4.2 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的性质
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)因为两个平面平行,所以分别在两个平面内的两条直线无公共点,它们平行或异面.
2.解:如图所示,易知这两个平面平行或相交.
【课中探究】
探究点一
例1 解:直线a与b平行.证明如下.∵平面ABC∥平面A'B'C',平面A'D'B∩平面ABC=a,平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D',∴A'D'∥a.同理可得AD∥b.
连接DD',∵D是BC的中点,D'是B'C'的中点,四边形BCC'B'是平行四边形,∴DD'∥BB',DD'=BB',
又BB'∥AA',BB'=AA',∴DD'∥AA',DD'=AA',
∴四边形AA'D'D为平行四边形,∴A'D'∥AD,因此a∥b.
变式 证明:因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABED∩平面ABC=AB,平面ABED∩平面DEFG=DE,所以AB∥DE.同理AD∥BE.所以四边形ABED为平行四边形.又AB⊥AD,AB=AD,所以平行四边形ABED是正方形.
探究点二
例2 (1)4 (2)20 [解析] (1)当点S在平面α,β之间时,如图①所示,易知A,B,C,D四点共面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所以AC∥BD,所以=,即=,所以SC===4.
(2)当点S不在平面α,β之间时,如图②所示,同(1)知AC∥BD,于是=,即=,解得SC=20.
变式 解:因为AA',BB'相交于点O,所以AA',BB'确定的平面与平面α,平面β的交线分别为AB,A'B',
所以AB∥A'B',且==.
同理可得AC∥A'C',==;
BC∥B'C',===.所以△ABC与△A'B'C'相似,相似比为,可得=,
又S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×2×2×=,
所以S△A'B'C'=.4.2 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的性质
1.D [解析] 显然过点M与直线a有且只有一个平面,记为γ,记β∩γ=l,则由面面平行的性质定理可得l∥a.故选D.
2.A [解析] 因为a α,b β,α∥β,所以a与b没有公共点,则a与b可能平行,可能异面,异面时可能互相垂直,不可能相交.故选A.
3.D [解析] 对于A,若a∥α,a∥b,则有可能b α,故A不满足题意;对于B,若α∥β,b∥β,则有可能b α,故B不满足题意;对于C,若α∩β=l,b∥l,则有可能b α,故C不满足题意;对于D,若α∥β,b β,则b与α无公共点,所以b∥α,故D满足题意.故选D.
4.D [解析] 在正方体ABCD -A1B1C1D1中,易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1.对于AA1=BB1,可得AA1∥BB1;对于A1D=A1B,可得A1D∩A1B=A1;对于AD1=A1B,可得直线AD1与直线A1B异面.故选D.
5.B [解析] 因为平面BCGF∥平面ADHE,平面BCGF∩平面EFGH=FG,平面ADHE∩平面EFGH=EH,所以FG∥EH.同理EF∥GH.所以四边形EFGH为平行四边形.故选B.
6.B [解析] 若AC与DF不平行,则过点A作AN∥DF,交平面β于点M,交平面γ于点N,连接AD,EM,FN,MB,NC,如图,∵AN∥DF,∴AN,DF共面.∵平面ANFD∩平面α=AD,平面ANFD∩平面β=EM,平面ANFD∩平面γ=FN,α∥β∥γ,∴AD∥EM∥FN,∴=.相交直线AN,AC确定平面ANC,∵平面ANC∩平面β=BM,平面ANC∩平面γ=CN,β∥γ,∴BM∥CN,∴=,∴=,即=,解得AC=15.若AC∥DF,则易知=,即=,解得AC=15.故选B.
7.C [解析] 记截面与棱AB的交点为N,连接MN,CN,A1B,如图所示.由平面与平面平行的性质定理可知MN∥CD1,又CD1∥BA1,所以MN∥BA1.因为M为AA1的中点,所以MN=BA1=CD1,所以截面是梯形CD1MN.易求得MN=,CD1=2,MD1=NC=,则梯形的高为,所以截面的面积为×(+2)×=.故选C.
8.ABC [解析] 易知A,B,C正确.对于D,若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则该直线可能在另一个平面内,此时该直线与另一个平面不平行,D错误.故选ABC.
9.ABD [解析] 因为平面α∥平面β,CD 平面β,所以CD∥平面α,故A正确;设P,A,B,C,D所在的平面为γ,因为平面α∥平面β,平面α∩平面γ=AB,平面β∩平面γ=CD,所以AB∥CD,所以=,即=,解得AC=4,故B,D正确;假设PB=1,则PB+AB=PA,则点B在PA上,这与题意矛盾,故假设不成立,故C错误.故选ABD.
10.l∥β或l β [解析] 由平面α∥平面β,直线l∥α,可得l∥β或l β.
11.①② [解析] 在①中,假设直线a与平面β平行或直线a在平面β内,则由平面α∥平面β,知a α或a∥α,这与直线a与平面α相交矛盾,所以假设不成立,直线a与平面β相交,故①正确.在②中,过直线PQ作平面γ,使γ与α,β都相交,记γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β,得a∥b,因为PQ∥β,PQ γ,γ∩β=b,所以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合,因为a α,所以PQ α,故②正确.在③中,若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a与b可能平行、相交或异面,故③不正确.故填①②.
12.4 [解析] 连接AE,AC1,EC1,当点F与点C1重合时,设平面AEC1交BC于点M,连接AM,C1M,如图所示.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C,平面AEC1∩平面AA1D1D=AE,平面AEC1∩平面BB1C1C=C1M,所以AE∥C1M.又因为AA1∥CC1,所以易知∠A1AE=∠CC1M,所以tan∠A1AE=tan∠CC1M,又AA1⊥A1D1,CC1⊥BC,所以=,因为AA1=CC1,所以CM=A1E=A1D1=×2=1.由勾股定理可得AE===.同理可得AM=C1M=C1E=.故四边形AEC1M的周长为AE+AM+C1M+C1E=4.因此,当点F与点C1重合时,平面α截正方体所得截面的周长为4.
13.证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面α=CD,平面A1B1C1D1∩平面α=EF,则EF∥CD,
因为C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD,所以C1D1∥EF且C1D1=EF,
则四边形EFC1D1是平行四边形,所以A1D1∥B1C1,
又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC.
14.证明:由题意知P,A,B,A1,B1在同一平面内,
又因为α∥β,所以AB∥A1B1,所以△PAB∽△PA1B1,所以==.
同理可得==,==.
所以==,所以△ABC∽△A1B1C1.
15.D [解析] 若直线AC∥直线BD,则AB与CD平行或相交,AD与BC平行或相交,选项A,B,C都不满足要求.若直线AC∥直线BD,则A,B,C,D四点共面,即“直线AC∥直线BD” “A,B,C,D四点共面”;若A,B,C,D四点共面,设这四个点确定的平面为γ,因为平面α∥平面β,平面α∩平面γ=AC,平面β∩平面γ=BD,所以由面面平行的性质定理可得AC∥BD,即“A,B,C,D四点共面” “直线AC∥直线BD”.因此,“直线AC∥直线BD”的充要条件是“A,B,C,D四点共面”.
16.证明:如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易得四边形DEFM是平行四边形,
∴DE∥FM且DE=FM.
∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,
∴AB∥DE,∴AB∥FM,又AB=DE,∴AB=FM,
∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.
∵BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,
∴BF∥平面ACGD.4.2 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面 ,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 a∥b 面面平行
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知两个平面平行,若有第三个平面与其中的一个平面平行,那么它与另一个平面也平行. ( )
(2)若两个平面平行,则分别在两个平面内的两条直线相互平行. ( )
(3)若平面α∥β,则平面α内的任意一条直线都平行于平面β. ( )
2.夹在两个平面间的三条线段,若它们平行且相等,试讨论这两个平面的位置关系.
◆ 探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,D是BC的中点,D'是B'C'的中点,设平面A'D'B∩平面ABC=a,平面ADC'∩平面A'B'C'=b,判断直线a,b的位置关系,并证明.
变式 如图,在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AD,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,证明:四边形ABED是正方形.
[素养小结]
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤:
◆ 探究点二 平面与平面平行的性质定理与几何计算综合应用
例2 已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S.已知AS=6,BS=9,CD=10.
(1)若点S在平面α,β之间,则SC= ;
(2)若点S不在平面α,β之间,则SC= .
变式 如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'相交于点O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,求△A'B'C'的面积.
[素养小结]
解决此类问题的一般思路:利用平面与平面平行的性质定理得到线线平行,再利用与平行有关的定理,并结合题目进行推理论证,进而得出结论.4.2 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的性质
一、选择题
1.若平面α∥平面β,直线a α,点M∈β,则过点M的所有直线中 ( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
2.若a,b是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,且a α,b β,α∥β,则a与b的关系不可能是 ( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.垂直
3.[2023·宁波北仑中学高一期中] 设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则能推出b∥α的一个充分条件是 ( )
A.a∥α,a∥b B.α∥β,b∥β
C.α∩β=l,b∥l D.α∥β,b β
4.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两条线段的长度相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
5.长方体ABCD-A1B1C1D1被一个平面所截后的几何体如图所示,其中四边形EFGH为截面,则四边形EFGH为 ( )
A.梯形
B.平行四边形
C.空间四边形
D.不确定
6.已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,若AB=6,DE∶DF=2∶5,则AC= ( )
A.10 B.15 C.18 D.21
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是 ( )
A.2 B.4 C. D.5
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另外一个平面相交
B.若一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,则必平行于另一个平面
C.夹在两个平行平面间的平行线段长度相等
D.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则必与另一个平面平行
9.(多选题)如图所示,点P,A,B,C,D共面,平面α∥平面β,AB α,CD β,PA=2,AB=1,CD=3,则 ( )
A.CD∥α
B.AC=4
C.PB=1
D.=
二、填空题
10.若平面α∥平面β,直线l∥α,则直线l与平面β的位置关系是 .
11.给出下列说法:
①若平面α∥平面β,直线a与α相交,则直线a与平面β相交;
②若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ α;
③若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a∥b.
其中说法正确的序号是 .
12.[2024·黑龙江哈尔滨高一期中] 如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,由点A,E,F构成的平面为α,则当点F与点C1重合时,平面α截正方体所得截面的周长为 .
三、解答题
13.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面为平面CDEF,且EF=DC,证明:AD∥BC.
14.如图,平面α∥平面β,点P是平面α,β外一点,从点P引三条不共面的射线PA,PB,PC,与平面α分别相交于点A,B,C,与平面β分别相交于点A1,B1,C1,求证:△ABC∽△A1B1C1.
15.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则“直线AC∥直线BD”的充要条件是 ( )
A.AB∥CD
B.AD∥CB
C.AB与CD相交
D.A,B,C,D四点共面
16.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AB=DE,EF∥DG,DG=2EF,求证:BF∥平面ACGD.(共23张PPT)
§4 平行关系
4.2 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的性质
探究点一 面面平行的性质定理的应用
探究点二 平面与平面平行的性质定理与
几何计算综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的性质定理,
并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面______，如 果另一个平面与这两 个平面相交,那么两条 交线______ _____________________________________
平行
平行
线线平行
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，
那么它与另一个平面也平行.( )
√
（2）若两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线相互平行.
( )
×
[解析] 因为两个平面平行，所以分别在两个平面内的两条直线无公
共点，它们平行或异面.
（3）若平面 ，则平面 内的任意一条直线都平行于平面 .
( )
√
2.夹在两个平面间的三条线段，若它们平行且相等，试讨论这两个平
面的位置关系.
解：如图所示，易知这两个平面平行或相交.
探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 如图所示，在三棱柱中，是
的中点，是的中点，设平面 平面
，平面 平面 ，判断直线
， 的位置关系，并证明．
解：直线与平行．证明如下.
平面 平面，平面 平面，
平面 平面，.
同理可得 .
连接，是的中点，是 的中点，
四边形是平行四边形，， ，
又，，， ，
四边形为平行四边形， ，
因此 .
变式 如图，在多面体中，,, 两
两垂直，且，平面平面 ，平
面平面，证明：四边形 是正方
形.
证明:因为平面平面，平面
平面 平面，所以 .
同理.
所以四边形为平行四边形.
又, ，所以平行四边形 是正方形.
［素养小结］
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤：
探究点二 平面与平面平行的性质定理与几何计算综合应用
例2 已知平面平面 ，点， ,点， ,直线，
交于点.已知，， .
（1）若点在平面 , 之间，则 ___;
4
[解析] 当点在平面 ， 之间时，如图①所示，
易知,,,四点共面，设为 ,
则 , .
因为 ,所以，所以 ，
即，所以 .
（2）若点不在平面 , 之间，则 ____.
20
[解析] 当点不在平面 ， 之间时，如图②所示，
同（1）知，于是，即，解得 .
变式 如图所示，平面平面 ， ，
分别在 ， 内，线段,, 相
交于点，在平面 和平面 之间，若
,, , ，
求 的面积.
解：因为,相交于点，所以, 确定
的平面与平面 ，平面 的交线分别为 , ，
所以，且 .
同理可得， ；
，.
所以 与相似，相似比为，可得 ，
又 ，
所以 .
［素养小结］
解决此类问题的一般思路：利用平面与平面平行的性质定理得到线
线平行，再利用与平行有关的定理，并结合题目进行推理论证，进
而得出结论.
平面与平面平行的性质定理的解读
（1）平面与平面平行的性质定理可简述为“若面面平行,则线线平行”.
（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.
（3）经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行.
（4）若两个平面均平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.
利用平面与平面平行的性质定理解题的一般步骤:①先找两个平行平
面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；②再找一个平面,使
这两条直线都在这个平面上;③由面面平行的性质定理得出结论.
例1 如图，在三棱锥中，点，， 分别
在棱，，上，且平面平面 ，若
，则与 的面积之比为___.
[解析] 在三棱锥中，点，， 分别在棱
，，上，
平面平面 ，
，， ， ，
，
，与的面积之比为 ．
例2 如图，线段 分别交两个平行平面
， 于，两点，线段分别交 ，
于，两点，线段分别交 ， 于 ，
两点，若，， ，
的面积为72，求 的面积．
解： 平面 ，
平面 ，且 ，
．
同理可证 .
与 相等或互补，
则 ．
由，得， ．
由，得， ．
的面积为72，
即 ，
，
即 的面积为84.
