§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
【课前预习】
知识点一
1.sin αcos β+cos αsin β 2sin αcos α
2.cos αcos β-sin αsin β cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α
3.
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ且α≠+kπ(k∈Z).
(3)当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α.
知识点二
1.sin 2α cos 2α cos 2α cos 2α tan 2α
2.2cos2α 2sin2α 2cos2 2sin2 (1+cos 2α)
(1-cos 2α)
诊断分析
1.(1) × (2)√ [解析] (1)sin 15°cos 15°=sin 30°=.
(2)1-2sin222.5°=cos 45°=.
2.解:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)原式===.
(2)原式==-=-cos=-.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-.
(4)原式==
====.
变式 (1)- (2) [解析] (1)原式==-cos=-.
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°=
=
=
===
=.
探究点二
例2 (1)D (2) [解析] (1)由sin=-cos=-cos=,得cos=-,
所以cos=2cos2-1=-.故选D.
(2)将sin θ-cos θ=两边平方可得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=,即1-sin 2θ=,所以sin 2θ=.
(3)解:由tan α+=,得+=,
则=,即sin 2α=.
因为α∈,所以2α∈,
所以cos 2α=-=-,则sin=sin 2αcos+cos 2αsin=×-×=.
探究点三
例3 (1)-2cos α (2)1 [解析] (1)原式=-=-=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|,∵<α<,∴sin α>cos α>0,∴原式=(sin α-cos α)-(sin α+cos α)=-2cos α.
(2)原式==
==
==1.
变式 (1)D (2)0 [解析] (1)原式====tan θ.故选D.
(2)∵α为第三象限角,∴cos α<0,sin α<0,∴-=-=-=0.
探究点四
例4 解:S=S△MOE+S△MOF=×2sin x×2cos x+×2sin×2cos=sin 2x+sin=
sin 2x-cos 2x=sin,由题意要得到四边形MEOF,则x∈.§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
1.B [解析] sin415°-cos415°=(sin215°+cos215°)(sin215°-cos215°)=1×(-cos 30°)=-.
2.C [解析] ∵sin α=2sincos=2××=-<0,cos α=cos2-sin2=-=-<0,∴角α是第三象限角.故选C.
3.B [解析] 因为cos 2α=1-2sin2α=,所以sin α=±,因为α∈(0,π),所以sin α=.故选B.
4.B [解析] 因为tan α=-2,所以tan 2α===,所以===-.故选B.
5.C [解析] cos=cos=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故选C.
6.D [解析] 由cos 2θ-sin 2θ=cos2θ,得-2sin θcos θ=sin2θ,因为θ为钝角,所以sin θ>0,
所以-2cos θ=sin θ,则tan θ=-2,则tan 2θ==,tan 3θ==-.故选D.
7.D [解析] ∵α∈,∴∈,∴+=+
=+=--=-2sin.故选D.
8.A [解析] 由正弦定理得=,化简可得sin B-sin A=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),由和差化积公式和二倍角公式可得2cossin=2sincos,整理得sin=0,易知cos-cos≠0,所以sin=0,所以A=B,即△ABC一定为等腰三角形.故选A.
9.CD [解析] =====,
因为cos 2α=-,所以sin 2α=±.当sin 2α=-时,==-;当sin 2α=时,==-2.故选CD.
10.- [解析] 由题意得5sin θ=4,即sin θ=,所以cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×=-.
11. [解析] 由sin α=cos=cos α+sin α,得tan α=,所以tan 2α===.
12. [解析] 设该三角形的顶角为A,底角为B,C,则sin B=sin C=,cos A=cos(π-2B)=-cos 2B=-(1-2sin2B)=-=.
13.解:(1)由cos α=-以及α∈可得sin α==,
故sin 2α=2sin αcos α=2××=-.
(2)cos 2α=2cos2α-1=,则cos=cos 2αcos+sin 2αsin=×+×=.
14.解:(1)因为tan α==,所以sin α=cos α.
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,
所以cos 2α=2cos2α-1=-.
(2)因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).
因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,所以tan(α+β)=-2.因为tan α=,
所以tan 2α==-,所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
15.C [解析] 由题意知sin++m=sin+cos+m=+m≤0,即m≤-sin对任意的x∈恒成立.令g(x)=-sin,x∈.∵x∈,∴-≤+≤,∴g(x)min=-,∴m∈(-∞,-].故选C.
16.证明:因为tan(α-β)=sin 2β,tan(α-β)=,sin 2β=2sin βcos β==,
所以=,
整理得tan α=,所以tan α+tan β===2tan 2β.§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
【学习目标】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形应用.
◆ 知识点一 二倍角公式
1.sin(α+β)= ,令β=α,得sin 2α= .
2.cos(α+β)= ,令β=α,得cos 2α= = = .
3.tan(α+β)= ,令β=α,得tan 2α= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)10α是5α的二倍角,5α是的二倍角. ( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. ( )
(3)存在角α,使sin 2α=2sin α成立. ( )
◆ 知识点二 二倍角公式的变形
1.公式的逆用
2sin αcos α= ,cos2α-sin2α= ,2cos2α-1= ,1-2sin2α= ,=
.
2.倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式:
1+cos 2α= ,1-cos 2α= ,
1+cos α= ,1-cos α= .
降幂公式:
cos2α= ,sin2α= .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin 15°cos 15°=. ( )
(2)1-2sin222.5°=. ( )
2.试着用sin α与cos α表示1±sin 2α.
◆ 探究点一 利用公式求值
例1 求下列各式的值:
(1)sincos ;(2)sin4-cos4;
(3);(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
变式 (1)-cos2= ;
(2)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°= .
[素养小结]
二倍角公式的关注点:(1)对“二倍角”应该广义理解,如:4α是2α的二倍角,α是的二倍角,3α是的二倍角等.(2)公式的逆用:主要形式有2sin αcos α=sin 2α,sin αcos α=sin 2α,cos α=,cos2α-sin2α=cos 2α,=tan 2α.
◆ 探究点二 给值求值
例2 (1)[2024·广东深圳高级中学高一期末] 已知sin=,则cos= ( )
A. B.- C. D.-
(2)已知sin θ-cos θ=,则sin 2θ= .
(3)已知tan α+=,α∈,求cos 2α和sin的值.
[素养小结]
解决给值求值问题的方法:
(1)注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
①将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)注意几种公式的灵活应用,如:
①sin 2x=cos=cos 2=2cos2-1=1-2sin2;
②cos 2x=sin=sin 2=2sincos.
◆ 探究点三 化简
例3 (1)若<α<,则-= .
(2)化简: = .
变式 (1)化简:= ( )
A.- B.
C.-tan θ D.tan θ
(2)若α为第三象限角,则-= .
[素养小结]
三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.①对三角函数的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角函数的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,需要运用二倍角公式的变形形式.
特别注意的是,在利用二倍角公式化简三角函数式时,要注意公式的逆用与变形.
◆ 探究点四 实际应用
例4 如图,在扇形AOB中,∠AOB=,半径OA=2.在上取一点M,连接OM,过点M分别向半径OA,OB作垂线,垂足分别为E,F,得到一个四边形MEOF.设∠AOM=x,将四边形MEOF的面积S表示成x的函数,并写出x的取值范围.
[素养小结]
解答此类问题,关键是合理引入角α,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解,在求解过程中,要注意角的范围.§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
一、选择题
1.sin415°-cos415°= ( )
A. B. -
C. D. -
2.若sin=,cos=-,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.[2024·广东深圳中学高一期末] 已知角α∈(0,π),且cos 2α=,则sin α的值为 ( )
A. B.
C. D.-
4.若tan α=-2,则= ( )
A.-7 B.-
C. D.7
5.若cos=,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
6.[2024·广东高州高一期末] 已知θ为钝角,cos 2θ-sin 2θ=cos2θ,则tan 3θ的值为 ( )
A.- B.-2 C.- D.-
7.若α∈,则+的值为 ( )
A.2cos B.-2cos C.2sin D.-2sin
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则△ABC一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
9.(多选题)若cos 2α=-,则的值可能为 ( )
A. B.2
C.- D.-2
二、填空题
10.若2±是方程x2-5xsin θ+1=0的根,则cos 2θ等于 .
11.[2024·安徽阜阳三中高一期末] 已知sin α=cos,则tan 2α= .
12.已知等腰三角形底角的正弦值等于,则顶角的余弦值等于 .
三、解答题
13.[2024·天津宁河区高一期末] 已知cos α=-,α∈.
(1)求sin α,sin 2α的值;
(2)求cos的值.
14.已知α,β均为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
15.已知不等式3sincos+cos2-+m≤0对于任意的x∈恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.[,+∞) B.(-∞,) C.(-∞,-] D.[-,]
16.已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:tan α+tan β=2tan 2β.(共37张PPT)
二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
探究点一 利用公式求值
探究点二 给值求值
探究点三 化简
探究点四 实际应用
【学习目标】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余
弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公
式变形应用.
知识点一 二倍角公式
1._____________________,令 ,得 _______
______.
2._____________________,令 ,得
__________________________ ___________.
3._ __________,令 ,得 ________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 是 的二倍角， 是 的二倍角.( )
√
（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
×
[解析] 二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的
正切公式，要求 且 .
（3）存在角 ，使 成立.( )
√
[解析] 当时， .
知识点二 二倍角公式的变形
1.公式的逆用
_______,_______，
_______，_______， _______.
2.倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式:
________, ________,
________, ________.
降幂公式:
_____________, _____________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
[解析] .
（2） .( )
√
[解析] .
2.试着用 与 表示 .
解： .
探究点一 利用公式求值
例1 求下列各式的值：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 ．
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
变式（1） _ ____；
[解析] 原式 .
（2） ___.
[解析]
.
［素养小结］
二倍角公式的关注点:（1）对“二倍角”应该广义理解,如: 是 的
二倍角, 是的二倍角, 是 的二倍角等.（2）公式的逆用:主要
形式有, , ,
, .
探究点二 给值求值
例2（1） [2024·广东深圳高级中学高一期末]已知 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，
得 ，
所以 .故选D.
√
（2）已知,则 ___.
[解析] 将 两边平方可得
，即 ，
所以 .
（3）已知,,求 和 的值.
解：由,得 ,
则,即 .
因为,所以 ,
所以 ,
则 .
［素养小结］
解决给值求值问题的方法：
（1）注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的
变换和角之间的二倍关系.
（2）注意几种公式的灵活应用，如：
① ；
② .
探究点三 化简
例3（1） 若,则 _________.
[解析] 原式,
,,
原式 .
（2）化简： ___.
1
[解析] 原式
.
变式（1） 化简: ( )
A. B. C. D.
[解析] 原式
.故
选D.
√
（2）若 为第三象限角，则 ___．
[解析] 为第三象限角，， ，
.
［素养小结］
三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手
分析,消除差异.①对三角函数的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公
式;②对三角函数的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,
最终变成整式或数值;③对二次根式,需要运用二倍角公式的变形形式.
特别注意的是,在利用二倍角公式化简三角函数式时,要注意公式的逆
用与变形.
探究点四 实际应用
例4 如图，在扇形中， ，半径
.在上取一点，连接，过点 分
别向半径，作垂线，垂足分别为， ，
得到一个四边形.设，将四边形的面积表示成
的函数，并写出 的取值范围.
解：
，由题意要得到四边形，则 .
［素养小结］
解答此类问题，关键是合理引入角 ，将实际问题转化为三角函数
问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解过程中，要注意角
的范围.
1.对二倍角公式的理解
（1）公式的特征:公式左边是含 的三角函数的一次式,右边是含
的三角函数的二次式,即从左到右是升幂缩角,从右到左是降幂扩角.
（2）成立的条件:在公式,中,角 可以为任意角；只有当
且时，公式 才成立.
（3）二倍角公式中的“倍角”是相对的,不仅限于 是 的二倍形式，
只要两个角的比值等于2即可，如 是 的二倍， 是 的二
倍， 是 的二倍， 是 的二倍，是的二倍，是 的二
倍，是的二倍 等.
（4）一般情况下, ,只有当 , 时,
才成立.同理， ,
在一般情况下也不成立.
2.二倍角公式的有关变形
（1） ;
; .
（2）万能公式：； .
3.三倍角公式:
；
；
.
1.与二倍角有关的求值问题
正确处理角的倍角关系是求三角函数值的关键,在解决这种题型时,要
正确处理角的倍半关系.如 是 的二倍, 是 的二倍, 是
的二倍, 是 的二倍.同时要把已知角与所求角联系起来,
适当进行角的变换、幂的变换及结构的变换,既要结合已知条件,又要
增强目标意识,灵活运用所学的各种公式.
例1 已知 ， .
（1）求 的值;
解：因为， ，所以 ，
所以， .
（2）求 的值.
解： ，
，
所以 .
例2 [2024·广东深圳外国语学校高一期末] 已知 ，若
，则 _ _____.
[解析] 因为,所以，
又 ，，
所以 ，
所以，所以 .
2.用二倍角公式化简
切化弦、 （1的变形）、降幂与升幂是三角变形中
的常用技巧.通分、配方、因式分解则是三角变形中常用的代数变形
技巧.
例3 化简:
.
解：原式
.
3.用二倍角公式证明
（1）观察式子两边的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都
比较复杂，那么就将两边都化简，即采用“两头凑”的思想.
（2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方
面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“切化弦”等原则，设
法消除差异，达到证明的目的.
例4 求证： .
证明：方法一：左边
右边，
故原等式成立.
方法二：左边
右边，
故原等式成立.
