(共45张PPT)
基本立体图形
1.3 简单旋转体—— 球、圆柱、
圆锥和圆台
探究点一 旋转体的结构特征
探究点二 旋转体有关的计算
探究点三 简单旋转体的表面展开与折叠
【学习目标】
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.
2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.
3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征,能根据条
件判断几何体的类型.
知识点一 球以及旋转体的结构特征
球 图形及表示
定义:以半圆的______所在的直线为旋转轴,将 半圆旋转一周所形成的曲面称为______,球面所 围成的几何体称为______,简称球
相关概念: 球心:半圆的圆心. 半径:连接球心和球面上任意一点的线段. 直径:连接球面上两点并且过球心的线段 直径
球面
球体
球 图形及表示
性质： （1）球面上所有的点到球心的距离都等于球 的______； （2）用任何一个平面去截球面，得到的截面 都是____，其中过______的平面截球面得到的 圆的半径最大，等于球的______
半径
圆
球心
半径
续表
旋转体 图形及
表示
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一 周所形成的曲面称为________,封闭的旋转面围成的几何 体称为________.球面是旋转面，球体是旋转体 _______________________
旋转面
旋转体
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( )
×
[解析] 根据球的概念可知,半圆以它的直径所在的直线为旋转轴,旋转
一周所形成的曲面叫作球面,球面所围成的几何体叫球.
（2）连接球面上两点的线段叫作球的直径.( )
×
[解析] 连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
（3）在空间中,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作球.( )
×
[解析] 在空间中,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作球面,不
叫球.
（4）球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.( )
√
[解析] 连接球心（即为截面圆圆心）和球面上任意一点（取截面圆
上任意一点）的线段叫作球的半径.
2.用一个平面去截一个球面,截面是圆.球面被经过球心的平面截得的
圆称为大圆;被不经过球心的平面截得的圆称为小圆.设球的半径为 ,
截面圆的半径为,球心与截面圆圆心的距离为,探求,, 之间的关
系,同时说明理由.
解：,,之间的关系为 .理由如下：
如图所示，设是球心，是截面圆圆心， 是截面圆上一点，
连接，，，易知图中,, ，
则在中，由勾股定理，得，即 .
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关 概念 性质
圆 柱 以____________所在的 直线为旋转轴,其余各边 旋转一周而形成的面所 围成的几何体叫作圆柱 高：在_____ _______上的 这条边的长 度. 1.平行于圆
柱、圆锥、
圆台的底面
的截面都是
圆；
矩形的一边
旋转轴
名 称 定义 图形及表示 相关 概念 性质
圆 锥 以直角三角形的_______________ 所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转一周而形成 的面所围成的几何体叫 作圆锥 底面:垂直于_ _________的边旋转而成 的圆面. 2.过圆柱、
圆锥、圆台
旋转轴的截
面分别是
________、
________、
__________
一条直角边
旋转轴
全等的矩形
等腰三角形
等腰梯形
续表
名 称 定义 图形及表示 相关概 念 性质
圆 台 以直角梯形 ______________ 所在的直线为 旋转轴,其余各边 旋转一周而形成 的面所围成的几 何体叫作圆台. 侧面:__________ ______的边旋转 而成的曲面. 母线:__________ __ 无论转到什么 位置,这条边都称 为侧面的母线
垂直于底边的腰
不垂直于旋转轴
不垂直于旋转
轴的边
续表
名 称 定义 图形及表示 相关概 念 性质
圆 台 圆台也可以看作 是用__________ ________的平面截这个圆锥而得到的, __________之间 的部分叫作圆台
平行于圆锥底面
底面与截面
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱
的母线.( )
×
[解析] 无论旋转到什么位置,平行于旋转轴的边都叫作圆柱的母线.在圆
柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定平行于旋转轴.
（2）圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥的底面圆
的半径.( )
×
[解析] 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线
长，大于底面圆的半径.
（3）圆台的两条母线所在的直线一定相交.( )
√
[解析] 由于圆台可认为是用平行于圆锥底面的平面截得的,故两条母
线所在的直线一定相交.
（4）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆.( )
√
[解析] 圆柱、圆锥、圆台的底面都是由线段绕一端点旋转一周得到
的,都是圆.
2.图中的物体叫作圆台，也是旋转体，它是什么图
形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，
类比棱台的定义，圆台还可以怎样得到呢？
解：圆台可以看作由直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转
轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体.
圆台也可以看作由等腰梯形以其底边的中垂线为旋转轴,各边旋转
而形成的面所围成的几何体.
类比棱台的定义,还可以是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和
截面之间的部分称为圆台.
探究点一 旋转体的结构特征
例1 给出下列说法:
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体;
②用平行于圆锥底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台;
③圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 对于①,若截面与底面不平行,则该几何体不是旋转体,
故①不正确;
对于②,用平行于圆锥底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,
故②正确;
对于③,由母线的概念可知③正确.
故选C.
变式 [2024·哈尔滨高一期中] 下列说法正确的是( )
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一条腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高
√
[解析] 对于A，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的
几何体是两个圆锥的组合体，A错误；
对于B，以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形
成的几何体不是圆台，B错误；
对于C，圆锥只有一个底面，C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线
长，大于圆锥的高，D正确.
故选D.
［素养小结］
（1）判断简单旋转体结构特征的方法：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
（2）简单旋转体的轴截面及其应用：
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体
结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的
化归与转化思想.
探究点二 旋转体有关的计算
例2 用一个平面截半径为的球，截面面积是 ,求球心到
截面的距离.
解：设球的半径为,截面圆的半径为 ,球心到截面圆圆心的距
离为,
则, ,所以,又 ,
所以.
因此球心到截面的距离为 .
变式 已知一个平面截球的球面得到半径为 的圆，球心到这
个平面的距离是 ,则球的半径是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得球的半径 .故选B.
√
例3 请解决下列问题:
（1）已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长均为1的等腰梯形,
求圆台的高;
解：根据题意轴截面的高即为圆台的高，轴截面如
图所示，
过作于点，则 ， ，
，
所以圆台的高为 .
（2）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面
的半径之比是 ,截去的圆锥的母线长是3,求圆台的母线长.
解：如图所示，由题意知，，
所以 ， ，因此圆台的母线长为9.
变式 [2024·四川广安高一期中] 若一个圆锥的母线长为 ，且底
面的面积为 ，则此圆锥的高为_____.
[解析] 设底面的半径为，因为底面的面积为 ，
所以 ，可得 ，
所以圆锥的高 .
［素养小结］
1.求解旋转体问题时要弄清圆柱、圆锥、圆台是由什么样的平面图形
旋转而成的,还有轴截面中的边长与旋转体中母线与底面半径的关系.
用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体,注意抓住截面
的性质（与底面全等或相似）,同时结合旋转体中的经过旋转轴的截
面（轴截面）的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量
的方程（组）而得解.
2.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示：
探究点三 简单旋转体的表面展开与折叠
例4 如图所示，已知圆柱的高为，底面半径为 ，
轴截面上有，两点，且， ，一只
蚂蚁沿着侧面从点爬到点 ，求蚂蚁爬过的最短路程.
解：将圆柱的侧面沿母线 展开，得到如图所示的矩形，
连接 ，
则蚂蚁爬过的最短路程为线段 的长.
设圆柱的底面半径为，则 ，
所以 .
过点作于点 ，
在中， ， ，
所以 ，
则蚂蚁爬过的最短路程是 .
变式 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底
面半径为，高为,是山坡 上一点，
且.现要建设一条从到 的环山观光公路，
这条公路从 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最
短时，公路上坡路段的长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为底面半径为，高为 ，
所以母线长为 ，
底面圆的周长为 ，
则圆锥侧面展开图的圆心角 ，如图所示，
显然观光公路的最短长度为，
由点向作垂线，垂足为点 ，
此时为点与线段上的点的距离的最小值，即点 为公路的最高点，
段为上坡路段，段为下坡路段.
由射影定理知 ，即，解得，
所以公路上坡路段的长为 . 故选D.
［素养小结］
在空间几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题,常转化为求
其展开图中相应的线段长,即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来
处理，从而把“曲线拉成直线,曲面展成平面”,使问题得以巧妙解决.
这是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
拓展 如图所示，有一个圆柱形开口容器（下底面封闭），其轴截面
是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁 处，
内壁 处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是
_________.
[解析] 如图，在圆柱的侧面展开图中，
， ，
问题转化为在上找一点，
使 最短.
作点关于所在直线的对称点 ，
连接，则的最小值就是 ，
可得 .
1.旋转体的结构特征
（1）圆柱的上、下底面平行,侧面展开图为矩形.
（2）圆锥的母线交于一点,侧面展开图为扇形.
（3）圆台的母线所在直线交于一点,侧面展开图为扇环.
2.旋转体的轴截面的特征:
（1）圆柱的轴截面为矩形,且一边为圆柱底面的直径,另一边为圆柱
的高.
（2）圆锥的轴截面为等腰三角形,腰为圆锥的母线,底为圆锥底面的
直径.
（3）圆台的轴截面为等腰梯形,腰为圆台的母线,上、下底分别为圆
台上、下底面的直径.
简单组合体
1.概念:由简单几何体组合而成,这些几何体叫作简单组合体.常见的简单
组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.
2.基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截
去或挖去一部分而成.
例1 指出图中的几何体分别是怎样构成的？
解：第一个几何体是由一个长方体割去一个四棱柱构成的；
第二个几何体是由一个长方体挖去一个小的长方体构成的；
第三个几何体是由一个小圆柱穿过一个圆锥构成的；
第四个几何体是由一个三棱柱和两个不同的长方体拼接构成的.
例2 将如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，试说明所
形成的几何体的结构特征.
解：如图甲，①是直角三角形，旋转后形成圆锥；
②是直角梯形，旋转后形成圆台；
③是矩形，旋转后形成圆柱.
所以题中所给平面图形绕虚线旋转一周，
所形成的几何体如图乙所示.
通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个
圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
【课前预习】
知识点一
直径 球面 球体 半径 圆 球心 半径 旋转面
旋转体
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)根据球的概念可知,半圆以它的直径所在的直线为旋转轴,旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面所围成的几何体叫球.
(2)连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(3)在空间中,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作球面,不叫球.
(4)连接球心(即为截面圆圆心)和球面上任意一点(取截面圆上任意一点)的线段叫作球的半径.
2.解:R,r,d之间的关系为d=.理由如下:
如图所示,设O是球心,O'是截面圆圆心,M是截面圆上一点,连接OO',OM,O'M,易知图中OM=R,O'M=r,OO'=d,则在Rt△OO'M中,由勾股定理,得r2+d2=R2,即d=.
知识点二
矩形的一边 一条直角边 垂直于底边的腰 平行于圆锥底面 底面与截面 旋转轴 旋转轴 不垂直于旋转轴 不垂直于旋转轴的边 全等的矩形 等腰三角形 等腰梯形
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ [解析] (1)无论旋转到什么位置,平行于旋转轴的边都叫作圆柱的母线.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点,这两点的连线不一定平行于旋转轴.
(2)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,大于底面圆的半径.
(3)由于圆台可认为是用平行于圆锥底面的平面截得的,故两条母线所在的直线一定相交.
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是由线段绕一端点旋转一周得到的,都是圆.
2.解:圆台可以看作由直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体.圆台也可以看作由等腰梯形以其底边的中垂线为旋转轴,各边旋转180°而形成的面所围成的几何体.
类比棱台的定义,还可以是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分称为圆台.
【课中探究】
探究点一
例1 C [解析] 对于①,若截面与底面不平行,则该几何体不是旋转体,故①不正确;对于②,用平行于圆锥底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,故②正确;对于③,由母线的概念可知③正确.故选C.
变式 D [解析] 对于A,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体,A错误;对于B,以直角梯形不垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体不是圆台,B错误;对于C,圆锥只有一个底面,C错误;对于D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,大于圆锥的高,D正确.故选D.
探究点二
例2 解:设球的半径为R cm,截面圆的半径为r cm,球心到截面圆圆心的距离为d cm,则R=25,πr2=49π,所以r=7,又r2+d2=R2,所以d==24.因此球心到截面的距离为24 cm.
变式 B [解析] 根据题意得球的半径r==3(cm).故选B.
例3 解:(1)根据题意轴截面的高即为圆台的高,轴截面如图所示,过A1作A1O⊥AB于点O,则AA1=1,AO==,所以A1O===,所以圆台的高为.
(2)如图所示,由题意知SB=3,=,所以SD=12,BD=12-3=9,因此圆台的母线长为9.
变式 2 [解析] 设底面的半径为r,因为底面的面积为4π,所以πr2=4π,可得r=2,
所以圆锥的高h==2.
探究点三
例4 解:将圆柱的侧面沿母线AA1展开,得到如图所示的矩形,连接PQ,
则蚂蚁爬过的最短路程为线段PQ的长.
设圆柱的底面半径为r,则r=10 cm,
所以A1B1=×2πr=πr=10π(cm).
过点Q作QS⊥AA1于点S,
在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10π cm,
所以PQ==10(cm),
则蚂蚁爬过的最短路程是10 cm.
变式 D [解析] 因为底面半径为3 km,高为3 km,所以母线长为=12(km),底面圆的周长为2πr=6π(km),则圆锥侧面展开图的圆心角α==,如图所示,显然观光公路的最短长度为AB==13(km),由点S向AB作垂线,垂足为点H,此时SH为点S与线段AB上的点的距离的最小值,即点H为公路的最高点,AH段为上坡路段,HB段为下坡路段.由射影定理知SA2=AH·AB,即122=13AH,解得AH= km,所以公路上坡路段的长为 km.故选D.
拓展 [解析] 如图,在圆柱的侧面展开图中,AB=π,AD=2,问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ最短.作点P关于CD所在直线的对称点E,连接AE,则AQ+PQ的最小值就是AE,可得AE=.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
1.C [解析] 由棱台的结构特征可知,A选项中说法正确;由圆台的结构特征可知,B选项中说法正确;直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体,C选项中的说法错误;在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,D选项中说法正确.故选C.
2.A [解析] 因为该几何体由一个圆台和一个圆锥组成,所以平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形(与底边垂直的腰在旋转轴上)构成,可排除B,C,D,故选A.
3.A [解析] 将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形.矩形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱,直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥.因此,将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,可以得到由一个圆柱和两个圆锥组合而成的旋转体.故选A.
4.A [解析] 由题意可知,圆台的高为=4(cm),则球的最高点到圆台上底面的距离为8-4=4(cm).设球的半径为R cm,05.B [解析] 当圆柱的高h=8时,圆柱的底面半径r满足2πr=4,所以圆柱的轴截面的面积S=2rh=;当圆柱的高h=4时,圆柱的底面半径r满足2πr=8,所以圆柱的轴截面的面积S=2rh=.故选B.
6.C [解析] 易知截面是一个非等边的等腰三角形,排除A,D;等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱,这条棱不可能与内切球有交点,所以排除B;等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线,且经过内切球在两个面上的切点,所以正确答案是C.
7.B [解析] 将圆台的侧面沿着母线AB剪开,展开成平面图形,如图所示,延长BA,B1A1,交于点O,连接AA1,AB1,BB1,显然弧BB1的长为,弧AA1的长为.设∠BOB1=α,则α×OA=,α×OB=,则OB=2OA,于是A是OB的中点,又AB=1,所以OA+1=2OA,得OA=1,则α=,因此△OBB1是等边三角形,可得AB1⊥OB,且AB1与弧AA1相切,则AB1在此侧面展开图内,所以蚂蚁爬行的最短路程为AB1,可得AB1=ABtan=.故选B.
8.B [解析] 设A圆锥(底面面积较小)的底面半径为r1,母线长为l1,B圆锥(底面面积较大)的底面半径为r2,母线长为l2,依题意得π=,π=4π,则r1=,r2=2,所以+=+=2π,可得+=2,所以l1+l2=(l1+l2)=≥=,当且仅当=,即l2=3,l1=时等号成立.故选B.
9.BCD [解析] 对于A,D,因为圆锥的底面半径r=3,母线长l=4,所以圆锥的侧面积S=×2π×3×4=12π,故A错误,D正确.对于B,因为圆锥的底面半径为3,所以圆锥的底面周长为2π×3=6π,又因为圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为=,故B正确.对于C,设圆锥的轴截面的顶角为β,则cos β==-,则β∈.设圆锥的两条母线的夹角为θ,θ∈(0,β],过这两条母线作截面,所得截面的面积为×4×4sin θ=8sin θ,则当θ=时,截面面积有最大值,最大值为8,故C正确.故选BCD.
10.①②④ [解析] 对于①,球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段,所以①是真命题;对于②,球的任意两个大圆的交点的连线经过球心,所以是球的直径,所以②是真命题;对于③,以半圆的直径所在直线为轴,将半圆旋转一周,形成的曲面叫作球面,而不是球,所以③是假命题;对于④,空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面,故④是真命题.故填①②④.
11.12 [解析] 设圆台的上底面半径为r,圆锥的母线长为l,则圆台的下底面的半径为4r,作出圆锥的轴截面,如图所示,则△SO'A'∽△SOA,所以=,则=,解得l=12,即圆锥的母线长为12.
12.①③④ [解析] 圆锥的轴截面是三角形,圆柱的截面不可能是三角形,三棱锥的截面是三角形或四边形,正方体的截面为三角形、四边形、五边形或六边形.故填①③④.
13.解:题图①中的空间几何体由一个圆锥和一个长方体组合而成,其中上面是圆锥,下面是长方体.
题图②中的空间几何体由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得,其中四棱柱内接于圆锥.
题图③中的空间几何体由一个球内部挖去一个三棱锥而得,其中三棱锥内接于球.
14.解:(1)根据题意得,圆台上底面圆的半径为2 cm,下底面圆的半径为5 cm.
则圆台的高h==3(cm).
(2)设圆锥的母线长为x cm,则=,解得x=20,即圆锥的母线长为20 cm.
15.①⑤ [解析] 当竖直的平面过圆柱的底面直径时,截面图形为图①;当竖直的平面不过底面直径时,截面图形可能为图⑤.故填①⑤.
16.解:(1)圆台的侧面展开图如图.
连接MB',则所求的最短长度是MB',设OA=R cm,扇形的圆心角是θ,则10π=θR,20π=θ(20+R),解得θ=,R=20.因为OM=30 cm,OB'=40 cm,所以MB'==50(cm).
故绳子的最短长度为50 cm.
(2)如图,过点O作OC垂直于B'M,垂足为C,记OC与弧AA'的交点为D,则OC是顶点O到MB'的距离,则DC是上底面圆周上的点到绳子的最短距离,可得DC=OC-OD=-20=4(cm),即上底面圆周上的点到绳子的最短距离是4 cm.1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
【学习目标】
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.
2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.
3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征,能根据条件判断几何体的类型.
◆ 知识点一 球以及旋转体的结构特征
球 图形及表示
定义:以半圆的 所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为 ,球面所围成的几何体称为 ,简称球 图中的球表示为球O
相关概念: 球心:半圆的圆心. 半径:连接球心和球面上任意一点的线段. 直径:连接球面上两点并且过球心的线段
性质: (1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的 ; (2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是 ,其中过 的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的
旋转体 图形及表示
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为 ,封闭的旋转面围成的几何体称为 .球面是旋转面,球体是旋转体
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. ( )
(2)连接球面上两点的线段叫作球的直径.( )
(3)在空间中,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫作球. ( )
(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. ( )
2.用一个平面去截一个球面,截面是圆.球面被经过球心的平面截得的圆称为大圆;被不经过球心的平面截得的圆称为小圆.设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心的距离为d,探求R,r,d之间的关系,同时说明理由.
◆ 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
名 称 定义 图形及表示 相关概念 性质
圆 柱 以 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体叫作圆柱 图中圆柱表示为圆柱O1O 高:在 上的这条边的长度. 底面:垂直于 的边旋转而成的圆面. 侧面: 的边旋转而成的曲面. 母线: 无论转到什么位置,这条边都称为侧面的母线 1.平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆; 2.过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是 、 、
圆 锥 以直角三角形的 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体叫作圆锥 图中圆锥表示为圆锥SO
圆 台 以直角梯形 所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体叫作圆台. 圆台也可以看作是用 的平面截这个圆锥而得到的, 之间的部分叫作圆台 图中圆台表示为圆台O1O
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在圆柱的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线. ( )
(2)圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的半径等于圆锥的底面圆的半径. ( )
(3)圆台的两条母线所在的直线一定相交. ( )
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆. ( )
2.图中的物体叫作圆台,也是旋转体,它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢 除了旋转得到以外,类比棱台的定义,圆台还可以怎样得到呢
◆ 探究点一 旋转体的结构特征
例1 给出下列说法:
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体;
②用平行于圆锥底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台;
③圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.
其中正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
变式 [2024·哈尔滨高一期中] 下列说法正确的是 ( )
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一条腰所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高
[素养小结]
(1)判断简单旋转体结构特征的方法:
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用:
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量;
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的化归与转化思想.
◆ 探究点二 旋转体有关的计算
例2 用一个平面截半径为25 cm的球,截面面积是49π cm2,求球心到截面的距离.
变式 已知一个平面截球O的球面得到半径为 cm的圆,球心到这个平面的距离是2 cm,则球的半径是 ( )
A.9 cm B.3 cm
C.1 cm D.2 cm
例3 请解决下列问题:
(1)已知一个圆台的轴截面是下底为2且其余边长均为1的等腰梯形,求圆台的高;
(2)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的半径之比是1∶4,截去的圆锥的母线长是3,求圆台的母线长.
变式 [2024·四川广安高一期中] 若一个圆锥的母线长为2,且底面的面积为4π,则此圆锥的高为 .
[素养小结]
1.求解旋转体问题时要弄清圆柱、圆锥、圆台是由什么样的平面图形旋转而成的,还有轴截面中的边长与旋转体中母线与底面半径的关系.用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程(组)而得解.
2.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示:
◆ 探究点三 简单旋转体的表面展开与折叠
例4 如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P,Q两点,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,一只蚂蚁沿着侧面从点P爬到点Q,求蚂蚁爬过的最短路程.
变式 如图是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,底面半径为3 km,高为3 km,B是山坡SA上一点,且AB=7 km.现要建设一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡,后下坡,当公路长度最短时,公路上坡路段的长为 ( )
A.10.2 km B.12 km
C. km D. km
[素养小结]
在空间几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题,常转化为求其展开图中相应的线段长,即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理,从而把“曲线拉成直线,曲面展成平面”,使问题得以巧妙解决.这是解决立体几何问题基本的、常用的方法.
拓展 如图所示,有一个圆柱形开口容器(下底面封闭),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC的中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一粒米,则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是 . 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
一、选择题
1.下列说法中错误的是 ( )
A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C.直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线
2.如图所示的几何体可以由选项中某个平面图形旋转而成,这个图形是 ( )
A B C D
3.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的旋转体包括 ( )
A.一个圆柱、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆柱、一个圆台
D.一个圆台、两个圆锥
4.某公司在庆典活动中,设计了一款纪念品如图所示,其底座是顶部有凹槽的圆台,上面放置一个水晶玻璃球,圆台上底面圆周上的所有点都在凹槽面上,凹槽面上的所有点都在球面上,圆台的上、下底面半径分别为2 cm,4 cm,母线长为2 cm,球的顶端到底座下底面的距离为8cm,则水晶球的半径为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D.2 cm
5.用长为8,宽为4的矩形作为侧面围成一个圆柱,则圆柱的轴截面的面积为 ( )
A.32 B. C. D.
6.一个三棱锥的各条棱的长均相等,其内部有一个内切球,过一条侧棱和其对棱的中点作三棱锥的截面,则所得截面是下列图形中的 ( )
A B C D
7.已知圆台上、下底面的圆心分别为O1,O2,母线AB=1(点A位于上底面),且BO2=2AO1,圆O2的周长为,一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B,则其爬行的最短路程为 ( )
A.1 B.
C.2 D.
8.[2024·湖北武汉高一期中] 已知两圆锥的底面面积分别为,4π,其侧面展开图中圆心角之和为2π,则两圆锥的母线长之和的最小值为 ( )
A. B.
C.4 D.5
9.(多选题)[2023·山东济南高一期中] 某圆锥的底面半径是3,母线长为4,则下列关于此圆锥的说法正确的是 ( )
A.侧面积是9π
B.侧面展开图的圆心角是
C.过该圆锥的两条母线作截面,截面面积的最大值是8
D.侧面积是12π
二、填空题
10.下列命题中为真命题的是 .(填序号)
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线;
②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径;
③以半圆的直径所在直线为轴,将半圆旋转一周,形成的曲面叫作球;
④空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
11.[2024·河北张家口高一期中] 把一个圆锥截成圆台,已知圆台上、下底面的半径之比为1∶4,母线长为9,则圆锥的母线长是 .
12.用一个平面去截一个几何体,截面的形状是三角形,那么这个几何体可能是 .(填序号)
①圆锥;②圆柱;③三棱锥;④正方体.
三、解答题
13.指出图中三个空间几何体的构成.
14.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
15.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是图中的 .(填序号)
16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到B点(B在下底面上),求:
(1)绳子的最短长度;
(2)当绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
