§2 直观图
【课前预习】
知识点
(2)45° 90° 水平平面 (3)x' y' z' (4)不变 一半
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补,相对的内角相等).
(2)根据斜二测画法的特点可知,原图中垂直的线段在直观图中不垂直.
(3)水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
(4)水平放置的正方形的直观图中邻边长度不相等.
2.解:在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在平面图形中长度变为它的2倍.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.
(2)如图②,画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.
在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm,在y'轴上截取O'A'=OA,连接A'B',A'C'.
(3)擦去辅助线x'轴,y'轴及点O',则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,如图③所示.
变式 解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图①所示.
(2)画出x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C',使得D'C'=DC,连接B'C',如图②.
(3)擦去辅助线x'轴,y'轴和l,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③.
探究点二
例2 解:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①.
(2)画底面.以O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm.
分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面的直观图,如图②.
(3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图③.
(4)连线成图.顺次连接A',B',C',D',如图④,擦去辅助线,且将被遮线画成虚线,就得到长方体的直观图,如图⑤.
变式 解:(1)先用斜二测画法画出边长为3 cm的正六边形的直观图,如图①所示.
(2)过点O'建立z'轴(z'轴垂直x'轴),在z'轴上截取O'V'=3 cm,如图②所示.
(3)连接V'A',V'B',V'C',V'D',V'E',V'F',如图③所示.
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.
探究点三
例3 D [解析] 由题图知,AC=2,BC=2,且AC⊥BC,所以S△ABC=×2×2=2.故选D.
变式 8 [解析] 在正方形O'A'B'C'中可得B'O'=A'O'=2,由斜二测画法的特点可知BO=2B'O'=4,AO=A'O'=2,且OA⊥OB,OA∥BC,AB∥CO,所以四边形OABC为平行四边形,所以四边形OABC的面积是BO·AO=4×2=8.§2 直观图
1.D [解析] 对于A,B,由正方形的直观图是邻边不相等的平行四边形可知A,B错误.对于C,如图,矩形OABC的邻边满足OC=2OA,则其直观图中平行四边形O'A'B'C'的邻边是相等的,故C错误.对于D,由斜二测画法的特点可知,线段的中点在直观图中仍然是线段的中点,故D正确.故选D.
2.D [解析] 根据斜二测画法的规则知,∠x'O'y'的度数应为45°或135°,∠x'O'z'的度数为90°.故选D.
3.C [解析] 斜二测画法的特点为,平行于x轴或x轴上的线段的长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段的长度在直观图中变为原来的.因为A'B'与x'轴的夹角为45°,所以AB⊥x轴,即AB⊥OA,故选C.
4.A [解析] 根据几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用,可知A正确.
5.B [解析] 根据斜二测画法的特点还原△ABC,可得OB=OC=OA=1,且OA⊥BC,
则∠BAC=90°,且AB=AC=,所以△ABC为等腰直角三角形.故选B.
6.D [解析] 如图①,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图②,建立坐标系x'O'y',
使∠x'O'y'=45°,则根据斜二测画法的规则可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a.过C'作C'D'⊥O'x'于D',则C'D'=O'C'=a.所以△A'B'C'的面积S=·A'B'·C'D'=·a·a=a2.
7.D [解析] 如图,过点B'作B'C'∥y'轴,交x'轴于点C',在△O'B'C'中,∠B'O'C'=30°,
∠B'C'O'=135°,O'B'=2,由正弦定理得=,可得B'C'=,易知在△OAB中BC即为B到x轴的距离,由斜二测画法的规则知,在△OAB中,顶点B到x轴的距离是2.故选D.
8.C [解析] 平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半,故选项C中两个三角形的直观图不是全等三角形.故选C.
9.BD [解析] 在△A'B'C'中,过C'作C'D'⊥A'B'于D',因为A'B'=2,A'C'=B'C'=,所以A'D'==1,C'D'==2,又∠C'O'D'=45°,所以O'D'=2,O'A'=1,O'C'=2.画出△ABC,如图所示,可得OC=4,OA=1,AB=2,故选项B正确;AC==,BC==,则AC≠BC,故选项A,C错误;S△ABC=×AB×OC=×2×4=4,故选项D正确.故选BD.
10.5 [解析] 把直观图△A'B'C'还原为原图形△ABC,如图所示,则AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,且AC⊥BC,所以AB===5.
11.菱形 [解析] 结合题意,作出四边形OABC,如图所示,易知四边形OABC为平行四边形,且BC=OA=O'A'=6 cm,OD=2O'D'=2×2=4(cm),CD=C'D'=2 cm,∴AB=OC===6(cm),∴OA=OC=BC=BA,故四边形OABC是菱形.
12.2+2+6 [解析] 过点C'作C'F⊥O'A'于点F,则△O'FC'为等腰直角三角形,可得O'F==1,C'F=1,所以O'C'==,则OC=2O'C'=2,又OA=O'A'=4,CB=C'B'=2,所以可画出梯形OABC,如图所示.过点B作BE⊥OA于点E,则BE=OC=2,OE=BC=2,所以AE=OA-OE=4-2=2,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB===2,所以梯形OABC的周长为OC+OA+BC+AB=2+4+2+2=2+2+6.
13.解:(1)由斜二测画法的规则知,在△ABC中,∠ACB=90°,所以△ABC为直角三角形.
(2)由题意得在Rt△ABC中,AC=A'C'=6,BC=2B'C'=8,∠ACB=90°,所以AB===10.
14.解:(1)如图①所示,分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为E,G,H,F,在图②中画出相应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(2)在x'轴上截取O'E'=OE,作A'E'∥y'轴,截取E'A'=EA,确定点A'.同理确定点B',C',D',其中B'G'=BG,C'H'=CH,D'F'=DF.
(3)顺次连接A',B',C',D',擦去辅助线,得到四边形ABCD的直观图四边形A'B'C'D',如图③所示.
15.AC [解析] 根据斜二测画法的特点可知,AD=2A'D',BC=B'C',AD⊥BC,BD=CD,则在Rt△ABD,Rt△ACD中,AD
AD,AB=,AC=,可得AB=AC.故选AC.
16.解:(1)根据平面图形的直观图的画法,画下底面的直观图,如图①,其中B'C'=2,O'A'=,O'D'=.
(2)画z'轴(z'轴与x'轴的夹角为90°),并画高O'O'1,使O'O'1=2,如图②.
(3)过点O'1,画x'1轴与y'1轴,使x'1轴与x'轴平行,y'1轴与y'轴平行,并在平面x'1O'1y'1中画上底面的直观图,如图③,其中B'1C'1=1,O'1A'1=,O'1D'1=,并连接A'1A',B'1B',C'1C'.
(4)擦去辅助线,并将被遮住的线画成虚线,就得到所要求的正三棱台的直观图,如图④.§2 直观图
【学习目标】
1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
3.会根据斜二测画法规则进行相关计算.
◆ 知识点 斜二测画法
用斜二测画法画多面体的直观图的具体步骤:
(1)在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy;再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.
(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'= (或135°),∠x'O'z'= .x'O'y'所确定的平面表示 .
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于 轴、
轴或 轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度 ;平行于y轴的线段长度为原来的 .
(5)擦去辅助线,并将被遮线画成虚线.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相等的角在直观图中相等. ( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,垂直的线段在直观图中仍垂直. ( )
(3)水平放置的正方形的直观图还是一个正方形. ( )
(4)水平放置的平面图形中长度相等的线段在直观图中仍相等. ( )
2.由直观图还原平面图形时,直观图中平行于x'轴、y'轴的线段在平面图形中长度如何变化
◆ 探究点一 画平面图形的直观图
例1 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
变式 用斜二测画法画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图.
◆ 探究点二 画空间几何体的直观图
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体的直观图.
变式 有一个正六棱锥,底面边长为3 cm,高为3 cm,用斜二测画法画出这个正六棱锥的直观图.
[素养小结]
1.简单几何体直观图的画法:
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
2.画球的直观图的注意事项:画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性(如图).
◆ 探究点三 直观图的还原与计算
例3 一个水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图如图所示,则△ABC的面积为 ( )
A. B.1
C. D.2
变式 [2024·广东江门高一期中] 如图所示,一个水平放置的四边形OABC用斜二测画法画出的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C',则四边形OABC的面积是 .
[素养小结]
1.由直观图求原平面图形的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实际平面图形中的高,在直观图中变为与水平直线所成锐角为45°且长度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
2.若一个平面多边形的面积为S,它的直观图的面积为S',则S'=S.§2 直观图
一、选择题
1.关于用斜二测画法画出的直观图,下列说法中正确的是 ( )
A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等
B.相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等
C.不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等
D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
2.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O'x',O'y',O'z',则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 ( )
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
3.如图为一平面图形用斜二测画法画出的直观图,则此平面图形可能是 ( )
A B C D
4.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是 ( )
A B C D
5.[2024·河南新乡高一期中] 如图所示,△A'B'C'为水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,其中∠x'O'y'=45°,B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC为 ( )
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.三边互不相等的三角形
6.已知△ABC是正三角形,且它的边长为a,那么△ABC用斜二测画法画出的直观图△A'B'C'的面积为 ( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
7.水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图是△O'A'B',如图,已知△O'A'B'是等腰三角形,底角为30°,腰长为2,那么在△OAB中,顶点B到x轴的距离是 ( )
A.1 B.2
C. D.2
8.下面选项中2个全等的△ABC的直观图不是全等三角形的是 ( )
A B
C D
9.(多选题)[2024·武汉高一期中] 如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,A'B'=2,A'C'=B'C'=,则在原图形△ABC中,有 ( )
A.AC=BC B.AB=2
C.AC=2 D.S△ABC=4
二、填空题
10.水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=3,B'C'=2,则AB= .
11.如图所示,矩形O'A'B'C'是水平放置的平面图形OABC用斜二测画法画出的直观图,其中O'A'=6 cm,C'D'=2 cm,则四边形OABC的形状是 .(从“矩形”“菱形”“正方形”中选填最恰当的一个)
12.如图,四边形O'A'B'C'是梯形OABC用斜二测画法画出的直观图,四边形O'A'B'C'是等腰梯形,且O'A'=2B'C'=4,∠C'O'A'=45°,则梯形OABC的周长为 .
三、解答题
13.(1)如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,判断△ABC的形状;
(2)若(1)中的△A'B'C'满足A'C'=6,B'C'=4,求AB.
14.如图所示,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(1,3),B(3,1),C(4,6),D(2,5),试用斜二测画法画出水平放置的四边形ABCD的直观图.
15.(多选题)如图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图,D'为B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么在原△ABC中, ( )
A.AB=AC B.AD>AC
C.AB>AD D.AB=AD
16.用斜二测画法画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.(共29张PPT)
直观图
探究点一 画平面图形的直观图
探究点二 画空间几何体的直观图
探究点三 直观图的还原与计算
【学习目标】
1.了解平行投影的意义,掌握斜二测画法.
2.能用斜二测画法画出基本立体图形的直观图.
3.会根据斜二测画法规则进行相关计算.
知识点 斜二测画法
用斜二测画法画多面体的直观图的具体步骤：
（1）在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴,;再取
轴，使 ,且 .
（2）画直观图时，把,,画成对应的,, ,使
_____(或,____. 所确定的平面表示
__________.
水平平面
（3）已知图形中平行于轴、轴或 轴的线段，在直观图中分别画
成平行于____轴、____轴或___轴的线段.
（4）已知图形中平行于轴和 轴的线段，在直观图中保持原长度
______；平行于 轴的线段长度为原来的______.
不变
一半
（5）擦去辅助线，并将被遮线画成虚线.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）相等的角在直观图中相等.( )
×
[解析] 如正方形（四个内角都相等）的直观图为平行四边形
（相邻的内角互补，相对的内角相等）.
（2）用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观图中
仍垂直.( )
×
[解析] 根据斜二测画法的特点可知，原图中垂直的线段在直观图中
不垂直.
（3）水平放置的正方形的直观图还是一个正方形.( )
×
[解析] 水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形.
（4）水平放置的平面图形中长度相等的线段在直观图中仍相等.( )
×
[解析] 水平放置的正方形的直观图中邻边长度不相等.
2.由直观图还原平面图形时，直观图中平行于轴、 轴的线段在平
面图形中长度如何变化
解：在直观图中平行于 轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于
轴的线段在平面图形中长度变为它的2倍.
探究点一 画平面图形的直观图
例1 用斜二测画法画边长为 的水平放置的正三角形（如图）的
直观图．
解：（1）解：如图①所示，以 边所在的直线为轴，以边上的
高所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系 ．
（2）如图②，画对应的轴、轴，使 . 在轴上截取
，在轴上截取 ，连接， .
（3）擦去辅助线轴,轴及点 ，则三角形即为正三角形 的
直观图，如图③所示．
变式 用斜二测画法画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图.
解：（1）解：在已知的直角梯形 中，以底边所在直线为轴，
垂直于的腰所在直线为 轴,建立平面直角坐标系 ,如图①所示.
（2）画出轴和轴，使 ，在 轴上截取，
在轴上截取，过点 作轴的平行线，在上沿轴正方
向取点，使得 ，连接 ，如图②.
（3）擦去辅助线轴，轴和，所得四边形 就是直角梯形
的直观图，如图③.
探究点二 画空间几何体的直观图
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为，， 的长方体
的直观图.
解：（1）解：画轴.画轴、轴、轴三轴交于点 ，使
， ，如图①.
（2）画底面.以为中点，在轴上取线段，使，在 轴
上取线段，使 .
分别过点和作轴的平行线，过点和作 轴的平
行线，设它们的交点分别为,,,，则四边形
就是长方体的底面的直观图，如图②.
（3）画侧棱.过,,,四点分别作 轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取长的线段, ,, ，如图③.
（4）连线成图.顺次连接,,, ，如图④，
擦去辅助线,且将被遮线画成虚线，就得到长方体的直观图，如图⑤.
变式 有一个正六棱锥，底面边长为，高为 ，用斜二测画法
画出这个正六棱锥的直观图.
解：（1）解：先用斜二测画法画出边长为 的正六
边形的直观图，如图①所示.
（2）过点建立轴轴垂直轴)，在 轴上截取
，如图②所示.
（3）连接，，，，， ，如图③所示.
（4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六
棱锥的直观图，如图④所示.
［素养小结］
1.简单几何体直观图的画法：
（1）画轴:通常以高所在直线为 轴建系.
（2）画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
（3）确定顶点:利用与轴平行或在 轴上的线段确定有关顶点.
（4）连线成图.
2.画球的直观图的注意事项：画球的直观图，一般需要画出球的轮廓
线，它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图
是椭圆，用以衬托球的立体性（如图）.
探究点三 直观图的还原与计算
例3 一个水平放置的 用斜二测画法画
出的直观图如图所示,则 的面积为
( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由题图知,,,且 ,
所以 .故选D.
√
变式 [2024·广东江门高一期中] 如图所示，一个
水平放置的四边形 用斜二测画法画出的直观
图是边长为2的正方形，则四边形
的面积是_____.
[解析] 在正方形中可得 ，
由斜二测画法的特点可知,，
且 , ,，
所以四边形 为平行四边形，
所以四边形的面积是 .
［素养小结］
1.由直观图求原平面图形的面积,关键是掌握斜二测画法,明确原来实
际平面图形中的高,在直观图中变为与水平直线所成锐角为 且长
度为原来一半的线段,这样可得出所求图形相应的高.
2.若一个平面多边形的面积为,它的直观图的面积为,则 .
1.直观图的认识
（1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画
立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同
一平面内的点表示.
（2）在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平
面图形.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时要透彻理解“三变”
与“三不变”
水平放置的三角形的直观图的还原问题
若给出任意一个水平放置的三角形的直观图，三边与 轴均不平行，
计算高或面积时需要作一条与 轴平行的辅助线，以便计算原三角
形的高.
例1 如图所示，是水平放置的 用
斜二测画法画出的直观图，在轴上，
与轴垂直，且，则的边 上的
高为_____.
[解析] 如图所示，过作 轴，
则 ,与轴垂直，且 ，
.
根据斜二测画法知的边 上的高为 .
例2 一个水平放置的 用斜二测画法画出的直观图△A'B'C'如图
所示，其中， ， ，试求原三
角形的边上的高及 的面积.
解：如图所示，作于点，
在上取一点 ，使 .
由可知，，，， .
作出原，作为 边上的高，
则由斜二测画法知，， .
所以 .