=-,求cos的值.(共18张PPT)
§2 两角和与差的三角函数公式
2.4 积化和差与和差化积公式
探究点一 利用积化和差与和差化积公式求值
探究点二 利用积化和差与和差化积公式证明三角
恒等式
【学习目标】
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差、和差
化积两组公式的过程（难点）.
2.会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明.
知识点 积化和差与和差化积公式
积化和 差公式
和差化 积公式
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
√
（3） .( )
√
（4） ．( )
×
[解析] .
2.积化和差与和差化积公式中的角都是任意角吗？
解：都是任意角．
探究点一 利用积化和差与和差化积公式求值
例1 求值：
（1） ；
解：
.
（2） .
解：原式 .
变式 求值：
（1） ；
解：
.
（2） .
解： .
［素养小结］
套用和差化积、积化和差公式的关键是记准、记牢公式.为了能够把
三角函数式化为积或和差的形式，有时需要把常数首先化为某个角
的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名三角函
数再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
探究点二 利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式
例2 求证： .
证明：左边
右边，所以原式成立.
变式 求证： .
证明:方法一：
， 原式成立．
方法二： ， 原式成立.
［素养小结］
证明三角恒等式的基本原则是化繁为简，即由较为复杂的一边向较
简单的一边证明.证明过程中要注意观察等号两边的函数名和结构形
式的差异，并选择合适的三角函数公式进行转化.证明过程要清晰、
完整、推理严密.
对积化和差与和差化积公式的理解：
（1）公式中的 , 都是任意角.
（2）只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式
化成积的形式．
（3）公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用,在很多时候,逆用更能
简捷地处理问题.
和差化积公式与积化和差公式应用时的注意事项：
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数，若是异名，
则必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，则必须用降幂公式降
为一次. 在应用积化和差公式时，必须是一次的三角函数，若是高次
函数，则必须先用降幂公式降为一次.
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当
作三角函数值才能应用公式，如 .
例1 化简： ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
例2 在中，若 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，，
即 的取值范围是 .故选C.
√