第2课时 基本事实4、异面直线和等角定理
【课前预习】
知识点一
平行 a∥c 传递性
诊断分析
(1)√ (2)√
知识点二
1.不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线
3.在同一平面内,有且只有一个公共点 在同一平面内,没有公共点 不同在任何一个平面内,没有公共点
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)错误,分别在两个平面内的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面.
(2)正确,两直线如果不是异面直线,那么它们相交或者平行.
(3)错误,这两直线可能相交或异面.
(4)错误,a,c也可能是平行直线,还可能是相交直线.
2.解:两种.设该直线与平面的交点为P,则当平面内的某条直线不过点P时,该直线与这个平面内的这条直线异面;当平面内的某条直线经过点P时,该直线与这个平面内的这条直线相交.
知识点三
相等 互补
诊断分析
(1)× (2)×
知识点四
a'与b' 直角 a⊥b
诊断分析
(1)× (2)×
【课中探究】
探究点一
探索 解:成立.这就是本节学习的基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
例1 证明:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,由棱柱的性质知,四边形AA1B1B和四边形BB1C1C都是平行四边形,
所以AA1∥BB1,且AA1=BB1,BB1∥CC1,且BB1=CC1,
所以由基本事实4知AA1∥CC1,且AA1=CC1,
所以四边形ACC1A1为平行四边形.
例2 证明:连接AC.在△ABC中,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC.因为AA1∥CC1,AA1=CC1,
所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.所以EF∥A1C1.
变式 解:(1)∵==λ,==μ,
∴EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG,==,==,又λ=μ,∴EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)由(1)可知,当λ≠μ时,EH≠FG,EH∥FG,
∴四边形EFGH是梯形.
(3)∵λ=μ=,∴由(1)可知四边形EFGH是平行四边形,
又EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形.∴EH=GH,
又=,=,∴=.
探究点二
例3 证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC.
因为M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1M NC,所以四边形A1NCM为平行四边形,所以A1N∥MC.由PN∥BC,A1N∥MC及∠PNA1与∠BCM对应边的方向相同,可得∠PNA1=∠BCM.
变式 解:△EFG∽△C1DA1.证明如下:
连接B1C,因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C.因为CD AB,A1B1 AB,所以CD A1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D B1C.
因为B1C∥FG,所以A1D∥FG.
同理可得,A1C1∥EG,DC1∥EF.
因为∠DA1C1与∠FGE,∠A1DC1与∠GFE,∠DC1A1与∠FEG的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠FGE,∠A1DC1=∠GFE,∠DC1A1=∠FEG,所以△EFG∽△C1DA1.
探究点三
例4 解:(1)因为DH∥AE,所以∠AEB即为异面直线BE与DH的夹角.
在△AEB中,∠AEB=45°,所以BE与DH的夹角为45°.
(2)如图,连接FH,则HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD的夹角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形.
又O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD的夹角为30°.
变式 C [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AB1,AD1,AC,由M,P分别为A1B,A1D的中点,得M,P分别为AB1,AD1的中点.因为N,Q分别为B1D1,CD1的中点,所以MN∥AD1,PQ∥AC,因此∠CAD1或其补角是异面直线MN与PQ的夹角.在△CAD1中,AC=AD1=CD1,则∠CAD1=,所以异面直线MN与PQ的夹角的大小是.故选C.第2课时 基本事实4、异面直线和等角定理
1.D [解析] 根据题意及有关定理知,β=60°或β=120°,故选D.
2.C [解析] 三条直线a,b,c满足a与b平行,a与c异面,则b与c可能相交,也可能异面,不可能平行.假设b与c平行,则由a与b平行,可得a与c平行,这与a与c异面矛盾,故假设不成立,b与c不可能平行.故选C.
3.C [解析] 因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.故选C.
4.B [解析] 连接A1B,D1C,∵GH∥A1B,A1B∥D1C,∴GH∥D1C.又MN∥D1C,∴GH∥MN.由异面直线的定义可知,GH与EF为异面直线.连接EM,BC1,NF,易知EM BC1,NF∥BC1,且NF=BC1,故NF∥EM,且NF=EM,即四边形EMNF是梯形,故EF与MN为相交直线.故选B.
5.A [解析] 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,∴假设不成立,l与AD不平行,故A中说法不正确;∵l 平面A1B1C1D1,A1D1 平面A1B1C1D1,B1C1 平面A1B1C1D1,A1D1∥B1C1,l与B1C1不平行,∴l与A1D1相交,故B中说法正确;连接A1C1,当l与A1C1重合或平行时,显然l与AC平行, C中说法正确;连接B1D1,当l与B1D1重合或平行时,显然l与BD平行,D中说法正确.故选A.
6.C [解析] 当两条相交直线与等腰直角三角形的两条直角边所在直线分别平行时,它们的夹角为90°;当两条相交直线与等腰直角三角形的一条直角边和斜边所在直线平行时,它们的夹角为45°.故选C.
7.B [解析] 取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥BC,EG=BC=1,GF∥AD,GF=AD=1,所以∠EGF或其补角为AD与BC的夹角.又EF=,所以cos∠EGF==-,则∠EGF=120°.故AD与BC的夹角为180°-120°=60°.故选B.
8.CD [解析] 因为M为DD1的中点,所以DD1∩C1M=M,又C1M∩CC1=C1,所以DD1,CC1与C1M均为相交直线,A,B错误.因为BD1∩平面CC1D1D=D1,C1M 平面CC1D1D,D1 直线C1M,所以BD1与直线C1M为异面直线.同理得CA1与直线C1M为异面直线,故C,D正确.故选CD.
9.BCD [解析] 由题意知PQ=DE,且DE≠MN,所以PQ≠MN,故A不正确;因为PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,故B正确;由PQ∥MN,可知M,N,P,Q四点共面,故C正确;因为PQ=DE,DE10.① [解析] 由基本事实4知①正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行或异面,故②不正确;当a 平面α,b 平面β时,a与b可能平行、相交或异面,故③不正确.故填①.
11.③ [解析] ①中PQ∥RS,②中RS∥PQ,④中RS与PQ相交,③中PQ与RS不同在任何一个平面内,是异面直线.故填③.
12.10 [解析] 如图,在空间四边形ABCD中,两条对角线AC,BD的长分别为8和10,AC,BD的夹角为60°.分别取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE,则EF∥AC∥GH,且EF=GH=AC=4,EH∥BD∥GF,且EH=GF=BD=5,∴四边形EFGH为平行四边形,∠HEF=60°或∠HEF=120°,不妨取∠HEF=60°,则所求面积是4×5×sin 60°=10.
13.证明:(1)如图所示,因为E,E'分别是AD,A'D'的中点,所以AE∥A'E',且AE=A'E',所以四边形AEE'A'是平行四边形,
所以AA'∥EE',且AA'=EE'.
因为AA'∥BB',且AA'=BB',
所以EE'∥BB',且EE'=BB',
所以四边形BB'E'E是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形BB'E'E为平行四边形,所以BE∥B'E'.同理可证CE∥ C'E'.
因为∠BEC与∠B'E'C'的两边分别平行且方向相同,所以∠BEC=∠B'E'C'.
14.解:(1)证明:假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面,从而CF与PE共面,即AP与BC共面,所以A,B,C,P在同一平面内,这与P是△ABC所在平面外一点相矛盾,所以假设不成立,故直线EF与BD是异面直线.
(2)取AC的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别是PA,BC的中点,
所以EG∥PC,FG∥AB,且EG=PC,FG=AB,
则∠FEG或其补角即为异面直线EF与PC的夹角.
由PC⊥AB,PC=AB,可得EG⊥GF,EG=GF,故∠FEG=45°,即异面直线EF与PC的夹角为45°.
15.(2,2) [解析] 如图,矩形ACDE为该圆柱的轴截面,其中CD=AE=OO'=AC=DE=2,要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线,则B不能与D或E重合.为方便求解,假设B能与D和E重合,则当B与E重合时线段AB的长度取得最小值2,当B与D重合时线段AB的长度取得最大值2,综上,线段AB长度的取值范围是(2,2).
16.解:连接CD1,AC.∵在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,
∴∠AD1C或其补角为异面直线A1B和AD1的夹角.
∵A1B⊥AD1,∴∠AD1C=90°.
易知AD1=D1C,∴△ACD1是等腰直角三角形,
∴AD1=AC.
∵AB=BC=2,∠ABC=120°,∴∠ACB=30°,则由正弦定理得=,可得AC==6,∴AD1=AC=3,∴AA1==.第2课时 基本事实4、异面直线和等角定理
【学习目标】
1.了解基本事实4和等角定理.
2.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
◆ 知识点一 基本事实4
名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相 判断空间两条直线平行的依据
这一基本事实表述的性质通常称为空间平行线的 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知a,b,c,d是四条不同的直线,若a∥b,b∥c,c∥d,则a∥d. ( )
(2)已知a,b,c是三条不同的直线,若a∥b,b∥c,则a,c无公共点. ( )
◆ 知识点二 异面直线的定义
1.定义: 称为异面直线.
2.画法:为了表示异面直线a,b不共面的特点,画图时,通常用一个或两个平面衬托,如图所示.
3.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种:
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线. ( )
(2)两直线如果不是异面直线,那么它们相交或者平行. ( )
(3)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. ( )
(4)若三条不同的直线a,b,c满足a,b为异面直线,b,c为异面直线,则a,c为异面直线. ( )
2.如果一条直线与一个平面相交,那么该直线与这个平面内的直线的位置关系有几种
◆ 知识点三 空间中的等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 或
图形语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∠ABC=∠A'B'C',且AB∥A'B',则AC∥A'C'. ( )
(2)若∠ABC+∠A'B'C'=180°,且AB∥A'B',则AC∥A'C'. ( )
◆ 知识点四 异面直线的夹角
异面直线 的夹角 的定义 已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面,我们把 所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角
异面直线 互相垂直 若两条异面直线a,b的夹角是 ,则称这两条直线互相垂直,记作:
图示
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)异面直线的夹角的大小与点O的位置有关,即当点O位置不同时,这一角的大小也不同. ( )
(2)若∠AOB =120°,则分别与OA,OB平行的两条异面直线的夹角为120°. ( )
◆ 探究点一 基本事实4的应用
[探索] 在平面中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,那么,该结论在空间中还成立吗
例1 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,求证:四边形ACC1A1为平行四边形.
例2 [2024·黑龙江齐齐哈尔高一期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是AB,BC的中点,求证:EF∥A1C1.
变式 如图所示,E,F,G,H分别是三棱锥A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.
(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;
(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;
(3)若λ=μ=且EG⊥HF,求的值.
[素养小结]
证明两条直线平行的方法:
(1)平行线的定义;
(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;
(3)基本事实4.
◆ 探究点二 等角定理的应用
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM.
变式 如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.试问△EFG和△C1DA1有什么关系 请加以证明.
◆ 探究点三 异面直线的夹角
例4 如图,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心.求:
(1)异面直线BE与DH的夹角;
(2)异面直线FO与BD的夹角.
变式 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1B,B1D1,A1D,CD1的中点,则异面直线MN与PQ的夹角的大小是 ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
求异面直线的夹角的一般步骤:
(1)找角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角;
(2)证明:证明找出的角就是异面直线的夹角;
(3)求角:求角度,一般常利用解三角形得出;
(4)定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线的夹角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线的夹角.(共36张PPT)
§3 空间点、直线、平面之间的位置
关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第2课时 基本事实4、异面直线和等角定理
探究点一 基本事实4的应用
探究点二 等角定理的应用
探究点三 异面直线的夹角
【学习目标】
1.了解基本事实4和等角定理.
2.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
知识点一 基本事实4
名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事 实4 平行于同一 条直线的两 条直线互相 ______ ______________________________________________ ______ 判断空间
两条直线
平行的依
据
这一基本事实表述的性质通常称为空间平行线的________.
平行
传递性
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,,,是四条不同的直线，若,,,则 .
( )
√
（2）已知,,是三条不同的直线，若,,则, 无公共点.( )
√
知识点二 异面直线的定义
1.定义：__________________________________________称为异面直线.
不同在任何一个平面内（不共面）的两条直线
2.画法：为了表示异面直线, 不共面的特点，画图时，通常用一个
或两个平面衬托，如图所示.
3.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种:
在同一平面内,有且只有一个公共点
在同一平面内,没有公共点
不同在任何一个平面内,没有公共点
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．( )
×
[解析] 错误，分别在两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，
也可能异面.
（2）两直线如果不是异面直线,那么它们相交或者平行.( )
√
[解析] 正确，两直线如果不是异面直线,那么它们相交或者平行.
（3）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )
×
[解析] 错误，这两直线可能相交或异面.
（4）若三条不同的直线,,满足,为异面直线,,为异面直线,则 ,
为异面直线.( )
×
[解析] 错误，, 也可能是平行直线，还可能是相交直线.
2.如果一条直线与一个平面相交,那么该直线与这个平面内的直线的
位置关系有几种
解：两种.
设该直线与平面的交点为 ,
则当平面内的某条直线不过点 时,该直线与这个平面内的这条直线异面;
当平面内的某条直线经过点 时,该直线与这个平面内的这条直线相交.
知识点三 空间中的等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这
两个角______或______
图形语言 _________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等
互补
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,且,则 .( )
×
（2）若 ,且,则 .( )
×
知识点四 异面直线的夹角
异面直线 的夹角的 定义 已知两条异面直线,,过空间任一点作直线 ,
,这时,共面，我们把_______所成的不大于
的角称为异面直线, 的夹角
异面直线 互相垂直 若两条异面直线, 的夹角是______,则称这两条直线互
相垂直，记作：______
图示 _____________________________________________
与
直角
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）异面直线的夹角的大小与点的位置有关，即当点 位置不同
时，这一角的大小也不同.( )
×
（2）若 ,则分别与, 平行的两条异面直线的夹角
为 .( )
×
探究点一 基本事实4的应用
［探索］ 在平面中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，那么，
该结论在空间中还成立吗
___________________________________________________________
_____________
解：成立.这就是本节学习的基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
例1 在四棱柱中,求证:四边形 为平行四边形.
证明:在四棱柱中,由棱柱的性质知,
四边形 和四边形 都是平行四边形,
所以,且,,且 ,
所以由基本事实4知,且 ,
所以四边形 为平行四边形.
例2 [2024·黑龙江齐齐哈尔高一期中] 如图，
在长方体中，已知， 分
别是，的中点，求证： .
证明:连接.在中，
因为， 分别是，的中点，所以 .
因为, ，
所以四边形是平行四边形，所以.所以 .
变式 如图所示，，，， 分别是三棱锥
的棱，，， 上的点，且
， ．
（1）若 ，判断四边形 的形状；
解： ， ，
，，，， ，
又 ， ，
四边形 是平行四边形.
（2）若 ，判断四边形 的形状；
解：由（1）可知，当 时，， ，
四边形 是梯形.
（3）若且，求 的值.
解：，
由（1）可知四边形 是平行四边形，
又， 平行四边形 是菱形.
，
又，， .
［素养小结］
证明两条直线平行的方法:
（1）平行线的定义;
（2）三角形中位线、平行四边形的性质等;
（3）基本事实4.
探究点二 等角定理的应用
例3 如图所示，在三棱柱中， ，
，分别为，和 的中点.求证：
.
证明：因为，分别为， 的中点，所以 .
因为，分别为,的中点，所以 ，
所以四边形为平行四边形，所以 .
由，及与 对应边的
方向相同，可得 .
变式 如图所示，在正方体中，，， 分别是
，，的中点.试问和 有什么关系？请加以证明.
解： .证明如下：
连接，因为，分别为， 的中点，
所以.
因为， ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
因为，所以 .
同理可得，， .
因为与，与 ，
与 的两边分别对应平行且均为锐角，
所以， ，
，
所以 .
探究点三 异面直线的夹角
例4 如图，在正方体中， 为
侧面 的中心.求：
（1）异面直线与 的夹角；
解：因为，
所以 即为异面直线与 的夹角.
在中， ,
所以与 的夹角为 .
（2）异面直线与 的夹角.
解：如图，连接，则 ，
所以（或其补角）为异面直线与
的夹角.
连接，，易得 ，
所以 为等边三角形.
又为的中点，所以 ，
即 与的夹角为 .
变式 在正方体中，，，，分别为 ，
，，的中点，则异面直线与 的夹角的大小是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在正方体中，连接,，,
由, 分别为,的中点，得,分别为,的中点.
因为, 分别为,的中点，所以，，
因此 或其补角是异面直线与的夹角.
在中， ，则，
所以异面直线与的夹角的大小是 .故选C.
［素养小结］
求异面直线的夹角的一般步骤：
（1）找角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作
出异面直线夹角的相关角；
（2）证明：证明找出的角就是异面直线的夹角；
（3）求角：求角度，一般常利用解三角形得出；
（4）定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线的
夹角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线的夹角.
（1）基本事实4的作用
基本事实4描述了平行线的传递性，平面几何中直线平行关系的传递性
可以推广到空间，空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
（2）剖析“等角定理”
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么
这两个角相等.
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且其中一组方向
相同,另一组方向相反,那么这两个角互补.
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相反,那么
这两个角相等.
基本事实4表明了平行线的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,
同时也给出空间中两直线平行的一种证明方法.
解：四边形 是梯形.理由如下:
连接，由题意可知是的中位线,则且 ,
又,所以,且,所以 .
根据基本事实4可得且 ,
所以四边形 是梯形.
例 在空间四边形中,,分别是,的中点,,分别是, 上
的点,若,试判断四边形 的形状,并给出理由.第2课时 基本事实4、异面直线和等角定理
一、选择题
1.已知空间中两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β= ( )
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.已知三条直线a,b,c满足a与b平行,a与c异面,则b与c ( )
A.一定异面 B.一定相交
C.不可能平行 D.不可能相交
3.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系为 ( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.GH和MN是平行直线,GH和EF是相交直线
B.GH和MN是平行直线,MN和EF是相交直线
C.GH和MN是相交直线,GH和EF是异面直线
D.GH和EF是异面直线,MN和EF也是异面直线
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列说法不正确的是 ( )
A.l与AD平行
B.l与A1D1相交
C.l与AC可能平行
D.l与BD可能平行
6.已知两条相交直线分别与等腰直角三角形的两边所在直线平行,则两条相交直线的夹角等于 ( )
A.45° B.90°
C.45°或90° D.45°或90°或135°
7.[2024·广州高一期中] 在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点,若AD=BC=2,EF=,则AD与BC的夹角为 ( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
8.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,则下列直线中与直线C1M是异面直线的有 ( )
A.DD1 B.CC1
C.BD1 D.CA1
9.(多选题)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,
则 ( )
A.PQ=MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
二、填空题
10.已知a,b,c是空间中的三条互不重合的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列说法:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
③若a 平面α,b 平面β,则a,b一定是异面直线.
其中说法正确的是 (填序号).
11.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且都是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 (填序号).
12.已知空间四边形的两条对角线的长分别为8和10,这两条对角线的夹角为60°,则依次连接各边中点所得四边形的面积是 .
三、解答题
13.已知E,E'分别是正方体ABCD - A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点.
(1)求证:四边形BB'E'E为平行四边形;
(2)求证:∠BEC=∠B'E'C'.
14.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥AB,PC=AB,E,F分别是PA和BC的中点.
(1)求证:EF与PC是异面直线;
(2)求EF与PC的夹角.
15.已知圆柱的底面半径为1,高为2,A,B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点,若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线,则线段AB长度的取值范围是 .
16.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=2,∠ABC=120°,A1B⊥AD1,求AA1的长.
