习题课 空间中的垂直关系
1.D [解析] 设平面α外两点为A,B,作直线AB,若AB⊥α,则经过AB的任意一个平面都与平面α垂直,此时过平面α外两点A,B且垂直于平面α的平面有无数个;若AB与α不垂直,记A,B在平面α内的投影分别为C,D,作直线CD,则直线AB与直线CD相交(但不垂直)或平行,则过AB与CD的平面有且只有一个,因为AC⊥平面α,AC 平面ABDC,所以平面ABDC⊥平面α,此时过平面α外两点A,B且垂直于平面α的平面有1个.故选D.
2.B [解析] 如图①②,当l∥m时,α与β可能相交,也可能平行,故A为假命题;当α∥β时,设过l且与β相交的平面为γ,则γ与β的交线平行于l,由直线与平面平行的判定定理可知,必有l∥β,故B为真命题;如图③,当l与β不垂直时,存在l,m使l⊥m,故C为假命题;如图④,当l与m不平行时,存在α,β使α⊥β,故D为假命题.故选B.
3.D [解析] 根据题意,l 是平面α与β的交线,则根据二面角的定义可知,若AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β,则∠AOB为二面角的平面角,故选D.
4.C [解析] 连接DE,AC,A1D,由BC∥AD可得∠EAD即为异面直线AE与BC的夹角.因为A1A⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以A1A⊥AC,又E为A1C的中点,所以AE=A1C=×=2.同理可得A1D⊥DC,DE=A1C=2,则AE2+DE2=AD2,所以
∠EAD=,所以异面直线AE与BC夹角的余弦值为cos=.故选C.
5.A [解析] 如图所示,过点P作PO⊥平面ABC,垂足为O,连接OA,OB,OC,则OA=,OB=,OC=,因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.故选A.
6.B [解析] 对于①,由题易知AD1∥BC1,又AD1 平面ACD1,BC1 平面ACD1,所以BC1∥平面ACD1,则点P到平面ACD1的距离即为直线BC1到平面ACD1的距离h,为定值,则直线AP与平面ACD1的夹角的正弦值为,当点P在线段BC1上运动时,线段AP的长会变化,则直线AP与平面ACD1的夹角的大小会变化,故①错误;对于②,如图,设AD1∩A1D=M,因为AB⊥平面AA1D1D,A1D 平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,AB,AD1 平面ABC1D1,所以A1D⊥平面ABC1D1,又AP 平面ABC1D1,所以A1D⊥AP,所以当点P在线段BC1上运动时,直线AP与直线A1D的夹角的大小始终不变,故②正确;对于③,连接BD,DC1,因为几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AA1⊥平面ABCD,又BD 平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AC⊥BD,且AA1∩AC=A,AA1,AC 平面A1AC,所以BD⊥平面A1AC,又A1C 平面A1AC,所以BD⊥A1C,同理得DC1⊥A1C,又DC1∩BD=D,DC1,BD 平面BDC1,所以A1C⊥平面BDC1,又DP 平面BDC1,所以A1C⊥DP,故③正确.故选B.
7.BCD [解析] 对于A,B,依题意,SC⊥AC,BC⊥AC,BC∩SC=C,BC,SC 平面SBC,则AC⊥平面SBC,又SB 平面SBC,于是SB⊥AC,由∠SBA=90°,得SB⊥AB,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以SB⊥平面ABC,又BC 平面ABC,所以SB⊥BC,因为∠CBA=45°,SB∩AB=B,SB,AB 平面SBA,所以BC不垂直于平面SBA,又SB∩SA=S,SA 平面SBA,所以SA与BC不垂直,所以异面直线SA与BC的夹角不可能为90°,故A错误,B正确;对于C,由AC⊥平面SBC,AC 平面SAC,得平面SBC⊥平面SAC,故C正确;对于D,取AB的中点D,连接CD,如图,由AC=BC,得CD⊥AB,由SB⊥平面ABC,SB 平面SAB,得平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB∩平面ABC=AB,CD 平面ABC,所以CD⊥平面SAB,又∠ACB=90°,所以CD=,所以点C到平面SAB的距离是,故D正确.故选BCD.
8.BCD [解析] 对于A选项,因为AB∥E1D1,E1D1∩E1C1=E1,所以AB与E1C1异面,故A错误;对于B选项,取O,O1分别为AD,A1D1的中点,连接OO1,如图,在正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,OO1⊥平面ABCDEF,因为CE 平面ABCDEF,所以OO1⊥CE,因为底面ABCDEF是正六边形,所以AD⊥CE,又AD∩OO1=O,AD 平面ADD1A1,OO1 平面ADD1A1,所以EC⊥平面ADD1A1,故B正确;对于C选项,设AD与EC交于点M,连接D1M,因为AB=4,A1B1=3,所以AD=8,A1D1=6,又DM=2,所以AM=6, 即A1D1=AM,又A1D1∥AM,所以四边形AMD1A1是平行四边形,所以AA1∥D1M,又D1M 平面CED1,AA1 平面CED1,所以AA1∥平面CED1,故C正确;对于D选项,作A1N∥OO1,交AO于点N,因为OO1⊥平面ABCDEF,所以A1N⊥平面ABCDEF,∠A1AN为侧棱与底面的夹角,易知AN=1,在Rt△A1AN中,
cos∠A1AN==,所以∠A1AN=60°,故D正确.故选BCD.
9.①③ ②(或②③ ①) [解析] 由α⊥β,β∥γ,可得α⊥γ,故①③ ②;由α⊥γ,β∥γ,可得α⊥β,故②③ ①;若α⊥β,α⊥γ,则平面β与平面γ可以平行,也可以相交,故①② / ③.故答案为①③ ②或②③ ①.
10.① [解析] 连接AC1,因为∠BAC=90°,所以BA⊥AC,又BC1⊥AC,BA∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC 平面ABC,所以平面 ABC⊥平面ABC1.又 平面ABC∩平面ABC1=AB,所以点H在两平面的交线上,即H∈AB.故答案为①.
11.①② [解析] 对于①,若BC⊥BD,则当平面A'BD⊥平面BCD时,∵BC 平面BCD,∴BC⊥平面A'BD,∴BC⊥A'B,故①正确;对于②,若∠ABD>45°,则在翻折过程中,∠A'BA会大于90°,故存在某一位置,使∠A'BA=90°,∵AB∥CD,∴直线CD与直线A'B有可能垂直,故②正确;对于③,在△ABD中,∵AB>AD,∴∠ABD为锐角,即∠A'BD为锐角,故直线BD与直线A'B不可能垂直,故③错误;对于④,∵AB>AD,∴在△A'BC中,A'B>BC,∴∠BA'C始终为锐角,故直线A'C与直线A'B不可能垂直,故④错误.故答案为①②.
12.证明:连接BC,由圆锥的性质知,VO⊥平面ABC,
因为AC 平面ABC,所以VO⊥AC.
因为AB是底面圆的一条直径,所以BC⊥AC,
又D是AC的中点,所以OD∥BC,所以OD⊥AC.
因为VO∩OD=O,VO 平面VOD,OD 平面VOD,
所以AC⊥平面VOD,
又AC 平面VAC,所以平面VAC⊥平面VOD.
13.证明:(1)如图,连接A1B.
在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1,又EF 平面A1B1BA,BA1 平面A1B1BA,
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为AB=AC,E为BC的中点,
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,
又AE 平面ABC,所以BB1⊥AE.又BC∩BB1=B,BC 平面BCB1,BB1 平面BCB1,所以AE⊥平面BCB1.
14.解:(1)证明:由题意可得AP=DP,AQ=DQ.
如图①,取线段AD的中点R,连接PR,QR,显然AD⊥PR,AD⊥QR.因为PR∩QR=R,PR 平面PQR,QR 平面PQR,所以AD⊥平面PQR,
又PQ 平面PQR,所以AD⊥PQ.
(2)因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,CD 平面BCD,∠BCD=90°,所以CD⊥平面ABC,
又AC 平面ABC,所以AC⊥CD.
设BC=2,则AB=AC=2,CD=4,BD=AD=2.
由余弦定理得cos∠ADB===,所以AP=DP==,
所以DP=BD,BP=BD.
如图②,过P作PH⊥BC于点H,则PH∥CD,所以PH⊥平面ABC.连接AH,所以∠PAH就是直线AP与平面ABC的夹角.在Rt△PAH中,PH=CD=,
所以sin∠PAH===,
即直线AP与平面ABC夹角的正弦值为.习题课 空间中的垂直关系
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面 ( )
A.有且只有一个
B.有一个或两个
C.有且仅有两个
D.有一个或无数个
2.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且l α,m β,下列命题为真命题的是 ( )
A.若l∥m,则α∥β
B.若α∥β,则l∥β
C.若l⊥m,则l⊥β
D.若α⊥β,则l∥m
3.自二面角α-l-β的棱l上任选一点O,则下列条件能说明∠AOB是二面角α-l-β的平面角的是 ( )
A.AO⊥BO,AO α,BO β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO α,BO β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO α,BO β
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为A1C的中点,AB=AA1=2,且AD=2,则异面直线AE与BC夹角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
5.点P是平面ABC外一点,且PA=PB=PC,则点P在平面ABC上的投影一定是△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段BC1上的动点,则下列结论正确的个数是 ( )
①直线AP与平面ACD1的夹角的大小始终不变;
②直线AP与A1D的夹角的大小始终不变;
③A1C⊥DP.
A.1 B.2 C.3 D.0
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.如图,在三棱锥S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB的长为a的等腰直角三角形,则以下结论中正确的是 ( )
A.异面直线SA与BC的夹角为90°
B.直线SB⊥平面ABC
C.平面SBC⊥平面SAC
D.点C到平面SAB的距离是a
8.如图,若几何体ABCDEF-A1B1C1D1E1F1为正六棱台,A1B1=3,AB=4,AA1=2,则下列说法正确的是 ( )
A.AB∥E1C1
B.EC⊥平面ADD1A1
C.AA1∥平面CED1
D.侧棱与底面的夹角为60°
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知平面α,β,γ.给出下列三个论断:①α⊥β;②α⊥γ;③β∥γ.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .
10.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的投影H必在 (填序号).
①直线AB上;②直线BC上;
③直线CA上;④△ABC内部.
11.在平行四边形ABCD中,AB>AD,将三角形ABD沿BD翻折至三角形A'BD,则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是 (填所有符合条件的序号).
①直线BC;②直线CD;
③直线BD;④直线A'C.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)如图,V是圆锥的顶点,O是底面圆的圆心,AB是底面圆的一条直径,且点C(异于A,B)是底面圆周上一点,点D是AC的中点.求证:平面VAC⊥平面VOD.
13.(15分)[2024·山东聊城高一期中] 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC,点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证:EF∥平面A1B1BA;
(2)求证:AE⊥平面BCB1.
14.(15分)如图所示,已知△ABC与△BCD所在平面互相垂直,∠BAC=60°,
∠BCD=90°,AB=AC,CD=2BC,点P,Q分别在边BD,CD上,沿直线PQ将△PQD翻折,使D与A重合.
(1)证明:AD⊥PQ;
(2)求直线AP与平面ABC夹角的正弦值.
