§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间点、线、面之间的位置关系的认识及基本事实1,2,3
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)点A在直线l上用符号表示为A∈l.
(2)直线l在平面α内用符号表示为l α.
知识点二
1.不在一条直线上 两个点 一个 一条过该点
2.该直线外 相交 平行
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上,且这三个着地点不在同一条直线上,所以根据推论1知自行车有一个脚撑就可站稳.
(2)由线段AB在平面α内知直线AB上至少有两点在平面α内,则由基本事实2知,直线AB在平面α内.
(3)由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)A∈α,A β.(如图①)
(2)A∈a,B∈a,A∈α,B α.(如图②)
(3)α∩β=a.(如图③)
变式 解:(1)用符号表示为α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图所示.
(2)用符号表示为A∈α,B∈α,a∩α=C,C 直线AB,如图所示.
探究点二
例2 证明:由题知AB≠A1B1,则四边形AA1B1B为梯形,
∴AA1与BB1相交,设其交点为S,则S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1,∴S∈平面BCC1B1.同理可证,S∈平面ACC1A1.故点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上,即S∈CC1,∴AA1,BB1,CC1三线共点.
变式 证明:∵EG∩FH=P,∴P∈EG,又EG 平面ABC,∴P∈平面ABC.同理,P∈平面ADC.∴P是平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P,A,C三点共线.
探究点三
例3 证明:方法一(纳入法):∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.
又l2 α,∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3,C∈l3,∴l3 α,∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二(同一法):∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2,l2 α,∴A∈α.∵A∈l2,l2 β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
变式 证明:因为a∥b,所以a和b确定一个平面α,又l∩a=A,l∩b=B,所以A∈α,B∈α,故l α.因为a∥c,所以a和c确定一个平面β,又l∩a=A,l∩c=C,所以A∈β,C∈β,故l β.则l和a既在平面α内又在平面β内,又l与a相交,所以平面α与平面β重合,即直线a,b,c,l共面.
拓展 证明:在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD.在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1.取GD的中点N,连接CN,
则由PG=PD可知PG=GN=ND.
∵点F为PC的中点,
∴FG∥CN,即GM1∥CN,
∴在△GM1D中有CM1=CD,∴点M与点M1重合,
即AE与GF相交于点M,∴A,E,F,G四点共面.§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间点、线、面之间的位置关系的认识及基本事实1,2,3
一、选择题
1.[2024·江西宜春期末] 能确定一个平面的条件是 ( )
A.空间中的三个点 B.一个点和一条直线
C.两条相交直线 D.无数个点
2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于点M,给出下列说法:
①点M在直线AC上,点B在直线A1B1外;②直线AC与BD相交,直线AC与A1D1相交;③平面AA1B1B与平面DD1C1C平行;④直线AC与平面A1B1C1D1相交.
其中正确说法的序号是 ( )
A.①③④ B.①②
C.①③ D.②③④
3.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是 ( )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
4.已知α,β为平面,A,B,M,N为不同的点,l为直线,则下列说法错误的是 ( )
A.若A∈l,A∈β,B∈l,B∈β,则l β
B.若M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,α与β不重合,则α∩β=MN
C.若A∈α,A∈β,α与β不重合,则α∩β=A
D.若A∈α,B∈α,M∈α,A∈β,B∈β,M∈β,且A,B,M不共线,则α,β重合
5.已知平面α∩平面β=l,点A,C∈α,点B∈β,且A,C,B l,AC∩l=M,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ= ( )
A.直线CM B.直线BM
C.直线AB D.直线BC
6.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有 ( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
7.如果直线a 平面α,直线b 平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 ( )
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
8.(多选题)以下四个命题中,错误的命题是 ( )
A.一个点和一条直线确定一个平面
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.任意三点一定共面
9.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论中正确的是 ( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
二、填空题
10.把下列符号语言对应的图形的编号填在横线上.
(1)A α,a α: ;
(2)α∩β=a,P α且P β: ;
(3)a α,a∩α=A: ;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O: .
11.设平面α与平面β相交于直线l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M l.
12.给出下列三个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③若直线l上有一点在平面α外,则l与平面α相交或平行.
其中正确命题的个数是 .
三、解答题
13.用符号和图形表示下列语句:
(1)A,B两点既在平面α内,又在平面β内,则直线AB是平面α与平面β的交线;
(2)两条相交直线a和b都在平面α内;
(3)直线a在平面α内,直线b在平面α外,a与b相交于一点M.
14.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.
15.若△ABC的三个顶点均在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P,Q,R,则点Q
直线PR上.(填“在”或“不在”)
16.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1和AA1的中点,画出平面ABCD与平面BED1F的交线.(共36张PPT)
§3 空间点、直线、平面之间的位置
关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间点、线、面之间的位置关系的认识及
基本事实1,2,3
探究点一 空间点、直线、平面之间的位
置关系的三种语言相互转化
探究点二 共点、共线问题
探究点三 共面问题
【学习目标】
1.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3.
2.掌握空间中点、直线、平面之间的位置关系及表示.
知识点一 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
点与直 线 A在 上 ________________________
A在 外 ________________________
点与平 面 A在 内 _______________________________
A在 外 _______________________________
直线与 直线 ，相交于点 ________________________
文字语言 符号语言 图形语言
直线与 直线 与 不相交 _____________________________________________
直线与 平面 在 内 _______________________________
与 相交于点 ______________________________
与 平行 _______________________________
续表
文字语言 符号语言 图形语言
平面与 平面 ， 相交于 ______________________________________
与 平行 ___________________________________
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）点在直线上可记为 .( )
×
[解析] 点在直线上用符号表示为 .
（2）直线在平面 内用符号可表示为 .( )
×
[解析] 直线在平面 内用符号表示为 .
（3）直线经过平面 外一点，用符号表示为, .( )
√
知识点二 平面的基本性质
1.三个基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实 1 过____________ _____的三个 点，有且只有一 个平面 ______________________________ ,, 三点不 共线 存在 唯一的平面 使， ， ① 确定平
面的依据；
②判定点线
共面
不在一条直线上
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实 2 如果一条直线上 的________在一 个平面内，那么 这条直线在这个 平面内 ______________________________ 若 ， ，且 ， ，则 ①确定直线
在平面内的
依据；
②判定点在
平面内
两个点
续表
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实 3 如果两个不重合 的平面有______ 公共点，那么它 们有且只有 _____________ 的公共直线 ________________________________________ ，，且 ①判定两平
面相交的依
据；
②判定点在
直线上
一个
一条过该点
续表
2.三个推论
推论1 一条直线和__________一点确定一个平面,如图（1）.
推论2 两条______直线确定一个平面,如图（2）.
推论3 两条______直线确定一个平面,如图（3）.
该直线外
相交
平行
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）自行车有一个脚撑就可站稳.( )
√
[解析] 因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面
上，且这三个着地点不在同一条直线上，所以根据推论1知自行车有
一个脚撑就可站稳.
（2）线段在平面 内，直线可能不在 内.( )
×
[解析] 由线段在平面 内知直线上至少有两点在平面 内，
则由基本事实2知，直线在平面 内.
（3）两个平面的交线可能是一条线段.( )
×
[解析] 由基本事实3知，两个平面的交线是一条直线.
（4）若平面 与平面 有公共点，则公共点不止一个.( )
√
探究点一 空间点、直线、平面之间的位置关系的三种语言相互
转化
例1 用符号表示下列语句，并画出图形.
（1）点在平面 内但在平面 外；
解： ， .（如图①）
（2）直线经过平面 内一点， 外一点 ；
解：，， ， .（如图②）
（3）直线在平面 内，也在平面 内.
解： .（如图③）
变式 用符号表示下列语句，并画出图形.
（1）平面 与 相交于直线，直线与 ， 分别相交于点， .
解：用符号表示为，， ，如图所示.
（2）点，在平面 内，直线与平面 交于点，点 不在直线
上.
解：用符号表示为 ， ，， 直线 ，如图
所示.
［素养小结］
三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先
仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着
用文字语言表示，再用符号语言表示.
探究点二 共点、共线问题
例2 如图, 设不全等的与 不在同一个
平面内,且,,,求证: ,
, 三线共点.
证明：由题知,则四边形 为梯形,
与相交,设其交点为,则 .
平面, 平面 .
同理可证, 平面.
故点在平面与平面 的交线上,即,
,, 三线共点.
变式 如图，在三棱锥中，,,, 分别
在,,,上，与交于点，求证： ,
, 三点共线.
证明：,，
又 平面, 平面.
同理， 平面
是 平面与平面的公共点.
又平面 平面 ，
,,, 三点共线.
［素养小结］
证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明
这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据两平面的交线有且只
有一条这一基本事实,从而只需证明此点在两个平面的交线上.
探究点三 共面问题
例3 如图所示，，， .
求证：直线，， 在同一平面内.
证明：方法一（纳入法），和 确定一个平面
， .
又 ， .同理可证 .
，， ， 直线，， 在同一平面内.
方法二（同一法），和确定一个平面 .
，和确定一个平面 .
， ，， ， .
同理可证 ， ， ， .
不共线的三个点，，既在平面 内，又在平面 内，
平面 和 重合，即直线，， 在同一平面内.
变式 如图，已知,,, .求证：直线
,,, 共面.
证明：因为，所以和确定一个平面 ，
又,，所以 , ,故 .
因为，所以和确定一个平面 ，
又，，所以 ， ，故 .
则和既在平面 内又在平面 内，
又与相交，所以平面 与平面 重合，即直线,,, 共面.
［素养小结］
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据
是基本事实1、基本事实2及推论.具体常用方法有：
（1）先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平
面内，即用“纳入法”.
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面 ，其余点、线确定另一
个平面 ，再证平面 与 重合，即用“同一法”.
拓展 如图,在四棱锥中,底面为菱形,,
分别是,的中点,点在上,且.求证: ,
,, 四点共面.
证明:在平面内,连接并延长,交 的延长线于
点,则有.在平面内,连接并延长,交
的延长线于点.取的中点,连接 ,
则由可知 .
点为 的中点,
,即 ,
在中有, 点与点 重合,
即与相交于点,,,, 四点共面.
1.符号语言在立体几何与集合中的差异
（1）用集合语言描述几何关系时,“ ”“ ”“ ”等符号虽来源于集
合符号,但在读法上却用几何语言.例如, 读作：点在平面
内; 读作：直线在平面 内;读作：平面 , 相交
于直线 .
（2）在“ , ”中视为平面 （集合）上的点（元素）,
（集合）视为平面 （集合）上的直线（子集）.
（3）几何符号的用法原则上与集合符号的含义一致,但个别地方与集
合符号略有差异.例如:不再用直线来表示直线,交于点 ,
而简记为,这里的 既是一个点,又可以理解为只含一个元素
（点）的集合.
2.相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被
遮住部分的线画成虚线或者不画,以增强立体感.
3.理清公理组成的逻辑结构：基本事实1描述了点与平面的关系，确
立了平面的存在性；基本事实2描述了直线与平面的关系，基本事实
2的三个推论是确定一个平面的方法;基本事实3通过对平面与平面的
相交关系的描述进一步刻画平面.基本事实1，基本事实2，基本事实3
呈现出按照点和平面、直线和平面以及平面和平面的次序来阐述平
面的性质的逻辑结构.
1.点共线、线共点问题的解决方法:首先找出两个平面,然后证明这些
点、线的公共点在这两个相交平面内,由基本事实3知,这些点都在这
两个平面的交线上.
证明：因为, ,
所以平面 平面 .
因为 平面, 平面,且 ,
所以 ,
即，， 共线.
例1 已知与所在平面相交，并且,, 交于一
点.若,,，求证:,, 共线.
2.点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要
依据是基本事实1、基本事实2及推论.
例2 如图所示,四边形和四边形 都
是直角梯形, ，
，，, ，
,分别为,的中点.求证：,,, 四点
共面.
证明：连接.因为,分别为,的中点,
所以 ，且 ，
又,且，所以 ,
所以,,, 四点共面.§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间点、线、面之间的位置关系的认识及基本事实1,2,3
1.C [解析] 对于A,当这三个点共线时,经过这三个点的平面有无数个,故A不符合题意;对于B,当此点恰好在已知直线上时,有无数个平面经过这条直线和这个点,故B不符合题意;对于C,根据基本事实的推论可知,两条相交直线可确定一个平面,故C符合题意;对于D,给出的无数个点不一定在同一个平面内,因此不一定能确定一个平面,故D不符合题意.故选C.
2.C [解析] 点M是直线AC与BD的交点,则点M在直线AC上,点B显然在直线A1B1外,故①正确;直线AC与A1D1不在同一个平面内,不相交,故②错误;平面AA1B1B与平面DD1C1C没有公共点,则平面AA1B1B与平面DD1C1C平行,故③正确;直线AC与平面A1B1C1D1无公共点,则直线AC与平面A1B1C1D1不相交,故④错误.故选C.
3.B [解析] 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都可以确定一个平面,所以A,C,D错误,B正确.故选B.
4.C [解析] ∵A∈α,A∈β,α与β不重合,∴A∈α∩β,由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A,故α∩β=A这一结论错误.故选C.
5.B [解析] 因为过A,B,C三点确定的平面为γ,所以AC γ.因为AC∩l=M,所以M∈γ.因为平面α∩平面β=l,所以l β,又因为AC∩l=M,所以M∈β.又B∈β,B∈γ,所以β∩γ=BM.故选B.
6.D [解析] 当α过β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ没有交线时,α与β和γ各有1条交线,共有2条交线;当三个平面两两相交且不交于同一条直线时,共有3条交线.故选D.
7.A [解析] ∵直线a 平面α,直线b 平面α,M∈a,N∈b,∴M∈平面α,N∈平面α,又M∈l,N∈l,∴l α.故选A.
8.ABC [解析] 直线与直线上的一点不能确定一个平面,直线与直线外的一点才能确定一个平面,故A中命题错误;当A,B,C三点共线,直线DE与直线AC既不平行也不相交时,A,B,C,D,E不共面,故B中命题错误;当直线a,b共面,直线a,c共面时,直线b,c可能不在同一平面内,C中命题错误;当这三点共线时,这三点一定共面,当这三点不共线时,由基本事实1可知,这三点确定一个平面,即这三点共面,故D中命题正确.故选ABC.
9.ABC [解析] 如图,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,又A1C∩平面C1BD=M,所以点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,则A,B,C均正确.显然D,O,M∈平面C1BD,D1 平面C1BD,D,O,M不共线,则D不正确.故选ABC.
10.(1)③ (2)④ (3)① (4)② [解析] (1)A α,a α表示点A在平面α外且直线a在平面α内,故③符合;(2)α∩β=a,P α且P β表示平面α,β相交于直线a,点P在平面α外且点P在平面β外,故④符合;(3)a α,a∩α=A表示直线a在平面α外,直线a与平面α相交于点A,故①符合;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O表示平面α,β相交于直线a,平面α,γ相交于直线c,平面β,γ相交于直线b,直线a,b,c相交于点O,故②符合.
11.∈ [解析] 因为a∩b=M,所以M∈a,M∈b,因为a α,b β,所以M∈α,M∈β,因为α∩β=l,所以M∈l.
12.1 [解析] 对于①,两条不共面的直线不能确定一个平面,故①错误; 对于②,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合, 若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交,故②错误; 对于③,若直线l上有一点在平面α外,则由直线与平面的位置关系得l与平面α相交或平行,故③正确.综上可知,正确命题的个数为1.
13.解:(1)A,B两点既在平面α内,又在平面β内,则直线AB是平面α与平面β的交线.符号表示为若A∈α,B∈α,A∈β,B∈β,则α∩β=AB.图形表示如图①.
(2)两条相交直线a和b都在平面α内,符号表示为a∩b=P,a α,b α,图形表示如图②.
(3)直线a在平面α内,直线b在平面α外,a与b相交于一点M,符号表示为a α,b α,a∩b=M,图形表示如图③.
14.证明:∵AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,∴AB∩CD=P,∴A,C,B,D确定一个平面,该平面为平面ACBD.
∵AC∩α=Q,BD∩α=R,AB∩α=P,CD∩α=P,
∴P,Q,R是平面α与平面ACBD的公共点,又平面α与平面ACBD不重合,∴P,Q,R都在平面α与平面ACBD的交线上,即P,Q,R三点共线.
15.在 [解析] 由已知条件易知,平面α与平面ABC相交,设交线为l.不妨设P∈AB,则P∈平面ABC,又P∈α,所以P∈l.同理,R∈l,Q∈l.故P,Q,R三点共线,即点Q在直线PR上.
16.解:如图所示,在平面ADD1A1内延长D1F,交DA的延长线于点P,
则P∈D1F,P∈DA,因为D1F 平面BED1F,所以P∈平面BED1F.
又因为DA 平面ABCD,所以P∈平面ABCD,所以P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点.
连接BP,因为B是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点,所以直线PB为平面ABCD与平面BED1F的交线.§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 空间点、线、面之间的位置关系的认识及基本事实1,2,3
【学习目标】
1.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3.
2.掌握空间中点、直线、平面之间的位置关系及表示.
◆ 知识点一 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
点与直线 A在l上 A∈l
A在l外 A l
点与平面 A在α内 A∈α
A在α外 A α
直线与直线 l,m相交 于点A l∩m=A
l与m不 相交 l∩m=
直线与平面 l在α内 l α
l与α相交 于点A l∩α=A
l与α平行 l∩α=
平面与平面 α,β相交于l α∩β=l
α与β平行 α∩β=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)点A在直线l上可记为A l. ( )
(2)直线l在平面α内用符号可表示为l∈α.( )
(3)直线a经过平面α外一点P,用符号表示为P∈a,P α. ( )
◆ 知识点二 平面的基本性质
1.三个基本事实
基本 事实 文字语言 图形 语言 符号语言 作用
基本 事实1 过 的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α ① 确定平面的依据; ②判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l α ①确定直线在平面内的依据; ②判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有 公共点,那么它们有且只有 的公共直线 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l ①判定两平面相交的依据; ②判定点在直线上
2.三个推论
推论1 一条直线和 一点确定一个平面,如图(1).
推论2 两条 直线确定一个平面,如图(2).
推论3 两条 直线确定一个平面,如图(3).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)自行车有一个脚撑就可站稳. ( )
(2)线段AB在平面α内,直线AB可能不在α内. ( )
(3)两个平面的交线可能是一条线段. ( )
(4)若平面α与平面β有公共点,则公共点不止一个. ( )
◆ 探究点一 空间点、直线、平面之间的位置
关系的三种语言相互转化
例1 用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在平面α内但在平面β外;
(2)直线a经过平面α内一点A,α外一点B;
(3)直线a在平面α内,也在平面β内.
变式 用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
[素养小结]
三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面,几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
◆ 探究点二 共点、共线问题
例2 如图, 设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内,且AB∥A1B1,BC∥B1C1,CA∥C1A1,求证:AA1,BB1,CC1三线共点.
变式 如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别在AB,AD,BC,CD上,EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
[素养小结]
证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据两平面的交线有且只有一条这一基本事实,从而只需证明此点在两个平面的交线上.
◆ 探究点三 共面问题
例3 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
变式 如图,已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.
[素养小结]
证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.具体常用方法有:
(1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”.
拓展 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,点G在PD上,且PG=PD.求证:A,E,F,G四点共面.
