单元素养测评卷(五)
1.B [解析] 对于A,若三条直线交于一点,则此时三条直线不一定在同一平面内,故A不正确;对于B,若四点不共面,则一定不存在三点共线,假设有三点在同一条直线上,则第四点与此直线确定一个平面,这样就会出现四点共面,与已知条件不符合,故假设不成立,B正确;对于C,在空间中,四条边的长度相等的四边形可能是空间四边形,故C不正确;对于D,空间四边形中存在三个角是直角的情况,故D不正确.故选B.
2.D [解析] 在菱形ABCD中,AB=1,A=,则S菱形ABCD=1×1×sin=.所以用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积S=S菱形ABCD=.故选D.
3.B [解析] 对于A,若α∥β,m∥α,则m∥β或m β,故A错误;对于B,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故B正确;对于C,当m α,n α,m∥β,n∥β时,若m,n是两条相交直线,则α∥β,若m∥n,则α,β不一定平行,故C错误;对于D,由m⊥n,m α,n β,不能得出n⊥α,故不能得出α⊥β,故D错误.故选B.
4.B [解析] 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的侧面积为3π,侧面展开图是圆心角为的扇形,所以解得所以该圆锥的高h==2.故选B.
5.D [解析] 易知所求体积V=1-8×××××=.故选D.
6.A [解析] 如图所示,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA即为PC与平面ABCD的夹角.∵四边形ABCD是边长为3的正方形,∴AC=3,∴tan∠PCA===,∴∠PCA=30°.故选A.
7.A [解析] 如图,取AD的中点Q,连接MQ,NQ.∵M,N分别是边AB,CD的中点,∴MQ∥BD,NQ∥AC,且MQ=BD,NQ=AC,∴∠MQN或其补角为异面直线AC与BD的夹角.∵AC=8,BD=6,MN=5,∴在△MQN中,MQ=3,NQ=4,MN=5,则MQ2+NQ2=MN2,即△MQN为直角三角形且∠MQN=90°,因此,异面直线AC与BD的夹角为90°.
8.A [解析] 连接OB,OC,依题意,OB=OC=SA,则SB⊥AB,SC⊥AC,因为AB⊥BC,SB∩BC=B,SB,BC 平面SBC,所以AB⊥平面SBC.又SC 平面SBC,所以AB⊥SC,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABCD,所以SC⊥平面ABCD.易得62=SA2=AC2+SC2≥2AC·SC,当且仅当AC=SC=3时取等号,即当AC=SC=3时,△SAC的面积最大,(S△SAC)max=(AC·SC)max=9.显然18=AC2=AB2+BC2≥2AB·BC,当且仅当AB=BC=3时取等号,则AB·BC≤9,于是当AB=BC=3时,△ABC的面积最大,此时AC=SC=3同时成立,三棱锥S-ABC的体积取得最大值,最大值为××9×3=.故选A.
9.ABC [解析] 画出原图(△ABC),如图所示,根据斜二测画法的特点可知OC=OA=OB=4,则∠ABC=90°,AB=CB,即三角形ABC是等腰直角三角形,其面积为×8×4=16.故A,B,C正确,D错误.故选ABC.
10.ACD [解析] 将展开图还原成正方体,如图.对于A,连接CM,显然AC∥NF∥BM,AC=NF=BM,则四边形ABMC是平行四边形,故AB∥CM,因为CM⊥EF,所以AB⊥EF,A正确;对于B,连接BF,由CF∥AN∥DB,CF=AN=DB,得四边形CDBF是平行四边形,则CD∥BF,又BF⊥MN,所以CD⊥MN,B错误;对于C,AB 平面ADBN,N∈平面ADBN,N AB,M 平面ADBN,因此MN与AB是异面直线,C正确;对于D,由选项B知,CD∥BF,因此BF与CD的夹角为0°,D正确.故选ACD.
11.BC [解析] 因为D1D∥A1A,A1A与AF不垂直,所以DD1与AF不垂直,故A错误.连接AD1,D1F,则易知AD1∥EF,所以平面AEF即平面AEFD1.连接GF,可得A1D1∥B1C1∥GF,A1D1=B1C1=GF,所以四边形A1GFD1是平行四边形,所以A1G∥D1F,又A1G 平面AEFD1,D1F 平面AEFD1,所以A1G∥平面AEFD1,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,其上底EF=,下底AD1=,腰D1F==,则梯形的高h==,则梯形的面积为××=,故C正确.因为A1G∥平面AEF,所以点G到平面AEF的距离等于点A1到平面AEF的距离,又点A1与点D关于直线AD1对称,直线AD1 平面AEF,所以点A1到平面AEF的距离等于点D到平面AEF的距离,显然点C与点D到平面AEF的距离不相等,所以点C与点G到平面AEF的距离不相等,故D错误.故选BC.
12.16π [解析] 因为圆柱的母线长为4 cm,底面半径为2 cm,所以圆柱的侧面积为2π×2×4=16π(cm2).
13.6 [解析] 将三棱锥的侧面沿着VA所在直线展开,如图所示,由题意知,△AEF周长的最小值为线段AA'的长.由VA=VA'=6,∠AVA'=120°,及余弦定理可得AA'2=62+62-2×6×6cos 120°=108,则AA'=6,所以截面三角形AEF周长的最小值为6.
14. [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BC1,FD1,AD1,如图,易知四边形ABC1D1为矩形.因为点E,F分别是棱BC,CC1的中点,所以EF∥BC1且EF=BC1,又BC1∥AD1且BC1=AD1,所以EF∥AD1且EF=AD1,即平面AEF截正方体所得截面为梯形AEFD1.设M,N分别为棱AA1,A1D1的中点,连接MN,BM,C1N,则易知MN∥EF,MB∥D1F.又MN 平面AEFD1,MB 平面AEFD1,EF,D1F 平面AEFD1,所以MN∥平面AEFD1,MB∥平面AEFD1,又MN∩MB=M,MN,MB 平面MNC1B,所以平面MNC1B∥平面AEFD1.因为动点P始终满足PC1∥平面AEFD1,且过点C1与平面AEFD1平行的平面即为平面MNC1B,所以PC1 平面MNC1B,又P在侧面ADD1A1上,侧面ADD1A1∩平面MNC1B=线段MN,所以点P的轨迹是线段MN,易知MN=,所以点P的运动轨迹的长度为.
15.证明:(1)因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD.
(2)如图,取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.
因为BC∥AD,BC=AD,
所以BC∥EF,BC=EF,
所以四边形BCEF是平行四边形,所以EC∥FB,
又EC 平面PAB,FB 平面PAB,所以EC∥平面PAB.
16.解:(1)由题意得,一个这种“浮球”由两个半球(可看作一个球)和一个圆柱组成,球的半径R=4厘米,圆柱的底面半径等于球的半径,圆柱的高h=3厘米,所以球的体积V1=πR3=π(立方厘米),圆柱的体积V2=πR2·h=48π(立方厘米),
所以一个这种“浮球”的体积V=V1+V2=π(立方厘米).
(2)球的表面积S1=4πR2=64π(平方厘米),圆柱的侧面积S2=2πRh=24π(平方厘米),所以一个这种“浮球”的表面积S=64π+24π=88π(平方厘米),1000个这种“浮球”的表面积为1000×88π=88 000π(平方厘米),因为每平方厘米需要涂胶0.02克,所以共需胶的质量为88 000π×0.02=1760π(克).
17.解:(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC.
∵PC⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PC⊥BC.
∵PC∩AC=C,PC 平面PAC,AC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
又BC 平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC.
(2)∵BC⊥平面PAC,PA 平面PAC,∴PA⊥BC.
过点C作CM⊥PA于M,连接BM,如图所示.
∵BC∩CM=C,BC,CM 平面BCM,
∴PA⊥平面BCM,
又BM 平面BCM,∴BM⊥PA,∴∠BMC即为二面角B-PA-C的平面角.
易知CM=,BC=,∠BCM=90°,
∴tan∠BMC==,∴cos∠BMC=.
18.解:(1)证明:连接AB1,交A1B于点O,连接OD,
因为四边形ABB1A1为矩形,所以O为AB1的中点.
因为D为AC的中点,所以OD∥CB1,
因为OD 平面A1BD,CB1 平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.
(2)因为AB=BC=3,AB⊥BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC,且BD=3,AC=A1C1=6.
易知CC1⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以CC1⊥BD,
因为AC∩CC1=C,AC 平面ACC1A1,CC1 平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,
即点B到平面ACC1A1的距离为BD=3.因为A1D 平面ACC1A1,所以BD⊥A1D.
在直角三角形BDA1中,A1D==5,BD=3,
所以=×3×5=.
设C1到平面A1BD的距离为d,连接BC1,DC1,易知=,且三角形A1DC1的面积为×6×4=12,
所以·d=·BD,
所以d=12×3,解得d=,即C1到平面A1BD的距离为.
19.解:(1)因为C为☉O上的一点,且AB为☉O的直径,所以∠ACB=90°.
因为∠CAB=45°,所以CO⊥AB.
因为AB=2,所以CO=1.
因为两个半圆分别所在的平面ACB与平面ADB互相垂直,且平面ACB∩平面ADB=AB,CO 平面ACB,所以CO⊥平面ADB,故CO⊥平面BOD,所以线段CO的长就是点C到平面BOD 的距离.
S△BOD=S△ABD=××1×=,
所以VC-BOD=S△BOD·CO=××1=.
(2)证明:在△AOD中,∠OAD=60°,OA=OD,所以△AOD为正三角形.
因为E为OA的中点,所以DE⊥AO,
因为平面ACB⊥平面ADB,且平面ACB∩平面ADB=AB,DE 平面ADB,所以DE⊥平面ACB,又CB 平面ACB,所以CB⊥DE.
(3)存在满足题意的点G,G为线段BD的中点,证明如下:
取线段BD的中点G,连接OG,OF,FG,如图.
在△ABD中,O,G分别为AB,BD的中点,所以OG∥AD.因为OG 平面ACD,AD 平面ACD,所以OG∥平面ACD.
在△ABC中,O,F分别为AB,BC的中点,所以OF∥AC.
因为OF 平面ACD,AC 平面ACD,所以OF∥平面ACD,
因为OG∩OF=O,所以平面OFG∥平面ACD,
又FG 平面OFG,所以FG∥平面ACD.单元素养测评卷(五)
第六章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列四个说法中正确的是 ( )
A.两两相交的三条直线必在同一平面内
B.若四点不共面,则其中任意三点都不共线
C.在空间中,四条边的长度相等的四边形是菱形
D.在空间中,有三个角是直角的四边形是矩形
2.在边长为1的菱形ABCD中,A=,则用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·江苏南京高一期中] 已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论正确的是 ( )
A.若α∥β,m∥α,则m∥β
B.若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β
C.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
D.若m⊥n,m α,n β,则a⊥β
4.[2024·江苏无锡高一期中] 已知圆锥的侧面积为3π,该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形,则此圆锥的高为 ( )
A.π B.2
C.π D.2
5.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D.
6.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD的夹角为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
7.如图,AC,BD为空间四边形ABCD的对角线,且AC=8,BD=6,M,N分别为边AB,CD的中点,MN=5,则异面直线AC与BD的夹角为 ( )
A.90° B.45°
C.60° D.30°
8.[2024·河北张家口高一期中] 已知球O为四棱锥S-ABCD的外接球,AS为球O的直径,且AS=6,AB⊥BC,则当△SAC的面积取得最大值时,三棱锥S-ABC体积的最大值为 ( )
A. B.9
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B',O'B'=2,则下列说法正确的为 ( )
A.OA=4
B.△ABC是等腰直角三角形
C.OB=4
D.△ABC的面积为8
10.[2024·广西南宁高一期中] 一个正方体的展开图如图所示,在正方体中,下列结论正确的是 ( )
A.AB⊥EF
B.CD∥MN
C.MN与AB是异面直线
D.BF与CD的夹角为0°
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则 ( )
A.直线D1D与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得截面的面积为
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知圆柱的母线长为4 cm,底面半径为2 cm,则该圆柱的侧面积为 cm2.
13.[2024·安徽宿州高一期中] 现有一块如图所示的三棱锥木料,其中∠AVB=∠AVC=∠BVC=40°,VA=VB=VC=6,木工师傅打算过点A将木料切成两部分,则截面三角形AEF周长的最小值为 .
14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面ADD1A1上的动点,且PC1∥平面AEF,则点P的运动轨迹的长度为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,2BC=AD,E是PD的中点.
(1)求证:BC∥AD;
(2)求证:CE∥平面PAB.
16.(15分)[2023·运城高一期中] 如图,某种水箱用的“浮球”由两个半球和一个圆柱组成,已知球的直径是8厘米,圆柱的高为3厘米.
(1)求一个这种“浮球”的体积;
(2)要在1000个这种“浮球”的表面涂一层胶质,如果每平方厘米需要涂胶0.02克,求一共所需胶的质量.
17.(15分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC.
(1)证明:平面PBC⊥平面PAC;
(2)设AB=PC=2,AC=1,求二面角B-PA-C的余弦值.
18.(17分)[2024·河南安阳高一期末] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.
(1)证明:CB1∥平面A1BD;
(2)若AB⊥BC,AA1=4,AB=BC=3,求C1到平面A1BD的距离.
19.(17分)如图①,☉O的直径AB=2,圆上两点C,D在直线AB的两侧,且∠CAB=45°,
∠DAB=60°,沿直线AB将半圆ACB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图②),F为BC的中点,E为AO的中点.根据图②解答下列各题:
(1)求三棱锥C-BOD的体积.
(2)求证:CB⊥DE.
(3)在线段BD上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD 若存在,试确定点G的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.
