本章总结提升
【知识辨析】
1.× 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.√ 7.× 8.×
9.√ 10.√
【素养提升】
题型一
例1 (1)AB (2)C [解析] (1)对于A,圆柱的底面是圆面,故A正确;对于B,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面,故B正确;对于C,圆台的母线延长后相交于一点,故C错误;对于D,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,故D错误.故选AB.
(2)由平面DEE1D1∥平面ABB1A1,可知平面DEE1D1与三棱柱ABC-A1B1C1的各个侧棱都平行,又三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面平行且全等,所以可得△CDE与△C1D1E1是全等三角形,四边形ABED和四边形A1B1E1D1是全等的四边形,则根据棱柱的定义可知Ⅰ,Ⅱ都是棱柱.故选C.
变式 (1)AD (2)A [解析] (1)由于AB始终在地面上,因此倾斜过程中没有水的部分是以左、右两侧的面为底面的棱柱,故A正确;题图②中水面面积比题图①中水面面积大,故B错误;倾斜过程中A1C1与水面所在平面不一定平行,故C错误;题图③中,水的体积不变,高AB不变,所以△AEH的面积不变,从而AE·AH为定值,故D正确.故选AD.
(2)由题意,正方体的表面展开图,相对面之间一定相隔一个正方形,又展开图是里面朝上展平得到的,所以根据“上北下南,左西右东”可得下图,因此标“△”的面的方位是南.故选A.
题型二
例2 (1)A (2)D [解析] (1)设直观图中的正方形为O'A'B'C'(A'在x'轴上),则有O'A'=1,O'B'=,则对应在原图形中有OA⊥OB,且OA=1,OB=2,故选A.
(2)因为直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,所以A'C'=,A'C'∥y'轴,根据原图形中平行于y轴的线段在直观图中仍平行于y'轴,且长度变为原来的一半,可得AC=2,AC∥y轴,所以△ABC的边BC上的高为AC=2.故选D.
题型三
例3 (1)B (2)C (3)AC [解析] (1)设底面半径均为R,圆锥的母线长为l,则l=.由题可知2πR·=×2πRl,解得l=2,则=2,∴R=3,∴圆锥的体积V=πR2·=3π.故选B.
(2)设圆柱的底面半径为r,由题意结合正弦定理有2r=,解得r=,从而圆柱的高h===,所以圆柱的体积V=πr2h=π××=.故选C.
(3)如图,取AC的中点D,连接OD,PD,PO,则OD⊥AC,PD⊥AC,故∠PDO为二面角P-AC-O的平面角,得∠PDO=45°.因为∠APB=120°,PA=2,所以AB=2,PO=1,故圆锥的体积V=×π×()2×1=π,故A正确;S圆锥侧=π××2=2π,故B错误;由∠PDO=45°,可得DO=1,故AC=2×=2,故C正确;易知PO⊥DO,由PO=1,DO=1,得PD=,则S△PAC=×2×=2,故D错误.故选AC.
变式 (1)B (2)C (3)D [解析] (1)由题意可知球心为圆柱的中心,则圆柱底面圆的半径r==,故圆柱的体积V=π××1=.
(2)由题意知,水库水位为海拔148.5 m时,相应水面(棱台的上底面)的面积为140.0 km2=140×106 m2,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面(棱台的下底面)的面积为180.0 km2=180×106 m2,水面上升的高度为157.5-148.5=9(m),所以增加的水量(棱台的体积)V=×9×(140×106++180×106)=3×(320×106+60×106)≈3×(320×106+60×2.65×106)=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
(3)设圆柱的半径为r,由题意得=,即r=1-x,0题型四
例4 C [解析] 对于①,由M,N分别为D1C1,A1D1的中点易知MN∥AC,连接AM,CN,由BP=BD1,易得AM,CN交于点P,即MN 平面APC,故①错误;对于②,由①可知M,N在平面APC上,连接AN,由题易知AN∥C1Q,AN 平面APC,C1Q 平面APC,所以C1Q∥平面APC,故②正确;对于③,由①知A,P,M三点共线,故③正确;对于④,由①知MN 平面APC,又MN 平面MNQ,Q 平面APC,所以平面MNQ与平面APC相交,故④错误.综上所述,②③正确,①④错误.故选C.
例5 证明:(1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ.∵NQ是△PDC的中位线,∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD,PD 平面PAD,∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中点,Q是DC的中点,四边形ABCD是平行四边形,∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD,AD 平面PAD,∴MQ∥平面PAD.
∵NQ 平面MNQ,MQ 平面MNQ,MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN 平面MNQ,∴MN∥平面PAD.
(2)由(1)可得,平面MNQ∥平面PAD,又平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PAD∩平面PEC=PE,∴MN∥PE.
变式 证明:如图,连接BO,并延长BO交AC于G,连接DG,
∵AB=AC=6,AB⊥AC,F是棱BC的中点,∴AF=3,又AO=2,
∴O是△ABC的重心,∴=2.
∵D是侧棱CC1的中点,∴BB1=2CD,由△CDE∽△B1BE得==2,∴=,∴OE∥GD.又OE 平面AA1C1C,GD 平面AA1C1C,
∴OE∥平面AA1C1C.
题型五
例6 BD [解析] 因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,因为点C是以AB为直径的圆上异于A,B的任一点,所以BC⊥AC,因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以BC⊥平面PAC,因为BC 平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC,故B,D正确;因为PA⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以PA⊥AC,则∠ACP为锐角,即AC与PC不垂直,故AC与平面PBC不垂直,故C错误;假设AC⊥PB,则由AC⊥BC,PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,可得AC⊥平面PBC,由C选项分析可知不成立,故A错误.故选BD.
例7 证明:(1)取CC1的中点G,连接BG,AF,如图,
由E为BB1的中点,四边形BCC1B1为正方形,可得四边形BGC1E为平行四边形,则BG∥EC1,
由F为DD1的中点,结合正方体的性质可得AF∥BG,
所以AF∥EC1,所以A,F,C1,E四点共面,
故点A在平面C1EF内.
(2)取EF的中点H,连接C1H,如图,易证C1E=C1F,
所以C1H⊥EF,又O为△C1EF的重心,所以点O在线段C1H上.
由点E,F分别是棱BB1,DD1的中点,
结合正方体的性质可得EF∥B1D1,又D1B1⊥BB1,
所以EF⊥BB1,又CC1∥BB1,所以EF⊥CC1.
因为CC1,C1H 平面CC1O,CC1∩C1H=C1,
所以EF⊥平面CC1O,又CO 平面CC1O,
所以CO⊥EF.
变式 解:(1)证明:如图,连接BC1,AD1,BD,B1D1,因为AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C,
又B1C⊥BC1,且AB∩BC1=B,AB,BC1 平面ABC1D1,
所以B1C⊥平面ABC1D1,又BD1 平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.
因为B1B⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以B1B⊥AC,
又BD⊥AC,B1B∩BD=B,B1B,BD 平面BB1D1D,
所以AC⊥平面BB1D1D,又BD1 平面BB1D1D,
所以AC⊥BD1.又B1C∩AC=C,B1C,AC 平面B1AC,
所以BD1⊥平面B1AC.
(2)设BD∩AC=O,连接B1O,由B1A=B1C,O为AC的中点,得B1O⊥AC,且B1O==a,
所以=B1O·AC=×a·a=a2,S△ABC=a2.
设点B到平面B1AC的距离为h,由=,得BB1·S△ABC=h·,
即·a2=·a2,解得h=a,
即点B到平面B1AC的距离为a.
题型六
例8 B [解析] 方法一:设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h,由S△ABC=×62=9,=×22=,=h(S△ABC++)=,解得h=.设O1,O分别为△A1B1C1和△ABC的中心,如图,连接A1O1,OO1,AO,过A1作A1H⊥AO于H,易知A1H⊥平面ABC,∠A1AH即为A1A与平面ABC所成的角.易知AH=AO-A1O1=×6-×2=,A1H=,所以tan∠A1AH==1.
方法二:设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h.如图,延长AA1,BB1,CC1,则三条直线交于一点O,设O1,O2分别为△A1B1C1,△ABC的中心,连接OO2,则O1在线段OO2上,OO2⊥平面ABC,连接AO2,则∠OAO2即为AA1与平面ABC所成的角.由题知AB=3A1B1,得OO1=h,OO2=h.由题得S△ABC=9,=,由×9×h-××h=,得h=,易知AO2=2,所以tan∠OAO2==h=1.
例9 解:(1)证明:如图,过点D作DO⊥AC,交直线AC于点O,连接OB.
由∠ACD=45°,DO⊥AC得CD=CO,
由平面ACFD⊥平面ABC,平面ACFD∩平面ABC=AC,DO 平面ACFD,得DO⊥平面ABC,
又BC 平面ABC,所以DO⊥BC.
由∠ACB=45°,BC=CD=CO得BO⊥BC.
因为BO∩DO=O,所以BC⊥平面BDO,
又DB 平面BDO,故BC⊥DB.
由三棱台ABC-DEF得BC∥EF,所以EF⊥DB.
(2)如图,过点O作OH⊥BD,交直线BD于点H,连接CH.
由三棱台ABC-DEF得DF∥CO,
所以直线DF与平面DBC的夹角等于直线CO与平面DBC的夹角.
由BC⊥平面BDO,OH 平面BDO得OH⊥BC,
又BC∩BD=B,故OH⊥平面BCD,
所以∠OCH为直线CO与平面DBC的夹角.
设CD=2.
由题意得DO=OC=2,BO=BC=,由DO⊥平面ABC,BO 平面ABC,得DO⊥BO,
则BD=,OH=,
所以sin∠OCH==,
因此,直线DF与平面DBC的夹角的正弦值为.
变式 解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
∴PA⊥AD.
又∵AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB,
∴AD⊥平面PAB,∵AB 平面PAB,∴AD⊥AB.
在△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.
∵A,B,C,D四点共面,∴AD∥BC,
又∵BC 平面PBC,AD 平面PBC,
∴AD∥平面PBC.
(2)如图所示,过点D作DE⊥AC于E,过点E作EF⊥CP于F,连接DF.
∵PA⊥平面ABCD,PA 平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABCD,
又平面PAC∩平面ABCD=AC,DE⊥AC,∴DE⊥平面PAC.
又CP 平面PAC,∴DE⊥CP,又EF⊥CP,DE∩EF=E,∴CP⊥平面DEF,得DF⊥CP,
根据二面角的定义可知,∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角,
即sin∠DFE=,又∠DFE为锐角,∴tan∠DFE=.
设AD=x(0则CE==,又△EFC为等腰直角三角形,∴EF=,
故tan∠DFE===,解得x=,即AD=.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.有三个公共点的两个平面必定重合. ( )
2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥. ( )
3.若α∥β,l为平面α内任意一条直线,则直线l到平面β的距离等于两个平面间的距离. ( )
4.一条直线和另一条直线平行,它就和过另一条直线的任何平面都平行. ( )
5.由斜二测画法可知平面图形的面积是其直观图面积的2倍. ( )
6.若一条直线平行于两个平面的交线,则这条直线至少平行于这两个平面中的一个. ( )
7.圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环. ( )
8.四边形的两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形. ( )
9.空间中垂直于梯形两腰的直线必定垂直于梯形的两底. ( )
10.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在垂直于平面β的直线. ( )
◆ 题型一 基本立体图形
[类型总述] (1)柱、锥、台、球的几何特征;(2)多面体与旋转体;(3)简单组合体.
例1 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.圆柱的底面是圆面
B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交
D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
(2)如图,三棱柱ABC-A1B1C1被平面DEE1D1截成两个几何体Ⅰ,Ⅱ,且平面DEE1D1∥平面ABB1A1,则 ( )
A.Ⅰ是棱柱,Ⅱ不是棱柱
B.Ⅰ不是棱柱,Ⅱ是棱柱
C.Ⅰ是棱柱,Ⅱ是棱柱
D.Ⅰ不是棱柱,Ⅱ不是棱柱
变式 (1)(多选题)如图,向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器一边AB于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下列结论中正确的是 ( )
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.A1C1始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜度如图③所示时,AE·AH为定值
(2)正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,里面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是 ( )
A.南 B.北
C.西 D.下
◆ 题型二 几何图形的直观图
[类型总述] (1)直观图;(2)直观图与原图形之间的关系.
例2 (1)利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形,如图所示,则原图形的形状是 ( )
A B C D
(2)[2024·山东威海高一期中] 用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC的边BC上的高为 ( )
A.1 B.2
C. D.2
◆ 题型三 简单几何体的表面积与体积的计算
[类型总述] (1)体积公式;(2)表面积公式;(3)内接(外切);(4)轴截面.
例3 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 ( )
A.2π B.3π
C.6π D.9π
(2)如图,四面体的各个面都是边长为2的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,则圆柱的体积是 ( )
A.π B.π
C.π D.π
(3)(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O的平面角为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
变式 (1)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( )
A.π B. C. D.
(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65) ( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
(3)如图,一个圆锥的底面半径为1,高为1,且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上,上底面与圆锥的侧面相切),则此圆柱侧面积的最大值为 ( )
A. B. C. D.
◆ 题型四 空间中的平行关系
[类型总述] (1)线线平行;(2)线面平行;(3)面面平行;(4)平行的判定定理与性质定理.
例4 [2024·陕西渭南高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1.给出以下四个说法:
①MN∥平面APC;②C1Q∥平面APC;
③A,M,P三点共线;④平面MNQ∥平面APC.
其中正确说法的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
例5 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE.求证:
(1)MN∥平面PAD;
(2)MN∥PE.
变式 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=6,AB⊥AC,F是棱BC的中点,点O在线段AF上,AO=2,D是侧棱CC1的中点,BD∩CB1=E.证明:OE∥平面AA1C1C.
◆ 题型五 空间中的垂直关系
[类型总述] (1)线线垂直;(2)线面垂直;(3)面面垂直;(4)垂直的判定定理与性质定理.
例6 (多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B的任一点,则下列结论中正确的是 ( )
A.PB⊥AC
B.PA⊥BC
C.AC⊥平面PBC
D.平面PAC⊥平面PBC
例7 已知正方体ABCD-A1B1C1D1被平面AB1D1截后所得的几何体如图所示,点E,F分别是棱BB1,DD1的中点,且O为△C1EF的重心.
(1)证明:点A在平面C1EF内;
(2)证明:CO⊥EF.
变式 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求证:BD1⊥平面B1AC;
(2)求点B到平面B1AC的距离.
◆ 题型六 空间角的求解
[类型总述] (1)线线角;(2)线面角;(3)二面角.
例8 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为 ( )
A. B.1 C.2 D.3
例9 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=
∠ACD=45°,DC=2BC.
(1)证明:EF⊥DB;
(2)求直线DF与平面DBC的夹角的正弦值.
变式 [2024·新课标Ⅰ卷] 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.(共60张PPT)
本章总结提升
题型一 基本立体图形
题型二 几何图形的直观图
题型三 简单几何体的表面积与体积的计算
题型四 空间中的平行关系
题型五 空间中的垂直关系
题型六 空间角的求解
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.有三个公共点的两个平面必定重合.( )
×
2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )
×
3.若 ，为平面 内任意一条直线，则直线到平面 的距离等
于两个平面间的距离.( )
√
4.一条直线和另一条直线平行，它就和过另一条直线的任何平面都平
行.( )
×
5.由斜二测画法可知平面图形的面积是其直观图面积的2倍.( )
×
6.若一条直线平行于两个平面的交线，则这条直线至少平行于这两个
平面中的一个.( )
√
7.圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环.( )
×
8.四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.( )
×
9.空间中垂直于梯形两腰的直线必定垂直于梯形的两底.( )
√
10.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在垂直于平
面 的直线.( )
√
题型一 基本立体图形
［类型总述］（1）柱、锥、台、球的几何特征;（2）多面体与旋转
体;（3）简单组合体.
例1（1） （多选题）下列说法正确的是( )
A.圆柱的底面是圆面
B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
√
√
[解析] 对于A,圆柱的底面是圆面，故A正确；
对于B,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面,故B正确；
对于C,圆台的母线延长后相交于一点，故C错误；
对于D,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,故D错误.
故选 .
（2）如图，三棱柱被平面 截成两个几何体Ⅰ，
Ⅱ，且平面平面 ，则( )
A.Ⅰ是棱柱，Ⅱ不是棱柱 B.Ⅰ不是棱柱，Ⅱ是棱柱
C.Ⅰ是棱柱，Ⅱ是棱柱 D.Ⅰ不是棱柱，Ⅱ不是棱柱
√
[解析] 由平面平面,
可知平面 与三棱柱的各个侧棱都平行,
又三棱柱 的上、下底面平行且全等,
所以可得与 是全等三角形,
四边形和四边形 是全等的四边形,
则根据棱柱的定义可知Ⅰ,Ⅱ都是棱柱.
故选C.
变式（1） （多选题）如图，向透明塑料制成的长方体容器
内灌进一些水，固定容器一边 于地面上，再将
容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列结论中正确的是( )
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.水面 所在四边形的面积为定值
C. 始终与水面所在平面平行
D.当容器倾斜度如图③所示时， 为定值
√
√
[解析] 由于 始终在地面上，因此倾斜过程中没有水的部分是以左、
右两侧的面为底面的棱柱，故A正确；
题图②中水面面积比题图①中水面面积大，故B错误；
倾斜过程中 与水面所在平面不一定平行，故C错误；
题图③中，水的体积不变，高不变，所以 的面积不变，
从而为定值，故D正确.
故选 .
（2）正方体的六个面根据其方位分别标记为
上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体
的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到
如图所示的平面图形，则标“ ”的面的方位
是( )
A.南 B.北 C.西 D.下
√
[解析] 由题意,正方体的表面展开图,相对面之间一定相隔一个正方形，
又展开图是里面朝上展平得到的，
所以根据“上北下南，左西右东”可得下图，
因此标“ ”的面的方位是南.故选A.
题型二 几何图形的直观图
［类型总述］（1）直观图;（2）直观图与原图形之间的关系.
例2（1） 利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，
得到的直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则原图形的形状
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设直观图中的正方形为在轴上)，
则有 , ,
则对应在原图形中有，且, ，故选A．
（2）[2024·山东威海高一期中]用斜二测画法画水平放置的 的
直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边 的
中点，且，则的边 上的高为( )
A.1 B.2 C. D.
√
[解析] 因为直观图是等腰直角三角形, ,，
所以，轴，
根据原图形中平行于 轴的线段在直观图中仍平行于 轴，
且长度变为原来的一半，可得，轴，
所以的边上的高为 .故选D.
题型三 简单几何体的表面积与体积的计算
［类型总述］（1）体积公式;（2）表面积公式;（3）内接（外切）;
（4）轴截面.
例3（1） [2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面
积相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 .
由题可知,解得,则,
, 圆锥的体积 .故选B.
√
（2）如图，四面体的各个面都是边长为2的正三
角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，
另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆柱的底面半径为 ，
由题意结合正弦定理有，解得 ，
从而圆柱的高 ，
所以圆柱的体积 .
故选C.
（3）（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 已知圆锥的顶点为 ，底面圆
心为，为底面直径， ，，点 在底面圆周
上，且二面角的平面角为 ，则( )
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
√
√
[解析] 如图，取 的中点D,
连接，，，则 ，，
故 为二面角 的平面角，
得 .
因为 ，，所以， ，
故圆锥的体积 ，故A正确；
，故B错误；
由 ，可得，故 ，故C正确；
易知，由， ，得 ,
则 ，故D错误.
故选 .
变式（1） 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一
个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知球心为圆柱的中心,
则圆柱底面圆的半径,
故圆柱的体积 .
√
（2）[2022·新高考全国Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资
源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为;水位为海拔 时，相
应水面的面积为 .将该水库在这两个水位间的形状看作一个
棱台，则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量
约为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的上底面）的面积为,水库水位为海拔时，
相应水面（棱台的下底面）的面积为 ,
水面上升的高度为 ，
所以增加的水量（棱台的体积）
.故选C.
（3）如图，一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一
个高为 的圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面与圆锥的侧
面相切），则此圆柱侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设圆柱的半径为，由题意得，即, ，
则圆柱的侧面积 ，
，
当 时，圆柱的侧面积取得最大值 .故选D.
题型四 空间中的平行关系
［类型总述］（1）线线平行;（2）线面平行;（3）面面平行;（4）
平行的判定定理与性质定理.
例4 [2024·陕西渭南高一期中]在正方体
中，，，分别是棱 ，
，的中点，点在上且 .给出以
，，三点共线；④平面平面 .
其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
下四个说法：
平面；平面 ；
√
[解析] 对于①，由,分别为, 的中点易知
，连接，，由 ，
易得交于点，即 平面 ，故①错误；
对于②，由①可知，在平面上，连接,由题易知 ，
平面， 平面，所以平面 ，故②正确；
对于③,由①知A，，三点共线，故③正确；
对于④，由①知 平面，又 平面， 平面，
所以平面 与平面 相交，故④错误.
综上所述,②③正确，①④错误.故选C.
例5 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，, 分别是
,的中点，平面与平面交于 .求证:
（1）平面 ；
证明：如图，取的中点，连接 ,
是的中位线， .
平面, 平面，
平面 .
是的中点，是的中点，四边形 是平行四边形，
.
平面, 平面，平面 .
平面,平面, 平面 平面
平面，平面 .
（2） .
解：由（1）可得，平面平面，
又平面 平面，平面 平面，
.
变式 如图，在三棱柱中，， ，
是棱的中点，点在线段上，，是侧棱 的中
点， .
证明：平面 .
证明：如图，连接，并延长交于 ，
连接 ，
，，是棱 的中点，
，
又 ，是的重心， .
是侧棱的中点，,
由 得，，.
又 平面， 平面 ，平面 .
题型五 空间中的垂直关系
［类型总述］（1）线线垂直;（2）线面垂直;（3）面面垂直;（4）
垂直的判定定理与性质定理.
例6 （多选题）如图，垂直于以 为直径的圆所在的
平面，点是圆周上异于， 的任一点，则下列结论中
正确的是( )
A. B.
C. 平面 D.平面 平面
√
√
[解析] 因为 平面， 平面 ，所以，
因为点C是以 为直径的圆上异于A,B的任一点,所以，
因为，， 平面，
所以 平面，
因为 平面 ，所以平面 平面，故B，D正确；
因为 平面， 平面，所以，则为锐角，
即与不垂直，故 与平面不垂直，故C错误；
假设，则由 ，，， 平面，
可得 平面 ，由C选项分析可知不成立，故A错误.
故选 .
例7 已知正方体被平面 截后所得的几何体
如图所示，点，分别是棱,的中点，且为 的重心.
（1）证明:点在平面 内；
证明：取的中点，连接, ，如图，
由为的中点，四边形 为正方形，
可得四边形 为平行四边形，
则 ，
由为 的中点，
结合正方体的性质可得 ，
所以，所以，，， 四点共面，
故点在平面 内.
（2）证明: .
解：取的中点，连接 ，如图，
易证 ，所以，
又为 的重心，所以点在线段 上.
由点，分别是棱, 的中点，
结合正方体的性质可得 ，
又 ，所以，
又，所以 .
因为， 平面， ，所以 平面，
又 平面 ，所以 .
变式 如图，已知正方体的棱长为 .
（1）求证： 平面 ；
证明：如图，连接,,, ，
因为 平面， 平面 ,
所以 ，
又，且,， 平面
， 所以 平面，
又 平面，所以 .
因为 平面， 平面，所以 ，
又,,， 平面 ，
所以 平面，
又 平面 ，所以.
又,， 平面 ，所以 平面 .
（2）求点到平面 的距离.
解：设,连接,由 ,
为的中点，得 ，
且 ，
所以, .
设点到平面的距离为，
由 ，得 ，
即，解得 ，
即点到平面的距离为 .
题型六 空间角的求解
［类型总述］（1）线线角;（2）线面角;（3）二面角.
例8 [2024· 新课标Ⅱ卷]已知正三棱台的体积为 ,
,,则与平面 所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
√
[解析] 方法一：设正三棱台的高为 ,
由, ,
，解得.
设, 分别为和的中心，如图，
连接,, ，过 作于，易知 平面，
即为与平面 所成的角.
易知, ,
所以 .
方法二：设正三棱台的高为 .如图，
延长,,,则三条直线交于一点，
设, 分别为,的中心，连接,
则 在线段上， 平面，连接,
则 即为与平面所成的角.
由题知，得 , .
由题得, ,
由 ，得,
易知 ,所以 .
例9 如图，在三棱台中，平面 平面
， ， .
（1）证明： ；
证明：如图，过点作，交直线于点 ，
连接 .
由 ,得 ,
由平面平面,平面 平面,平面，
得 平面 ，
又 平面，所以 .
由 ，得 .
因为，所以 平面 ，
又 平面，故 .
由三棱台得，所以 .
（2）求直线与平面 的夹角的正弦值.
解：如图，过点作，交直线于点 ，
连接 .
由三棱台得 ，
所以直线与平面的夹角等于直线 与平
面 的夹角.
由 平面， 平面得 ，
又，故 平面 ，
所以为直线与平面 的夹角.
设 .
由题意得， ，
由 平面， 平面，得 ，
则， ，
所以 ,
因此，直线与平面的夹角的正弦值为 .
变式 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图，四棱锥中， 底面
，，， .
（1）若，证明：平面 ；
解：证明： 平面， 平面 ，
.
又，,, 平面 ，
平面，
平面 ， .
在中，， .
，，，四点共面， ，
又 平面， 平面 ，
平面 .
（2）若，且二面角的正弦值为,求 .
解：如图所示，过点作于，
过点 作于，连接 .
平面， 平面 ，
平面 平面 ，
又平面 平面， ，
平面 .
又 平面，，
又，， 平面，得 ，
根据二面角的定义可知，即为二面角 的平面角，
即，
又 为锐角， .
设，则 ，
由等面积法可得， ，
则 ，
又为等腰直角三角形， ，
故，解得 ，
即 .
