第2课时 直线与平面平行的判定
【课前预习】
知识点
平面外一条直线 l∥α
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
(2)过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面(除经过已知直线与所作直线的平面)都与已知直线平行.
(3)如图,l∥α,l∥β,α∩β=m,过直线l作平面γ与平面α交于直线a,作平面δ交平面β于直线b,a,b与l不重合,因为l∥α,l∥β,所以l∥a,l∥b,所以a∥b,因为a β,b β,所以a∥β ,又a α,α∩β=m,所以a∥m,所以l∥m.因此命题正确.
2.解:平行.
3.解:平行或在此平面内.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] 对于A,直线l上有无数个点不在平面α内,不能说明直线与平面无公共点,故A不正确;对于B,缺少直线l在平面α外这一条件,故B不正确;对于C,直线l也可能在平面α内,故C不正确;对于D,由直线与平面平行的定义,可知D正确.故选D.
变式 A [解析] 因为b∥α,所以b α且存在c α使得b∥c.若a∥b,则a∥c,又a α且c α,所以a∥α,充分性成立.若a∥α,则a,b可能相交,可能平行,也可能异面,所以必要性不成立.故选A.
探究点二
例2 证明:方法一:如图所示,连接AC,BD,交于点O,连接OM,
则OM∥D1D且OM=D1D.
又AF=A1A,AA1∥DD1且AA1=DD1,∴OM∥AF且OM=AF,∴四边形MOAF是平行四边形,∴MF∥OA.∵OA 平面ABCD,MF 平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.
方法二:如图所示,连接D1F并延长,交DA的延长线于点E,连接BE,
在△D1DE中,∵AF∥DD1且AF=DD1,∴F是D1E的中点,
∴FM是△BED1的中位线,∴FM∥BE,
∵BE 平面ABCD,MF 平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
变式 证明:取PA的中点N,连接EN,DN,因为E是PB的中点,所以EN∥AB,EN=AB.
因为四边形ABCD为正方形,F是CD的中点,所以DF∥AB,DF=AB,所以EN∥DF,EN=DF,
所以四边形ENDF为平行四边形,所以EF∥DN.
因为EF 平面PAD,DN 平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
探究点三
例3 证明:(1)连接AC,交BD于点O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点,
又G为FC的中点,所以AF∥OG.因为OG 平面BGD,AF 平面BGD,所以AF∥平面BGD.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD.
因为CD 平面DCFE,AB 平面DCFE,
所以AB∥平面DCFE.因为AB 平面ABFE,平面DCFE∩平面ABFE=EF,所以AB∥EF.
变式 证明:在题图①中,连接DE,因为BC⊥CD,CE=,CD=1,所以DE=2,则sin∠CDE=,又∠CDE∈,所以∠CDE=.因为DE=2,AE=AD=2,所以∠DEA=,故CD∥AE.
在题图②中,因为CD∥AE,AE 平面ABE,CD 平面ABE,所以CD∥平面ABE,因为CD 平面BCD,平面BCD∩平面ABE=l,所以CD∥l.第2课时 直线与平面平行的判定
1.D [解析] 当直线l α时也可以满足条件,但l不平行于α,故A错误;直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,故B错误;选项C中缺少a α这一条件,故不能得到a∥α,故C错误;易知D正确.故选D.
2.C [解析] 取AD的中点H,连接EH,则EH∥AB,因为EH与平面α相交,所以AB与平面α相交.由题意知直线AC,DB,DC均与平面α相交.在△BCD中,由已知得EF∥BC,因为EF α,BC α,所以BC∥α.同理AD∥α.故选C.
3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不妨设平面ABCD为平面α,直线A1B1为直线a,点E,F分别为棱AA1,DD1的中点,连接EF,显然a∥平面α.当直线b为直线AD时,直线a,b是异面直线,此时b 平面α.易知EF∥AD,因为AD 平面α,EF 平面α,所以EF∥平面α,当直线b为直线EF时,直线a,b是异面直线,此时b∥平面α.当直线b为直线CC1时,直线a,b是异面直线,此时b与平面α相交.所以直线b与平面α可能平行,可能相交,也可能b在平面α内.故选D.
4.A [解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥BB1且AA1=BB1,∵E,F分别为AA1,BB1的中点,∴AE∥BF且AE=BF,∴四边形ABFE为平行四边形,∴EF∥AB.∵EF 平面ABCD,AB 平面ABCD,∴EF∥平面ABCD,又EF 平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH,∴GH∥AB.故选A.
5.C [解析] 原正方体如图所示,由图可得,AB与CD相交,故A错误;AB与平面CD相交,故B错误;CD∥GH,故C正确;AB与GH是异面直线,故D错误.故选C.
6.D [解析] 对于A,如图①,连接A1B1,则AB∥A1B1,因为N,Q分别为所在棱的中点,所以NQ∥A1B1,所以NQ∥AB,因为AB 平面MNQ,NQ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.对于B,如图②,连接A1B1,因为M,Q分别为所在棱的中点,所以MQ∥A1B1,易知AB∥A1B1,所以MQ∥AB,因为AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.对于C,如图③,连接A1B1,则AB∥A1B1,因为M,Q分别为所在棱的中点,所以MQ∥A1B1,所以MQ∥AB,因为AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.对于D,如图④,取底面中心O,连接OQ,因为Q为所在棱的中点,所以OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ相交,所以AB与平面MNQ相交,故选D.
7.D [解析] 连接C1D,AB1,∵E,F分别是BC1,BD的中点,∴EF∥C1D∥AB1,则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的平面有平面CC1D1D,平面ABB1A1,平面A1C1D,平面ADC1B1,平面AB1D1,共5个,故选D.
8.AC [解析] 因为矩形ABCD对角线的交点为O,所以O是BD的中点,又M为PB的中点,所以OM∥PD,又OM 平面PDA,PD 平面PDA,所以OM∥平面PDA,故A,C正确;OM与平面PAC有公共点O,与平面PBA有公共点M,故B,D错误.故选AC.
9.ACD [解析] 连接FE,因为E,F分别为AB,CD的中点,所以EF∥AD且EF=AD.由题意知AD∥A1D1且AD=A1D1,所以EF∥A1D1且EF=A1D1,所以四边形FEA1D1为平行四边形,所以A1E∥D1F,故A正确.显然A1E与HF为相交直线,故B错误.易知EG∥IF,因为IF 平面D1IF,EG 平面D1IF,所以EG∥平面D1IF,故C正确.因为A1E∥D1F,D1F 平面D1FGB1,A1E 平面D1FGB1,所以A1E∥平面D1FGB1,故D正确.故选ACD.
10.平行 [解析] 如图所示,连接BD,交AC于点O,连接OE,因为四边形ABCD是正方形,所以O为BD的中点,又因为E为DD1的中点,所以OE∥BD1.因为OE 平面ACE,BD1 平面ACE,所以BD1∥平面ACE.
11.平面ABCD,平面PBC [解析] 由题意可作出该几何体的直观图,如图所示.因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD,又EF 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,又EF 平面PBC,BC 平面PBC,所以EF∥平面PBC.
12.② [解析] 因为E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,所以EF∥BD,EF=BD.因为H,G分别为BC,CD的中点,所以GH∥BD,GH=BD,所以EF∥GH,EF≠GH,所以四边形EFGH为梯形,①,③错误.因为EF∥BD,且EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以EF∥平面BCD,②正确.假设EH∥平面ADC,则由EH 平面EFGH,平面EFGH∩平面ADC=FG,易得EH∥FG,这与EH和FG不平行矛盾,所以假设不成立,EH与平面ADC不平行,④错误.故填②.
13.证明:如图,过P作PM∥AB,交BE于点M,过Q作QN∥AB,交BC于点N,连接MN,
则PM∥QN,=,=.易知EA=BD,∵AP=DQ,∴EP=BQ.
又∵AB=CD,∴PM=QN,∴四边形PMNQ是平行四边形,∴PQ∥MN.
又PQ 平面CBE,MN 平面CBE,∴PQ∥平面CBE.
14.36 [解析] 先研究长方体ABCD-A1B1C1D1的一个面所在的平面,如平面ABCD,则与平面ABCD平行且由该长方体的两个顶点确定的直线有A1B1,A1C1,A1D1,B1C1,B1D1,C1D1,共6条,则长方体的一个面能构成6个符合题意的“平行线面组”.因为长方体有6个面,每个面都能构成6个符合题意的“平行线面组”,所以共能构成6×6=36(个)符合题意的“平行线面组”.
15.解:(1)证明:连接B1C,与BC1交于点O,连接OH.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1为平行四边形,∴O为B1C的中点,又∵H为AC的中点,∴OH∥AB1.
∵AB1 平面BC1H,OH 平面BC1H,∴AB1∥平面BC1H.
(2)设B1C交C1M于点E,连接DE.
∵AB1∥平面C1DM,AB1 平面AB1C,平面AB1C∩平面C1DM=DE,∴AB1∥DE,∴=.
又∵四边形BCC1B1为平行四边形,M为BC的中点,
∴==2,∴=2.第2课时 直线与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的判定定理.
2.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 直线与平面平行的判定定理
文字语言:如果 与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言:l α,a α,且l∥a .
图形语言:(如图)
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行. ( )
(2)过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行. ( )
(3)若一条直线和两个相交平面都平行,则该直线平行于相交平面的交线. ( )
2.如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)与平面α有何位置关系
3.如果一条直线与一个平面内的无数条直线都平行,那么该直线与此平面具有什么位置关系
◆ 探究点一 对直线与平面平行的判定定理的理解
例1 直线l与平面α平行的充要条件是 ( )
A.直线l上有无数个点不在平面α内
B.直线l与平面α内的一条直线平行
C.直线l与平面α内的无数条直线都平行
D.直线l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
变式 [2024·广西河池高一期中] 已知直线a,b和平面α,若a α,b∥α,则“a∥b”是“a∥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
◆ 探究点二 证明线面平行
例2 如图所示,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F为棱AA1的中点,M为体对角线BD1的中点,求证:MF∥平面ABCD.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E,F分别是PB,CD的中点,求证:EF∥平面PAD.
[素养小结]
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤:
以上步骤中,第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质,利用平行四边形的性质,利用基本事实4等.
◆ 探究点三 直线与平面平行的综合问题
例3 如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,G为FC的中点,平面ABFE∩平面DCFE=EF.
(1)求证:AF∥平面BGD;
(2)求证:AB∥EF.
变式 如图①所示,在四边形ABCD中,BC⊥CD,E为BC上一点,AE=BE=AD=2CD=2,CE=,将四边形AECD沿AE所在直线折起,得到如图②所示的四棱锥.若平面BCD∩平面ABE=l,求证:CD∥l.
[素养小结]
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行.第2课时 直线与平面平行的判定
一、选择题
1.下列说法中正确的是 ( )
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
B.若直线a在平面α外,则a∥α
C.若直线a∥b,b α,则a∥α
D.若直线a∥b,b α,那么直线a平行于α内的无数条直线
2.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在直线AB,AC,AD,BC,CD,DB中,与平面α平行的有 ( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
3.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是 ( )
A.b∥平面α
B.b与平面α相交
C.b 平面α
D.以上三种情况都有可能
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC,AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
5.将一个正方体纸盒沿着几条棱剪开,得到如图所示的展开图,则在原正方体中 ( )
A.AB∥CD
B.AB∥平面CD
C.CD∥GH
D.AB∥GH
6.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( )
A B C D
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC1,BD的中点,则至少过正方体3个顶点的平面中与EF平行的平面的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(多选题)[2024·福建三明高一期中] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,矩形ABCD对角线的交点为O,M为PB的中点,则下列结论中正确的是 ( )
A.OM∥PD
B.OM∥平面PAC
C.OM∥平面PDA
D.OM∥平面PBA
9.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,H,I分别为棱AB,CD,BC,A1D1,AD的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.A1E∥D1F
B.A1E∥HF
C.EG∥平面D1IF
D.A1E∥平面D1FGB1
二、填空题
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过A,C,E三点的平面的位置关系是 .
11.如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体的面所在的平面中,与直线EF平行的平面为 .
12.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶2,H,G分别为BC,CD的中点,给中下列说法:
①BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是平行四边形;
②EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形;
③HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形;
④EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形.
其中,正确说法的序号是 .
三、解答题
13.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ.求证:PQ∥平面CBE.
14.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个面所在的平面构成的“平行线面组”的个数是
(用数字作答).
15.[2024·福建福州高一期中] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D在AC上,H,M分别为AC,BC的中点,AB1∥平面C1DM.
(1)求证:AB1∥平面BC1H;
(2)求的值.(共35张PPT)
§4 平行关系
4.1 直线与平面平行
第2课时 直线与平面平行的判定
探究点一 对直线与平面平行的判定定理
的理解
探究点二 证明线面平行
探究点三 直线与平面平行的综合问题
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面平行的判定定理.
2.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 直线与平面平行的判定定理
文字语言:如果________________与此平面内的一条直线平行,那么该
直线与此平面平行.该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言: , ,且 _____.
平面外一条直线
图形语言：（如图）
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平
面平行.( )
×
[解析] 只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
（2）过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行.( )
×
[解析] 过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所
作直线的平面有无数个,根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面
（除经过已知直线与所作直线的平面）都与已知直线平行.
（3）若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面
的交线.( )
√
[解析] 如图， ， ， ，过直
线作平面 与平面 交于直线，作平面 交平
面 于直线，,与不重合，
因为 ， ，所以,，所以，
因为 ， ，所以 ，
又 ，，所以 ，所以 ．
因此命题正确．
2.如图，一块矩形木板的一边在平面 内，把这块木板绕
转动，在转动过程中，的对边（不落在 内）与平面 有
何位置关系？
解：平行．
3.如果一条直线与一个平面内的无数条直线都平行，那么该直线与此
平面具有什么位置关系？
解：平行或在此平面内．
探究点一 对直线与平面平行的判定定理的理解
例1 直线与平面 平行的充要条件是( )
A.直线上有无数个点不在平面 内
B.直线与平面 内的一条直线平行
C.直线与平面 内的无数条直线都平行
D.直线与平面 内的任意一条直线都没有公共点
√
[解析] 对于A,直线上有无数个点不在平面 内,不能说明直线与平
面无公共点,故A不正确;
对于B,缺少直线在平面 外这一条件,故B不正确;
对于C,直线也可能在平面 内,故C不正确;
对于D,由直线与平面平行的定义,可知D正确.
故选D.
变式 [2024·广西河池高一期中]已知直线,和平面 ,若 ,
，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为 ，所以 且存在 使得.
若 ，则，又 且 ，所以 ，充分性成立.
若,则 , 可能相交,可能平行,也可能异面,所以必要性不成立.
故选A.
√
探究点二 证明线面平行
例2 如图所示，已知直四棱柱
的底面是菱形，为棱的中点， 为体对角
线的中点，求证：平面 .
证明：方法一：如图所示，连接， ，
交于点，连接 ，
则且 .
又,且 ，
且， 四边形 是平行四边形，
平面， 平面，平面 .
方法二:如图所示，连接并延长，
交 的延长线于点，连接 ，
在中，且,
是 的中点，
是的中位线， ，
平面， 平面 ，
平面 .
变式 如图，在四棱锥中，底面为正方形，, 分别
是，的中点,求证：平面 .
证明:取的中点，连接，，
因为 是的中点，所以， .
因为四边形为正方形，是 的中点，
所以,,所以 ， ，
所以四边形为平行四边形，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
［素养小结］
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤：
以上步骤中，第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角
形、梯形中位线的性质，利用平行四边形的性质，利用基本事实4等.
探究点三 直线与平面平行的综合问题
例3 如图，在几何体 中，四边形
为平行四边形，为 的中点，平面
平面 .
（1）求证：平面 ;
证明：连接，交于点，连接 .
因为四边形为平行四边形，所以为 的中点，
又为的中点，所以.
因为 平面， 平面,所以平面 .
（2）求证： .
解：因为四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 平面, 平面 ，
所以平面.
因为 平面 ，平面 平面,所以 .
变式 如图①所示，在四边形中，，为 上一点，
，，将四边形沿 所在直
线折起，得到如图②所示的四棱锥.若平面 平面 ，求
证： .
证明:在题图①中，连接,
因为，， ，所以，则，
又，所以 .
因为，，所以，故 .
在题图②中，因为， 平面， 平面 ，
所以平面，
因为 平面，平面 平面 ，
所以 .
［素养小结］
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,
再通过线面平行推出线线平行.
证明直线与平面平行的常用方法：
（1）利用定义.证明直线与平面 没有公共点，直接证明往往比较
困难，一般是采用反证法来证明，这时“平行”的否定应是“在平面内”
或“相交”，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交于一点”这
两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往
往容易出错，应引起重视.
（2）利用直线与平面平行的判定定理.使用定理时，所找到的两条直
线，一条应在平面外，一条应在平面内，没有这种内外关系的保证，
判定定理不成立.
在论证过程中要充分利用转化思想，将立体几何问题转化为平面几
何问题来处理，初中平面几何知识是基础，必须能灵活运用.
1.证明直线与平面平行的关键是在平面内找与已知直线平行的直线.
在具体解题过程中，通常需要作辅助线，即利用题中已有的平行关
系构造平行四边形，或利用中位线的性质得到线线平行.
例1 如图，在四棱锥中，底面
是矩形，点,分别为, 的中点，求证：
平面 .
证明：如图，取的中点，连接, ，
因为,分别为,的中点，
所以 ，且 .
因为四边形是矩形，且是 的中点，
所以，且，所以，且 ，
所以四边形为平行四边形，
所以.
又 平面, 平面，所以平面 .
例2 如图所示,四棱锥 的底面是平
行四边形,,分别是, 上的点,且
.求证:平面 .
证明:连接并延长,交于点,连接 .
因为,所以 ,
又,所以,所以.
又 平面, 平面,所以平面 .
2.直线与平面平行的性质定理和判定定理经常交替使用,也就是通过
线线平行得到线面平行,再通过线面平行得到线线平行.
例3 如图所示，在直四棱柱 中，
，，为 上一点，
，， .
（1）求证：平面 ；
解：证明：如图①所示，取的中点，连接 .
因为，，，
所以 且，
所以四边形 是平行四边形，
所以且 .
在上取点，使，连接， .
则且，
所以四边形 是平行四边形，所以且 .
所以且 ，
所以四边形是平行四边形，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）设平面与棱交于点，确定点
的位置，并求出线段 的长度.
解：如图②所示，延长，交于点 ，
连接，延长交于点，连接 .
因为，， ，
所以，分别为， 的中点.
又因为 ，
所以为 的中点，
所以 .
