单元素养测评卷(三)
1.C [解析] sin 110°cos 10°-sin 20°sin 10°=cos 20°cos 10°-sin 20°sin 10°=cos(20°+10°)=
cos 30°=.故选C.
2.B [解析] 方法一:由角α的终边在直线y=x上得tan α=,所以cos=
-sin 2α=-2sin αcos α===-.故选B.
方法二:由角α的终边在直线y=x上得tan α=>0,所以sin α与cos α同号,则cos=-sin 2α=-2sin αcos α<0,故选B.
3.B [解析] 因为sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=,又x∈,所以sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,所以sin xcos x=-,则sin x-cos x=-=-=-=-.故选B.
4.B [解析] sin 2α=-cos=-=-=-.故选B.
5.B [解析] 因为3π<α<4π,所以<<π,所以cos=-=-.故选B.
6.D [解析] 因为cos-sin α=,所以cos α-sin α=,即cos=,所以cos=,所以cos=cos=-cos 2=-2cos2+1=-2×+1=.故选D.
7.C [解析] ∵α+β=,∴tan(α+β)=1,∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+tan α·tan β=
1+tan(α+β)·(1-tan α·tan β)+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.
8.C [解析] 因为<θ<π,所以cos θ<0,又tan θ=-3,所以====
cos2θ-sin2θ====-.故选C.
9.ACD [解析] 因为(sin α+cos α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=,且<α<,所以sin α+cos α>0,所以sin α+cos α=,故A正确;因为(cos α-sin α)2=cos2α+sin2α-2sin αcos α=,且<α<,所以
sin α>cos α,所以cos α-sin α=-,故B错误,C正确;由解得所以tan α==4+,故D正确.故选ACD.
10.AD [解析] 对于A选项,cos215°-sin215°=cos 30°=,故A正确;对于B选项,sincos=sin=,故B不正确;对于C选项,sin 40°+cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=
sin 80°,故C不正确;对于D选项,tan 30°==,因为tan 15°>0,所以可得tan 15°=2-,故D正确.故选AD.
11.BD [解析] f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=cos 2ωx+sin 2ωx=2cos(ω>0),∵f(x)的最小正周期T==π,∴ω=1,故A错误;f(x)=2cos,当x∈时,2x-∈,故函数f(x)在上单调递增,故B正确;f=2cos=1,故直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C错误;f=2cos=0,故点是函数f(x)图象的一个对称中心,故D正确.故选BD .
12.3 - [解析] ∵tan=,∴=,解得tan α=3.∴===-.
13.- [解析] cos α+cos β=2coscos=2coscos=cos=,所以cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-.
14.1 [解析] 已知cos α+cos β=m,sin α-sin β=n,且m2+n2=2,则(cos α+cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得cos αcos β-sin αsin β=0,即cos(α+β)=0,则sin2(α+β)-cos(α+β)=1-cos2(α+β)-cos(α+β)=1.
15.解:(1)tan====.
(2)=====-.
16.解:(1)因为锐角α与钝角β满足sin α=,sin β=,所以cos α=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.
(2)由α∈,β∈,得α-β∈(-π,0).
又由(1)可知,cos(α-β)=-,所以α-β∈,
所以sin(α-β)=-.
因为2α-β=α+α-β,所以2α-β∈(-π,0).
又cos(2α-β)=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)=×-×=,所以2α-β=-.
17.解:(1)f(x)=sin-cos 2x+1=sin 2xcos+cos 2xsin-cos 2x+1=sin 2x+cos 2x-
cos 2x+1=sin 2x-cos 2x+1=sin+1.
由x∈,得2x-∈,
所以sin∈,
即f(x)∈,故函数f(x)的取值范围为.
(2)由f(α)=sin+1=,得sin=.
因为α为锐角,所以2α-∈,
又sin=∈,
所以2α-∈,所以cos=,所以sin=sin=sincos+cossin=×+×=.
18.解:(1)f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx+=2sin+ ,
∵f(x)的最小正周期为π,∴=π,解得ω=1,
故f(x)=2sin+.
(2)①f(x)=+a,即2sin=a,关于x的方程f(x)=+a在区间上有不同的两个根x1,x2,
则函数y=2sin与y=a的图象在区间上有两个交点,∵x∈,∴2x+∈,
∴函数y=2sin x与y=a的图象在区间上有两个交点.
易知y=2sin x在区间上单调递增,在区间上单调递减,且2sin=,2sin=-,2sin=2,作出y=2sin x在区间上的图象和直线y=a,如图,由图可知,≤a<2,
故实数a的取值范围为[,2).
②由①和正弦曲线的对称性可知,函数y=2sin x与y=a的图象在区间上的两个交点关于直线x=对称,则2x1++2x2+=π,解得x1+x2=,故sin(x1+x2)=.
19.解:(1)由题意可知,点M为的中点,所以OM⊥AD,
设OM与BC的交点为F,则BC=2Rsin θ,OF=Rcos θ,所以AB=OF-AD=Rcos θ-Rsin θ,所以S=AB·BC=2Rsin θ(Rcos θ-Rsin θ)=R2(2sin θcos θ-2sin2θ)=R2(sin 2θ-1+cos 2θ)=R2sin-R2,θ∈.
(2)因为θ∈,所以2θ+∈,
所以当2θ+=,即θ=时,S取得最大值,
所以Smax=(-1)R2=(-1)×452≈0.414×2025=838.35(m2).
故当θ=时,矩形ABCD的面积S最大,最大面积约为838.35 m2.单元素养测评卷(三)
第四章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.sin 110°cos 10°-sin 20°sin 10°的值是 ( )
A. B. - C. D.-
2.已知角α的终边在直线y=x上,则cos= ( )
A. B.- C.± D.±
3.[2023·保定高一期末] 已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x= ( )
A. B. - C. D.-
4.[2024·福州高一期末] 已知sin=,则sin 2α= ( )
A.- B. - C. D. ±
5.设3π<α<4π,cos=m,那么cos等于 ( )
A. B.-
C.- D.
6.若cos-sin α=,则cos= ( )
A. B. - C. - D.
7.已知α+β=,则(1+tan α)·(1+tan β)= ( )
A.-1 B.-2
C.2 D.3
8.[2024·河南济源高一期末] 若<θ<π,tan θ=-3,则= ( )
A.- B.- C.- D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知sin αcos α=,且<α<,则下列结论正确的是 ( )
A.sin α+cos α= B.cos α-sin α=
C.cos α-sin α=- D.tan α=4+
10.下列等式成立的是 ( )
A.cos215°-sin215°=
B. sincos=
C. sin 40°+cos 40°=sin 70°
D. tan 15°=2-
11.已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的最小正周期为π,则下列说法正确的有 ( )
A.ω=2
B. 函数f(x)在上单调递增
C. 直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D. 点是函数f(x)图象的一个对称中心
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知tan=,则tan α= ,= .
13.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)= .
14.[2023·深圳高一期末] 若cos α+cos β=m,sin α-sin β=n,且m2+n2=2,则sin2(α+β)-cos(α+β)= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·乌鲁木齐高一期末] 已知tan α=-.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
16.(15分)已知锐角α与钝角β满足sin α=,sin β=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求2α-β的值.
17.(15分)已知函数f(x)=sin-cos 2x+1,x∈R.
(1)若x∈,求函数f(x)的取值范围;
(2)已知α为锐角且f(α)=,求sin的值.
18.(17分)[2023·江西师大附中高一期中] 已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若关于x的方程f(x)=+a在区间上有不同的两个根x1,x2,求:
①实数a的取值范围;
②sin(x1+x2)的值.
19.(17分)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一座图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=,OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
(2)若R=45 m,求当θ为何值时,矩形ABCD的面积S最大 最大面积约是多少 (取≈1.414)
