3.2 半角公式
【课前预习】
知识点
± ± ±
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)当α=π时,半角的正切公式不成立.
(2)只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos=.
(3)当cos=时,cos=cos α成立.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)2 [解析] 由题意得=,即1-sin α=,∴sin α=,∵450°<α<540°,
∴cos α=-,∴tan===2.
(2)解:∵π<α<,sin α=-,∴cos α=-,且<<,∴sin = =,
cos =- =-,tan ==-2.
变式 (1)D (2) [解析] (1)∵5π<θ<6π,∴<<.又cos=m,∴sin=-=-.故选D.
(2)因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+
sin αsin β=×+×=.因为<α<π且0<β<,所以0<α-β<π,故0<<,所以cos===.
(3)解:∵|cos θ|=,<θ<3π,∴cos θ=-,<<,∴sin=-=-,cos=-=-,tan===2.
例2 解:原式==
=
.∵180°<α<360°,∴90°<<180°,
∴cos<0,∴原式==cos α.
变式 解:∵α∈,∴∈,∴cos α>0,cos<0,故原式=====-cos.
探究点二
例3 证明:左边====sin 2α=右边,所以原式成立.
变式 证明:由x=2+tan得x-2=tan=,
故(x-2)2====-1,
又y=,故(x-2)2=y-1,整理得y=x2-4x+5.3.2 半角公式
1.B [解析] 因为sin=±,且0<<,所以sin===.故选B.
2.B [解析] 因为θ∈(0,π),所以∈,cos>0,所以cos===.故选B.
3.B [解析] ∵sin θ=,<θ<3π,∴cos θ=-=-,∈,∴sin=-=-,cos=-=-,∴tan==3,∴tan+cos=3-,故选B.
4.B [解析] 由题意知sin α=-,α∈,所以cos α=-,又∈,所以sin=cos=-=-.故选B.
5.B [解析] 由题意知sin Asin B=(1+cos C),即2sin Asin B=1+cos C,
∴2sin Asin B=1-cos(A+B)=1-cos Acos B+sin Asin B,∴cos Acos B+sin Asin B=1,即cos(A-B)=1.又A-B∈(-π,π),∴A-B=0,即A=B,则△ABC一定是等腰三角形.
6.B [解析] ∵x∈,∴∈,sin>0,cos>0,∴f(x)=+=+==2sin,∵+∈,∴sin∈,∴2sin∈[,2],即f(x)∈[,2].
7.A [解析] 由已知得cos α=1-sin α,代入sin2α+cos2α=1,得sin2α+=1,整理得sin2α-sin α=0,解得sin α=0或sin α=.因为α∈(0,π),所以sin α=,故cos α=1-×=,所以tan===.故选A.
8.BCD [解析] 因为===|tan α|,所以A不符合题意;因为===tan α,所以B符合题意;因为α∈(0,π),所以原式=·==
tan α,所以C符合题意;因为===tan α,所以D符合题意.故选BCD.
9.BD [解析] A中,只有当2kπ≤≤π+2kπ(k∈Z),即4kπ≤α≤2π+4kπ(k∈Z)时,才有sin=,所以A错误;B中,当cos α=-+1且π<α<π时,cos=cos α,所以B正确;C中,当α=2kπ(k∈Z)时,sin=sin α,所以C错误;D中,若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=,所以D正确.故选BD.
10. [解析] 因为===,且=,所以tan=.
11.-2 [解析] ∵sin α=-,α是第三象限角,∴cos α=-=-,∴tan===-3,∴==-2.
12.tan [解析] 方法一:原式=··=·=·==tan.
方法二:原式=tan 2α··=·=tan α·==tan.
13.解:(1)∵cos(π-α)=-cos α=,∴cos α=-.
∵α∈(-π,0),∴sin α=-=-,tan==-3-2.
(2)cos2+sin·sin=+·=+sin α+
sin ·cos =+sin α+sin α=+sin α=+=.
14.解:∵tan=,∴tan·(1+cos α)=sin α.
又∵cos=-sin α,且1-cos α=2sin2,∴原式===-.
∵0<α<π,∴0<<,∴sin>0,
∴原式=-2cos.
15.± [解析] ∵sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,∴sin(α-β-α)=,∴sin β=-,∵β是第三象限角,∴是第二、四象限角,cos β=-=-,∴sin=±=±.
16.解:(1)∵A为锐角,sin A=,
∴cos A==.
又B
∵sin 2B=,∴cos 2B==,
∴cos B==,sin B=.
∴cos C=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B
=-×+×=-,∵0°(2)证明:由(1)知A+B=45°,∴cos(A+3B)=cos(45°+2B)=cos 45°cos 2B-sin 45°sin 2B
=×-×=,∴左边=5××=,右边=2sin B=2×=,∴5cos Acos(A+3B)=2sin B.3.2 半角公式
【学习目标】
1.能用二倍角公式推导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(难点).
2.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(重点、难点).
◆ 知识点 半角公式
sin= ;
cos= ;
tan= = = .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角公式对任意角都适用. ( )
(2)cos=. ( )
(3)存在α∈R,使得cos =cos α. ( )
◆ 探究点一 应用半角公式化简与求值
例1 (1)已知sin-cos=-,450°<α<540°,则tan的值为 .
(2)已知sin α=-,π<α<,求sin ,cos ,tan 的值.
变式 (1)设5π<θ<6π,cos=m,则sin等于 ( )
A. B.
C.- D.-
(2)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,则cos = .
(3)已知|cos θ|=,且<θ<3π,求sin,cos,tan的值.
[素养小结]
利用半角公式求值的思路:(1)看角,看已知角与待求角的二倍关系;(2)明确范围,求出相应半角的范围,为定符号做准备;(3)选公式,涉及半角的正切时,常用tan==,涉及半角的正、余弦时,常利用sin2=,cos2=计算;(4)下结论,结合(2)求值.
例2 化简:(180°<α<360°).
变式 设α∈,化简:.
[素养小结]
三角函数式化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
◆ 探究点二 利用半角公式证明
例3 求证:=sin 2α.
变式 已知x=2+tan,y=,求证:y=x2-4x+5.3.2 半角公式
一、选择题
1.sin= ( )
A. B.
C.2- D.
2.已知cos θ=-,且θ∈(0,π),则cos等于 ( )
A.- B.
C. D. -
3.已知sin θ=,<θ<3π,那么tan+cos的值为 ( )
A.-3 B. 3-
C. -3- D. 3+
4.若sin(π-α)=-且α∈,则sin等于 ( )
A.- B.-
C. D.
5.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC一定是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
6.已知x∈,f(x)=+,则函数f(x)的取值范围为 ( )
A.[0,] B.[,2]
C.[0,2] D.[1,]
7.若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan等于 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列各式中,与tan α相等的是 ( )
A.
B.
C. ·(α∈(0,π))
D.
9.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.sin=
B.存在α∈R,使得cos=cos α
C.对于任意α∈R,sin=sin α都不成立
D.若α是第一象限角,则tan=
二、填空题
10.[2024·陕西西安关山中学高一期末] 已知=,则tan= .
11.若sin α=-,α是第三象限角,则= .
12.化简:··= .
三、解答题
13.已知cos(π-α)=,α∈(-π,0).
(1)求sin α与tan的值;
(2)求cos2+sin·sin的值.
14.化简:(0<α<π).
15.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=.若β为第三象限角,则sin的值是 .
16.在△ABC中,A,B为锐角且B(1)求角C的值;
(2)求证:5cos Acos(A+3B)=2sin B.(共27张PPT)
二倍角的三角函数公式
3.2 半角公式
探究点一 应用半角公式化简与求值
探究点二 利用半角公式证明
【学习目标】
1.能用二倍角公式推导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的
基本思想方法（难点）.
2.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及三角恒
等式的证明和一些简单的应用（重点、难点）.
知识点 半角公式
_ _________；
_ _________；
_ ________________ _______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）半角公式对任意角都适用.( )
×
[解析] 当 时,半角的正切公式不成立.
（2） .( )
×
[解析] 只有当 ,
即时, .
（3）存在，使得 .( )
√
[解析] 当时, 成立.
探究点一 应用半角公式化简与求值
例1（1） 已知， ，则 的值
为___.
2
[解析] 由题意得，即， ，
，， .
（2）已知，，求，， 的值．
解：，，，且 ，
， ，
.
变式（1） 设 ，，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] ，.
又 ， .故选D.
√
（2）已知 为钝角， 为锐角，且， ，则
_ ____.
[解析] 因为 为钝角， 为锐角，， ，
所以， ，
所以 .
因为 且，所以 ，故 ，
所以 .
（3）已知，且 ，求,, 的值.
解：, ,, ,
, ,
.
［素养小结］
利用半角公式求值的思路：（1）看角，看已知角与待求角的二倍关
系；（2）明确范围，求出相应半角的范围，为定符号做准备；（3）
选公式，涉及半角的正切时，常用 ，涉及半
角的正、余弦时，常利用， 计算；（4）
下结论，结合（2）求值.
例2 化简: .
解：原式
.
, ，
， 原式 .
变式 设，化简： .
解：，，， ，
故原式 .
［素养小结］
三角函数式化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函
数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤
尽量使被开方数不含三角函数.
探究点二 利用半角公式证明
例3 求证： .
证明：左边 右边,
所以原式成立.
变式 已知,，求证： .
证明：由得 ，
故 ,
又，故，整理得 .
半角公式
（1）半角公式实质上是二倍角公式的逆用变形,它们是用无理式表示
的,根号前面的符号由 对应的三角函数值的符号确定.
（2）半角正切公式除了用无理式表示的形式外,还有两个不带根号的
式子,它们的好处是回避了“ ”的讨论,一般情况下优先选用这两个式
子求解.
1.三角函数求值
（1）若没有给出角的范围,则根号前的正负号需要根据条件讨论.一
般讨论角的终边所在的象限.
（2）由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤如下:
①先化简所求的式子；
②观察已知条件与所求式子之间的联系（从角和三角函数名入手）；
③将已知条件代入所求式子,化简求值.
[解析] 因为，所以 ，
所以，所以 .
例1 若，则 ___.
例2 已知,, 与 均为锐角，求 .
解：,， .
, ,
.
若,则由 ,得 ，不符合题意，
故 ， .
.
,
，
.
2.三角恒等式的证明
三角恒等式的证明是三角函数中的一类重要问题，这类问题主
要以无条件和有条件恒等式出现.根据恒等式的特点，可采用各种不
同的方法技巧.
（1）化角
观察条件及目标式中角度间的联系，立足于消除角间存在的差
异，或改变角的表达形式，以便更好地沟通条件与结论使之统一.化
角是证明三角恒等式时的一种常用技巧.
（2）化函数
三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同
时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异
为主观点，化异为同（如化切为弦等），恰当选用公式，这也是证
明三角恒等式的一种基本技巧.
（3）化幂
应用升、降幂公式进行幂的转化，以便更好地选用公式对面临
的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧.
例3 求证： .
证明：左边
右边，得证.