(共61张PPT)
基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体—— 棱柱、棱锥和棱台
探究点一 空间几何体的基本元素
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究点三 多面体的识别和判断
探究点四 多面体的表面展开图
【学习目标】
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
3.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
知识点一 空间几何体的基本元素
1.空间几何体的基本元素
空间几何体的基本元素是____、__________________、___________
_______等.
点
线（直线和曲线）
面（平面和曲面）
2.平面
①平面的画法：
一般地，用____________表示平面，当平面水 平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 ____，横边长画成邻边长的____倍 ____________________________________
_____________________________________________
平行四边形
两
当两个平面相交时，把被遮挡部分画成______ 或不画 ____________________________________________________
____________________________________________________
虚线
续表
②平面的表示方法：
用希腊字母表示，如平面 ，平面 ，平面 ；
用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面 ；
用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示，如平面 .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面的形状是平行四边形.( )
×
（2）只能用平行四边形来表示平面.( )
×
（3）平面 的面积是100平方厘米.( )
×
[解析] 平面是无限延展的，不计面积，而平行四边形是平面的一部
分，它是不能无限延展的，故 错误；
有时依据具体情况，可以用其他平面图形，如圆、三角形等表示平面，
故（2）错误.
知识点二 多面体及棱柱
1.多面体：由____________围成的几何体叫作多面体.这些多边形称
为多面体的____;两个相邻的面的公共边称为多面体的____;棱与棱的
公共点称为多面体的______.
平面多边形
面
棱
顶点
2.棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 有两个面是边数相 同的多边形，且它 们所在平面相互 ______,其余各面都 是________,并且每 相邻两个四边形的 公共边都相互平 行，像这样的几何 体称为棱柱 ____________________________________________ 如图,可记作棱柱 或棱柱 底面（底）:两 个互相平行的 面. 侧面:除底面外 其余各面. 侧棱:相邻侧面 的公共边. 按底面
多边形
的边数
分:三棱
柱、四
棱柱、
五棱
柱……
平行
四边形
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 有两个面是边数相 同的多边形，且它 们所在平面相互 ______,其余各面都 是________,并且每 相邻两个四边形的 公共边都相互平 行，像这样的几何 体称为棱柱 ____________________________________________ 如图,可记作棱柱 或棱柱 顶点:侧面与底 面的公共顶点. 高：两底面间 的距离. 按底面
多边形
的边数
分:三棱
柱、四
棱柱、
五棱
柱……
平行
四边形
续表
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 有两个面是边数相 同的多边形，且它 们所在平面相互 ______,其余各面都 是________,并且每 相邻两个四边形的 公共边都相互平 行，像这样的几何 体称为棱柱 ____________________________________________ 如图,可记作棱柱 或棱柱 对角线：既不 在同一底面上 也不在同一个 侧面上的两个 顶点的连线 按底面
多边形
的边数
分:三棱
柱、四
棱柱、
五棱
柱……
平行
四边形
续表
3.几个特殊的棱柱的概念
（1）直棱柱:________________________的棱柱称为直棱柱
（如图①③）.
（2）斜棱柱:________________的棱柱称为斜棱柱（如图②④）.
（3）正棱柱:底面是__________________称为正棱柱（如图③）.
侧面平行四边形都是矩形
除了直棱柱以外
正多边形的直棱柱
（4）平行六面体:底面是____________的棱柱称为平行六面体
（如图④）.
平行四边形
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱.
( )
×
（2）棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面.( )
×
（3）棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形.( )
×
（4）有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
( )
×
（5）长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体.( )
×
（6）棱柱最多有两个面是矩形.( )
×
[解析] 对于（1）（2）（3）（4）分别构造反例图形如下.
如图A,平面与平面 平行,其余各面均为四边形,但它不
是棱柱,故（1）错误.
如图B,正六棱柱的相对侧面与侧面 平行,但不是底面,
故（2）错误.
如图C,正四棱柱的底面 是平行四边形,故（3）错误.
图A
图B
图C
如图D,该几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行
四边形,很明显这个几何体不是棱柱,故（4）错误.
长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体，故（5）错误.
正三棱柱的三个侧面都是矩形，故（6）错误.
图D
2.观察螺栓的头部模型（如图所示）,它有多少个顶点？多少条棱？
多少个面？其中互相平行的面有多少对？能作为棱柱底面的有几对？
解：因为螺栓的头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,8个
面,其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的只有1对.
知识点三 棱锥的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱锥 有一个面是 ________,其 余各面都是 有一个公共 顶点的 _________, 由这些面所 围成的几何 体称为棱锥 __________________________________ 如图,可记作 棱锥 或棱锥 底面 （底）:多 边形 . 侧面:除底 面外其余 各面. 1.按底面多边形的边数
分:三棱锥、四棱
锥……其中三棱锥又
叫________.
多边形
三角形
四面体
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱锥 有一个面是 ________,其 余各面都是 有一个公共 顶点的____ ____,由这些 面所围成的 几何体称为 棱锥 __________________________________ 如图,可记作 棱锥 或棱锥 侧棱:相邻 两个侧面 的公共边. 顶点:各个 侧面的公 共点. 高：顶点 到底面的 距离 2.底面是__________,
且它的顶点在过底面
中心且与底面垂直的
直线上的棱锥叫作
________.其中各侧面
都是全等的等腰三角
形，这些等腰三角形
底边上的高都相等，
称为正棱锥的______
多边形
三角形
正多边形
正棱锥
斜高
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正四面体是四棱锥.( )
×
[解析] 正四面体是三棱锥.
（2）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥.( )
×
[解析] 底面是正多边形，且侧棱长都相等的棱锥才是正棱锥，若侧
棱长不都相等，则不是正棱锥，所以该说法错误.
（3）正棱锥的侧面都是等腰三角形.( )
√
知识点四 棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱台 用一个 ______于 底面的平 面去截棱 锥,截面与 底面之间 的部分称 为棱台 ____________________________________ 如图,可记作棱 台 上底面和下 底面：原棱 锥的底面和 截面分别称 为棱台的下 底面和上底 面. 1.由三棱锥、四棱
锥、五棱锥……
所截得的棱台,分
别叫作三棱台、
四棱台、五棱
台……
平行
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱台 用一个 ______于 底面的平 面去截棱 锥,截面与 底面之间 的部分称 为棱台 ____________________________________ 如图,可记作棱 台 侧面:除底面 外其余各面. 侧棱:相邻两 个侧面的公 共边. 高:上底面、 下底面之间 的距离 2.由正棱锥截得的
棱台称为
________，其中
各侧面都是全等
的等腰梯形，这
些等腰梯形的高
称为正棱台的
______
平行
正棱台
斜高
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台.( )
×
[解析] 四棱台要求侧棱延长后交于一点,上、下两个底面平行且是相
似四边形的几何体不一定符合要求.
（2）棱台的所有侧面都是梯形.( )
√
（3）棱台的侧棱长必相等.( )
×
[解析] 棱台的侧棱长不一定相等.
（4）用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台.( )
×
[解析] 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的
部分才是棱台.
探究点一 空间几何体的基本元素
例1（1） （多选题）如图，平面可以表示为( )
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
√
√
√
[解析] 平面可以用希腊字母 ， ， 表示，故A正确；
平面可以用表示平行四边形的顶点的两个相对顶点的字母表示,故C正确；
平面可以用表示平行四边形的顶点的字母表示，故D正确；
平面不可以用表示平行四边形的某条边上的两个顶点的字母表示，
故B不正确.
故选 .
（2）图中正确表示两个平面相交的是( )
A. B. C. D.
[解析] A中没有画出交线；
B中不可见的线没有画成虚线；
C中虚、实线没按画图规则画，也不正确；
D中的画法正确.
故选D.
√
［素养小结］
1.画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，被遮挡部
分画成虚线或不画.
2.平面的特点：绝对的平，无限延展，不计大小厚薄.
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例2（1） （多选题）[2024·陕西咸阳高一期中] 以下说法中错误的
是( )
A.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
B.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱
C.正三棱锥的每一条棱的长都相等
D.底面四条边的长相等的直棱柱是正四棱柱
√
√
√
[解析] 对于A，各个侧面都是矩形，且底面也是矩形的棱柱才是长方体，
A中说法错误.
对于B，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，B中说法正确.
对于C，正三棱锥的底面是正三角形，且顶点在过底面中心且与底面垂
直的直线上,所以正三棱锥的侧棱长不一定与底面边长相等,C中说法错误.
对于D，当直四棱柱的底面是菱形而不是正方形时,底面四条边的长相等，
但这样的直四棱柱不是正四棱柱，D中说法错误.
故选 .
（2）给出下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
①②③
[解析] 对于①，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，
故①正确；
对于②，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故②正确；
对于③，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故③正确；
对于④，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分可以都是棱锥，故
④错误.
故填①②③.
［素养小结］
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面：①底面
的形状，底面间的平行关系；②侧棱的相等关系、侧棱间的平行关
系；③侧面的形状，侧面间的平行关系、相等关系等.
探究点三 多面体的识别和判断
例3 如图，已知长方体，, 分别为
,的中点.用平面 把这个长方体分成两部
分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是
几棱柱？如果不是，说明理由.
解：截面上方的部分是棱柱,且是三棱柱 ,
其中和是底面.
截面 下方的部分也是棱柱,且是四棱柱,
其中四边形和四边形 是底面.
变式（1） [2024·江苏南京高一期中]如图所示，在
三棱台中，沿平面 截去三棱锥
后，剩余的几何体是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱
[解析] 截去三棱锥 后，剩余的几何体可看作以B为顶点，以
梯形 为底面的四棱锥.故选B.
√
（2）如图，在三棱柱中，, 分别是
，的中点，连接,, ，试判断
是什么几何体？
解：,分别是,的中点,且 ,
,, ，
,且,, 延长后交于一点.
又平面与平面 平行,
几何体 是三棱台.
［素养小结］
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征,在利
用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别.
不要认为底面就一定是所给图中位于上、下位置的面.
探究点四 多面体的表面展开图
例4（1） [2024·江苏苏州高一期中] 如图，已知正三
棱柱的底面边长为，高为 ，一
个质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达
点的最短路线的长为_____ .
[解析] 沿着正三棱柱的侧棱 “剪
开”，把正三棱柱的侧面展开形成一个平面图形，
如图所示，所得平面图形是一个长为
，宽为 的矩形，
则矩形的对角线长为 ，
即所求最短路线的长为 .
（2）如图是两个几何体的表面展开图，请问对应的各是什么几何体？
解：根据表面展开图，可得两个几何体如图①②所示，则①为五棱
柱，②为三棱台.
变式（1） 如图所示，不是正四面体的展开图的是( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
[解析] ①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠
都不能折成正四面体.故选C.
√
（2）如图，在长方体 中，
,,，一只小虫从顶点 出发
沿长方体的表面爬到顶点 ，则小虫走过的最短
路程为_____.
[解析] 若小虫沿面与面 (或面与面到
达点 ，如图①，则最短路程为 ；
若小虫沿面与面(或面与面 到达点 ,
如图②，则最短路程为；
若小虫沿面 与面 (或面与面到达点 ,
如图③，则最短路程为 .
综上所述，小虫走过的最短路程为 .
［素养小结］
求几何体表面上从一点到另一点的最短路程的方法：
（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其表面展开图或一部分表
面展开图.
（2）将所求问题转化为平面上的线段长问题.
（3）结合已知条件求得结果.
1.几何里的平面是无大小、无厚薄、无面积的,是不可度量的,而且是
理想的、绝对平的且是无限延展的.
例1 给出下列说法:①书桌面是平面; 个平面重叠起来要比6个平面
重叠起来厚;③有一个平面的长是,宽是 ;④平面是绝对平的、
无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确说法的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由平面的概念和特征知,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可
以判断④正确,其余的说法都不符合平面的概念和特征,所以①②③都
不正确.
2.关于棱柱的辨析
棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面（底面）互
相平行；②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互
相平行.求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为
底面，再看是否满足其他特征.
3.棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的
某些说法不正确.
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面 即为底面 两个互相平行的面，即
为底面
看侧面 都有一个公共顶点的三角形 都是梯形
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
4.正棱锥的性质
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边
上的高相等，称为正棱锥的斜高.
（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的投影组成一
个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的
投影也组成一个直角三角形（如图所示）.
1.平面截长方体问题
用平面去截正方体，截面形状可以是：三角形、四边形、五边形、
六边形，如图所示.
例1 如图所示，在一个长方体的容器中装有少量
水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜.
（1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，
水面的形状可能是什么图形？
解：水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面
截长方体时截面的形状，
故水面的形状是矩形.
（2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，
水的形状可能是什么图形？
解：水的形状就是用与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平将
长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱.
当水比较少时，水的形状是三棱柱；
当水较多时，水的形状是四棱柱或五棱柱.
（3）若倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是
绕着其底部的一个顶点，则水面和水的形状分别
可能是什么图形？
解：用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、
五边形、六边形，
故水面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形；
水的形状可能是棱锥、棱柱.
2.空间几何体侧面上两点间的最短距离问题
此类问题常常转化为求平面上两点间的最短距离问题,先把侧面展开
成平面图形,再用平面几何的知识来解决.
例2 [2024·山东聊城高一期中] 如图，在长方
体中，, ,
,是线段上异于, 的一点，则
的最小值为_____.
[解析] 连接,并将沿着 所在直线旋转至与
平面在同一平面上，且,位于直线 两侧，
连接 ，如图所示.
由长方体的结构特征，易得 ，
由 ，
，
则在 中，由余弦定理得
，
则，当且仅当,, 三点共线时
等号成立，故的最小值为 .第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
【课前预习】
知识点一
1.点 线(直线和曲线) 面(平面和曲面)
2.①平行四边形 45° 两 虚线
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] 平面是无限延展的,不计面积,而平行四边形是平面的一部分,它是不能无限延展的,故(1)(3)错误;有时依据具体情况,可以用其他平面图形,如圆、三角形等表示平面,故(2)错误.
知识点二
1.平面多边形 面 棱 顶点 2.平行 四边形
3.(1)侧面平行四边形都是矩形 (2)除了直棱柱以外 (3)正多边形的直棱柱 (4)平行四边形
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [解析] 对于(1)(2)(3)(4)分别构造反例图形如下.如图A,平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,其余各面均为四边形,但它不是棱柱,故(1)错误.如图B,正六棱柱的相对侧面ABB1A1与侧面EDD1E1平行,但不是底面,故(2)错误.如图C,正四棱柱的底面ABCD是平行四边形,故(3)错误.如图D,该几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,很明显这个几何体不是棱柱,故(4)错误.长方体是直四棱柱,但直四棱柱不一定是长方体,故(5)错误.正三棱柱的三个侧面都是矩形,故(6)错误.
图A 图B 图C 图D
2.解:因为螺栓的头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,8个面,其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的只有1对.
知识点三
多边形 三角形 四面体 正多边形 正棱锥 斜高
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)正四面体是三棱锥.
(2)底面是正多边形,且侧棱长都相等的棱锥才是正棱锥,若侧棱长不都相等,则不是正棱锥,所以该说法错误.
知识点四
平行 正棱台 斜高
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)四棱台要求侧棱延长后交于一点,上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体不一定符合要求.
(3)棱台的侧棱长不一定相等.
(4)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分才是棱台.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ACD (2)D [解析] (1)平面可以用希腊字母α,β,γ表示,故A正确;平面可以用表示平行四边形的顶点的两个相对顶点的字母表示,故C正确;平面可以用表示平行四边形的顶点的字母表示,故D正确;平面不可以用表示平行四边形的某条边上的两个顶点的字母表示,故B不正确.故选ACD.
(2)A中没有画出交线;B中不可见的线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确;D中的画法正确.故选D.
探究点二
例2 (1)ACD (2)①②③ [解析] (1)对于A,各个侧面都是矩形,且底面也是矩形的棱柱才是长方体,A中说法错误.对于B,底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,B中说法正确.对于C,正三棱锥的底面是正三角形,且顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,所以正三棱锥的侧棱长不一定与底面边长相等,C中说法错误.对于D,当直四棱柱的底面是菱形而不是正方形时,底面四条边的长相等,但这样的直四棱柱不是正四棱柱,D中说法错误.故选ACD.
(2)对于①,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形,故①正确;对于②,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形,故②正确;对于③,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥,故③正确;对于④,如图所示,四棱锥被平面截成的两部分可以都是棱锥,故④错误.故填①②③.
探究点三
例3 解:截面BCFE上方的部分是棱柱,且是三棱柱BEB1-CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面.截面BCFE下方的部分也是棱柱,且是四棱柱ABEA1-DCFD1,其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.
变式 (1)B [解析] 截去三棱锥B1-A1C1B后,剩余的几何体可看作以B为顶点,以梯形ACC1A1为底面的四棱锥.故选B.
(2)解:∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC,∴===,
∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点.
又平面A1B1C1与平面ABC平行,
∴几何体A1EF-ABC是三棱台.
探究点四
例4 (1) [解析] 沿着正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1“剪开”,把正三棱柱的侧面展开形成一个平面图形,如图所示,所得平面图形是一个长为3×2=6(cm),宽为5cm的矩形,则矩形的对角线长为=(cm),即所求最短路线的长为 cm.
(2)解:根据表面展开图,可得两个几何体如图①②所示,则①为五棱柱,②为三棱台.
变式 (1)C (2) [解析] (1)①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选C.
(2)若小虫沿面ABB1A1与面BCC1B1(或面ADD1A1与面DCC1D1)到达点C1,如图①,则最短路程为=3;若小虫沿面ABB1A1与面A1B1C1D1(或面ABCD与面DCC1D1)到达点C1,如图②,则最短路程为=;若小虫沿面ABCD与面BCC1B1(或面ADD1A1与面A1B1C1D1)到达点C1,如图③,则最短路程为=.综上所述,小虫走过的最短路程为.第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
1.A [解析] 由棱柱的定义可知所给几何体中,(1)(3)(5)为棱柱.故选A.
2.D [解析] 棱锥的侧面都是三角形,底面不一定是三角形,故A错误;棱柱的底面不一定是四边形,故B错误;正棱锥的侧棱一定相等,故C错误;三棱柱的面最少,有三个侧面两个底面,共五个面,其他棱柱都多于五个面,故D正确.故选D.
3.C [解析] 根据棱台的定义可知棱台具有的性质是:上、下底面多边形相似,每个侧面都是梯形,侧棱延长后交于一点.故选C.
4.B [解析] ①是棱柱,②是棱锥,③不是棱锥,④是棱台,故选B.
5.D [解析] 由长方体的展开图可得符合题意的长方体为D.故选D.
6.A [解析] 设长方体ABCD-A1B1C1D1从一个顶点出发的三条棱的长分别为a,b,c,且ab=2,ac=3,bc=6,则a=1,b=2,c=3,所以长方体ABCD-A1B1C1D1中BD1==,故选A.
7.D [解析] 如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的体对角线有2条,分别为AC1,AD1.同理从点B,C,D,E出发的体对角线均有2条,故五棱柱共有2×5=10(条)体对角线.故选D.
8.A [解析] 连接BF,CF,在正四面体ABCD中,因为F为AD的中点,所以BF⊥AD,CF⊥AD,所以BF=CF==,又E为BC的中点,所以EF⊥BC,因此EF===,故选A.
9.ACD [解析] 对于A,由正棱台的定义知四边形A1B1C1D1是正方形,O1O是棱台的高,则由正棱锥的定义知棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥,选项A正确;对于B,在几何体C1D1D-B1A1A中,不存在两个面所在平面平行,不符合棱柱的定义,选项B错误;对于C,将四棱台ABCD-A1B1C1D1沿截面A1C1CA分成两部分,其中几何体ACD-A1C1D1是三棱台,选项C正确;对于D,三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高都等于四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,选项D正确.故选ACD.
10.4 [解析] 在三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC∽△A1B1C1,因为AB=2A1B1,所以==4.
11.12 [解析] 因为棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,因为所有侧棱长的和为60 cm,所以每条侧棱长为12 cm.
12.3 [解析] 不妨令正方形ABCD为下底面,正方形A1B1C1D1为上底面,则由题意得,正四棱台的对角面A1ACC1为等腰梯形,其中上底边长A1C1==5,下底边长AC==7.如图所示,过点A1,C1分别作A1E⊥AC,C1F⊥AC,垂足分别为E,F,则EF=A1C1=5,AE=CF==,可得AF=6,则该棱台的高为==3.
13.解:由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体;上、下两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.由多面体、棱柱、直棱柱、正棱柱的定义可知D C B A.
14.解:(1)如图①所示,三棱锥A1-AB1D1符合题意(答案不唯一).
①
(2)如图②所示,三棱锥B1-ACD1符合题意(答案不唯一).
②
(3)如图③所示,三棱柱ABD-A1B1D1符合题意(答案不唯一).
③
15.4 [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为矩形,故(1)满足条件;四面体DA1BC1为每个面均为等边三角形的四面体,故(2)满足条件;四面体DB1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体,故(3)满足条件;四面体CB1C1D1为有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体,故(4)满足条件.故正确的结论有4个.
16.解:连接BC1,得△A1BC1,以A1B所在直线为轴,
将△A1BC1旋转到平面ABB1A1内,且A,C1位于直线A1B两侧,
设点C1旋转到平面ABB1A1内的位置为C',连接AC',如图,则AP+PC1=AP+PC'≥AC',
当A,P,C'三点共线时,AC'即为AP+PC1的最小值.在三角形ABC中,AB=BC=,cos∠ABC=,
则由余弦定理得AC===2,所以A1C1=2,即A1C'=2.
在Rt△A1AB中,AA1=1,AB=,由勾股定理可得A1B===2且∠AA1B=60°.同理可得C1B=2,即BC'=2.因为A1B=BC'=A1C'=2,所以△A1BC'为等边三角形,所以∠BA1C'=60°,所以在△AA1C'中,∠AA1C'=∠AA1B+∠BA1C'=120°,
又AA1=1,A1C'=2,所以由余弦定理得AC'==.第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
【学习目标】
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.
2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
3.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
◆ 知识点一 空间几何体的基本元素
1.空间几何体的基本元素
空间几何体的基本元素是 、 、 等.
2.平面
①平面的画法:
一般地,用 表示平面,当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 ,横边长画成邻边长的 倍
当两个平面相交时,把被遮挡部分画成 或不画
②平面的表示方法:
用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ;
用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD;
用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示,如平面AC.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面的形状是平行四边形. ( )
(2)只能用平行四边形来表示平面. ( )
(3)平面ABCD的面积是100平方厘米. ( )
◆ 知识点二 多面体及棱柱
1.多面体:由 围成的几何体叫作多面体.这些多边形称为多面体的 ;两个相邻的面的公共边称为多面体的 ;棱与棱的公共点称为多面体的 .
2.棱柱的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 柱 有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面相互 ,其余各面都是 ,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,像这样的几何体称为棱柱 如图,可记作棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1 底面(底):两个互相平行的面. 侧面:除底面外其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共边. 顶点:侧面与底面的公共顶点. 高:两底面间的距离. 对角线:既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线 按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3.几个特殊的棱柱的概念
(1)直棱柱: 的棱柱称为直棱柱(如图①③).
(2)斜棱柱: 的棱柱称为斜棱柱(如图②④).
(3)正棱柱:底面是 称为正棱柱(如图③).
(4)平行六面体:底面是 的棱柱称为平行六面体(如图④).
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱. ( )
(2)棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面.( )
(3)棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形. ( )
(4)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( )
(5)长方体是直四棱柱,直四棱柱是长方体. ( )
(6)棱柱最多有两个面是矩形. ( )
2.观察螺栓的头部模型(如图所示),它有多少个顶点 多少条棱 多少个面 其中互相平行的面有多少对 能作为棱柱底面的有几对
◆ 知识点三 棱锥的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 锥 有一个面是 ,其余各面都是有一个公共顶点的 ,由这些面所围成的几何体称为棱锥 如图,可记作棱锥S-ABCDEF或棱锥S-AC 底面(底):多边形ABCDEF. 侧面:除底面外其余各面. 侧棱:相邻两个侧面的公共边. 顶点:各个侧面的公共点. 高:顶点到底面的距离 1.按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……其中三棱锥又叫 . 2.底面是 ,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上的棱锥叫作 .其中各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,称为正棱锥的
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正四面体是四棱锥. ( )
(2)底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥. ( )
(3)正棱锥的侧面都是等腰三角形. ( )
◆ 知识点四 棱台的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 台 用一个 于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台 如图,可记作棱台ABC-A1B1C1 上底面和下底面:原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面. 侧面:除底面外其余各面. 侧棱:相邻两个侧面的公共边. 高:上底面、下底面之间的距离 1.由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…… 2.由正棱锥截得的棱台称为 ,其中各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)上、下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台. ( )
(2)棱台的所有侧面都是梯形. ( )
(3)棱台的侧棱长必相等. ( )
(4)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. ( )
◆ 探究点一 空间几何体的基本元素
例1 (1)(多选题)如图,平面可以表示为( )
A.平面α
B.平面AB
C.平面AC
D.平面ABCD
(2)图中正确表示两个平面相交的是 ( )
A B C D
[素养小结]
1.画两平面相交时,一定要画出交线,还要注意画图规则,被遮挡部分画成虚线或不画.
2.平面的特点:绝对的平,无限延展,不计大小厚薄.
◆ 探究点二 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例2 (1)(多选题)[2024·陕西咸阳高一期中] 以下说法中错误的是 ( )
A.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
B.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱
C.正三棱锥的每一条棱的长都相等
D.底面四条边的长相等的直棱柱是正四棱柱
(2)给出下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不是平行四边形;
②棱锥的侧面只能是三角形;
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .
[素养小结]
辨析棱柱、棱锥、棱台的结构特征主要抓住以下几个方面:①底面的形状,底面间的平行关系;②侧棱的相等关系、侧棱间的平行关系;③侧面的形状,侧面间的平行关系、相等关系等.
◆ 探究点三 多面体的识别和判断
例3 如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为A1B1,D1C1的中点.用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的几何体还是棱柱吗 如果是,是几棱柱 如果不是,说明理由.
变式 (1)[2024·江苏南京高一期中] 如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,沿平面A1C1B截去三棱锥B1-A1C1B后,剩余的几何体是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱
(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断A1EF-ABC是什么几何体
[素养小结]
解答此类题目的关键是正确掌握棱柱、棱锥、棱台的几何特征,在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,注意几何体间的联系与区别.不要认为底面就一定是所给图中位于上、下位置的面.
◆ 探究点四 多面体的表面展开图
例4 (1)[2024·江苏苏州高一期中] 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一个质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为 cm.
(2)如图是两个几何体的表面展开图,请问对应的各是什么几何体
变式 (1)如图所示,不是正四面体的展开图的是 ( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=3,一只小虫从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点C1,则小虫走过的最短路程为 .
[素养小结]
求几何体表面上从一点到另一点的最短路程的方法:
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开,画出其表面展开图或一部分表面展开图.
(2)将所求问题转化为平面上的线段长问题.
(3)结合已知条件求得结果.第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
一、选择题
1.观察下面的几何体,其中为棱柱的是 ( )
A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5)
C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7)
2.下列说法正确的是 ( )
A.棱锥的各个面都是三角形
B.棱柱的所有面都是四边形
C.正棱锥的侧棱不一定相等
D.一个棱柱至少有五个面
3.棱台不具有的性质是 ( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都平行
D.侧棱延长后交于一点
4.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是 ( )
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
5.[2024·呼和浩特高一期中] 选项给出的四个长方体中,是由如图所示的平面图形围成的是 ( )
A B C D
6.如图,若长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6,则该长方体中BD1的长是 ( )
A. B.2
C.28 D.3
7.在棱柱中,不在同一个侧面上且不在同一个底面上的两个顶点的连线称为它的体对角线,那么一个五棱柱的体对角线条数为 ( )
A.20 B.15
C.12 D.10
8.正四面体ABCD的棱长为1,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 ( )
A. B.2
C. D.2
9.(多选题)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,点O,O1分别为四边形ABCD,A1B1C1D1对角线的交点,则下列结论正确的是 ( )
A.若四棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,则棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥
B.几何体C1D1D-B1A1A是三棱柱
C.几何体ACD-A1C1D1是三棱台
D.三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高相等
二、填空题
10.[2024·重庆璧山区高一期中] 在三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC和△A1B1C1的面积分别为S和S1,若AB=2A1B1,则= .
11.一个棱柱有10个顶点,所有侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为 cm.
12.若正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别是5和7,AC1=9,则该棱台的高为 .
三、解答题
13.记A为所有多面体组成的集合,B为所有棱柱组成的集合,C为所有直棱柱组成的集合,D为所有正棱柱组成的集合,写出集合A,B,C,D之间的关系.
14.如图,试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;
(3)三棱柱.
15.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是:
(1)矩形的4个顶点;(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点;(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点;(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为 .
16.[2024·江苏连云港高一期中] 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=BC=,cos∠ABC=,点P是线段A1B上的一个动点,求AP+PC1的最小值.
