§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的性质
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内直线的位置关系是平行或异面.
(3)平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.
2.解:当另一条直线与这个平面无公共点时,另一条直线与这个平面平行;当另一条直线与这个平面有公共点时,另一条直线在这个平面内.
【课中探究】
探究点一
探索 解:(1)利用直线与平面平行的性质定理;(2)利用基本事实4.
例1 证明:因为EF∥平面ABCD,EF 平面PAC,平面PAC∩平面ABCD=AC,所以由线面平行的性质定理可得EF∥AC.
变式 [解析] 如图,连接AC,交BE于点O,连接OF.因为AD∥BC,E为AD的中点,所以==.因为PA∥平面EBF,平面EBF∩平面PAC=OF,PA 平面PAC,所以PA∥OF.所以==.
探究点二
例2 解:如图所示,过F,B,M作平面FBMN,记平面FBMN与AE的交点为N,
因为BF∥平面AA1C1C,
BF 平面FBMN,
平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,
所以BF∥MN.因为MB∥平面AEF,MB 平面FBMN,
平面FBMN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN,
所以四边形BFNM是平行四边形,所以MN=BF=1.
又MN∥BF,EC∥BF,EC=2BF=2,
所以MN∥EC,MN=EC=1,
所以MN是△ACE的中位线.故M是AC的中点.
变式 解:如图,连接AC1,交A1C于点E,连接DE,
则E为AC1的中点,且平面A1CD∩平面ABC1=DE.
又因为AB∥平面A1CD,AB 平面ABC1,所以AB∥DE,
所以D为BC1的中点,
则实数λ的值为.§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的性质
一、选择题
1.如果直线l∥平面α,那么 ( )
A.平面α内有且仅有一条直线与l不相交
B.平面α内有且仅有两条直线与l不相交
C.平面α内的任意一条直线都与l不相交
D.平面α内的任意一条直线都与l相交
2.已知a,b是2条不同的直线,α是1个平面,给出下列说法:
①若a∥α,a与b共面,b α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥α,b α,则a∥b.
其中正确说法的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,
则( )
A.GH∥SA B.GH∥SD
C.GH∥SC D.以上均有可能
4.如图所示,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状一定是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
5.如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中, AA1∥平面C1CDD1,DD1∥CC1,则AA1与CC1的位置关系为 ( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.以上都有可能
6.如图所示,已知直线a∥平面α,A α,且直线a与点A位于α的两侧,B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,BC=4,CF=5,AF=3,则EF= ( )
A.3 B. C. D.
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,D是棱AA1上的动点,且=m,若AE∥平面DB1C,则m的值为 ( )
A. B.1
C. D.2
8.(多选题)若直线m平行于平面α,则下列说法中正确的是 ( )
A.直线m与平面α无公共点
B.直线m平行于平面α内的所有直线
C.平面α内有无数条直线与直线m平行
D.平面α内存在无数条直线与直线m为异面直线
9.(多选题)如图,E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的点(不与端点重合),BD1∥平面B1CE,则下列结论中错误的是 ( )
A.BD1∥CE B.AC1⊥BD1
C.D1E=2EC1 D.D1E=EC1
二、填空题
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF= .
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过AC作平行于BD1的截面,则截面的面积为 .
12.如图所示,在三棱锥A-BCD中,M是△ABC的重心,N是△ACD的中线AF上的点,并且MN∥平面BCD,当MN=时,BD= .
三、解答题
13.如图,在四棱锥P-ABCD中,点E是棱PC上的点(不与端点重合),平面ABE与棱PD交于点F,AB∥平面PCD.
求证:AB∥EF.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在PC上且PM=tPC.若PA∥平面MQB,试确定实数t的值.
15.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过棱BC的中点E作平面EFGH,使平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于点F,G,H,则四边形EFGH的周长为 .
16.如图所示,正四棱锥P-ABCD为一块木料,侧棱长和底面边长均为13,M为PA上一点.
(1)若PM∶MA=1∶1,要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线 (请写出必要作图说明)
(2)若PM∶MA=5∶8,直线MN∥平面PBC,其中点N在BD上,求BN∶ND的值以及线段MN的长.(共18张PPT)
§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的性质
探究点一 直线与平面平行的性质定理初步应用
探究点二 直线与平面平行的性质定理与探索类
问题
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的性质
定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
一条直线与一个 平面______,如果 过该直线的平面 与此平面相交， 那么该直线与交 线______ ___________________________________________
平行
平行
线线平行
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线平面 ， 平面 ， 平面 ， ，
,则 .( )
√
（2）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内所
有直线都平行.( )
×
[解析] 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内
直线的位置关系是平行或异面.
（3）平行于同一个平面的两条直线平行.( )
×
[解析] 平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.
2.如果两条平行直线中的一条直线平行于一个平面,那么另一条直线
与这个平面有怎样的位置关系
解：当另一条直线与这个平面无公共点时,另一条直线与这个平面平
行;
当另一条直线与这个平面有公共点时,另一条直线在这个平面内.
探究点一 直线与平面平行的性质定理初步应用
［探索］ 证明直线与直线平行的思路有哪些
__________________________________________________________
解： （1）利用直线与平面平行的性质定理;（2）利用基本事实4.
例1 如图所示，在四棱锥中，， 分别
是侧棱，上的点，且平面 .求证：
.
证明：因为平面， 平面 ，
平面 平面 ，
所以由线面平行的性质定理可得 .
变式 [2024·合肥高一期末] 在正四棱锥中，是 的中
点，是上一点，平面，则 的值为__.
[解析] 如图，连接，交于点 ，连接.
因为，为 的中点，
所以.
因为平面 ，平面 平面， 平面 ，
所以.所以 .
［素养小结］
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤：
探究点二 直线与平面平行的性质定理与探索类问题
例2 如图，在三棱柱中，点， 分别
是棱，上的点，点是棱 上的动点，
，，平面 ，
平面，试判断点 的位置.
解：如图所示，过，，作平面 ，
记平面与的交点为 ，
因为平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
所以.
因为平面， 平面 ，平面 平面，
所以 ，
所以四边形是平行四边形，所以 .
又，， ，
所以， ，
所以是的中位线.故是 的中点.
变式 [2024·湖南长沙高一期中] 如图所示，
在直三棱柱中，,点
在线段（含端点）上运动， 平面
，设，求实数 的值.
解：如图，连接，交于点 ，连接 ，
则为的中点，且平面 平面 .
又因为平面， 平面 ，
所以 ，
所以为 的中点，
则实数 的值为 .
［素养小结］
利用线面平行的性质定理解决探索类问题的一般思路：
一般从中位线或三等分点、四等分点等分析，利用线面平行的性质
定理得到线线平行，再利用平行线段成比例的性质求出点的具体位
置（或参数的值）.
1.直线与平面平行的性质定理的解读
（1）直线与平面平行的性质定理可简述为“若线面平行,则线线平行”.
（2）直线与平面平行的性质定理包含三个条件“一内一交一平行”.
2.利用直线与平面平行的性质定理解题的一般步骤:
①确定（或寻找）一条直线平行于一个平面;②确定（或寻找）过这
条直线且与这个平行平面相交的平面;③确定交线;④由性质定理得出
线线平行的结论.§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的性质
1.C [解析] 由直线l∥平面α可知,直线l与平面α无交点,则平面α内的任意一条直线都与l不相交.故选C.
2.B [解析] ①是线面平行的性质定理,故①正确;若a∥α,b∥α,则a和b可能平行、相交或异面,故②错误;若a∥α,b α,则a∥b或a与b异面,故③错误.故选B.
3.B [解析] 因为GH∥平面SCD,GH 平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD.由SD与SA,SC均不平行,可得GH与SA,SC均不平行.故选B.
4.A [解析] 因为AD∩α=F,BD∩α=H,所以平面ADB∩平面α=FH,又AB∥平面α,AB 平面ABD,所以AB∥FH.同理AB∥EG,CD∥EF,CD∥GH.所以FH∥EG,EF∥GH,所以四边形EFHG一定为平行四边形.故选A.
5.A [解析] 因为AA1∥平面C1CDD1,平面A1ADD1∩平面C1CDD1=DD1,AA1 平面A1ADD1,所以AA1∥DD1,又 DD1∥CC1,所以AA1∥CC1.
6.B [解析] ∵BC∥平面α,BC 平面ABC,平面ABC∩平面α=EF,∴EF∥BC,∴=,即=,∴EF=.故选B.
7.B [解析] 取B1C的中点F,连接DF,EF.因为E,F分别是BC,B1C的中点,所以EF∥BB1,且EF=BB1.因为AA1∥BB1,所以AA1∥EF,即AD∥EF,所以AD,EF确定平面ADFE.因为AE 平面ADFE,AE∥平面DB1C,平面DB1C∩平面ADFE=DF,所以AE∥DF,又AD∥EF,所以四边形AEFD是平行四边形,所以AD=EF=BB1,所以AD=AA1,即D为AA1的中点,所以m=1.故选B.
8.ACD [解析] 由直线m与平面α平行的定义可知,若直线m平行于平面α,则直线m与平面α无公共点,A中说法正确.由直线m平行于平面α,得直线m与平面α内的直线平行或异面,故B中说法错误.过直线m作平面γ,使γ与α相交,记交线为n,则由线面平行的性质定理知m∥n,则由基本事实4可知,平面α内与n平行的直线都与m平行,故C中说法正确.在平面α内作直线l,使l∩n=P,则l与m为异面直线,得平面α内与l平行的直线都与m异面,故D中说法正确.故选ACD.
9.ABC [解析] 连接BC1,与B1C交于点O,则O为BC1的中点,连接OE.∵BD1∥平面B1CE,BD1 平面BC1D1,平面BC1D1∩平面B1CE=OE,∴BD1∥OE.∵O为BC1的中点,∴E为C1D1的中点,故C中结论错误,D中结论正确.由异面直线的定义知BD1与CE是异面直线,故A中结论错误.连接AD1,在矩形ABC1D1中,AC1与BD1不垂直,故B中结论错误.故选ABC.
10. [解析] 因为EF∥平面AB1C,EF 平面ABCD,且平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1,所以EF=.
11. [解析] 如图,连接BD,与AC交于点O.设截面与DD1的交点为E,连接OE.因为BD1∥平面AEC,BD1 平面BD1D,平面AEC∩平面BD1D=OE,所以OE∥BD1.因为O为BD的中点,所以E为DD1的中点,所以OE=BD1=,又AE=EC,所以EO⊥AC,又AC=,所以截面的面积为××=.
12.4 [解析] 连接AM并延长,使之交BC于点E,连接EF.因为MN∥平面BCD,MN 平面AEF,平面AEF∩平面BCD=EF,所以MN∥EF.因为M是△ABC的重心,N是△ACD的中线AF上的点,所以E,F分别是BC,CD的中点,所以EF=BD.又因为MN∥EF,=,所以MN=EF=BD=,可得BD=4.
13.证明:因为AB∥平面PCD,AB 平面ABEF,平面ABEF∩平面PCD=EF,所以AB∥EF.
14.解:如图,连接BD,AC,记AC与BQ的交点为N,AC与BD的交点为O,连接MN,易知O为BD的中点.
因为BQ,AO分别为正三角形ABD的边AD,BD上的中线,所以N为正三角形ABD的重心.
设菱形ABCD的边长为a,
则AN=AO=×a=a,AC=2AO=2×a=a.
因为PA∥平面MQB,PA 平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,所以PA∥MN.所以===,即PM=PC,所以实数t的值为.
15.2 [解析] 因为AB∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EH,AB 平面ABC,所以AB∥EH,又点E为BC的中点,所以EH为三角形ABC的中位线,故EH=AB=.同理,EF=FG=GH=.所以四边形EFGH的周长为2.
16.解:(1)因为PM∶MA=1∶1,所以M为PA的中点,作MG∥AD,交PD于点G,则G为PD的中点,连接MB,GC.因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,
则GM∥BC,即B,M,G,C四点共面,故要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面应沿线段BM,MG,GC画线.
(2)连接AN并延长,使之交BC于点E,连接PE.
因为MN∥平面PBC,MN 平面PAE,平面PAE∩平面PBC=PE,所以MN∥PE,则==.
因为BC∥AD,所以==,==,
又AD=13,所以BE=.
在△PBE中,∠PBE=60°,则PE2=PB2+BE2-2PB·BEcos 60°=132+-2×13××=,
所以PE=.因为MN∥PE,PM∶MA=5∶8,
所以==,则MN=×=7.§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
一条直线与一个平面 ,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线 l∥a 线面平行
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l∥平面θ,l 平面β,l 平面γ,θ∩β=b,θ∩γ=c,则b∥c. ( )
(2)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面内所有直线都平行. ( )
(3)平行于同一个平面的两条直线平行. ( )
2.如果两条平行直线中的一条直线平行于一个平面,那么另一条直线与这个平面有怎样的位置关系
◆ 探究点一 直线与平面平行的性质定理初步应用
[探索] 证明直线与直线平行的思路有哪些
例1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是侧棱PA,PC上的点,且EF∥平面ABCD.求证:EF∥AC.
变式 [2024·合肥高一期末] 在正四棱锥P-ABCD中,E是AD的中点,F是PC上一点,PA∥平面EBF,则的值为 .
[素养小结]
利用线面平行的性质定理解题的一般步骤:
◆ 探究点二 直线与平面平行的性质定理与探索类问题
例2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是棱AC上的动点,EC=2BF=2,CC1>2,BF∥平面AA1C1C,MB∥平面AEF,试判断点M的位置.
变式 [2024·湖南长沙高一期中] 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,点D在线段BC1(含端点)上运动,AB∥平面A1CD,设λ=,求实数λ的值.
[素养小结]
利用线面平行的性质定理解决探索类问题的一般思路:
一般从中位线或三等分点、四等分点等分析,利用线面平行的性质定理得到线线平行,再利用平行线段成比例的性质求出点的具体位置(或参数的值).
